MIT电力电子课程笔记.

=

N12 Rc
+
N12 Rl1

N1 N 2 Rc
N1 N 2
Rc
N22 Rc
+
N22 Rl 2


i1 i2

=
L11 LM
LM i1 L22 i2 ，即电感矩阵描叙。很容易说明这
个矩阵与以下电路是等价的。
其中，
( lc µ c Ac
+
lg ) µ g Ag
。求解端电压：每一匝的电动势为
Vturn
=
dφ dt
，整个线圈的电动势就是总匝数的乘积，因而磁链可以定义为
=N
，
V=
dλ dt
=
N2
di
( lc µ c Ac
+
lg ) dt µ g Ag
=
L
di dt
。
注意的地方包括：
(a) 电感的大小与匝数的平方成正比关系，了解 AL 的电感标定方法。
∫ ∫ V1 =
N1
dφ dt
⇒
φ
=
1 N1
V1dt ，所以 Bc =
φ Ac
=
1 N1 Ac
V1dt ，因为我们要求 B < Bsat ，所以
∫ V1dt ≤ N1Bsat Ac ，这就是变压器的伏-秒限制。
漏感 现实中并不是所有的磁通都流进铁心，某些磁通彼此之间没有耦合关系。
φ l1 =
N1i1 Rl1
LM <
L11L22
。否则，如果 V2
=
0
的时候，我们施加一个正的
V1
，就会发现
Fra Baidu bibliotek
di1 dt
<
0 ，即
无穷多的能量可以从系统中获得。实际中如果 LM = L11L22 ，则两个线圈之间是完美耦
合的，没有任何的漏电感。故可以定义耦合系数 k =
LM L11 L22
，其中 − 1 <
k<
1。
★ 在理想情况下，考虑多绕组线圈变压器的模型
需要注意的几点：
1 电感的大小正比于匝数的平方。一些制造厂商会用 AL 参数定义铁心，其中， AL
为每一匝线圈对应的 nH 大小(或者 1000 匝对应的 mH 数)。因而，电感值的计算公式为：
L= AL× N 2 nH。
2 电感大小正比于导磁材料的磁导率。这是由材料性质决定的。由于磁导率会因为磁 场强度、环境温度、时间的变化而变化(非线性)，电感值也会因此而改变。为了稳定电感 L 的大小，我们必须做点其它的工作，其中一种方法就是加入气隙。如下图：
=
Ni
( lc µ c Ac
+
lg ) ，它具有与电路理论中的 µ g Ag
i=
V R1 + R2
的类似的形式。
定义： Ni 为磁势(Magneto-motive Force)
φ 为磁路中的磁通大小
R=
lx µ x Ax
为磁路的磁阻，它反映的是磁路对磁通的阻碍程度。
以上原理对于多绕组线圈(多磁动势)以及并联支路同样适用。因此，它可以用来快速计算结
N2 Rc + Rg
有时表述为 AL 参数，这样 L = N 2 AL nH
2 不能使磁通密度超过材料的饱和磁通密度
Bmax =
φ Ac
=
Limax NAc
≤
Bsat
如果我们想要能量都集中在气隙之间
∫ ∫ ∫ Wm =
1 2
Li 2
=
1 2
v
B ⋅ Hdv =
Bmax 2 2µ 0
Ag lg
选择 Ag ,lg 要满足 lg < < Ac < < lc
(b) 求出磁通 Φ 的大小 (c) 求出磁链大小 ，对于线性电感有 =Li ，这样便可以求解电感值大小。
具体求解的公式：
∮ ∫ (a) 安培定律： H⋅d l= J⋅d A 可以求解出 H 的大小，对于工程上的某些磁路，
我们可以简化为本质上的二维平面磁路，加上前面的假设，此处可以简化为
H⋅l c =N i 。
∫1Vdtλ=N(lφ1+)c
∫2Vdt=λN(φ2l+)c
V1 V2
=

