四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题 巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和【一】求1~20这20个连续自然数的所有数字之和。
练习1、求1~50这50个连续自然数的所有数字之和。
2、求3~19连续自然数的全部数字之和。
【二】一把钥匙只能开一把锁。
现在有4把钥匙和4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？练习1、现在有8对钥匙和锁混在一起,不知道哪把钥匙配哪把锁,最多要试多少次就可以把它们全部配成对？2、有9颗钢珠,其中8颗一样重,另有一颗比这8颗略轻,用一架天平最多称多少次,就可以找到那颗较轻的钢珠？【三】思雨读一本长篇小说,他第一天读20页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多2页,第11天读了40页,正好读完,这本书共有多少页？练习1、王师傅做一批零件,第一天做了40个,以后每天都比前一天多做3个,第15天做了82个,正好做完,这批零件共有多少个？2、张琳读一本故事书,她第一天读了15页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了40页恰好读完,这本书共有多少页？【四】45把锁的钥匙都搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试45次,就能使每把锁都配上自己的钥匙,问一共有几把锁的钥匙搞乱了？【五】某班有30个同学,每两个同学互通一次电话,那么他们一共通了多少次电话？练习1、竹苑小学进行象棋比赛,每个参赛选手都要和其他所有的选手各赛一场,如果有15人参加比赛,问一共要进行多少场比赛？2、一次生日party中,参加的有20位同学和3位老师,每两人之间握一次手。
那么一共握了几次手？【六】求1~99中连续自然数的所有数字之和。
练习1、求1~199的199个连续自然数的所有数字之和。
2、求1~999的999个连续自然数的所有数字之和。
3、求1~210连续自然数的全部数字之和。
4、求1~299连续自然数的全部数字之和。
小学四年级奥数讲解：巧妙求和
小学四年级奥数讲解：巧妙求和一、知识要点某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
四年级奥数巧妙求和一学习教案
➢ （2）6+7+8+…+74+75
➢ （3）100+99+98+…+61+60
第8页/共14页
第九页，共14页。
例4：求等差数列(děnɡ chā shù liè)2，4，6，…， 48，50的和。
➢ 解析：这个(zhè ge)数列是等差数列，我们可以用公式计算。
➢ 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
➢ 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 ➢ 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和： ➢ 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 ➢ 这个公式也叫做等差数列求和公式。
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第八页，共14页。
对应(duìyìng)练习
➢ （1）1+2+3+…+49+50
➢ （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） ➢ =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） ➢ =1+1+1+…+1 ➢ =50
四年级巧妙求和奥数题
四年级巧妙求和奥数题摘要：一、引言二、四年级巧妙求和奥数题的类型与解题思路1.数字求和2.图形求和3.逻辑求和三、解题技巧与方法1.利用数学公式2.寻找规律3.转化思维四、实例解析1.数字求和实例2.图形求和实例3.逻辑求和实例五、结尾正文：一、引言随着数学教育的不断推进，奥数题已经成为许多小学生课外学习的热门话题。
其中，四年级巧妙求和奥数题备受孩子们喜爱。
这类题目既能锻炼孩子们的思维能力，又能培养他们的创新精神。
那么，如何解决这类题目呢？接下来，我们就来探讨一下。
二、四年级巧妙求和奥数题的类型与解题思路1.数字求和数字求和题主要涉及到加法运算，孩子们需要运用加法公式和运算规律来解决。
例如，给出一些数字，让孩子们找到一个合适的规律，使得这些数字相加等于一个特定的和。
2.图形求和图形求和题要求孩子们通过观察图形，找到图形的面积或周长与数字之间的联系。
这类题目需要孩子们具备一定的观察能力和几何知识。
3.逻辑求和逻辑求和题主要以故事或问题的形式出现，让孩子们在理解题意的基础上，通过逻辑推理找到答案。
这类题目对孩子的思维逻辑能力有较高要求。
三、解题技巧与方法1.利用数学公式在解决四年级巧妙求和奥数题时，可以尝试运用数学公式，简化运算过程。
例如，利用平方差公式、完全平方公式等，将复杂数字求和问题转化为简单的计算。
2.寻找规律观察题目中的数字、图形或故事，找到潜在的规律。
例如，数字求和题中，数字之间可能存在等差、等比等关系；图形求和题中，图形的边长、角度等可能存在一定的规律。
3.转化思维当遇到困难时，可以尝试转换思维角度，从另一个角度审视问题。
例如，将问题从一个维度转化为另一个维度，或者从整体到局部，再从局部到整体进行分析。
四、实例解析1.数字求和实例题目：1，2，3，4，5，…，99的和是多少？解：利用等差数列求和公式，求和=（首项+末项）×项数÷2，可得答案。
2.图形求和实例题目：一个正方形的面积是16平方厘米，周长是16厘米，求正方形的边长。
四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
小学四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
四年级奥数第13讲巧妙求和
第13讲巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、练习
练习1：
1.等差数列中，首项1.末项39，公差
2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
练习2：
1.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
2.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270。
小学四年级奥数-高斯计算
7
数列
