湖北省洪湖市贺龙高级中学人教必修4学案弧度制

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高中数学 112(弧度制)教案人教版必修4 教案

1.1.2弧度制一、教学目标：1．知识目标：（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

2．能力目标：（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。

3．情感目标：（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、教学方法：通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。

从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。

通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。

四、教学过程：=定定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1的角，弧度记作rad。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

角，又是角，同一个非零角180π= rad换算公式：rad=180⎛⎝180nπ⋅．特殊角的角度数与弧度数的对应表角的集合与实数集立起一种一一对应关系。

．把角度值n的一个“算法”：）给变量n近似值赋值；如果角度值秒”形式给出，为以“度”为单位的计算180π︒赋给变量a；计算na，赋值给变量，半径AB的长米）。

利用弧度制推导扇形2,1lr其是扇形的弧长，是扇形的半径。

高中数学必修四弧度制学案

必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）制作人：班级姓名11.1.2学习目标：重点：弧度制的定义、弧度与角度的互化难点：弧度与角度的互化预习案阅读理解：1.弧度制的定义。

2.角度与弧度的换算公式。

3.一些特殊角的角度数与弧度数的对应表。

4.扇形的弧长和面积公式预习自测：1.把'3067ο化成弧度2.把下列各角的弧度数化成度数,并指出是第几象限角. (1)512π- (2)154π2生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行————高一十三班张欣宇3.用弧度制表示:4.（1）已知扇形的半径为R,圆心角为α弧度,求证这个扇形面积.22αR S =(2)在半径为5cm 的扇形中,圆心角为2rad,求这个扇形的面积.探究案1.把'3022ο化成弧度表示( )A.4π B.8π C.16π D.32π 2.若α=-3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.下午2点时，时针和分针的夹角为( )A.6π B.4π C.3π D.2π4.把下列各角转化为 + 2k π，－22παπ≤≤, 并指出它们是哪个象限的角：（1）623π （2）－718π5.半径为2的圆的圆心角所对的弧长为6，则其圆心角为 rad.6.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 .7.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，求其圆心角的弧度数.8.已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少?α。

高中数学必修4弧度值教案

高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。

2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。

三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。

2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。

四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。

五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。

板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。

同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。

人教版高中必修四《弧度制》教学设计

人教版高中必修四《弧度制》教学设计《人教版高中必修四《弧度制》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材地位：本节课是人教新课标A版必修四第一章第一节第二课时的内容。

在教材的结构上，本节课为后面内容学习做好了铺垫，之前的学习已经让学生了解了任意角和角度制，然而在后面研究三角函数的时候大多都用弧度制，因此本节内容起着承上启下的重要作用。

只有学生学好这一节才能更好的学习后面的三角函数，解三角形等知识。

在教学内容上弧度制是一个全新的研究角的单位，利用类比的思想方法让学生理解数学研究的互通性。

教学目标：1.知识与技能目标(1)理解1弧度角、弧度制的定义(2)掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的互化。

2.过程与方法目标通过创设情境感知，设置问题启发、培养学生观察分析、类比发现、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观使学生领悟角度制、弧度制都是度量角的单位制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的。

进一步加强学生对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美，从而激发学生的学习兴趣。

重点：(1)弧度制的概念，1弧度角的概念。

(2)弧长，半径，圆心角的联系(3)角度制与弧度制互化难点：弧度制定义的理解和探索弧长，半径，圆心角的联系策略(1)通过学生亲自进行数学实验，发现弧长与半径的比值为同一常数.(2)通过例题分析、进行小组挑战赛游戏、当堂练习，让学生真正掌握两种单位制的互化。

学情分析：1.学生已经学过角度制的有关知识2.学生基础一般3.尊重个体差异，循序渐进，因材施教学法指导：1.观察—归纳—检验—应用2.小组讨论3.学生发言4.当堂训练教学方法：引导发现法：举出实例，由多个标量的不同度量方法来引导学生思考，可能角也有其他的度量方法。

