计算方法-数值积分

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数值积分方法

a b
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多项式 L2(x)：2 b

a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )

b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b

b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx

数值分析-第4章数值积分和数值微分

A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念求积节点数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即

b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1

数值积分-计算方法

，
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为：其中：
(k=0,1,…,n) （1-1）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式：（1-2）其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式：（2-1）为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2）积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式：记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在微小的差异，结果都比较准确。

牛顿迭代法数值积分

牛顿迭代法数值积分牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于求解方程的迭代数值计算方法，通过不断逼近方程的根来获得精确的解。

其基本思想是利用函数在某点的切线来逼近方程的根，然后通过不断迭代计算来逼近真实的根。

具体而言，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始近似解x_0，然后通过切线的斜率来确定下一个近似解x_1。

切线的斜率可以通过函数的导数f'(x) 来计算，即：k = f'(x_0)。

然后，利用直线的斜截式公式y = k(x - x_0) + f(x_0)，将其与x 轴相交得到新的近似解x_1，即使得f(x_1) = 0 的解。

迭代过程如下：1. 选择初始近似解x_0。

2. 计算切线斜率k = f'(x_0)。

3. 根据切线与x 轴相交的方程，求解f(x) = 0，得到新的近似解x_1。

4. 判断x_1 是否满足精度要求，若满足则停止迭代；若不满足，则令x_0 = x_1，返回步骤2。

需要注意的是，牛顿迭代法并不一定能够收敛到方程的根，可能会陷入局部最优解或者发散。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要对初始近似解的选择和迭代过程的控制进行合理的调整。

关于数值积分（numerical integration），也称为数值求积，是通过数值计算来求解定积分的方法。

定积分表示曲线与坐标轴之间的面积，常用于求解函数在某个区间上的总体积、质量、电荷等物理量。

数值积分有多种方法，常见的包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格法等。

这些方法的基本思想都是将定积分转化为对函数在一系列离散点上的取值进行计算。

以梯形法则为例，其基本思想是将积分区间等分成多个小区间，然后用每个小区间上的函数值构成的梯形的面积来近似表示积分的结果。

具体步骤如下：1. 将积分区间[a, b] 等分成n 个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。

2. 在每个小区间上计算函数的取值，得到函数在离散点上的值f(x_0), f(x_1), ..., f(x_n)。

几种常用数值积分方法的比较汇总

几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。

高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。

优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。

缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。

二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。

优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。

缺点：。

数值计算方法之数值积分

数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。

数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。

数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

首先介绍矩形法。

矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。

矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。

左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。

梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。

梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。

辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。

辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。

除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。

这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。

总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。

数值积分

W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到

0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理：由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式

b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1

4点高斯数值积分公式

4点高斯数值积分公式概述：高斯数值积分是一种常用的数值积分方法，通过将被积函数在积分区间内进行适当的插值，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。

其中，4点高斯数值积分公式是高斯数值积分的一种常见形式。

本文将介绍4点高斯数值积分公式的原理、计算方法以及应用。

1. 原理：高斯数值积分公式是基于插值多项式的思想，通过在积分区间内选取一组特定的插值节点，构造一个与被积函数近似的插值函数，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。

2. 4点高斯数值积分公式的计算方法：4点高斯数值积分公式是通过选取4个特定的插值节点来进行数值积分的方法。

选取节点的方法是通过对区间[-1, 1]上的Legendre 多项式进行求解，得到多项式的根，并将这些根映射到积分区间[a, b]上。

具体计算方法如下：步骤1：确定积分区间[a, b]和被积函数f(x)。

步骤2：通过求解Legendre多项式的根，得到4个插值节点x1, x2, x3, x4。

步骤3：将插值节点映射到积分区间[a, b]上，得到实际的插值节点a1, a2, a3, a4。

步骤4：计算插值节点处的权重系数w1, w2, w3, w4。

步骤5：计算数值积分的近似值I ≈ w1f(a1) + w2f(a2) + w3f(a3) + w4f(a4)。

3. 4点高斯数值积分公式的应用：4点高斯数值积分公式在实际问题中有广泛的应用，特别是对于无法直接求解的复杂函数定积分而言，可以通过高斯数值积分来近似计算。

例如，在物理学中，许多物理量的计算需要进行积分。

通过使用高斯数值积分公式，可以将积分转化为对被积函数在特定插值节点上取值的加权求和，从而得到近似的积分结果。

在金融学中，对于期权定价等问题，也可以利用高斯数值积分公式来进行近似计算。

通过将期权的支付函数表示为被积函数，然后使用高斯数值积分公式来计算期权的价值。

4. 总结：4点高斯数值积分公式是一种常用的数值积分方法，通过选取4个特定的插值节点和权重系数，在积分区间内对被积函数进行插值和积分，从而近似计算定积分的值。

计算方法数值积分插值型积分PPT课件

bn1 an1 n1
1
其系数

x
0
矩阵
x02

x
n 0
1 …
x1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n

x
2 n

当
xk (k 0,1,…, n)
互异时，有唯一
x
n n

解 {Ak }
定理4.1 n+1个节点的求积公式
插值型求积
b f(x)dx a
理得
R(f) b f(x) P(x)dx b f(n1)(ξ) ω(x)dx
a
a (n 1)!
其中 ξ [a, b]
注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， f(n1)(x) 0
R(f) 0 因此，求积公式(4.1)成为准确的等
式。
例1 给定插值节为点定积分
home机械求积方法大家应该也有点累了稍作休息大家应该也有点累了稍作休息大家有疑问的可以询问和交流大家有疑问的可以询问和交流41数值积分概述图41数值积分的几何意义积分值的几何表示
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
第四章数值积分
j0
(*)
lk (x)