• 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 • 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一 项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项 之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如： • （1）1，2，3，4，5，…，100； • （2）1，3，5，7，9，…，99； • （3）8，15，22，29，36，…，71。 • 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列； • （3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 • 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： • 和=（首项+末项）×项数÷2。
这种方法叫做倒序法，可以知道这两串数字是相等的， 所以，我们求出这两串数的和，一定要“除以2”！
（1+10）×10÷2=11×10÷2=55
3
• 方法二： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
这种方法叫做倒序法，可以知道这两串数字是相等的， 所以，我们求出这两串数的和，一定要“除以2”！
（1+10）×10÷2=11×10÷2=55
首 项 末 项 项 数
得出：（首项+末项）×项数÷2=和 等差数列求和公式： （首项+末项）×项数÷2=和
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小故事
• 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100 的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把 写着答案的小石板交了上去。
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一奥数（即奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生逻辑思维能力和解决问题技巧的数学竞赛活动。
对于四年级学生而言，学习奥数可以培养他们的数学思维和动手能力，提高他们对数学的兴趣和学习效果。
在本文中，我们将从第六讲的巧妙求和一这一话题来探讨如何举一反三。
巧妙求和一：等差数列求和在第六讲中，我们遇到了一个有关等差数列的求和问题。
等差数列是由一个初始项和一个公差确定的一系列数，其中每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
通过找到这个差值，我们可以利用求和公式来快速求解等差数列的和。
以数列1，4，7，10，13为例，我们可以观察到每个数与前一个数的差值都是3。
因此，我们可以使用求和公式S = (a1 + an) * n / 2来求得该数列的和，其中a1为初始项，an为最后一项，n为项数。
在这个例子中，我们有a1 = 1，an = 13，n = 5，代入公式计算得到S = (1 + 13) * 5 / 2 = 35。
举一反三：寻找等差数列通过上述例子，我们学会了如何利用求和公式求解等差数列的和。
那么，如果我们只知道数列的和S、项数n，我们能否反过来寻找等差数列呢？答案是肯定的。
假设我们知道一个等差数列的和S为35，项数n为5，我们可以先假设初始项a1为未知数x，公差d也为未知数y。
根据求和公式，我们可以得到一个方程式：S = (a1 + an) * n / 2。
将具体数值代入方程，我们得到35 = (x + (x + (n-1)y)) * n / 2，化简得 35 = (2x + (n-1)y) * n / 2，继续化简可得 70 = 2x + (n-1)y * n，即 2x + 4y = 70。
从这个方程中，我们可以发现x和y的取值不是唯一的，但它们需要满足方程。
我们可以通过试探不同的x和y值，来寻找满足这个方程的合理解。
通过上述例子，我们可以看到在已知一些条件的情况下，通过方程求解的方法可以帮助我们寻找等差数列。
小学四年级奥数巧妙求和试题练习
小学四年级奥数巧妙求和试题练习练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项?3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项?【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?【思路*】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×(100-1)=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路*】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：计算下面各题。
(1)1+2+3+…+49+50(2)6+7+8+…+74+75(3)100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路*】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=(2+50)×25÷2=650.练习4：计算下面各题。
小学四年级奥数思维问题之巧妙求和(一)
巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题③情感态度与价值观目标:让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2巧妙求和(一)[例题精选及训练]【例1】等差数列4，10，16，22，…,52共有多少项？练习：1.等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4。
这个等差数列共有多少项？2.等差数列2，5，8，11，…,101共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是5，末项是117，总和是976，这个数列共有多少项？【例2】已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习：1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？【例3】有这样的一个数列1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。
练习：计算下面各题。
（1）1+2+3+4+…+49+50（2）6+7+8+9+…+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6,…，48，50的和练习：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）99+96+93+…+21+18【例5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习：1.如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？[课堂练习]1.有一个等差数列：9、12、15、18、...、2004，这个数列共有多少项？2.已知等差数列：1000、993、986、979、...、20，这个数列共有多少项？3.求等差数列：1、6、11、16、...的第61项。
