概率论与数理统计试题及答案

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概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ．解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <．解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ；分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫乞一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：：丫乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。

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一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。

2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。

（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。

（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。

（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。

3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为：0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。

7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。

8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)概率论试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。

试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。

则P(B A)＝3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词__的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)A=______________7. 已知随机变量X的密度为f(x)k(k 1,2, )则ax b,0 x 1,且P{x 1/2} 5/8,则0,其它a ________b ________28. 设X～N(2, ),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是280，则该射手的命8111.设P{X 0,Y 0}34，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b} 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

15.已知X~N( 2,0.4)，则E(X 3)＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)22D(3X Y)x2，则D(X)＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 219.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～或2～。

概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（）（A ）()1()P A P B =-；（B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =；（D ）(|)1P A B =。

2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（）一定成立（A ）(|)1()P A B P A =-；（B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-；（D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =；（B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =；（D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（）（A ）()()P AB P A =；（B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =；（D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 互不相容；（B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（）（A ）()()()P AB P A P B =+；（B ）()()()P A B P A P B ≠+；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()()P AB P A P B =。

7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+；（C ）()()P A P AB -；（D ）()()()P A P B P AB +-。

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。

正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。

概率论与数理统计考试试卷(附答案)

概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。

把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。

概率论与数理统计试卷及参考答案

概率论与数理统计试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。

2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。

3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。

4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。

5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。

二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。

做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。

解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品，则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。

解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。

概率论与数理统计练习题(含答案)

数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.8，则P (A +B )=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(−−X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ∼B (2,p )，Y ∼B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

概率论与数理统计期末考试试卷答案

概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列事件中，不可能事件是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚硬币，正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子，出现7点D. 抛掷一枚骰子，出现1点答案：C2. 设A、B为两个事件，若P(A-B)=0，则下列选项正确的是（）A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案：B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则下列结论正确的是（）A. 当n增加时，X的期望值增加B. 当p增加时，X的期望值增加C. 当n增加时，X的方差增加D. 当p增加时，X的方差减少答案：B4. 设X～N(μ, σ^2)，下列选项中错误的是（）A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时，X的概率密度函数的峰值减小答案：D5. 在假设检验中，显著性水平α表示（）A. 原假设为真的情况下，接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下，接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下，拒绝原假设的概率答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A、B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，P(A∩B) = 0.3，则P(A-B) = _______。

答案：0.27. 设随机变量X服从泊松分布，已知P(X=1) = 0.2，P(X=2) = 0.3，则λ = _______。

答案：1.58. 设随机变量X～N(μ, σ^2)，若P(X<10) = 0.2，P(X<15) = 0.8，则μ = _______。

答案：12.59. 在假设检验中，若原假设H0为μ=10，备择假设H1为μ≠10，显著性水平α=0.05，则接受原假设的临界值是_______。

答案：9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量，若X与Y相互独立，则下列选项正确的是（）A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案：D三、解答题（每题25分，共100分）11. 设某班有50名学生，其中有20名男生，30名女生。

(完整版)概率论与数理统计试题及答案.doc

2008－ 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于（A）1/6 ；（B）1/2 ；（C）1/3 ；（ D）1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，X 为样本均值， S 2 为样本方差。

若的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，则常数 c 为（ A ）t 0.01 (n 1) ；（） 0.01 (n) ；B t（ C ）t0.02(n 1) ；（）(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布，则 XX i 服从n i1（A ） N (0,1) ；（B ） N (2,4 n) ；（C ） N (2 n, 4n) ；（D ） N(2, 4) .n二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

6、已知 A 、 B 为两个随机事件，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（）.8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1，则概率 P(| X | 1 2) =0,其它（） .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（） .3310 、已知随机变量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ，则常数 a =（）.三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

概率论与数理统计试题及答案

概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为（）。

(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件，若A,B之积为不可能事件，则称（）。

(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（）.(4分)A :“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；B :“甲，乙两种产品均畅销”；C :“甲种产品滞销”；D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

