高等数学大学课件 7-习题
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高等数学课件--D7习题课(2)
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy
d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2
d x dy
2
2
( y )
y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy
d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2
d x dy
2
2
( y )
y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
大一高数课件第七章7-3-1
对角线的长为 |m n || ,m n |, n m n { 1 , 1 ,1 }m , n { 1 ,3 , 1 } m
|m n |3 , |m n |1,1
平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 各 为3, 1.1
；
b0
=__________；
c0=____________；
5、一向量与xoy, yoz,zox三个坐标平面的夹角,,
满足cos2+cos2 +cos2 =____________ .
二、一向量的终点在点B(2,1,7)，它在 X轴， Y轴 和Z轴上的投影依次为4,4和7，求这向量的 起点A的坐.标
zz1
(z2z)
zz1z2 1
,
M 为有向线段 AB的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , 2
y y1 y2 , 2
z z1 z2 . 2
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：
z
、、
非零向量与三条坐标轴的 正向的夹角称为方向角.
向向量量的的坐坐标 标： 表达ax式, ：ay,a az ,{a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a a b {{ a a x x , a b yx ,, a a zy } ,b y b , a { z b x b ,z b } y,b z},
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a 与向量b 的夹角
|m n |3 , |m n |1,1
平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 各 为3, 1.1
；
b0
=__________；
c0=____________；
5、一向量与xoy, yoz,zox三个坐标平面的夹角,,
满足cos2+cos2 +cos2 =____________ .
二、一向量的终点在点B(2,1,7)，它在 X轴， Y轴 和Z轴上的投影依次为4,4和7，求这向量的 起点A的坐.标
zz1
(z2z)
zz1z2 1
,
M 为有向线段 AB的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , 2
y y1 y2 , 2
z z1 z2 . 2
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：
z
、、
非零向量与三条坐标轴的 正向的夹角称为方向角.
向向量量的的坐坐标 标： 表达ax式, ：ay,a az ,{a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a a b {{ a a x x , a b yx ,, a a zy } ,b y b , a { z b x b ,z b } y,b z},
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a 与向量b 的夹角
高等数学(理工科)习题课件完整
2. 函数 y 1 图形的水平渐近线为 y 0 ，
x 1
垂直渐近线为 x 1 .
3. 函数 f (x) ln(1 x) arccos x 1 的连续区间是 [4,1) .
3
4.
lim
x0
x2
sin
1 x2
sin 3x x
3
.
5. 设 f (x) ln(x 1) ， g(x) x2 1 ，
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(2)
lim1 x) x e
x0
lim [1 1 ](x) e
(x) (x)
1
lim [1 (x)](x) e
(x)0
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
无穷小与无穷大
（1）无穷小量的定义 （2）无穷大量的定义 （3）性质与关系 1）有限个无穷小的和仍是无穷小． 2）有界量与无穷小的积仍是无穷小． 3）在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大， 则1/f(x)为无穷小；如果f(x)为无穷小且不为零，则1/f(x) 为无穷大．
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
大一高数课件第七章7-9-1
用截痕法讨论： 设 p0,q0 图形如下：
z
o y
x
（三）双曲面
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xo(zy与0 曲)面相截
截得中心在原点 O(0,0的,0椭) 圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
与平面 z 的z1交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
x2 y2 z (p0) 2p 2p
旋转抛物面
（由 x面o上z的抛物线 x2 绕2它p的z 轴旋转而成的）
与平面 z z1 (z的1交0线)为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z 变1 动时，这种圆的中 心都在 z轴上.
x2 y2 z （ p与 同q号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25表示怎样的曲线？
x3
思考题解答
x2
4y2
z2
254y2
z2
16 .
x3
x3
表示双曲线.
练习题
y2 z2 2x 0
一、求曲线
，在xoy 面上的投影曲线
z 3
的方程，并指出原曲线是什么曲线 .
二、画出方程所表示的曲面：
1、z x2 y2 ； 34 9
当 z 1变动时，这种椭圆的 中心都在 轴z上.
