洁具流水时间设计

我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。

某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，

为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。

方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，

然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使

用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。

方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，

然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T

时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开

始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望

对每位使用者放水次数不超过2次。

该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：

时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18

人次 1 5 12 60 13 6 3

（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？

并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限

度节约水、电的目的；

（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立

数学模型与前面的方案进行比较。

【摘要】从节能的角度，对目前两种主要的全自动洁具方案进行分析比较，根据往年

数学建模的相关数据，建立了两个模型，采用matlab求出了各方案出流时间设计参数T的

最优值，并以此，对全自动洁具的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的

流水方案。

1、问题提出

现在我们所用的无接触感应洁具，用后离开自动冲水，此设计的应用避免了扳手

接触引起细菌的传播交叉感染。以此来预防接触性传播疾病。红外感应洁具的出

流特性如何?是否符合节水要求? 目前各大生产厂家主要采用以下两个流水方案。方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具已均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动放水，若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，

在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。

方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水，若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿

命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。随机调查了100人

次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：

时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18

人次 1 5 12 60 13 6 3

2、问题分析

以最大限度节约水电为目的比较两种方案的优劣，并提供设计参数T的最优值。并从既保持清洁又能节约能源的角度出发，设计了一套更好的方案。

3、模型假设及符号说明

(1) 符号说明:

T：洁具中设计的放水时间参数（单位秒）;

t：使用者使用的时间;

f：每个人使用后冲水的时间；

v：放水过程单位时间内流出的水量；

R：所有使用者使用的冲水时间的累加；

r：每位使用者平均使用的冲水时间；

c：每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数；

(2) 模型假设:

1、厂家随机100人次得出的男性使用洁具时间可以反映出现现实情况。

2、一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系统的耗电可以忽略，只考虑继电器的耗电，因此耗电量与冲水次数和流水时间有关。

3、洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关。

4、用水量与用水时间成正比。

5、使用者每次使用时间属于正态分布。

6、前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立。

4、模型建立与求解

4.1模型一

设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。则方案一时间的计算如下：

当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。否则放水时间为T+10秒。数学表达式如下：

T,t<=T-5

f=

T-10,T-5

其中f代表冲水时间。则用水量为f×ν

方案二时间的计算如下：

当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。否则，到2T时刻再开始第二次放水，总的放水时间为2T。依次类推，使用时间超过n×T-5时，到第2n×T的时刻再开始第n+1次放水，时间为(n+1)×T。

数学表达式如下：

T,t

f= 2T,T-5

(n+1)T,nT-5

得到如下规划：

min z =f*v

首先用matlab软件中的HIST函数对所给的数据进行绘图，从图可以看出使用者每次使用时间属于正态分布。然后用NORMPLOT画出其概率图。以下使用者使用时间的直方图及正态分布概率图，见图1。

图1

由NORMPFIT函数算出其均值为15.0900, 方差为1.0259。用TTEST 函数经检验其均值结果如下：H=0，P=1，Ci=14.8864 15.2936。H=0，P=1代表不拒绝零假设。Ci=14.8864-15.2936，说明期望在14.8864-15.2936之间概率为95%，15.09完全在其中。我们用NORMRND函数产生服从正态分布的随机数，可以对1000人进行统计他们总的使用时间和冲水次数。由于不知道上一个使用者和下一个使用者上厕所的时间间隔，我们对三种情况进行了不同的讨论。

下面是在不同T的情况下的所有人用的时间，而且可以得出在不同T的情况下所有人使用洁具的次数。我们比较两种方案，得出方案一更好些。

由图2与图3可知：

在T=22秒以前，方案一冲水时间要明显小于方案二的冲水时间。在T=22秒以后，方案一冲水时间与方案二的冲水时间一样的。在T=11秒以前，方案一冲水次数要明显小于方案二的冲水次数。在T=11秒以后，方案一冲水次数和方案二的冲水次数无区别。

图2

图3

综上所述，从节约能源的角度和洁具寿命的角度上来看，方案一比方案二好。如果只从节约能源的角度来考虑的话，T=6秒，是最佳的选择。如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22秒，最佳的选择。

4.2 模型二

设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。为了节约用水，一般洁具具有重新计时功能。考虑到时间间隔，我们对方案一和方案二的时间计算公式进行修正。设G为时间间隔，则方案一时间计算公式如下：

t+G, t

T, tT