5..掷二枚骰子，事件A为出现的点数之和等于3的概率为（）。

(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件，且B A，则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人，分得一张观看亚运会的入场券，组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张，以决定谁得入场券，则（）。

(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件，且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，恰有一个是正品的概率为（）.(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有两个为红色，4个为蓝色；木质球有3个为红色，7个为蓝色，现从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”；B表示“取到玻璃球”。

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）．(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （）． (A)⎰bax x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （）． (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（）．（A ）61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23-=X Y （）．(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （）． (A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（）．(A) E X D X (),().==321(B) 9.0)(,3)(==X D X E(C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==032113. 设),(~p n B X ，2.1)(,2)(==X D X E ，则p n ,分别是（）．(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ，且6.3)(,6)(==X D X E ，则=n （）．(A) 30 (B) 20(C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（）~)1,0(N .(A)10050-X (B) 1050-X (C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（）成立．(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是（）．(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=118. 设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件，A 与B 不同时发生用事件的运算表示为（）．(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（）成立． (A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立(C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（）的事件．(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（）．(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容23. 设A ，B 为两个任意事件，则P (A +B ) =（）．(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,，等式（）成立．(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+ (C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ，B 是两个任意事件，则下列等式中（）是不正确的．(A) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（）． (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ，B 为两个任意事件，则下列等式成立的是（）.(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅= (C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（）.(A) 0.56 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.9430. 若A B ,满足（），则A 与B 是对立事件．(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立，则等式（）成立．(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN （2σ已知）的一个样本，按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时，判断是否接受0H 与（）有关. (A) 样本值，显著水平α (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量n ，显著水平α (D) 样本值，样本容量n ，显著水平α33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本，检验假设0H ：,0μμ=1H ：0μμ≠．若用t 检验法，选用统计量t ，则在显著性水平α下的拒绝域为（）． (A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，2σ是已知参数，μ是未知参数，记∑==ni i x n x 11，函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为（）.(A) （x －0.975n σ，x +0.975nσ） (B) （x －1.96n σ，x +1.96n σ）(C) （x －1.28nσ，x +1.28nσ） (D) （x －0.90nσ，x +0.90nσ）38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则μ的无偏估计是（）．(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（）是μ无偏估计．(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（）才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本，记∑==ni i x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（）.(A) x (B) ∑=-ni i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（）是统计量．(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（）不是统计量．（A ） X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =（）.(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ，则X P (≤=)2（）．(A) 0 (B) 81(C)21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ，已知2(P ≤X ≤4.0)4=，则X P (≤=)0（）.(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.147. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（）．(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（）．(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（）成立．(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D += (C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，已知E (X )=2.4, D (X )=1.44，则（）． (A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6 (C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证：已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.6，P (B A +) = 0.1，则P (AB ) =0．2. 试证：已知事件A ,B 相互独立，则)()(1)(B P A P B A P -=+．3. 已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ，B 的概率分别为21)(=A P ，32)(=B P ，试证：A 与B 是相容的.5. 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．6. 设A ,B 为随机事件，试证：)()()(AB P A P B A P -=-．7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅，试证：P A B P B ()()+=-1．8. 设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．9. 设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+．10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃，试证：)()()(B P A P B A P -=-．三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件，已知5.0)(=A P ， 4.0)(=A B P ，求)(B A P .2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示一产品确为正品，求P (A ).3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ，每种系统独立使用时，其有效概率9.0)(=A P ，95.0)(=B P ，在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ，求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件，已知P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.7，求A 与B 只有一个发生的概率.5. 设事件A ，B 相互独立，已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +．7. 设随机变量)2,3(~2N X ，求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=，Φ7998.0)3(=φ)．8. 设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，P (A B )=0.2，求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少？10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +．11. 已知4.0)(=A P ，8.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求P B A ().12. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．13. 已知P (B ) = 0.6，)(B A P =0.2，求)(AB P ．14. 设随机变量X ~ N （3，4）．求 P （1< X < 7）(Φ3841.0)1(=，Φ2977.0)2(=)．15. 设)5.0,3(~2N X ，求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=，2977.0)2(=Φ.16. 设B A ,是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，45.0)(=A B P ，求)(B A P +．17.已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.18.已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.19. 268-16.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．21.某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.，该射手连续射击5次，求：⑴命中靶心的概率；⑵至少4次命中靶心的概率．24.设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.25.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.26.有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.28.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