探索发现法：介绍弧度制后，学生分组讨论，共同思考,探讨出弧度制与角度制的互化。

教学过程：创设情景，引入新课说法一说法二身高()m 身高（）尺体重（）kg 体重（）斤鞋子（）cm 鞋子（)码我校占地（）平方米我校占地（）亩(启发式类比探究)通过这四组简单的问题，学生可以很容易的发现实际生活中对于同一个量，我们可以用不同的方法来度量它，请同学再举出一些我们身边的实例。

人教A版高中数学必修四教案弧度制

1.1.2弧度制（一）教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系．教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.r l4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180()nn p =?．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．7．弧长公式l l r ra a=??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,193p \是第三象限角. (2)315316,666p p pp -=-+\-是第二象限角.ORl.,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=．证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴Rl R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P6 –P8；②教材P9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．。

高中数学必修四1.1.2弧度制学案新人教A版必修4

度制．
2．弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的
联系与区别 .
1． 1 弧度的角：把长度等于
的弧所对的圆心角叫做
读作
．
2．弧度制：用
作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3．角的弧度数的规定：
最大面积是多少？
解设扇形的圆心角为 θ，半径为 r ，弧长为 l ，面积为 S，
1 ∴ S＝ 2lr
＝
1 2×
(40
－
2r
)
r
＝
20r
－
r
2＝－
(
r
－
10)
2＋ 100.
∴当半径 r ＝ 10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm 2，
l 40－2×10 此时 θ ＝r ＝ 10 rad ＝2 rad.
l 径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 | α | ＝ r . 这里， α
的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整
.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝ rad
2π rad ＝
180°＝ rad
180
12
180 π °即可化为角度．
225
225 π 5π
所以， (1)112 °30′＝ 112.5 °＝ 2 °＝ 2 × 180＝ 8 .
7π 7π 180 (2) － 12 ＝－ 12 × π °＝－ 105°．
小结将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记

高中数学弧度制教案新人教A版必修4

1、1、2弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第6页内容，回答问题（弧度制）度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？<1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.<2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r的圆的圆心与圆点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B.请在下列表格中结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.<4>如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?结论：角α的弧度数的绝对值是：r l /=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定注意：①在应用公式r l /=α求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学中计算角速度经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；②这个公式可变形为)0(||/||≠==αααl r r l 、，在应用这两个公式时，如果已知的角以“度”为单位，应先把它们化成弧度数后再计算.可以看出，这些公式各有各的用处.2、阅读教材第7页内容，回答问题（弧度制与角度制的转换）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是零）；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同.<5>角度制和弧度制应该怎样转换？结论：因为圆周的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以：3600=2πrad ，1800=πrad ，10=（π/180）rad≈0.01745rad.反过来有1rad=（180/π）0≈57.300=57018‘. 一般地，我们可以根据如图所示的公式进行角度与弧度的换算.<6>请你设计一个算法，把角度换算为弧度.<7>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600 结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.3、阅读教材例3，回答问题.（扇形弧长、面积公式）<8>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)20.5S R α=; (3)0.5S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.三、【综合练习与思考探索】练习一：（教材例1、2、4）例1、按照下列要求,把'6730︒化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值. 例2、将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小. 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法. 练习二：教材第9页练习1、2、3、4、5. 注意：弧度制和角度制不能混用.四、【作业】1、必做题：习题1.1A 组6、7、8、9、10；2、选做题：习题1.1B 组1、2、3.五、【小结】理解弧度制，能熟练的进行弧度制与角度值的转换.六、【教学反思】本节知识比较碎，但是要抓住一个重点，就是角度与弧度的转换.要让学生能熟练的运用公式进行转换.七、【课后小练】1、已知扇形面积为S ，扇形的周长是否有最小值？若有，求此最小值及取最小值时扇形的中心角是多少，否则说明理由.（有，中心角为2，周长最小值为2、在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5s 后，点P 转过的弧长.（100cm ）3、在扇形AOB 中，扇形所对的中心角为直角，弧AB 的长为l ，求此扇形的内切圆面积.4、角1和角2的终边关于y=x 对称，若角1为π/6，则在0—4π间，满足要求的角2等于（π/3，7π/3）5、已知扇形的内切圆半径与扇形的半径之比为1：3，则内切圆的面积与扇形的面积之比为多少?(2:3)6、圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，则这段弧所对的圆心角是多少弧度？7、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）8、一圆内切于中心角为π/3，半径为R的扇形，则该圆的周长与该扇形的周长之比为多少？9、2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.10、已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形面积最大？最大面积是多少？11、若角1的终边与8π/5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角1的四分之一的终边相同的角是多少？（全部列举出来.）12、已知圆中的一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为多少？13、已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.14、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.15、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？。

