2009年数学一试题答案、解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==- （B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sin sin 1cos sin lim lim lim lim ln(1)()36x x x x x ax x ax a x a axx bx x bx bx bx→→→→---===---- 230sin lim 166.x a ax a b b axa →==-=- 36ab =-意味选项B ，C 错误。

再由21cos lim 3x a axbx →-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14max{}K K I ≤≤=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,D D 关于x 轴对称，而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,I I D D =两区域关于y 轴对称，cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos 0,2cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰，所以正确答案为A 。

（3）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()x F x f t d t=⎰为（）【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积 分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。

由()y f x =的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数()F x ，由于()f x 有第一类间断点，()F x 只能为连续函数，不可导。

(1,0)x ∈-时，()0f x >且为常数，应有()F x 单调递增且为直线函数。

(0,1)x ∈时，()0,()0f x F x <≤，且单调递减。

(1,2)x ∈时，()0,()f x F x >单调递增。

(2,3)x ∈时，()0,()f x F x =为常值函数。

正确选项为D 。

【答案】D 。

（4）设有两个数列{},{}n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）（A ）当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛 （B ）1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散（C ）当1||n n b ∞=∑收敛时，221n nn a b ∞=∑收敛（D ）1||n n b ∞=∑发散时，221n n n a b ∞=∑发散【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。

（方法1）1||n n b ∞=∑收敛，则lim ||0n n b →∞=，又lim ||0n n a →∞=，必存在N ，使当n>N 时1||2n b <且1||2n a <（极限的有界性!），22||n n n a b b <，立即由正项级数的直接比较法得到： 当1||n n b ∞=∑收敛时，221||n n n a b ∞=∑收敛。

应选C 。

参见水木艾迪春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义-----微积分》（清华大学出版 社）自测模拟题 15.3，例 15.4。

（方法2）反例：对A取(1)nn n a b ==-，对B 取1n n a b n ==，对D 取1n n a b n==。

（5）设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵为（）（A ）101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（C ）111246111246111246⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ）111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【解析】由基12323111,,,,23a a a a a a +++123到a a a 的过渡矩阵满足12233112310111(,,),,22023033a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选（A ）。

【点评】本题考查的主要知识点：过渡矩阵。

（6）设 A,B 均为 2 阶矩阵，,A B **分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵0O A B ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） （A ）32O B AO **⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）23O B AO **⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）32O A BO **⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）23O A BO **⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由于分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式220(1)||||236AA B B ⨯ =-=⨯= 0，即分块矩 阵可逆，根据公式1||C C C *-=，11110000||066000100||B A A A B B B B B AA A **---⎛⎫ ⎪ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭* ⎪⎝⎭10023613002B B A A ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，故答案为B 。

【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的 逆矩阵等。

（7）设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX=（） （A ）0 (B)0.3(C)0.7 (D)1【解析】因为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭所以222(1)2220.71()0.3()22x x x F x x ϕϕ---⨯-⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，22x -是Ｎ(0,1)的密度函数，故其期望值为0，22(1)22x --⨯是N(1,22)的密度函数，其期望值为1，所以EX=()0.300.710.7xF x dx +∞-∞'=⨯+⨯=⎰，【答案】(C)【点评】这是一个已知分布函数求期望的问题，属于概率论的基本题型。

其中需要知道正态 分布的基本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。

（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布N(0,1),Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=12，记()z F z 为随机变量Z=XY 的分布函数，则函数()z F z 的间断点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【解析】()()(|0)(0)(|1)(1)z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(|0)(|1)]2P XY z Y P XY z Y =≤=+≤=1[(.0|0)(|1)]2P X z Y P XY z Y =≤=+≤= 由于X ，Y 独立。

1()[(.0)()]2z F z P X z P X z =≤+≤。

（1）若z<0，则1()()2z F z z =Φ，（2）若z ≥0，则1()(1())2z F z z =+Φz=0为间断点，故选（B ）【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利 用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。

二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，z=(,)f x xy 则2zx y∂∂∂=________。

【解析与点评】本题为多元函数偏导数计算的基本题目，同类题目可参见参见水木艾迪2009 考研数学模拟试题数1-10 题，水木艾迪考研《大学数学同步强化 299》例10.1210.13，10.15 等，还有《考研数学三十六技》例15-1，15-3，15-5等，以及《考研数学通用辅导讲义----微积分》101，103 等例题。

答案：12222xf f xyf '''''++ 21212222.,z zf f y xf f xyf x x y∂∂'''''''=+=++∂∂∂ （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为12()x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件(0)2,(0)0y y '==的通解为y=_________。

【解析与点评】答案：2x y xe x =-++由12()x y C C e =+，得二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的特征值121λλ==，故a=-2,b=1，要求解的微分方程为2y y y x '''-+=。

设特解0y Ax B =+代入微分方程为2y y y x '''-+=，得出-2A+Ax+B=x,A=1,B=2, 故微分方程为的2y y y x '''-+=特解2y x ''=+，通解为 12()2x y C C x e x =+++ 代入初始条件(0)2,(0)0y y '==，得120,1C C ==-，要求的解为2x y xe x =-++参见水木艾迪 2009考研数学模拟试题数 1-12 题，【水木艾迪考研】《大学数学同步强化299》133，134，《考研数学三十六技》例 11-8，例 11-11，例 11-12，《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 8.20，例 8.21，例 8.29，例 8.30。