四年奥数第三讲 巧妙求和 2
四年奥数第讲巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 等差数列总和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22， (52)这个数列共有多少项？练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11， (101)这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26， (1001)这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习三计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习四计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+...+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习五用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)。
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和(教案)
2. 连续整数求和：学生掌握了乘法口诀，能运用口诀快速计算连续整数的求和。
3. 对称数求和：学生在学习多位数加减法时，已接触过对称数的概念，本节课将引导学生运用对称性简化求和过程。
核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
针对这些反思，我计划采取以下改进措施：
1. 在小组讨论环节，我会更加关注那些不太发言的学生，鼓励他们勇敢地表达自己的观点，并适时给予肯定和表扬。
2. 尝试引入更多样的教学方法，如角色扮演、数学建模等，让学生在丰富的教学活动中提高学习兴趣和参与度。
3. 加强学生的预习指导，通过设计具有思考性的预习问题，激发学生的求知欲，为课堂学习打下坚实基础。
2. 建议学生利用课余时间玩一些数学游戏，锻炼逻辑思维和计算能力，同时培养良好的学习习惯。
3. 鼓励学生阅读数学家传记，了解数学家的奋斗历程和成就，激发学生树立远大理想，为数学学习树立榜样。
4. 定期组织学生参加数学实践活动，如数学竞赛、讲座等，提高学生的数学素养，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
b. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同探讨解决问题的方法。
c. 案例研究：通过具体的求和案例，让学生分析问题、总结规律，培养学生解决问题的能力。
d. 项目导向学习：将学生分成小组，每组负责研究一种求和方法，最后进行汇报和分享，以提高学生的团队协作和自主学习能力。
2. 教学活动：
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和（教案）
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教版四年级下册奥数专讲中的“巧妙求和”。教学内容主要包括：数列的求和、连续整数的求和以及对称数的求和。这些内容与学生在三年级学过的整数加减法、乘法口诀以及本学期学习的多位数加减法有密切联系。
小学四年级奥数题巧妙求和
小学四年级奥数题：巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
小学四年级奥数课件：举一反三巧妙求和
【例题4】 求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数
字Hale Waihona Puke 和。弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而 不是求这99个数之和。
为了方便，我们把0算进来（它不影响我们计算数字之和）
计算0～99这100个数的数字之和。 这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都 相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对， 所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和 是18×50=900。
1900+65=1965。
练习5： 1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1 =（29＋1）×29÷2 =435（次）。
练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上 自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次， 就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁 的钥匙搞乱了？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛 球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不 相等？
从第二天起，他每天读的页数都前一天多3 页，第11天读了60页，正好读完。这本书 共有多少页？
根据条件“每天读的页数都比前一天多3页”可知每天 读的页数是30、33、36、……57、60。 要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。 这是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11. 因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页）
【例题3】 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每
个人握一次手。那么共握了多少次手？
假设51个同学排成一排， 第一个人依次和其他人握手，一共握了50次， 第二个依次和剩下的人握手，共握了49次， 第三个人握了48次。 依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手， 这样，他们握手的次数和为： 50＋49＋48＋…＋2＋1 =（50＋1）×50÷2 =1275（次）.