高中数学：弧度制学案新课标人教A版必修4

1.1.2 弧度制一、教学目标①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.二、教学重点、难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.三、学习方法：自学完成学案四、学习过程（1）复习引入.1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系. 提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？③角的范围是什么？如何分类的？二）概念形成(1)初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：①角的弧度制是如何引入的？②为什么要引入弧度制？好处是什么？③弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联系?2．学生动手画图来探究：①平角、周角的弧度数②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系三、应用举例例1：（1）把'3067 化成弧度（精确到0.001）（2）把'3067 化成弧度（用π表示）例2：把radπ53化成度例3：填写下表：度0°30°45°60°90°120°135°150°弧度度180°210°225°240°270°300°315°360°弧度例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴3⑵165例5：已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．归纳小结：我的收获：我的疑问:我还想知道:1．布置作业:练习2.3.2．习题A的4、7正角零角负角正实数零负实数1 / 1。

高中数学弧度制学案新人教A版必修4

数学必修4学案第一章 1.1.2 弧度制
一、学习目标：
1、知识与技能：从明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义.
2、过程与方法：学生经历熟练掌握角度制与弧度制的换算.
3、情感态度与价值观：学生经历数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.
二、重点与难点：
重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。

难点：用弧度制定义的理解。

三、课前学习：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的学习，进一步分析：
1、复习角度制的定义：
2、正确理解弧度制定义的含义。

3、掌握角度制与弧度制的互换方法。

4、分析例题1，总结方法
5、总结弧度制的作用：
8、第9页，练习1-6,
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P10习题A组4-10。

人教版高中数学必修4学案弧度制

1.1.2 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的1360做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． (2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一角度制与弧度制的换算例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．解 (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的公式有两个：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数．跟踪演练3 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2 D ．80 cm 2答案 B解析 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2).1．时针经过一小时，时针转过了( )A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为．答案 12＋π360，12－π360解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是．答案－34π解析－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π.∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．度数与弧度数的换算借助“计算器《中学数学用表》”进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、基础达标1．－300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是．答案 (－32π，－π)∪(12π，2]解析 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－32π＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的．答案 34解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、能力提升8．若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ .答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152cm 时，面积最大，最大为2254 cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ. 解因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3 (cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

人教新课标版数学高一必修4导学案弧度制

1．1.2弧度制导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？思考2长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？1．角度制和弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化2.知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？【合作探究】类型一角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.类型二利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad2．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 5．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。