（2）用坐标面 xo(yz 与0曲)面相截
截得中心在原点的双曲线.
x a
2 2
z2 c2
1
y 0
实轴与 x轴相合，虚 轴与 轴z相合.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
2 / 126
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台
解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
列条件：
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
大学课件高等数学下学期7-2偏导数
y2 y2
)2
.
17/25
设
f
( x,
y)
x3 y x2 y2
0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
运动. 又如方程
2z x 2
2z y2
0
称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体
运动等问题中有着重要的作用.
20/25
练习 1、验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程:
2z x 2
2z y2
0.
证. 因 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
z x
x2
x
y2
,
2z (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2 ,
由x, y在函数表达式中的对称性, 立即可写出
z y y x2 y2 ,
2z y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
即证.
21/25
练习 3.
f
(
x,
y)
x
2
xy y2
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3/25
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
高等数学习题详解-第7章多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
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规
划
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
(1)
的
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(2)
标
准
……
型
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
第三节 单纯形法
其简缩形式为
一
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
线 性
n
aij x j bi
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
x2 15 A
3x1+x2=15
可行域
10
B
x1+x2=10
5
C
O
5
10
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)
x1+6x2=15
D
15
x1
10x1+20x2＝0
第三节 单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤 化的线性规划问题求解方法。它的原理涉 及到较多的数学理论上的推导和证明，我 们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及 每一步的经济上的含义。为更好地说明问 题，我们仍结合实例介绍这种方法
第
一
节
线
《经济大词典》定义线性规划：一种
性
具有确定目标，而实现目标的手段又有
规
一定限制，且目标和手段之间的函数关
划 模 型
系是线性的条件下，从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。
的
基
本
原
理
二、线性规划三要素
第
大一高数课件第七章 7-8-1
( A1 A2 ) x ( B1 B2 ) y (C1 C2 )z ( D1 D2 ) 0
由于系数 A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 因此上述方程表示一个平面。 不全为零，
该平面经过直线 L ， 且对于不同来自 值，直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C . m n p
Am Bn Cp 0.
( 2) L //
x 1 y z 1 例 6 设直线 L : ，平面 : x y 2 z 3， 2 1 2 求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
思考题解答
6 p 0 p 6, m 0, 2m 0 s 0, n 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
练 习 题
一、 填空题：
x3 z 1 1、 通过点 ( 4 ,1 , 3 ) 且平行于直线 y 2 5 的直线方程为______________； 5 x 3 y 3 z 9 0 2、 直线 与直线 3 x 2 y z 1 0 2 x 2 y z 23 0 的夹角的余弦为__________； 3 x 8 y z 18 0
^ ( s , n) 2
^ ( s , n) 2
sin cos cos . 2 2
sin | Am Bn Cp | A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
直线与平面的夹角公式
六、求与已知直线 L1 ： x 3 y 5 z 及 2 3 1 x 10 y 7 z L2： 都相交且和 L3： x 2 y 1 z 3 5 4 1 8 7 1
高等数学第七章课件.ppt
a
(2) 三角形法则
b
向量的加法符合下列运算规律：
（（12））交结换合律律：：aa
b b
cb
(aa.
b)
c
a
a a
(b
b
c ).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相a 等但方向a相反的向量.
减法：a b a (b)
ab
b
a
ab
特例：a
(a)
0.
b
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
λα
φ1 = φ φ1=π- φ
Prj(λα)= 0 =λPrjlα；
λ<0
（二） 向量的坐标表示
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
向量平行 方向相反或者方向b 相同的向量a
a//b
零向量和任何向量都平行.
三、向量的线性运算
（一） 向量的加 减法
加法：a b c
(1) 平行四边形法则
b c
a
b
c
a
(b )
ab
（向(二((123量))）)aa向与000,,,量实aaa与数与 与数aa0的2同 的反a乘向乘向法，积，|| 记aa作|||a||12,a规a||a定 | a是一个向量.