四年级奥数第8讲 巧妙求和(一)
第 2 讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第 n 项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练【例题 1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习 1：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？【例题 2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第 100 项是多少？练习 2：1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2、求 1，4，7，10……这个等差数列的第 30 项。
【例题 3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习 3：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题 4】求等差数列 2，4，6，…，48，50 的和。
练习 4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题 5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习 5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列 11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列 2，6，10，14……的第 100 项。
四年级奥数第11讲巧妙求和(教师版)
四年级奥数第11讲巧妙求和（教师版）xλ掌握等差数列的基本概念,首项、末项、公差等；λ掌握等差数列的常用公式,并能灵活运用。
一、数列的概念按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起,每一项比前一项大 3 ,递增数列100、95、90、85、80、从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列二、等差数列与公差一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。
三、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．考点一：等差数列的基本认识例1、下面的数列中,哪些是等差数列?若是,请指明公差,若不是,则说明理由。
①6,10,14,18,22, (98)②1,2,1,2,3,4,5,6；③ 1,2,4,8,16,32,64；④ 9,8,7,6,5,4,3,2；⑤3,3,3,3,3,3,3,3；⑥1,0,1,0,l,0,1,0；【考点】等差数列的基本认识【解析】①是,公差d=4.②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是,因为4-2≠2-1.④是,公差d=l.⑤是,公差d=0.⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。
例2、把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少?【考点】等差数列的基本认识【解析】该数列为等差数列,首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141例3、已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少?第19项是多少?【考点】等差数列的基本认识【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191答案：191例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个．【考点】等差数列公式的简单运用【解析】利用等差数列的“中项定理”,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值,五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60．例5、5、8、11、14、17、20、,这个数列有多少项?它的第201项是多少?65是其中的第几项?【考点】等差数列公式的简单运用【解析】它是一个无限数列,所以项数有无限多项．第n 项=首项+公差1n ⨯-（）,所以,第201项532011605=+⨯-=（）,对于数列5,8,11,,65,一共有：6553121n =-÷+=（）,即65是第21项．答案：无限多项；第201项是605；65是第21项考点二：等差数列求和例1、一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少? 【考点】等差数列的求和【解析】根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：8756⨯=． 答案：56例2、15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少? 【考点】等差数列的求和【解析】由中项定理,中间的数即第8个数为：199515133÷=,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147+⨯-=（） 答案：147例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。
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巧妙求和
基本概念
1 数列：若干个数排成一列，称为数列
2 项：数列中的每一个数
首项：数列中的第一项
末项：数列中的最后一项
项数：数列中项的个数
3 等差数列：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列
公差：后项与前项的差
4 等差数列求和
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：数列4,10,16,22…52共有多少项？
例2：等差数列9,12,15,18…，2004，这个数列共有多少项？
例3：等差数列1000,993,986,979，…20，这个数列共有多少项？
例4：已知等差数列3,7,11,15，…，则该等差数列第100项是多少？
例5：求等差数列1,6,11,16，…的第61项。
例6：求等差数列307,304,301,298，…第99项。
例7：有这样一列数：1,2,3,4，…98,99,100.请求出这列数各项相加之和。
例8：求等差数列2,4,6,…48,50的和。
例9：用简便方法计算（100+102+104+...+200）-（1+5+9+13+ (97)
作业：
1.3+5+7+9+…+63
2.100+110+120+…+350
3.160+154+148+…+16
4.2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-103。