湖北省洪湖市贺龙高级中学人教必修4学案必修4复习课

高一数学必修4 编号:SX--01--32编写:付阿丽审核:高一数学组时间:2013/01/20 班级：组别：组名：姓名：【学习目标】1．熟记三角函数的概念、图像与性质；2．能灵活运用两角和差公式及二倍角公式进行化简、求值与证明；3. 能解决三角函数与平面向量综合应用的部分题型.【重点难点】1．重点：三角函数图像与性质；2. 难点：三角函数与平面向量综合应用.【学法指导】1.学会用整体的思想去分析、处理问题；2.在熟记公式的前提下，结合具体习题来梳理知识点及解题技巧.【学习过程】第一部分：知识梳理（阅读课本及参考资料完成）（A级）1.三角函数图像与性质函数y=sinx y=cosx y=tanx图像定义域值域周期性奇偶性单调性最值对称中心对称轴（B 级）2.如何由x y cos =得到)32cos(π+=x y 的图像？方法一：（先平移后伸缩）方法二：（先伸缩后平移）（A 级）3.（1）平面向量共线定理：（2）平面向量数量积：（3）若⇔==b a y x b y x a //),,(),,(2211 ；当b a ⊥时，b a ⋅= = .（A 级）4.（1）两角和与差公式：；（2）二倍角公式：；第二部分：能力提升（更上一层楼）B3.对于函数)32sin(2)(π+=x x f ，给出下列结论：① 图像关于原点中心对称； ② 图像关于直线12π=x 轴对称；③ 图像可由函数x y 2sin 2=的图像向左平移3π个单位得到； ④ 当63ππ≤≤-x 时，函数值域为[]2,2-；⑤ 函数的增区间为)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ；小结：（请从解题方法与技巧上进行小结）知识点二：平面向量A4.已知向量)4,(),2,3(x b a ==，且//，则x 的值为 .B5.已知)5,4(),1,4(),1,1(===OC OB OA ,则AB 与夹角的余弦值为 .小结：（请从所考查的知识点进行小结）知识点三：三角函数与平面向量的综合应用B6.已知,0),cos ,(cos ),cos ,sin 3(>=-=w wx wx wx wx 设函数x f ⋅=)(，且)(x f 的最小正周期为π，（1）求w 的值；（2）求)(x f 的单调区间.C7.已知向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=-==2,2),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cosππx c x x b x x a 其中（1）求证：()()-⊥+；（2）设函数)(),33)(x f x f 求-+-=的最大值与最小值.小结：（请从解题方法与技巧上进行小结）【课堂小结】 1. 知识小结：2. 方法与思想小结：【当堂检测】B8.求函数)32sin(π+-=x y 的？【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是。

湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学 1.1.2《弧度制》导

高中数学人教版必修4：：1.1.2《弧度制》导学案【学习目标】1﹑能说出弧度、弧度制的定义.2﹑学会弧度与角度的互化.3﹑知道弧度公式与扇形面积公式之间的区别和联系.【重点难点】▲重点：弧度的意义，角度与弧度的计算.▲难点：弧度的概念及其与角度的关系.【知识链接】1﹑我们已经学习了任意角的概念，所谓的角实质上是，按照旋转方向不同，角可以分为 .2﹑初中我们已经学过角度制，在角度制中，︒1角的规定为 . 【学习过程】阅读课本2页到3页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:弧度制的概念问题1﹑怎样把角度表示的角转化为实数？把角度的有关运算转化为我们较为常用的实数运算呢？问题2﹑弧度的定义是什么？弧度制如何表示？2可以写为2吗？︒2可以写为2吗？问题3﹑rad问题4﹑弧度的大小与所作圆的半径大小有关系吗？问题7﹑α的正负如何决定？知识点2:弧度与角度的换算关系问题1﹑在半径为r的圆中，当圆心角为周角时，怎样用两种不同制进行换算呢？问题2﹑角度与弧度应如何进行转化？30终边相同的角该如何表示？分别用角度制与弧度值表示.问题4﹑与︒阅读课本第8页例3的内容，尝试回答以下问题：知识点3:弧长公式与扇形面积问题1﹑若已知扇形半径、圆心角，能否求出该圆心角所对弧长和扇形面积？问题2﹑根据弧度的定义能否求出弧长和扇形面积？问题3﹑扇形面积与弧长有什么关系？问题4﹑已知扇形OAB 的圆心角为︒120，半径为6，求扇形弧长及面积.【基础达标】A1﹑将下列角度转化为弧度.①︒36 ②︒-150 ③︒1095 ④︒1440A2﹑将下列弧度转化为角度.①6π- ②π310- ③32πB3﹑已知弧长为cm 50的弧所对的圆心角为︒300，求这条弧所在的圆的半径.C4﹑①已知α为锐角，那么α2是（）.A 第一象限角B 第二象限角C 小于︒180的正角D 第一或第二象限角②已知α是第一象限的角，那么2α是（）. A 第一象限角 B 第二象限角 C 第一或第二象限角 D 第一或第三象限角【小结】【当堂检测】A1.将rad π125-化为角度.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