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。
大一高数课件第七章 7-7-1
的平面; 平行于 xoy 面 的平面 的平面； 平行于 yoz 面 的平面； 的平面. 平行于 zox 面 的平面
例 3 设平面过原点及点 ( 6,−3, 2) ， 且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂 直，求此平面方程. 求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0,
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称 为两平面的夹角. 为两平面的夹角. （通常取锐角） 通常取锐角）
r n2
r n1
θ
Π2
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, r r n1 = { A1 , B1 , C 1 }, n 2 = { A2 , B 2 , C 2 },
设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) r r 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
平面的点法式方程
n = (0, B,C) ⊥ i, 平面平行于 x 轴;
• Ax + Cz + D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; 轴的平面; • Ax + By + D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; 轴的平面;
• C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示
中国石油大学高等数学7习题课PPT课件
手 规 则 .
向量积的坐标表达式
ab (aybzazby)i(azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
10
i j k a b ax ay az
bx by bz
a// b
6、混合积
ax ay az bx by bz
a x a y a z [abc] (ab)c b x b y b z
x2 a2
by22
cz22
1
x2y2 z2
23
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ab
a x b x a yb y a zb z 0
9
5、向Байду номын сангаас积 (叉积、外积)
|c | |a |b ||s in其 中 为 a 与 b 的 夹 角
c的 方 向 既 垂 直 于 a， 又 垂 直 于 b， 指 向 符 合 右
第七章 习题课 一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
混合积
向量积
3
1、向量的概念
向量积的坐标表达式
ab (aybzazby)i(azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
10
i j k a b ax ay az
bx by bz
a// b
6、混合积
ax ay az bx by bz
a x a y a z [abc] (ab)c b x b y b z
x2 a2
by22
cz22
1
x2y2 z2
23
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ab
a x b x a yb y a zb z 0
9
5、向Байду номын сангаас积 (叉积、外积)
|c | |a |b ||s in其 中 为 a 与 b 的 夹 角
c的 方 向 既 垂 直 于 a， 又 垂 直 于 b， 指 向 符 合 右
第七章 习题课 一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
混合积
向量积
3
1、向量的概念
高等数学第三版第七章课件
y′′ + y = 0,
(2)特解: 解的图象: 通解的图象: 初始条件:
通解 y = Ce x ;
通解 y = C1 sin x + C 2 cos x;
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分 方程
确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族.
故
5 −2 ⎛ ⎞ y = ( x + 1)2 ⎜ ∫ ( x + 1) 2 dx + C ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎞ 2⎛ 2 = ( x + 1) ⎜ ( x + 1) 2 + C ⎟ ⎝3 ⎠
y=e
− P ( x ) dx − P ( x ) dx y′ = u′( x )e ∫ , + u( x )[ − P ( x )]e ∫
16
两边积分，得 u − ln | u | + C = ln | x |,
例 4 求解微分方程
或
ln|ux |= u + C , ln | y |= y +C x
所求通解为
y y ( x − y cos )dx + x cos dy = 0. x x 解 令u = y ， 则 dy = xdu + udx，
du = ln C1 x , f ( u) − u
dy dy + y 2 = xy . dx dx
解 方程可写为
（ϕ ( u ) = ∫
du ） f ( u) − u
⎛ y⎞ ⎜ x⎟ dy y2 = = ⎝ ⎠, 2 y dx xy − x −1 x
y ϕ( ) y 得通解 x = Ce x , 代入, x 当 ∃u0 , 使 f ( u0 ) − u0 = 0, 则 u = u0是新方程的解 ,
(2)特解: 解的图象: 通解的图象: 初始条件:
通解 y = Ce x ;
通解 y = C1 sin x + C 2 cos x;
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分 方程
确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族.
