2014年数学建模A题

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：01024007

所属学校（请填写完整的全名）：中国矿业大学（北京）

参赛队员(打印并签名)：1.何芬

2.赵赞

3.范越

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张磊

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：2014年9月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略是一个综合物理以及数学综合知识的问题。月球软着陆是未来月球探测中的一项关键技术。本文建立数学模型，得出近月点，远月点嫦娥三号的运行状态以及其他六个着陆阶段的轨道设计。

针对第一问，首先通过计算水平距离得到近月点以及远月点的具体坐标，之后通过坐标与经纬度之间换算公式得到近月点和远月点的具体坐标。而水平距离的计算需要建立数学模型对其运行时间，角度，推力，嫦娥三号本身的质量变化以及半径变化导致的万有引力变化等各个变量进行综合考虑计算得到结果。而其在近月点远月点相应的速度大小则可以应用物理学上上的万有引力恒等式求得相应的结果。并且椭圆的长半轴短半轴则应用其在远近月点两个着陆轨道的总机械能守恒定律求得。第一问则是更加完美地体现数学方法与物理方法相结合的方法进行计算。

针对第二问，应用已知条件中的推力幅值恒定的登月飞行器软着陆轨道的优化研究。并且在计算过程中将着陆分成六个阶段五大类进行分析。其中第一二阶段通过将求解最优控制的参数化方法和浮点数编码的遗传算法(FGA)优化方法结合,并应用于归一化的二体模型,得到了燃料最优的软着陆轨道。利用MATLAB计算结果表明利用遗传算法进行登月飞行器软着陆轨道优化研究无初值敏感问题,并可搜索到全局最优的轨道；第三四阶段粗避障和精避障阶段则是利用障碍检测规避方法，此方法采用最小平方中值法拟合出着陆区地形平面并基于该平面检测出障碍的类型、位置与大小等信息；而五六阶段过程相对较易理解，第五阶段则是水平速度为零的缓慢减速过程，第六阶段则是自由落体过程。通过综合前六个阶段的着陆轨迹状态得出目标最优结果，从而使得燃油消耗最少。

针对第三问，首先对第二问模型进行匹配修改。可能的误差来源是地球的引力，太阳的引力，对自身速度、角度的测量误差，控制的时候F大小以及角度的误差对第二问建立的模型产生的影响，侧面发动机燃料的消耗。而敏感性分析则是判断以上误差对其的影响程度。

最后，给出了模型的优缺点和改进方案。

关键词：机械能守恒最优控制遗传算法障碍检测规避方法

一、问题重述

1.1背景

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

1.2需要解决的问题

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析

变推力的软着陆轨道优化问题是一个过程优化问题，我们需要考虑嫦娥三号的运行质量随着时间的推移燃料的减少从而引起的变化，月心引力，躲避障碍物等方面的因素。问题的特点在于关系复杂，实际情况下受多种因素影响。解决问题的关键在于如何从附

件二中获取有用信息，找出之间的关系,得到确切的数学表达式。

2.1问题一的分析：

嫦娥三号着陆准备轨道在近月点和远月点的位置的应该建立三维坐标系从而得以确定，通过建立数学模型得到三维坐标点的位置之后通过matlab编程分别得到其在近月点和远月点的经纬度。而嫦娥三号相应的速度大小则可以应用物理学上上的万有引力恒等式求得相应的结果。而其方向则在坐标系上通过切向速度，法相速度以及其夹角等变量从而建立数学模型来确立，从而得到相应的结果。

2.2问题二的分析：

嫦娥三号的着陆轨道的确立则需要利用月心距、极角、法向速度和切向速度推力方向角等变量来建立动力学方程从而得出其具体着陆轨道。而其在六个阶段的最优控制策略则是要建立优化模型。优化的目标函数则是则是使着陆过程中消耗的燃料最省。从附件2的资料得知可以把这六个阶段分成五大类，由于粗避障和精避障阶段思考模式一致，都是将附件3和附件4利用MATLAB程序转化成JPG图片模式，从而通过数学公式的转化得到在第三阶段和第四阶段的动态变化。而第一阶段和第二阶段则是我们研究的重点部分，利用主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力的约束条件和比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s的已知条件以及第一问求解的结果进行较精确的最优控制策略分析。将推力分别用1500N和7500N及其中间的推力变量进行代算，而最后两个阶段的模型较为简单，是前两个阶段的简化模型。最后将前六个阶段进行汇总求和从而得到一个着陆过程中消耗的燃料最省的最优控制策略。

2.3问题三的分析：

由于问题二中考虑得是常推力以及推力方向角很定的情况下进行计算。然而在实际操作中则不然，我们需要对这两点进行误差分析。除此之外还存在一些月球自转等对嫦娥三号着陆产生影响的因素。从这两个方面着手对其进行误差分析以及敏感性分析。通过建立新的数学模型以及MATLAB作图进行对比，利用数据得出较客观地分析。