数值积分-计算方法
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
计算方法_数值积分
f
(b)]
其中xk=a+kh
(k=0,1,2,…,N)，
h
ba N
2.复合Simpson公式
如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，
于是共有2N+1个节点，xk 在每个N等分的子区间[x2k ,
ak x2k+2]
h (k=0,1,2,…,2N)， (2k=0,1,2,…,N-1)上应
这个问题有明显的答案
I*
4 a rc tg
x
|
1 0
3 .1 4 1 5 9 2 6
取n = 8用复合梯形公式
T8
1 8
1 2
f
(0)
2
f
1 8
2
f
1 4
2
f
3 8
2
f
1 2
2
f
5 8
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b
b
a f (x)dx a (x)dx
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b
b
a
算的结果进行比较。
解 计算结果列于表5-2中。
函数f (x) 梯形值 Simpson值 Cotes值 准确值
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值计算微积分
张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)3-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值积分方法与应用
数值积分方法与应用数值积分方法是一种数值计算技术，用于计算函数在给定区间上的定积分。
在实际应用中，我们经常会遇到无法通过解析方法求解的定积分，这时候就可以借助数值积分方法来进行近似计算。
本文将介绍数值积分的基本原理、常用方法以及在实际问题中的应用。
一、基本原理在介绍数值积分方法之前，我们先来回顾一下定积分的几何意义。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上与x轴之间的面积。
当函数f(x)是非常复杂的时候，我们往往无法通过解析方法求解定积分，这时候就需要借助数值积分方法进行近似计算。
数值积分方法的基本原理是将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上选取一个节点进行函数值的采样，最后通过对这些采样值的加权和来近似表示定积分的值。
常用的数值积分方法包括Newton-Cotes公式、Gauss求积法等。
二、常用方法1. Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式是最简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间均匀分割成若干个小区间，然后在每个小区间上取若干个节点进行函数值的采样。
最常见的Newton-Cotes公式为梯形公式和Simpson 公式。
梯形公式是将积分区间[a, b]分割成n等分，然后在相邻两个节点上计算函数值，最后通过梯形面积的加权和来近似表示定积分的值。
Simpson公式是将积分区间[a, b]分割成2n等分，然后在每个子区间的两个端点和中点上计算函数值，最后通过三次多项式的插值来近似表示定积分的值。
2. Gauss求积法Gauss求积法是通过选取一定的节点和权重来提高数值积分方法的精度。
其基本思想是在给定区间上选取一些特定的节点和权重，然后通过这些节点和权重的组合来构造一个更高阶的数值积分公式。
Gauss求积法的优点是可以通过适当选择节点和权重来提高数值积分的精度，适用于高阶多项式的数值积分。
三、应用案例数值积分方法在科学计算、工程建模等领域有着广泛的应用。
数值积分概述
解 因为 求 积 公式 2h f (x) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) 有
A1 , A0, A1, 3 个未知数，设求积公式对于 f (x) 1, x, x2 均准确成立，有
A1 A0 A1 4h hA1 hA1 0 h2 A1 h2 A1 (16 / 3)h3
0 l0 (x)dx
3 0
(x 1)(x (0 1)(0
2)(x 3) 2)(0 3)
dx
3 8
，
A1
A2
9 8
,
A3
3 8
（2）解关于 Ak 的线性方程组，将 f (x) 1, x, x2 , x3 代入 A0 A1 A2 A3 3 ， A1 2 A2 3A3 9 / 2 ， A1 4 A2 9 A3 9 ，
hf
(2h) ，其代数精度至少为
2
次。
将 f (x) x3 ，代入求积公式，左边= 81 h4 ，右边=18h4 ，
4
左边≠右边。求积公式只有 2 次代数精度。
例 在区间 [h, h] 上取节点,0,,确定 及求积系数，构造
代数精度尽可能高的求积公式，并确定其代数精度。
h
解 设求积公式为 f (x) d x Af () Bf (0) Cf ( ) ，因有 h
数 Ak , k 0,1, 代数精度。
,n
