酒驾问题的数学建模

饮酒驾车的数学模型学院：数学学院姓名：***班级：15-数学四班学号：********【摘要】本文的目的在于，通过对人饮酒后体内酒精含量进行建模，然后根据所建模型，对相关问题进行分析和处理，并予以解决。

本文主要根据假设合理条件，用常微分方程建立酒精在人体内的变化模型。

以时间为变量，分类讨论酒精在人体内的变化。

最后，根据国家酒驾标准，结合所建立的模型，给司机朋友发出忠告。

【关键词】房室系统、MATLAB、酒后驾车，常微分方程。

一、问题重述小王，12点喝一瓶啤酒，18:00被检查合格，吃晚饭喝一瓶啤酒，夜里 2点，开车回家。

讨论问题：（1）如果小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查，问他能否顺利通过?（2）喝3瓶啤酒，隔多久开车会违反标准，并回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）较长一段时间内喝的。

（2小时内）3）估计体内酒精含量达到MAX的确切时间。

4）根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5）提出忠告。

参考数据1.国家标准：驾驶员血液的酒精含量≥20毫克／百毫升，<80毫克／百毫升为饮酒驾车，≥80毫克／百毫升为醉酒驾车。

2. 体液占人体重的65%至70%，3. 体重70kg人短时间内喝下2瓶啤酒后其体内酒精含量（毫克／百毫升），数据如下：时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16酒精含量38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4二、模型假设1、喝酒越多，酒精发散到体内的速率越快。

2、酒精浓度越大，酒精吸收速率越大3、酒精被吸收的过程中不考虑损失。

4、酒精均匀分布。

三、符号说明D：短时间喝酒的酒精量。

:酒精由吸收室到中心室的速率系数；K1K:酒精从中心室到体外的速率系数；2C(t):中心室中的酒精含量；T：长时间酒精达到MAX时间；:酒精摄入胃的速率；kY(t)：人的酒精含量；:体液容积；V(t):酒精被吸收速率；f1(t):酒精消化速率；f2X(t):胃里的酒精含量。

四、模型建立（一）、模型分析：设酒以速率k0进入胃，再以f1(t)进入人体，再以f2(t)被消化。

建立模型：单房室系统，胃：吸收室，体液：中心室。

（二）模型建立：根据假设，建立方程：f 1(t )=k 1x (t ) (1) f 2(t )=k 2 y (t ) (2)dx (t )dt=k 0−f 1(t ) (3)进而：dx (t )dt=k 0−k 1X (t ) （4）得：k 0=dx (t )dt+k 1X (t ) （5）求解可得：{x (t )=c 1e −k 1t +A 1A 1=k 0k 1c 1+A 1=x (0)=x 0（6）又因为f 1(t )=k 1x (t )，联合（6）可得：f 1(t )=k 1c 1e −k 1t +k 1A 1 （7）=k 1c 1e −k 1t +k 0=（k 1x 0−k 0）e −k 1t +k 0 对体液可建立方程组如下：{dy (t )dt=f 1(t )−f 2(t )y (0)=y 0(8)将（2）式代入可得：dy (t )dt=f 1(t )−k 2 y (t ) 即dy(t)dt+k2 y(t)=f1(t)因为f1(t)=（k1x0−k0）e−k1t+k0，代入上式可得：dy(t)dt+k2 y(t)=（k1x0−k0）e−k1t+k0（9）解得：y(t)=c2e−k1t+k0k2+k1x0k2−k1e−k1t=c2e−k2t+A2+B2e−k1t（10）（其中A2=k0k2，B2=k1x0−k0k2−k1，A2+B2+c2=y(0)=y0）。

浓度=酒精量/体液容积:c(t)=c3e−k2t+A3+B3e−k1t（11）（其中，c3=c2v0,A3=k0k2v0,B3=k1x0−k0(k2−k1)v0,A3+B3+c3=c(0)=c0）（三）模型的讨论：1、当酒是在较短时间内喝时此时有X(0)=D0=x0，k0=0，c0=0。

因为： A3=k0k2v0,B3=k1x0−k0(k2−k1)v0，c3=c2v0计算得：A3=0,B3=k1 D0(k2−k1)v0，c3=−B3代入上式：c(t)=−B3e−k2t+B3e−k1t=−B3(e−k2t−e−k1t)=A[e−k2t−e−k1t] (12)(其中A=−B3=k1 D0(k1−k2)v0)。

当t比较大时，k1≫k2，故c(t)≈A e−k2t， lnc(t)=lnA-k2t现利用参考数据：时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 78 910 1112 13 14 15 16酒精含量 38 35 28 25 18 1512 10 77 4通过Matlab 进行曲线拟合可得：A=118.5459 k 2=0.1940 一瓶啤酒的酒精量:640ml ，密度:810mg/ml 酒精浓度:4.5%，两瓶啤酒的酒精量mg D 46656%5.481064020=⨯⨯⨯=体重为70kg,体液质量为体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml ，所以可得体液的总体积为v 0=70×65%×1031.05×100=433.33毫克/百毫升又A=k 1 D 0(k 1−k 2)v 0，可得k 1=2.114。