概率论与数理统计期末考试试卷及答案

概率论与数理统计试卷 (A)
姓名：班级：学号：得分：
一.选择题（18 分，每题 3 分） 1. 如果 P ( A ) + P ( B ) > 1 ，则事件 A 与 B 必定 ( A ) 独立； ( B ) 不独立； (C ) 相容；（）
( D ) 不相容.
概率统计试卷 A (评分标准)
一. 选择题（15 分，每题 3 分） [ 方括弧内为 B 卷答案 ] C A C A D . . [ A D B C A ]
二. 填空题（18 分，每题 3 分） 1.
0 . 62 [ 0 . 84 ]；
）
ì 1 / p , x 2 + y 2 < 1 , 设 ( X , Y ) ~ f ( x , y 则 X 与 Y 为 ) = í 其他 . î 0 ,
）
( A ) 独立同分布的随机变量； (C ) 不独立同分布的随机变量； 4.
( B ) 独立不同分布的随机变量； ( D ) 不独立也不同分布的随机变量.
ˆ ( A) m 1 = 1 3 1 X 1 + X 2 + X 3 ； 5 10 2
1 6 1 2
）
ˆ 2 = ( B ) m
1 2 4 X 1 + X 2 + X 3 ； 3 9 9 1 1 5 X 1 + X 2 + X 3 ． 3 4 12
域为（） a = 0. 1
2 2 2 2 ( A) c 2 £ c 0 n ) ； ( B ) c 2 ³ c 0 n ) ； (C ) c 2 £ c 0 n ) ； ( D ) c 2 ³ c 0 n ) . . 1 ( . 1 ( . 05 ( . 05 (

