2014数学建模国赛A题教程

关。当 36.636 时，桌子始终保持稳定。
关键词：曲线参数方程、综合指数分析法、对比模型、转换模型、多目标优化模型、 空间力系的平衡模型
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1. 问题背景
一、 问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张 平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分 别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子 外形由直纹曲面构成，造型美观。且视频展示了折叠桌的动态变化过程（见原题附件视 频）。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
二、 问题分析
(1).折叠桌以铰链连接，外形由直纹曲面构成。通过反复研究折叠桌的动态视频， 分析出折叠桌的运动特性，我们采用几何投影法，化三维运动为二维运动，简化模型。 同时，为了便于分析几何关系，我们仅对单组木条中最长与最短两根木条进行探究。并 通过 Solidwoks 软件绘画其几何关系图。根据各木条之间的连动原理推导出所有木条间 的关系，建立曲线参数方程表示折叠桌整体的动态变化过程。最后计算出折叠桌的设计 加工参数，并通过函数式和三维曲线图描述桌角边缘线。
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2014 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
创意平板折叠桌
Matlab 软件绘图的方法进行分析，得到了钢筋位置和各木条的开槽长度的最优加工参
数。
最后，考虑到稳固性和节省用料的因素，通过建立综合指数分析模型，计算出评定
因子 E
木条长度 径向最大长度 径向最短长度

驱动力矩 制动力矩
与
的函数关系式。当木条长度越短，制动力矩
越大，驱动力矩越小时，即当评定因子 E 取最小值时，对应的 即为所求。
（2）. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定 的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加 工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。 （3）. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌 面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可 行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的 任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计 的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意 图。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
B
我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）：
27006025
所属学校（请填写完整的全名）：
长安大学
2. 提出问题
（1）. 给定长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm， 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。 试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数 （例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。
ຫໍສະໝຸດ Baidu摘要
本文主要研究创意平板折叠桌的设计加工的优化问题和折叠桌的动态变化过程。我
们根据题目所给的一些数据以及折叠桌动态变化过程视频，并查阅相关资料分析并建立
了曲线参数方程、综合指数分析法、对比模型、转换模型、多目标优化模型等来研究此
问题。
首先，我们通过几何关系和对称性推导出折叠桌的参数方程。通过 Matlab 软件绘
(2).通过分析题目要求，我们初步建立优化模型。然后，我们通过对稳固性的三大 影响因素（结构重心、结构支撑面、结构形状）分析计算，对原模型进行多目标规一化 处理。确定出单一的目标函数，通过 Matlab 软件进行优化求解。然后，依次讨论其他 约束条件对结果进行优化，得到最优解函数。带入相关参数求解题目所求条件下的最优 加工参数。
参赛队员 (打印并签名) ：1.
罗清云
2.
陈晨
3.
郑凌晨
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
王文杰
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2014 年 9 月 12 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
制出折叠桌子的四张动态图。通过钢筋的具体位置和几何关系，给出桌腿木条的开槽长
度。通过参数方程给出了桌脚边缘曲线数学描述。
其次，我们由 SGS 标准[见文献 8]，通过建立力学平衡方程，得到制动力矩和驱动
力矩的关系。经过分析制动力矩和驱动力矩的关系，我们采用对制动力矩和驱动力矩的
乘积进行多次求导的方式，得到了符合题目要求的 角。考虑到加工方便的约束，通过
在模型优化中，我们考虑了在桌面上均匀分布的力的情况，通过建立空间力系的平
衡模型，在临界条件下（桌子支撑腿受到指向桌内的摩擦力取最大值），由理论力学知
识推导出桌面上均匀分布的力 F 与 角、钢筋位置之间的函数式。计算得出桌子的稳定
性与钢筋位置无关，桌子在这种受力情况下的稳定性只与支撑腿与竖直方向的夹角有