重庆市南开中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，Rt ABC ∆中，90BAC AB AC AD BC ︒∠==⊥，，于点D ABC ∠，的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连DM ，下列结论：①DF DN =； ②DMN ∆为等腰三角形；③DM 平分BMN ∠；④AE NC =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．如图，M 是ABC 的边BC 的中点AN 平分BAC ∠．且BN AN ⊥，垂足为N 且6AB =，10BC =．2MN =，则ABC 的周长是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．283．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A 3B ．2C ．23D ．44．下列命题为假命题的是（ ）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．5．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 7．如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（ ）A ．DE 平分AEC ∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF =+ 8．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.5 9．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（ ）A ．23B ．17C ．25D ．35 10．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（ ）A ．240+B ．213+C ．13D ．611．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．43C ．43+D ．423+ 12．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC =③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图所示，在平行四边形ABCD 中2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 边于点E ，且4AE =，则AB 的长为______．14．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，D 是斜边AB 上一动点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°至CE ，连接BE ，DE ，点O 是DE 的中点，连接OB 、OC ，下列结论：①△ADC ≌△BEC ；②OB =OC ；③DE >BC ；④AO 的最小值为2．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）15．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．16．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．17．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．18．如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．19．如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____．20．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图（2），再沿BF 折叠成图（3），继续沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ；整个过程共折叠了8次，问图（1）中DEF ∠的度数是_________．三、解答题21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．（1）如图①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．22．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A D ∠=∠=︒，点E 是AD 的中点，连接BE ，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且点G 在四边形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ，连接EF ．（1）求证：EGF EDF △△≌；（2）求证：BG CD =；（3）若点F 是CD 的中点，8BC =，求CD 的长．23．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．（1）求证：AE DF =；（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．24．已知点()0,6B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，连接BC ，分别以OC 和BC 为边长作等边ODC △和EBC ，连接DE ．（1）如图（a ），当D 点在OBC 内部时，求证：BO DE =；（2）如图（b ），当D 点在OBC 外部时，上述结论是否还成立？请说明理由．（3）当D 点恰好落在EBC 的边上时，利用图（c ）探究分析后，直接写出ODC △的高的长度为______．25．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，且90EDF ∠=︒．求证：DE DF =．26．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求出BD AD =，DBF DAN ∠=∠，BDF ADN ∠=∠，证明()FBD NAD ASA ≅即可判断①，证明()AFB CNA ASA ≅，推出CN AF AE ==即可判断④，证明()ABM NBM ASA ≅，得AM MN =，由直角三角形斜边的中线的性质推出AM DM MN ==，ADM ABM ∠=∠，即可判断③，根据三角形外角性质求出DNM ∠，证明MDN DNM ∠=∠，即可判断②．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴45ABC C ∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，∴45BAD CAD ∠=︒=∠，∵BE 平分ABC ∠， ∴122.52ABE CBE ABC ∠=∠=∠=︒， ∴9022.567.5BFD AEB ∠=∠=︒-︒=︒，∴67.5AFE BFD AEB ∠=∠=∠=︒，∴AF AE =，AM BE ⊥，∴90AMF AME ∠=∠=︒，∴9067.522.5DAN MBN ∠=︒-︒=︒=∠，在FBD 和NAD 中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()FBD NAD ASA ≅，∴DF DN =，故①正确；在AFB △和CNA 中，4522.5BAF C AB ACABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴()AFB CNA ASA ≅，∴AF CN =，∵AF AE =，∴AE CN =，故④正确；在ABM 和NBM 中，90ABM NBM BM BMAMB NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴()ABM NBM ASA ≅，∴AM MN =，在Rt ADN △中，AM DM MN ==，∴22.5DAN ADM ABM ∠=∠=︒=∠，∴22.522.545DMN DAN ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴DM 平分BMN ∠，故③正确；∵4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴1804567.567.5MDN DNM ∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴DM MN =，∴DMN 是等腰三角形，故②正确．故选：D ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．