概率论与数理统计试题及答案

概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。

答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。

答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。

答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。

答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。

答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。

答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。

解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。

又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。

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考试时间 120 分钟
班级姓名学号
一. 填空题（每题3分，共24分）
1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，
P(B A)=0.8.则P(B )A U
.
2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= .
3. 设随机变量2
(,)X μσN :，X
Y e =，则Y 的分布密度函数为 .
4. 设随机变量2(,)X μσN :，且二次方程2
40y y X ++=无实根的概率等于，则μ= . 5.
设()16,()25D X D Y ==，
0.3
X Y ρ=，则
()D X Y += .
6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设125,,X X X L 是来自总体(0,1)X N :的简单随机样本，统计量
12()/~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = . 二计算题
1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r
次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？
2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为
/5
(1/5)0
()0
x e x f x -⎧>=⎨
⎩其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥.
3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f
x y .
. 4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从
2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿
命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X L 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x L 是一组样本值，求：（1）,μθ的矩法估计；（2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）假设ˆθ
是θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>试证2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ
的无偏估计.
五. （8分）设112,,,n X X X L 是来自总体2
11~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y L 是来自总体2
22~(,)Y N μσ的
一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为2212,S S ，且设22
1212,,,μμσσ均
为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22
112:H σσ<，显着性水平α事先给
定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
评分标准
一：填空题:(每小题3分)
1. 0.7;
2. ;
3. 22
).exp{).[ln ]}
0y y y μ->; 4.
4; 5. 53; 6. n/2; 7. (2)Φ 二：计算题
1. 解：记 A:取得正品硬币； B ：投掷r 次，每次都得到国徽；取{,}A A 作为样本空间的划分.
(|)(|)()/[(|)()(|)()P A B P B A P A P B A P A P B A P A =+
1
.212.2r
r
r m m m n m n m n m n m n
+==++
++ 2. 解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P ，
(/5)210(1/5)x P e dx e +∞
--==⎰
注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试
验得不到服务的概率为2
e -. 所以2
~(5,)Y B e -，即
2255{}()(1)0,1,,5k k k
P Y k C e e k ---==-=L
25{1}1{0}1(1)P Y P y e -≥=-==--
3. 解：
(1)
||2
2
||21/(/||)||()(,)0
a x a x X a dy a x x a f x f x y dy a
+∞
--∞
⎧=≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰
其它
由对称性
||2
2
||21/(/||)||/()(,)0
a y a y Y a dx a y y a f y f x y dx a
+∞
--∞
⎧=≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰
其它
(2)
当||y a
<
|
||/
(,)
(|)
()
X Y
Y
x a y
f x y
f x y
f y
≤
==
⎩其它
4.解：记取出的四只电子管寿命分别为
1234
,,,
X X X X，所求概率为P，则
1234
{min(,,,)180}
P P X X X X
=≥
44
{180}[1{180}]1,2,3,4
i i
P X P X i
=≥=-≤=
4
[1(1)]0.00063
=-Φ=
5.解：记圆盘面积为S，圆盘直径为R，则2
(1/4)
S R
π
=，
由随机变量函数的数学期望的计算方法有
2
()(1/4)(1/)
b
a
E S r b a dr
π
=-
⎰
22
(/12)()
b ab a
π
=++
三：解：
（1）矩法估计量
()()|
|
x x x
x
x
E X xf x dx e dx xe e dx
e
μμμ
θθθ
μ
μμ
μ
θ
μ
θ
μθμθ
---
---
+∞+∞+∞
∞
-∞
-
-
+∞
===-+
=-=+
⎰⎰⎰
2
222
222
()()|2
2()()
x x x
x
E X x f x dx e dx x e xe dx
μμμ
θθθ
μ
μμ
θ
μθμθμθθ
---
---
+∞+∞+∞
∞
-∞
===-+
=++=++
⎰⎰⎰
令
222
2
()()
()()
E X X
E X A
μθ
μθθ
⎧=+=
⎨
=++=
⎩
解之得,μθ的矩法估计量:
ˆX μ=
ˆθ= （2）极大似然估计
11
1
1
(,)exp{()}min{,,}n
i n n
i L x n x x μθμμθθ
==
--<∑L
11
1
ln ln ()min{,,}n
i n i L n x n x x θμμθ
==--
-<∑L
ln L n
μθ
∂=∂>0, 故ln L 是μ的递增函数，故1ˆmin{,}n x x μ
=L 由
ln 0L θ
∂=∂得 1ˆmin{,,}n x x x θ=-L ，所以极大似然估计量为1ˆmin{,}n X X μ=L ，1ˆmin{,,}n
X X X θ=-L 四：证明：
由方差的计算公式有：2ˆ()E θ
2ˆ[()]E θ==ˆ()D θ+2ˆ[()]E θ，再由ˆθ
是θ的无偏估计可得： 2ˆ()E θ
=2ˆ()D θθ+ 易见当ˆ()0D θ
>时，2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ的无偏估计. 五：构造检验统计量2
122S F S =，
当0H 为真时，2
11222~(1,1)S F F n n S =--,
当0H 不真而1H 为真时，由2222
1111222
22222
/./S S F S S σσσσ==，即一个12(1,1)F n n --的统计量乘以一个小于1的数，2122S F S =有偏小的趋势. 所以当2
122
S F S =偏
小时我们拒绝0H 而接受1H ，拒绝域的形式是:2
122S F K S =<.
由0H 为真时2
11222
~(1,1)S F F n n S =--确定常数K ，得拒绝域为：
2
111222
(1,1)S F F n n S α-=<--.。