酒驾问题的数学建模

饮酒驾车的数学模型

学院：数学学院

姓名：***

班级：15-数学四班

学号：********

【摘要】

本文的目的在于，通过对人饮酒后体内酒精含量进行建模，然后根据所建模型，对相关问题进行分析和处理，并予以解决。本文主要根据假设合理条件，用常微分方程建立酒精在人体内的变化模型。以时间为变量，分类讨论酒精在人体内的变化。最后，根据国家酒驾标准，结合所建立的模型，给司机朋友发出忠告。

【关键词】房室系统、MATLAB、酒后驾车，常微分方程。

一、问题重述

小王，12点喝一瓶啤酒，18:00被检查合格，吃晚饭喝一瓶啤酒，夜里 2点，开车回家。

讨论问题：

（1）如果小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查，问他能否顺利通过?

（2）喝3瓶啤酒，隔多久开车会违反标准，并回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）较长一段时间内喝的。（2小时内）

3）估计体内酒精含量达到MAX的确切时间。

4）根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5）提出忠告。

参考数据

1.国家标准：驾驶员血液的酒精含量≥20毫克／百毫升，<80毫克／百毫升为饮酒驾车，≥80毫克／百毫升为醉酒驾车。

2. 体液占人体重的65%至70%，

3. 体重70kg人短时间内喝下2瓶啤酒后其体内酒精含量（毫克／百毫升），数据如下：

时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

酒精含量38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4

二、模型假设

1、喝酒越多，酒精发散到体内的速率越快。

2、酒精浓度越大，酒精吸收速率越大

3、酒精被吸收的过程中不考虑损失。

4、酒精均匀分布。

三、符号说明

D：短时间喝酒的酒精量。

:酒精由吸收室到中心室的速率系数；

K

1

K

:酒精从中心室到体外的速率系数；

2

C(t):中心室中的酒精含量；

T：长时间酒精达到MAX时间；

:酒精摄入胃的速率；

k

Y(t)：人的酒精含量；

:体液容积；

V

(t):酒精被吸收速率；

f

1

(t):酒精消化速率；

f

2

X(t):胃里的酒精含量。

四、模型建立

（一）、模型分析：

设酒以速率k0进入胃，再以f1(t)进入人体，再以f2(t)被消化。建立模型：单房室系统，胃：吸收室，体液：中心室。

（二）模型建立：

根据假设，建立方程：

f 1(t )=k 1x (t ) (1) f 2(t )=k 2 y (t ) (2)

dx (t )dt

=k 0−f 1(t ) (3)

进而：

dx (t )dt

=k 0−k 1X (t ) （4）

得：

k 0=

dx (t )dt

+k 1X (t ) （5）

求解可得：

{

x (t )=c 1e −k 1t +A 1A 1=

k 0k 1

c 1+A 1=x (0)=x 0

（6）

又因为f 1(t )=k 1x (t )，联合（6）可得：

f 1(t )=k 1c 1e −k 1t +k 1A 1 （7）

=k 1c 1e −k 1t +k 0

=（k 1x 0−k 0）e −k 1t +k 0 对体液可建立方程组如下：

{

dy (t )

dt

=f 1(t )−f 2(t )

y (0)=y 0

(8)

将（2）式代入可得：

dy (t )

dt

=f 1(t )−k 2 y (t ) 即

dy(t)

dt

+k2 y(t)=f1(t)

因为f1(t)=（k1x0−k0）e−k1t+k0，代入上式可得：

dy(t)

dt

+k2 y(t)=（k1x0−k0）e−k1t+k0（9）解得：

y(t)=c2e−k1t+k0

k2

+k1x0

k2−k1

e−k1t

=c2e−k2t+A2+B2e−k1t（10）

（其中A2=k0

k2，B2=k1x0−k0

k2−k1

，A2+B2+c2=y(0)=y0）。

浓度=酒精量/体液容积:

c(t)=c3e−k2t+A3+B3e−k1t（11）

（其中，c3=c2

v0,A3=k0

k2v0

,B3=k1x0−k0

(k2−k1)v0

,A3+B3+c3=c(0)=c0）

（三）模型的讨论：

1、当酒是在较短时间内喝时

此时有X(0)=D0=x0，k0=0，c0=0。

因为： A3=k0k

2v0,B3=k1x0−k0

(k2−k1)v0

，c3=c2

v0

计算得：A3=0,B3=k1 D0

(k2−k1)v0

，c3=−B3

代入上式：

c(t)=−B3e−k2t+B3e−k1t

=−B3(e−k2t−e−k1t)

=A[e−k2t−e−k1t] (12)

(其中A=−B3=k1 D0

(k1−k2)v0

)。当t比较大时，k1≫k2，

故c(t)≈A e−k2t， lnc(t)=lnA-k2t

现利用参考数据：

时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5