2．C解析：C【分析】延长BN 交AC 于D ，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND ，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可．【详解】解：延长BN 交AC 于D ，∵AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ，∴AD=AB=6，BN=ND ，又M 是△ABC 的边BC 的中点，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+DC=10，则△ABC 的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形， ∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线， ∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 4．B解析：B【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；B 、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．C 、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；D 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．A解析：A【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =，然后求解即可．【详解】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP SS =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM=AE=1，PF=NC=3， ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 6．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC ，利用勾股定理求出BC ，再根据三角形中位线定理求出DE ．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，设BC=x ，则AB=2x ， ∴(22243x x =+， 解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，∵D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥，∴DE=12BC=4， 故选C ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据矩形的性质及HL 定理证明Rt △DEF ≌Rt △DEC ，然后利用全等三角形的性质进行推理判断【详解】解：在矩形ABCD 中，∠C=90°，AB=CD∵DF AE ⊥于点F ，且DF AB =∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD在Rt △DEF 和Rt △DEC 中DF DC DE DE =⎧⎨=⎩∴Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FDE=∠CDE ，即DE 平分AEC ∠，故A 选项不符合题意；∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FED=∠CED又∵矩形ABCD 中，AD ∥BC∴∠ADE=∠CED∴∠FED=∠ADE∴AD=AE ，即ADE ∆为等腰三角形，故B 选项不符合题意∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴EF=EC在矩形ABCD 中，AD=BC ，又∵AD=AE∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF ，故D 选项不符合题意由于AB=CD=DF ，但在Rt △ADF 中，无法证得AF=DF ，故无法证得AB=AF ，故C 选项符合题意故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．A解析：A【分析】先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF 是矩形，得EF=CM ，当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．【详解】解：连接CM ，如图所示：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴2222345AC BC ++=，∵ME ⊥AC ，MF ⊥BC ，∠ACB=90°，∴四边形CEMF 是矩形，∴EF=CM ，∵点P 是EF 的中点，∴CP=12EF ， 当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，∵△ABC 的面积=12AB×CM=12AC×BC ， ∴CM=•AC BC AB =34 2.45⨯=， ∴CP=12EF=12CM=1.2， 故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．9．C解析：C【分析】如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，矩形ABCD ，53AF BE ==，，//,AD BC ∴ 90B ∠=︒， 四边形ABEM 为矩形，,AFE CEF ∴∠=∠由对折可知：,AEF CEF ∠=∠∴∠=∠AFE AEF,∴==，AE AF5224∴=-=，AB AE BE四边形ABEM为矩形，∴====，，ME AB AM BE43∴=，MF222∴==EF ME MF+2 5.故选：.C【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．10．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF的长为2，然后作出点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E，此时DEF周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF为矩形，得出FF′=3，然后在Rt△DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF周长的最小值．【详解】解：如图，作点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E．此时DE+EF最小∵点D、F分别是AB和AC的中点，BC=4，3AB=，∴DF=1BC=2，DF//BC，BD=1.5，2∵点F 与点F′关于BC 对称，∴E F=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ，∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，DF =='∴△DEF 周长的最小值故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．11．D解析：D【分析】只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，=，当DE AB⊥时，DE最小23∴∆的周长最小值为423BEF+，故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．12．C解析：C【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【详解】解：①∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，∴∠B＝∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正确；同理可证，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1BC，故②正确；2∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．所以一定正确的结论个数有3个，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．二、填空题13．