数学计算方法数值积分

a x0 x1 x2 xn b
作插值：f (x) Ln (x) Rn (x)
其中，Ln (x)
n j0
n1(x) f (x j ) (x x j )n1(x j )
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x),
(a,
b)
b
b
b
b
f (x)dx [Ln (x) Rn (x)]dx Ln (x)dx Rn (x)dx
b
n
那么 f (x)dx Aj f (xj )
,n, h ba n
a
j=0
称为n阶牛顿-柯特斯求积公式,
Aj
1 b n1(x)dx n1(xj ) a (x x j )
变量代换： x=a+th
n1(x) (x x0 )(x x1)(x x2 )L (x xn )
(a th a)(a th a h)(a th a 2h)L (a th a nh)
a
a
a
a
（3-1）
所以：
b a
f (x)dx
b a
Ln (x)dx
b a
n j0
n1(x) f (x j ) dx (x xj )n1(xj )
n
f (x j ) b n1(x)dx
j0 n1(x j ) a (x x j )
令
Aj
1
n1(x j )
b a
n1 ( x) dx
C(n) j
1。
j0
插值型求积公式可写成：
b
n
n
f (x)dx
Aj f (xj ) (b a)
C(n) j
f
(x j )
a
j=0
j=0
(3 6)
称为牛顿-柯特斯求积公式，C
(n j
)
叫作柯特斯系数。
截断误差：
b
Rn[ f ]
a
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)dx,
(a,b)
0 (t j)
(3 5)
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 2
C (1) 1
1
1
tdt
0
2
于是插值型求积公式可写成：
b f (x)dx (b a) [ f (a) f (b)]
(3 7)
在实际计算中，高阶牛顿-柯特斯公式数值稳定性差， 有实用价值的仅仅是几种低阶求积公式。
3.2.1 几个低阶求积公式
（1）梯形公式 当n＝1时，[a, b], a, b 作为插值节点， 根据Cotes系数计算公式（3-5），得
C (n) j
(1)n j j!(n j)!n
n t(t 1)L (t n) dt
3
33
I%(x3) ( 1 )3 ( 1 )3 0
3
3
I%(x4 ) ( 1 )4 ( 1 )4 2
3
39
因为 I (x4 ) I%(x4 ) ，所以该求积公式具有3次代数精度。
3.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
[a,b] n 等分 : xj a jh , j 0, 1,
第3章 数值积分
3.1 引 言 3.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 3.3 复化求积公式 3.4 龙贝格(Romberg)方法
3.1 引 言
解决函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分问题，利用 牛顿-莱布尼茨公式：
b
I ( f ) f (x)dx F(a) F(b)
(x xj)
（3-2）
b
n
得到： f (x)dx Aj f (xj ) （3-3）
a
j=0
公式（3-3）称为插值型求积公式，Aj为求积系数，
xj叫作求积节点。
b
Rn (x)dx
为插值型求积公式的截断
误差，即余项。 a
b
b
Rn[ f ] Rn (x)dx
aBaidu Nhomakorabea
a
f (n1) ( )
(n 1)!
1
I (1) 1 dx 2 1
1
I (x) x dx 0 1
I (x2 ) 1 x2 dx 2
1
3
I (x3) 1 x3 dx 0 1
I (x4 ) 1 x4 dx 2
1
5
I%(1) 11 2
I%(x) 1 1 0 33
I%(x2 ) ( 1 )2 ( 1 )2 2
th(t 1)hL (t n)h hn1t(t 1)L (t n)
n1(x j ) (x j x0 )L (x j x j1)(x j x j1)L (x j xn )
(1)n j j!(n j)!hn
Aj
1
n1(x j )
b a
n1 ( x) dx
(x xj)
(1)n j h
a
j=0
（1）对于所有次数不超过m次的多项式f (x)都有 I ( f ) I%( f )
（2）对于某一个m＋1多多项式f (x)，有：I ( f ) I%( f )
称积分公式（3-3）具有m次代数精度。
例题：确定求积公式
1
f (x)dx 1
f (
1 ) f( 3
1) 3
的代数精度。
解： f (x)分别取1, x, x2, x3, x4
n1
(
x)dx,
(a,
b)
(3 4)
注意：当 f (x) 为n次多项式， f (n1) (x) 0，则 Rn[ f ] 0 ，
此时有：
b
n
f (x)dx Aj f (xj )
a
j=0
3.1.2. 求积公式的代数精度
b
n
I ( f ) f (x)dx 的近似值I%( f ) Aj f (xj )满足：
(t n)dt
(1)n j n t(t 1)L (t n)dt (3 5)
j!(n j)!n 0 (t j)
Aj (b a)C(jn) j 0,1, 2,L , n
C (n) j
是不依赖于f
(x)
与[a, b]的常数，只与分点
n
数n有关。可以证明C
( j
n
)
Cn( n)j，且
n
t(t 1)L (t j 1)(t j 1)L (t n)dt
j!(n j)! 0
(b a) (1)n j
n
t(t 1)L (t j 1)(t j 1)L (t n)dt
j!(n j)!n 0
记
C (n) j
(1)n j j!(n j)!n
n
t(t 1)L
0
(t j 1)(t j 1)L
a
科技应用中遇到问题：
(1) f (x) 的原函数F(x)不存在或不适宜计算； (2) 只有 f (x) 的离散数据点。
数值积分：用容易计算的近似积分代替原有的定积分， 也叫作近似积分。
f (x) 常取插值或分段插值多项式。 n
3.1.1 插值型求积公式
设函数 f (x) 在区间 [a,b] 函数值已知，