(x - x0 )...(x (xk - x0 )...(xk
-
xk-1 )(x - xk1 )...(x - xn ) xk-1 )(xk - xk1 )...(xk - xn )
注意lk(xk ) 1, 而当j k的时候，lk(x j ) 0

数值求积公式

数值求积公式数值求积公式（Numerical Integration Formula），是数值分析中的重要概念，是指通过数学方法把一个连续函数在一个给定区间内的积分值近似计算出来的方法。

由于很多实际问题中的积分式是难以求解的，在计算机计算中，采取数值求积公式可以减少工作量，提高计算精度。

数值求积公式还有一个别名——数值积分。

相对于解析积分，数值积分的特点是可以对任何函数进行积分。

只要你能够用程序对函数进行求值，就可以计算相应的数值积分。

本文将在介绍数值求积公式的基本概念、计算方法、误差分析等方面进行详细的阐述。

一、基础概念1. 定义数值求积公式就是在求解一个确定积分的同时，用近似值代替积分值。

如果一个函数是在一个已知积分区间内可积的，那么我们就可以用数值积分的方法对该函数进行计算，并得到其数值积分值。

2. 积分区间能够进行数值积分的函数，必须在一个已知的积分区间内是可积的。

所谓积分区间，就是指一个确定的区间，该区间内的函数在数学上是成立的，可以进行积分。

3. 数值积分的目的数值积分的主要目的是求出积分函数在某个区间内的近似值，而这个近似值是通过一系列的数值计算所得的。

虽然这种方法无法完全解决所有的积分问题，但是它能够有效地求解一些特殊积分或者是一些无法用解析方法求解的积分。

4. 数值积分的特点数值积分的计算方法是基于一定的近似方法进行的，所以它其实是属于一种“近似计算”的方式。

和解析积分不同的是，数值积分从本质上来讲并不是“精确的”，因为不管采用何种数值积分方法，都需要一定的近似误差。

另外，数值积分通常需要输入整个积分区间的求积函数，这需要求积函数满足一定的数学条件，例如必须是一个连续函数，而且必须在整个积分区间上是有限的。

二、计算方法数值求积公式的计算方法主要有以下几种。

1. 复合梯形公式所谓复合梯形公式，就是对积分区间进行分割，对每一小段积分采用梯形法则进行微积分近似，然后对所有子积分区间的积分近似值求和。

数值分析-数值积分详解

xk
和 Ak 的代数问题.

b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度达到最高。

1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n

b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ，然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：

数值积分法

数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。

数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。

数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。

数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。

定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。

梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。

不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。

Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。

高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。

Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。

因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。

熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。

计算方法讲义：七数值积分

第七章数值积分如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a-=⎰来求得定积分。

然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。

一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。

数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ba n dx x P )(得⎰ba dx x f )(的近似值。

7.1 插值型求积公式设⎰=ba dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ba n dx x P I I )(*。

构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T ba ba +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。

以a , 2ba c +=，b 为三个插值节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=，则可以推出)()()()(2102b f c f a f dx x P S baλλλ++===⎰，)(61))(())((0a b dx b a c a b x c x ba-=----=⎰λ，)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x ba-=----=⎰λ，)(61))(())((2a b dx c b a b c x a x b a -=----=⎰λ。

计算方法数值积分

计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。

数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。

数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。

常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。

矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。

它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。

具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。

其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。

梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。

它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。

具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。

辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。

它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。

辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。

辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。

数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。

在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。

此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。

总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。

常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。

数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。

数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法

f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个公式的结果
精度最低精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到，精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小，则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.

数值计算方法数值积分基本公式 - 数值积分基本公式

求
积公式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设将积分区间a , b n等分 , 记步长h b a ,
n
牛
选取等距节点xk a kh
顿－柯特斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代入求积公式得：
当 n 2时 , 这时柯特斯系数为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根据H ermite 插值余项：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求积公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx

数值积分方法课件

热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票价格的变动趋势，为投资决策提供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方法可以用于评估投资组合的风险水平。
在精算学中，数值积分方法可以用于计算生命保险、养老保险等保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类

力学中的计算方法(数值积分)

n
机械求积法： f
a
b
x dx Ak f xk
k 0
定义若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任
意 k n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1 ] 0 对某个 n+1 阶多项式
成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。例：对于梯形公式
解：设

1 1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ，应有 3 次代数精度。
因为只有2个待定系数

b
a
x 2dx b
3
a 3 3

b a 2
[a 2 b2 ]
代数精度 = 1
就是梯形公式
思利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
多项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，即得到
( 2) n = 2: C 0
1 2 1 ( 2) ( 2) , C1 , C 2 Simpson’s Rule 6 3 6 b bNewton-Cotes a n 为偶数阶的 ab f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b )] a 代数精度 = 3 公式至少有 n+6 1 次代数精度。
ba , i 0, 1, ... , n n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间[a, b]均无关。
Cotes系数 Ci( n )
( 1) ( 1) , C1 n = 1: C0