使求积公式 ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk ) 至少有
n
次的
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, , n 有唯一解即可。
证
令 f (x) 1, x, x2, , xn
ab
f
( x)dx
计算方法 第六章 数值积分(深)
ò
b
a
Ln ( x)dx
若f (x)在[a，b]上具有n+1阶导数，则 f (x)=Ln (x) + Rn (x) 其中
wn+ 1 ( x) =
f ( n1) Rn ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
ξ∈(a,b)
Õ (xi= 0
n
xi ) = ( x - x0 )( x - x1 ) L ( x - xn )
i= 1
。
b- a 1 2 (b - a 2 ) 2 1 (b m+ 1 - a m+ 1 ) m+ 1
15
ò
b
a
å
i= 1
f ( xi )Ai ， n ì b 0 ï ï ï òa x dx = å Ai = ï i= 0 ï ï n ï b ï ï x1dx = å Ai xi = ï òa í i= 0 ï ïM M ï ï ï b n ï ï ï ò x m dx = å Ai xim = ï a ï i= 0 ï î
3
6.1 数值积分公式的构造 及其代数精度
4
6.1 数值积分公式的构造及代数精度
定义：设函数f (x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意 插入若干个分点a=x0<x1<……<xn-1<xn= b，把 区间[a, b]分成n个小区间
[x0 , x1]，[x1 , x2]，…[xn-1 , xn]
å
n
f (xi )Vxi
i= 1
记λ=max（ △x1， △x2，… ，△xn ）(λ：细度) 如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间上 点如何取法，只要当λ→0时，和S总趋向于确定 的极限I，称极限I为函数f (x)在区间上的定积分
数值计算06-数值积分与数值微分
用 inline 函数定义被积函数： >> f=inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)','x'); >> y=quad(f,0,1.5)
y= 0.9661
• 矩形区域上的二重积分的数值计算
I yM xM f (x, y)dxdy ym xm
格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)
数值计算
第六章 数值积分与数值微分
1
§6.1 引 言
一、数值积分的必要性
讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x 为初等函数．
k 0
称为求积公式 余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i) 确定求积系数 Ak 和求积节点 xk；
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
数值积分的基本问题
针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数，使得求积 公式(1) 具有尽可能小的截断误差或尽可能高的代数精度。
2
若f ( x)在区间[a,b]上有四阶连续导数。则Simpson
公式的截断误差
R2
(b a)5
2880
f (4)( ) (a,b)
(6.3.8)
且具有三次代数精度。
Simpson3/8公式：
计算方法--数值积分省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( x)
(x ( x1
x0 )( x x) x0 )( x1 x)
f
( x1 )
有
x1 f ( x)dx
x0
x1 x0
L2
(
x )dx
尤其地：当
x
1 2
(
x0
x1 )
,于是，
x1 x0
f
( x)dx
( x1
6
x0 )
f
(x0 ) 4
f
(
x0
2
x1 )
f
( x1)
Simpson公式
30
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时旳公式是最常用也 最主要三个公式,称为低阶公式
取n 1, 有x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为
C ( 1 ) 01(t01)dt1 2
C ( 1 ) 1
1
tdt
0
1 2
求积公式为
31
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk )
按此余项公式，对于次数不超出 n 旳多项式 f (x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点旳求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度.