N12 Rc
+
N12 Rl1
N1 N 2
Rc
对应的电路模型为
N1 N 2
Rc
N22 Rc
+
N22 Rl 2


d dt d dt
i1 i2

5 损耗以及温升必须在可以接受的范围之内。这一点常常是最重要的考虑因素。
★ 磁路的损耗机制
损耗决定了器件的效率；损耗决定了磁性元件的大小尺寸。总的说来，损耗分为两
类：绕组损耗以及铁心损耗。它们都有不同的特性。 1 绕组损耗
在低频时候，包括直流情况，绕组损耗仅仅由于导线中的电阻引起，容易计算。
Rwire =
(b) 为了准确可靠，我们必须要使 µ c > > µ 0 ,lc > > Ac ,lg < < Ac 成立
(c) 所有的关系依赖于材料的性质，即 B= H ，一般 B 是 H 的非线性函数，如下图所
示
一般情况下，当磁通密度高于某一个饱和磁通密度 Bsat 后，磁通密度对磁场强度的偏导数
趋近于真空磁导率，即
Ll1 =
N12 Rl1
, Lµ
1
=
N12 Rc
, Ll 2
=
N22 Rl 2
，
L11 =
Ll1 +
Lµ 1, LM
=
(
N2 N1
)
Lµ
1
,
L22
=
Ll 2 +
(
N2 N1
)
2
Lµ
1
因此，真正的变压器具有励磁电感和漏电感，这些在实际应用中有十分重要的考虑。
其它可能的模型参数：为描述二端口变压器，我们需要电感 L11, LM , L22 ，电路模型实际上
φ=N1iR+c2，如果 µ c → ∞ ,则 Rc → 0 ，又因为磁通必须为一个有限值，所以 N1i1 = − N2i2 。称满足
以上的电压电流关系的变压器为理想变压器。 实际中的变压器不可能有去穷大的磁导率，因而必须考虑励磁效应，从而得到非理想变压 器的模型。
此时， Rc > 0 ，电流关系修改成为 N1i1 + N2i2 = φ Rc ≠ 0 ，即电流关系出现了一个误差。当副
因为只有一条磁路存在，同名端的选取也是显而易见的。我们同样可以允许并联结 构的多绕组线圈。
同理利用无限小磁路阻抗的假设，得到
φ 1 + 2φ + φ 3 = 0
λ1+ N
1 V
1+ N1
2λ + λ 3 = 0
NN
2
3
VV
2 + 3=0
N2 N3
N 1 1i = N 2 2i = N 3 3i
可以看出，这些关系与串联结构的绕组不同；此时同名端方法不再是一种充分的
MIT电力电子课程笔记 D.Perreault
1 磁路介绍
安培定律：
∮
H⋅d
l=∫
J⋅d
A
d d
t
∫
E⋅d
A≃∫
J⋅d
A
法拉第定律： ∮ E⋅d l =−dd t ∫ B⋅d A
∮ 高斯定律(磁通的连续性): E⋅d A=0 ， ⋅B=0
其中，H 为磁场强度，SI 单位为 安培/米，B 为磁通密度，SI 单位为特斯拉(1 特斯拉等于 10000 高斯)。
构较为复杂的磁路系统。
注意到电阻的计算形式为 R =
l
l
σ A ，磁阻的形式为 µ A ，所以从另一个方面说明了

就
是磁导率，即材料导磁的能力。
1．3 总结：磁路模型 将磁路模型与电路模型进行比较。
电路 电压 EMF 电流 电阻
磁路 磁势 MMF 磁通 磁阻
φ
如上图所示，
=
Ni Rc + Rg
=
Ni
考虑这个加入了气隙的铁心。
H clc + H glg = Ni
Bc Ac

Hc
=
= Bg Ag
Bc µc
,Hg
= =
φ Bg µg
⇒
φ lc µ c Ac
+
φ lg µ g Ag
=
Ni
所以，
φ
( lc µ c Ac
+
µ
lg g Ag
)
=
Ni ，
故
λ
=
Nφ
=
N 2i
( lc µ c Ac
=
L11 LM
LM L22


d dt d dt
i1 i2

其中， Ll1 =
N12 Rl1
, Lµ
1
=
N12 Rc
, Ll 2
=
N22 Rl 2 。
值得注意的是，电感矩阵描述法包含 3 个参数(不包括匝数比)，而电路模型包括 4 个参数。 引入物理的匝数比后，我们可以唯一的确定一组电感参数值。但是这并不重要，有无穷多个 电路模型可以满足电感矩阵描述的端口电气特性。
方开路时候， i2 = 0 ，φ c =
N1i1 Rc
→
V1 =
N12 Rc
di1 dt
=
Lµ 1
di1 dt
。其它线圈也可得到同样的结果。
结论：励磁电感 L 的存在反映了电感在工作时有能量存储在铁心的事实。
可以将励磁电感放在变压器的任何一边，只要按匝数比的平方折算正确即可。
磁化的铁心解释了为什么变压器不能工作在直流环境之中。因为直流感抗为零。
如果 Rc → 0 ，即不存在漏感成立的话，有
N1i1 + N2i2 + N3i3 = φ Rc = 0
还有
V1 = V2 = V3 =
dλ 1 dt dλ 2 dt dλ 3 dt
= = =
N1 N2 N3
dφ dt dφ dt dφ dt