4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DCAD∥BC推出∠DEC=∠BCE求出∠DEC=∠DCE推出DE=DC=AB得出AD=2DE即可求出AB的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=D解析：4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE，即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=AB，∵AD=2AB=2CD，CD=DE，∴AD=2DE，∴AE=DE=4，∴DC=AB=DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE=AE=DC是解决问题的关键．14．①②【分析】先证明∠ACD=∠BCE根据三角形全等判定定理SAS可证明△ADC≌△BEC；根据三角形全等性质可得∠EBC=∠A=45°于是∠EBD=90°然后根据直角三角形斜边中线性质可证得OB=O解析：①②【分析】先证明∠ACD=∠BCE，根据三角形全等判定定理SAS可证明△ADC≌△BEC；根据三角形全等性质可得∠EBC=∠A=45°，于是∠EBD=90°，然后根据直角三角形斜边中线性质可证得；根据OB=OC可知点O在BC的垂直平分线OB=OC；利用三角形三边关系可得DE BC上，找到点O的起始位置及终点位置，即可求出OA的最小值．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE 是由CD 旋转得到．∴CE=CD则在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE ，故①正确；∴∠EBC=∠A=45°，∴∠EBD=90°，∵点O 是DE 的中点， ∴11,,22OC DE OB DE == ∴OB =OC ；故②正确； ∴2DE OC OC OB BC ==+≥，故③错误；如图2，∵CA=CB=4，∠ACB=90°，∴AB=42，当D 与A 重合时，△CDE 与△CAB 重合，O 是AB 的中点P ；当D 与B 重合时，△CDE 与△CBM 重合，O 是BM 的中点Q ；前面已证OB =OC ，所以点O 在BC 的垂直平分线上，∴当D 在AB 边上运动时，O 在线段PQ 上运动，∴当O 与P 重合时，AO 的值最小为1222AB = 故④错误；故答案是：①②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线性质，垂直平分线的判定定理，本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理以及性质．难点是判断点O的运动路线．15．【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B的长再设AE=x则A′E=xBE=12-x再在Rt△A′EB中利用勾股定理得出关于x的方程解出x的值可得答案【详解】解析：10 3【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B的长，再设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理得出关于x的方程，解出x的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴BD=22125=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，在Rt△A′EB中：（12-x）2=x2+82，解得：x=103．故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键．16．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDAO=COBO=DO∵正方形AECF的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12AC 2=50， ∴AC=10cm ，∴AO=CO=5cm ，∵菱形ABCD 的面积为120cm 2， ∴12×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，∴BO=DO=12cm ，∴AB ， 故答案为13． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 17．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足解析：【分析】画出图形，证明四边形EFGH 是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG ，得到四边形EFGH 的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，过点G 作EH 的垂线，垂足为M ，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC 和BD 夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM 为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴2= ∴四边形EFGH 的面积=MG EH ⋅=∴平行四边形ABCD 的面积为，故答案为：【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．18．【分析】连接交于交于交于依据轴对称图形的性质即可得到的长进而得到正方形的面积【详解】解：如图连接交于交于交于正方形中有面积为4的正方形和面积为2的正方形又组成的图形为轴对称图形为对称轴为等腰直角三角 解析：279242+ 【分析】 连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，依据轴对称图形的性质，即可得到BD 的长，进而得到正方形ABCD 的面积．【详解】解：如图，连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN ， 2EH EF ∴==，2MQ QP ==，又组成的图形为轴对称图形，BD ∴为对称轴，BEF ∴∆、DPQ ∆为等腰直角三角形，四边形EKSH 、四边形MSRQ 为矩形， 112EK BK EF ∴===，11222DR QR PQ ===，2KN EH ==，2RS MQ ==， 1312223222BD ∴=+++=+， ∴正方形ABCD 的面积22113279(32)222242BD ==⨯+=+， 故答案为：279242+．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．19．【分析】先证明△AEC 是等腰三角形再证OE ⊥AC 然后用勾股定理求出OE 即可求【详解】解：如图1连接OE ∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC=3AD ∥BC ∴∠DAC=∠ACB 又∵∴∠ACB=∠EA 解析：37【分析】先证明△AEC 是等腰三角形，再证OE ⊥AC ，然后用勾股定理求出OE ，即可求AEC S ∆．【详解】解：如图1，连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=3，AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，又∵DAC EAC ∠=∠，∴∠ACB=∠EAC ，∴AE=EC=4，∴△AEC 是等腰三角形，∴OE ⊥AC ， 在Rt △AOE 中，由勾股定理得，AO 2+OE 2=AE 2，∴32+OE 2=42，∴7 ∴167372AEC s =⨯= 故答案是：37【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识，证明△AEC 是等腰三角形是解本题的关键．20．20°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG ；整个过程共折叠了8次可得CF 与GF 重合依据平行线的性质即可得到∠DEF 的度数【详解】解：设∠DEF=α在图（1）中∵是长方形纸带∴AD//BC ∴解析：20°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG ；整个过程共折叠了8次，可得CF 与GF 重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF 的度数．【详解】解：设∠DEF=α，在图（1）中∵是长方形纸带，∴AD//BC ，∴∠EFB=∠DEF =α，∵折叠8次后CF 与GF 重合，∴∠CFE=8∠EFB=8α，∵CF ∥DE ，∴∠DEF+∠CFE=180°，∴α+8α=180°，∴α=20°，即∠DEF=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质．在本题中应理解∠DEF+∠CFE=180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．