故
5 −2 ⎛ ⎞ y = ( x + 1)2 ⎜ ∫ ( x + 1) 2 dx + C ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎞ 2⎛ 2 = ( x + 1) ⎜ ( x + 1) 2 + C ⎟ ⎝3 ⎠
y=e
− P ( x ) dx − P ( x ) dx y′ = u′( x )e ∫ , + u( x )[ − P ( x )]e ∫
16
两边积分，得 u − ln | u | + C = ln | x |,
例 4 求解微分方程
或
ln|ux |= u + C , ln | y |= y +C x
所求通解为
y y ( x − y cos )dx + x cos dy = 0. x x 解 令u = y ， 则 dy = xdu + udx，
du = ln C1 x , f ( u) − u
dy dy + y 2 = xy . dx dx
解 方程可写为
（ϕ ( u ) = ∫
du ） f ( u) − u
⎛ y⎞ ⎜ x⎟ dy y2 = = ⎝ ⎠, 2 y dx xy − x −1 x
y ϕ( ) y 得通解 x = Ce x , 代入, x 当 ∃u0 , 使 f ( u0 ) − u0 = 0, 则 u = u0是新方程的解 ,
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第七章 多元函数微分学 习题课
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1
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数
的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。
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2
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法 线。
Fx Fv u 1 (F,G) Gx Gv , x J (x,v) Fu Fv
Gu Gv
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16
v1(F ,G )F u F x F u F v x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )则称
n
元函数 f (P)在点 P0处连续.
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6
3、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
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11
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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12
7、复合函数求导法则
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4
注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时,
函数都无限接近于A .
（2）确定极限
lim f (x, y)
xx0
不存在的方法：
yy0
（i）找不同的趋近方式，如果极限值 lim f ( x, y)不
x x0 y y0
同，则可断言 f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
y0
y
记为z y
xx0
，f y
，zy
xx0
xx0 yy0
或fy(x0,
y0).
yy0
yy0
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9
5、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y),
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y),x yzy2 zxfyx (x,y).
z z u z v ， x u x v x
z y
zy
.
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13
8、全微分形式不变性
无论 z是自变量u、 v的函数或中间变量u、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dzzduzdv. u v
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14
9、隐函数的求导法则
(1 ) F (x ,y)0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0 ， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0 在点P( x0 , y0 ) 的
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7
4、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称A 为函数
z f ( x, y)当x x0 ， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
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10
6、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A,B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
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8
x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
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15
(2 )F (x ,y ,z) 0
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
（ii）如果存在一种 P( x, y) P0( x0 , y0 ) 的方式，使
得 f (x, y) 不趋于确定值，则可断言 f ( x, y)在点
P0 ( x0 , y0 )处极限不存在.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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5
2、多元函数的连续性
定义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0是
如果 u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点( x , y ) 的 两 个 偏
导数存在，且可用下列公式计算
8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导
数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及
最大（小）值的求法。
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3
二 基本概念
1、多元函数的极限
定义 设函数 z f ( x, y) 的定义域为D, P0( x0 , y0 )
是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式
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1
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数
的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。
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7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法 线。
Fx Fv u 1 (F,G) Gx Gv , x J (x,v) Fu Fv
Gu Gv
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v1(F ,G )F u F x F u F v x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )则称
n
元函数 f (P)在点 P0处连续.
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3、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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7、复合函数求导法则
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注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时,
函数都无限接近于A .
（2）确定极限
lim f (x, y)
xx0
不存在的方法：
yy0
（i）找不同的趋近方式，如果极限值 lim f ( x, y)不
x x0 y y0
同，则可断言 f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
y0
y
记为z y
xx0
，f y
，zy
xx0
xx0 yy0
或fy(x0,
y0).
yy0
yy0
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5、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y),
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y),x yzy2 zxfyx (x,y).
z z u z v ， x u x v x
z y
zy
.
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8、全微分形式不变性
无论 z是自变量u、 v的函数或中间变量u、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dzzduzdv. u v
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9、隐函数的求导法则
(1 ) F (x ,y)0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0 ， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0 在点P( x0 , y0 ) 的
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4、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称A 为函数
z f ( x, y)当x x0 ， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
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6、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A,B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
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x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
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(2 )F (x ,y ,z) 0
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
（ii）如果存在一种 P( x, y) P0( x0 , y0 ) 的方式，使
得 f (x, y) 不趋于确定值，则可断言 f ( x, y)在点
P0 ( x0 , y0 )处极限不存在.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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2、多元函数的连续性
定义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0是
如果 u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点( x , y ) 的 两 个 偏
导数存在，且可用下列公式计算
8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导
数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及
最大（小）值的求法。
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二 基本概念
1、多元函数的极限
定义 设函数 z f ( x, y) 的定义域为D, P0( x0 , y0 )
是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式