湖北省洪湖市贺龙高级中学人教必修4学案1.1.1任意角

姓名: 班级：_________ 组别: 组名:【学习目标】1﹑理解任意角的概念.2﹑会写终边相同的角组成的集合.3﹑会用数形结合的思想解题.【重点难点】▲重点：正角﹑负角﹑零角的定义，终边相同的角的表示.▲难点：终边相同的角的表示.【知识链接】甲：第40届体操锦标赛上，“程菲跳”----踺子后手翻转体︒180，接前直空翻︒540.乙：有︒540的角吗？甲：当然有了，有比︒540更大的角，并且还有负角呢！乙：太神奇了，那高中所学的三角函数与初中所学的三角函数区别很大吧？甲：高中所学的三角函数是在初中所学的基础上，把角的概念推广到任意角而得到的.乙：我知道2130sin =︒，那么︒90sin 等于多少呢？甲：这就要用到诱导公式了，学完本章就都明白了，让我们开始学习吧！【学习过程】阅读课本2页到3页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:任意角的概念问题1﹑在日常生活中，我们遇到很多关于角的问题，你能举出几个与角有关的例子吗？问题2﹑任意角是怎样定义的？你认为定义中有哪几个关键词？问题3﹑分别写出正角﹑负角﹑零角的定义，并找出其中的关键词.知识点2:直角坐标系中角的分类问题1﹑对于给定的一个角，在直角坐标系中使角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，则终边的位置有哪几种情况？问题2﹑什么是象限角？什么是轴线角？问题3﹑尝试回答︒︒︒︒--270,120,60,30，︒150分别是第几象限角？你采用的是什么方法？知识点3:终边相同的角问题1﹑在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，则其终边也就确定了，反之，以该终边为终边的角是否唯一确定?问题2﹑︒︒︒-332,388,28终边相同吗？观察他们之间有何特征？问题3﹑所有和α终边相同的角该如何表示？表达式中需注意什么？问题4﹑和α终边相同的角唯一吗？你能写出其它的表示吗？问题5﹑你能写出与︒-756角终边相同的所有角的集合吗？问题6、问题5中的所有角中在︒-720和︒360之间的角分别是多少？你是如何得到的？【基础达标】A1.在︒0到︒360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断他们是第几象限角？①︒-120 ②︒640B2.第一象限角的集合为:第二象限角的集合为:第三象限角的集合为:第四象限角的集合为:终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为：终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为：终边落在x 轴上的角的集合为：终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为：终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为：终边落在y 轴上的角的集合为：【小结】【当堂检测】A1.判断下列各角分别属于哪个象限的角？①︒-265 ②︒-1000 ③'10843︒- ④︒3900【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

人教版高中数学高二人教A版必修4同步学案弧度制

第1章1.1第2课时1.1.2弧度制课前准备温故知新：过去我们学习过用角度制来度量角，这种度量角的方法很好理解，但给出的弧长公式较繁杂，不是很简洁。

既然长度和重量等都有多种度量制，那么角度是不是会有更简洁的度量方法呢？研究发现，圆的弧长与半经的比值的大小只与所对圆心角的大小直接相关，而与圆的半经和弧长不直接相关。

这就为我们设计度量角的新方法提供了方便。

学习目标：了解弧度制.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.同时要求同学们熟记特殊角的弧度数掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养同学们运用弧度制解决具体问题的意识和能力．课前思索：如何解决角度制下公式的烦琐问题？弧度制的引入对解决与角相关问题的优越性在那里？角度制下的角与弧度制下的角如何互化？课堂学习一、学习引领1．角度制：过去同学们研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？实际上是规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180rn l π=．这种度量角的方法便于理解，但在使用时还是有不方便的地方，这就导致能不能用更为简洁的形式度量角的思考。

2．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为零。

弧度制的建立将角度与实数建立起一一对应关系。

3．为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小有关呢？如图，设α∠为()0>n n的角，圆弧和的长分别为和1l ，点M 和1M 到点O 的距离（即圆半径）分别为r ()0>r 和1r ()01>r ，由己学过的弧长公式可得：r n l 180π=，11180r n l π=，于是18011πn r l r l ==．上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α∠的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．4．扇形的弧长与面积公式：弧长公式为l r α=)0(>α，面积为21122S lr r α==，其中r 为扇形所对应圆的半径；(02)ααπ<<为扇形的中心角。