三、解答题21．（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=+︒或1452βα=-+︒，见解析 【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．【详解】（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∵点D 是AB 的中点，∴AD DC BD ==，∴DCB ABC ∠=∠．∵90CDE ∠=︒，∴90E DCB ∠+∠=︒，∴A E ∠=∠；②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，∵BD 平分CDE ∠，∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．∵DB DC =，∴DCB DBC x ∠=∠=︒，∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，∴906822A ∠=︒-︒=︒；（2）①如图，当CD CE =时，∴CDE CED β∠=∠=．∵A α∠=，AD DC =，∴ACD α∠=，∴90DCB α∠=︒-，∴290180βα+︒-=︒，得1452βα=+︒；②如图，当CD CE =时∴CDE E β∠=∠=，∴290βα=︒-，得1452βα=-+︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）根据HL 证明Rt △EGF ≌Rt △EOF 即可；（2）证明四边形ABCD 为矩形，可得BG=CD ；（3）设CD=x ，分别表示出BE 2，EF 2，BF 2，证明∠BEF=90°，利用勾股定理得到方程，解之【详解】解：（1）∵E是AD中点，∴AE=DE，由折叠可知：AE=EG，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED，又EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EOF（HL）；（2）△ABE折叠得到△GBE，∴AB=BG，∵AD∥BC，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC，∴BG=CD；（3）∵点E是AD中点，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵点F是CD中点，∴设CD=x，则DF=12x，则BE2=BG2+EG2，即BE2=CD2+AE2，即BE2=x2+42，且EF2=DE2+DF2，即EF2=42+（12x）2，且BF2=BC2+CF2，即BF2=82+（12x）2，∵∠AEB=∠GEB，∠DEF=∠GEF，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF2=BE2+EF2，∴82+（12x）2= x2+42+42+（12x）2，解得：x=，即CD=【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟记性质，找出三角形全等的条件，合理利用勾股定理得到方程是解题的关键．23．（1）见解析；（2）菱形，见解析【分析】（1）由DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，可证得四边形AEDF是平行四边形，即可证得结论；（2）由AD平分∠BAC，DE∥AC，易证得△ADE是等腰三角形，又由四边形AEDF是平行四边形，即可证得四边形AEDF是菱形．（1）证明：∵DE ∥AC ，DF ∥ AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴DE=AF ；（2）若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；理由：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD ，∵DE ∥AC ，∴∠ADE=∠FAD ，∴∠EAD=∠ADE ，∴AE=DE ，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．24．（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）3或9．【分析】（1）利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答；（2）同（1）利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答；（3）分当D 点恰好落在EBC 的边BC 上或边BE 上两种情况讨论，利用全等三角形的性质以及三角形中位线或含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】证明：（1）在等边ODC △与等边EBC 中，CO CD =，CB CE =，60OCD BCE ∠=∠=︒，∴OCD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠，即OCB DCE ∠=∠，在BCO 与ECD 中，CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCO ECD SAS ≅△△，∴BO DE =；（2）还成立．理由：连接DE ，与（1）同理，CO CD =，CB CE =，60OCD BCE ∠=∠=︒，∴OCD DCB BCE DCB ∠-∠=∠-∠，即OCB DCE ∠=∠，在BCO 与ECD 中，CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCO ECD SAS ≌△△， ∴BO DE =；（3）当D 点恰好落在EBC 的边BC 上时，如图，作DG ⊥OC 于G ，由（2）知BCO ECD ≌△△，∴∠EDC=∠BOC=90︒，∵△EBC 是等边三角形，∴D 点恰好是边BC 的中点，∵DG ⊥OC ，∴DG 是△BOC 的中位线，∴DG=12BO=3； 当D 点恰好落在EBC 的边BE 上时，如图，作DF ⊥OC 于F ，由（2）知BCO ECD ≌△△，∴∠EDC=∠BOC=90︒，∠ECD=∠BCO ，∵△EBC 是等边三角形，∴D 点恰好是边BE 的中点，∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30︒，∴BC=2BO=12，∴2263BC BO -=∵△DOC 是等边三角形，∴DC=OC=3，FC=OF=33∴229DC CF -=，综上，ODC △的高的长度为3或9．故答案为：3或9．【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25．见解析【分析】利用ASA 证明△ADE ≌△CDF 即可得到结论．【详解】证明：四边形ABCD 是正方形， AD CD ∴=，90A DCF ADC ∠=∠=∠=︒，又90EDF ∠=︒，ADC EDC EDF EDC ∴∠-∠=∠-∠．ADE CDF ．在ADE 与CDF 中，ADE CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE CDF ASA ∴△≌△．DE DF ∴=．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 26．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接GE ，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE ，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE ，利用两个角的差求解即可；（2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可．【详解】证明：（1）连接GE ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠CGE ，∵GF ∥HE ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠HEA=∠CGF ；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG=HE ，在Rt △HAE 和Rt △GDH 中，AH DG HE HG=⎧⎨=⎩， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ，∴∠AHE=∠DGH ，∵∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形.【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键.。