⇒
V1 N1
=
V2 N2
=
V3 N3
(b)

B= φ=
µH bAc
⇒
φ
=
µ c Ac H =
µ c Ac Ni lc
(c)
磁链大小为： λ
=
Nφ
=
µ
c Ac N 2i lc
=
Li ⇒
L=
µ c Ac N 2 lc ，可以看出，电感值大小
依赖于器件的几何尺寸，材料的性质以及匝数大小。由法拉第定律。 ，
d d
t
=
L
d d
i t
，φ
c
=
N1i1 + N 2i2 Rc
，φ l2
=
N 2i2 Rl 2
λ1 =
N1(φ c + φ l1) =
N12 Rc
i1
+
N12 Rl1
i1
+
N1 N 2 Rc
i2
λ2 =
N2 (φ c + φ l2 ) =
N22 Rc
i2
+
N22 Rl 2
i2
+
N1 N 2 Rc
i1
λ1 λ 2
ρ cu
lwire Awire
Pdiss
=
i R 2 RMS wire
当为直流的时候为 iDC 2R 。
当频率上升时候，我们还要考虑更复杂的效应：集肤效应和趋紧效应
集肤效应：是导体的一种自屏蔽效应，由于高频交流电产生的交变电磁场在导体 内感应产生了旋涡电流，高频电磁场以及电流无法深入导体的内部。如图
描述方法；考虑非理想因素的话，将会有 3× 3 的矩阵描述。
★ 电感设计技巧
到目前为止，我们只涉及到分析电感。设计电感更加有挑战性，它更是一门艺术。
我们要明确设计中必须满足的种种限制条件，有很多方法可以使这些限制得到满
足。 1 给定一个几何形状已定的铁心，那么电感的大小与线圈绕组匝数的平方成正比。
L=
3 考虑过热情况，承载电流的导线必须足够的粗。为此引入电流密度的极限：
J max ≤ 500A / cm2 ，或者是 3000A / m2
4 导线最终要能够完全绕进铁心的内部空间，从截面看即能放入窗口部分
封装系数 Kw 可以告诉我们可以被铜线填满的区域的百分比是多少。一般为 0.5 左右，还要 取决于导线尺寸以及绕线的方法。不同的绕线方法产生不同的导线长度，同心双绕组的长度 要长于单绕组的长度，如下图
值得注意的是，在实际的磁路系统中，参数的选择要受到物理限制的。对于 1 端口网络，为
了保证能量守恒，必须要求电感为正数。同样的道理，在双端口网络中，
d i1 dt i2
=
L−
1

V1 V2

=
1 L11L22 −
L22 LM 2 − LM
− LM V1 L11 V2 ， 因 而 对 于 实 际 系 统 ， 有
∂B ∂H
→
µ 0 。我们应该使磁路工作在饱和磁通密度以下的范围。铁的
磁导率为104µ,0Bsat≈2T。
现在让我们考虑变压器，如下图
同名端惯例：流入同名端的电流具有相同的磁通方向。

V1
=


V2
=
dλ 1 dt dλ 2 dt
= =
N1
dφ dt
N2
dφ dt
⇒
V2 =
N2 N1
V1
电流关系
有四个参数： L11, LM , L22 , N2 / N1 。如果我们想要用非物理值作为参数(例如匝数比)的话，我
们可以构造出无穷多个端口特性一致但是参数不同的模型出来。
总结：变压器。
给定一个双线圈的磁路结构，如下图
注意到：磁势的方向是由线圈的绕线方向决定的。 绕线端的电器特性是由磁链决定的，参考楞次定律。
B= H ，其中， 为磁导率，是一个由材料性质决定的物理量(单位 H/m)，真空的
磁导率µ0=4π1×07−H/m。
一般说来，磁通密度与磁场强度的关系都为非线性函数关系。
1.1 让我们考虑设计一个电感，如图。假设外圆半径远远大于环宽，导磁体的磁导率远远大
于真空磁导率，即rc>∆,µ0。
求解此电感的电感值的思路如下： (a) 求出磁场强度 H 大小
+
µ
lg ) ， g Ag
因而，
电感
大小
为
L=
λ i
=
N2
( lc µ c Ac
+
lg ) 。因为 µ g µ g Ag
=
µ 0 ， Ac =
Ag ⇒
lg 如果 µ 0
>>
lc µ c ，电感的大小基本与
µ c 无关。这种情况下，能量基本存储在气隙之中。
φ
1.2 重 新 回 顾 磁 通 的 计 算 ： 磁 阻 模 型