综上:此条件酒精含量与时间关系式：c (t )= 118.5459[e −0.1940t −e −2.114t ] （13）用matlab 作图：（图二：拟合曲线）2、较长时间内时：当t ](，T 0∈时，可得：{dx (t )dt=k 0−k 1x (t )dy (t )dt=f 2(t )−k 2y (t )(14)此时k 0=D 0T，X (0)=0 y (0)=0则：y (t )=c 2e −k 2t +A 2+B 2e −k 1t(其中A 2=k 0k 2， B 2=k 1x 0−k 0k 2−k 1，A 2+B 2+c 2=y (0)=y 0)由上可得：c (t )=c 3e −k 2t +A 3+B 3e −k 1t （15） (其中c 3=c 2x 0,A 3=k 0k 2y 0,B 3=k 1x 0−k 0 (k 2−k 1)v 0)即：c (t )=−（A 3+B 3）e −k 2t +A 3+B 3e −k 1t=A 3(1−e −k 2t )−B 3（e −k 2t −e −k 1t ）得出：A 3=k 0k2y 0= D 0Tk 2v 0=466562×0.1940×433.32=277.5025909 B 3=−k 0 (k 2−k 1)v 0=−D 0T(k 2−k 1)v 0=−466562(0.1940−2.114)×433.33=28.0386772所以：c (T )=A 3(1−e −k 2t )−B 3（e −k 2t −e −k 1t ）=B(e −k 2t −e −k 1t )= Be −k 2T （16）t>T 时，中心室酒精浓度与时间关系式：c (t )=k 1x (T )(k 1−k2)v 0×[e −k 2(t−T )−e −k 1(t−T )]+c (T )e −k 2(t−T )x (T )=k 1x 0−k 0k 1e−k 2T+k 0k 1=k 0k 1(1−e −k 1T )c (T )=k 0k 2y 0(1−e −k 2T )+k 0k2−k 1(e−k 1T−e −k 2T )综上所述，当t>T ：{c (t )=k 1x (T )(k 1−k2)v 0×[e −k 2(t−T )−e −k 1(t−T )]+c (T )e −k 2(t−T )x (T )=k0k 1(1−e −k 1T )c (T )=k 0k2y 0(1−e −k 2T )+k 0 k 2−k 1(e −k 1T −e −k 2T )（17）五、问题求解问题一：设小王第一次喝酒在短时间内完成，我们可以得到关系式：c (t )=k 1 D 0(k 1−k 2)v 0[e −k 2t −e −k 1t ]已求解：k 1=2.114，k 2=0.1940，D 0=23328mg,v 0=433.33。

c (t )=59.27295[e −0.1940t −e −2.114t ]当6 t 时，得c (t )=18.2778毫克/百毫升，未超过国家标准，所以第一次检查时没有饮酒驾驶，如图图三小王第二次喝酒满足在较长时间内喝酒的条件，关系式：c(t)= A[e−k2t−e−k1t]+ A[e−k2(t−T)−e−k1(t−T)]其中，A=59.27295, k2=0.1940，k1=2.114，T=6。

t=14，c(t)=20.3618毫克/百毫升，>20mg/100ml,所以小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查，无法通过，见下图：图四问题二：（2）较短时间条件下，根据模型，关系式：c(t)=ce−k2t+k0k2y0+k1x0−k0(k2−k1)v0e−k1t由于t十分小，x0=D0，k0=0 则：c(t)=ce−k2t−k1 D0(k2−k1)v0e−k1t又c(0)=0c(t)=k1 D0(k2−k1)v0（e−k2t−e−k1t）三瓶啤酒，D0=3×640×810×4.5%=69984mg,v 0=70×65%×1031.05×100=433.33百毫升，k 2=0.1915，k 1=2.114。

所以： ][81885.177)(114.21940.0t t e e t c ---=当百毫升毫克/20)(=t c 时，可求得t=11.3。

故此条件下，经过11.3小时后开车,不是饮酒驾车。

（2）当较长时间内喝酒时，体液内洒精含量与时间关系式：20021012)()(v k ke v k k k ce t c t k t k +-+=--此时0)0(=x ，TD k 00=，0)0(=c ， ][)()1()(2120210020t k t k t k e e Tv k k D e T v k D t c -----+-=因为已知mg D 699800=，114.21=k ，1940.02=k ，33.4330=v 百毫升，百毫升毫克/20)(=t c ，t=13.5小时，在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒后，只有在13.5小时后开车，就不会违反规定。