反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则肯定 是插值型旳。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立旳:
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j ) Ak
j0
Return 24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 公式旳一般形式 第2节 低阶公式及其他项 第3节 复合求积公式
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
力学中的计算方法(数值积分)
机械求积法： f
a
b
x dx Ak f xk
k 0
定义 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任
意 k n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1 ] 0 对某个 n+1 阶多项式
成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 例：对于梯形公式
解：设
1 1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ，应有 3 次代数精度。
因为只有2个待定系数
b
a
x 2dx b
3
a 3 3
b a 2
[a 2 b2 ]
代数精度 = 1
就是梯形公式
思 利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
多项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，即得到
( 2) n = 2: C 0
1 2 1 ( 2) ( 2) , C1 , C 2 Simpson’s Rule 6 3 6 b bNewton-Cotes a n 为偶数阶的 ab f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b )] a 代数精度 = 3 公式至少有 n+6 1 次代数精度。
ba , i 0, 1, ... , n n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
Cotes系数 Ci( n )
( 1) ( 1) , C1 n = 1: C0
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(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
§3.3 Gauss-Legendre求积公式
求积分，权数
=1， 其中（i=0，1，…，n）是n+1阶Legendre多项式的零点，求积系数
为：
（i=0，1，…，n）
具体Gauss-Legendre公式的插值节点和系数见表2（其中n为插值节
点个数， 为积分点， 为对应积分点的系数）。
表二Gauss-Legendre公式的插值节点和系数
§2.3经典Newton—Cotes公式
当n=4,5点公式称为经典Newton—Cotes公式
其中
(k=0,1,…,4)，它具有5次代数精度。
§3 Gauss-Legendre求积公式
在积分区间[a,b]内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和 求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更 有效的高精度求积公式。
在积分区间[0,1]的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进 行比较，得出关与
Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求积公式精确度的结论。
第4章 求解计算 §1Newton—Cotes公式求解的Matlab程序 §1.1方法1：
（1）在Matlab工作窗口中： fn=inline('2/(1+x.^2)'); y1=quad8('fn',0,1)
§2 Gauss-Legendre求积公式求解的Matlab程序 §2.1Gauss-Legendre方法的一些准备
Gauss-Legendre：
具有2n+1次代数精度。
当n=2时，3阶Gauss-Legendre公式在[-1，1]上有三个零点：
x0=0.7745967 x1=0
x2=-0.7745967
n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/90 19/288 6 41/840 9/35 9/280 34/105 9/280 9/35 41/840
§2.2Newton—Cotes公式误差和稳定性
在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是 因此，Newton—Cotes公式的截断误差是
（1-3） 讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算 其中计算函数值f(xn)有误差值
（k=0,1,2, …,n）。在（1-2）式中令
在Matlab工作窗口中调用函数： y1=quad8('fn',0,1)
运行结果为 y1=1.5078
（2）建立M文件： function f=fn(x) f=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2)
在Matlab工作窗口中调用函数： y2=quad8('fn',0,pi/2)
运行结果为： y2 = 1.3506
数值积分
第1章 理论依据
逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积 分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本 公式。
§1插值求积公式
为了用数值方法求，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I（Pn(x)）构造求积公式， 近似地计算定积分I(f(x))。
运行结果为： y1=1.5078
（2）在Matlab工作窗口中： fn=inline('(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2)'); y2=quad8('fn',0,pi/2)
运行结果为： y2 = 1.3506
§1.2方法2：
（1）建立M文件： function f=fn(x) f=2./(1+x.^2)
即为高斯点发，对应的Gauss求积系数为：
对于任意区间（有界区间）[a,b],将转换到。再用Gauss-Legendre 求积公式：
进行积分求解
§2.2 n=2的Gauss-Legendre方法
（1）先建立M文件： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=[h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c]; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3))) +0.88888889*gaussf(x(2))); function y=gaussf(x); y=2./(1+x.^2);
设计算
无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式计算时
引式的误差为 如果 皆为正，并设
，则
，故
有界，即
引起的误差受控制，不超过倍。保证了数值计算的稳定性。 但当n8时，
将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时 来自ewton—Cotes公式不能用。
当n为偶数时，Newton—Cotes积分公式具有n+1次代数精度。
对一般区间[a,b]上的积分，通过代换：
将转换到。再用Gauss-Legendre求积公式： 进行积分求解
第2章 问题描述
用Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求下列积公式计算积分，并 比较结果：
第3章 问题分析
题目给出的是用Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求积分的问 题，为了实现题目要求，应编写Matlab程序，实现计算被积函数
在Matlab工作窗口中调用函数： y1=gauss2('gaussf',0,1)
运行结果为： y1=1.5705
（2）先建立M文件： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=[h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c]; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3))) +0.88888889*gaussf(x(2))); function y=gaussf(x);