高中数学必修五质量检测(含答案)
新课标人教版必修5高中数学_综合检测试卷 附答案解析
新课标人教版必修5高中数学 综合检测试卷1.如果33log log 4m n +=,那么n m +的最小值是( )A .4B .34C .9D .18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ,*N n ∈,其前n 项和为n S ,则使n S >48成立的n 的最小值为( )A .7B .8C .9D .103、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同,则a 、b 的值为( ) A .a =﹣8 b =﹣10 B .a =﹣4 b =﹣9 C .a =﹣1 b =9D .a =﹣1 b =2 4、△ABC 中,若2cos c a B =,则△ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .锐角三角形5、在首项为21,公比为12的等比数列中,最接近1的项是( )A .第三项B .第四项C .第五项D .第六项6、在等比数列{}n a 中,117a a ⋅=6,144a a +=5,则1020a a等于( )A .32 B .23C .23或32D .﹣32或﹣237、△ABC 中,已知()()a b c b c a bc +++-=,则A 的度数等于( )A .120B .60C .150D .30 8、数列{}n a 中,1a =15,2331-=+n n a a (*N n ∈),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A .2221a aB .2322a aC .2423a aD .2524a a9、某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为( )A .41.1B .51.1C .610(1.11)⨯-D . 511(1.11)⨯- 10、已知钝角△ABC 的最长边为2,其余两边的长为a 、b ,则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于( ) A .2 B .2-π C .4 D .24-π 11、在△ABC 中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= 12.函数2lg(12)y x x =+-的定义域是13.数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈,则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。
最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套
最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等比数列{a n }中,S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是( B ) A .14 B .16 C .18D .20[解析] ∵S 4=1,S 8=3,∴a 1·1-q 41-q =1,a 1·1-q 81-q =3,∴1+q 4=3,即q 4=2,∴a 17+a 18+a 19+a 20=a 1q 16(1+q +q 2+q 3)=q 16·a 1(1-q4)1-q=16.2.若1+2+22+…+2n >128,n ∈N *,则n 的最小值( B ) A .6 B .7 C .8D .9[解析] 1+2+22+…+2n =2n +1-1. ∵2n +1-1>128=27,∴n +1>7,n >6. 又∵n ∈N *,∴n =7.3.已知集合A ={x ||x +1|≤2},B ={x |y =lg(x 2-x -2)},则A ∩∁R B =(C ) A .[-3,-1) B .[-3,-1] C .[-1,1]D .(-1,1][解析] 因为A ={x ||x +1|≤2}={x |-3≤x ≤1},B ={x |lg(x 2-x -2)}={x |x 2-x -2>0}={x |x <-1或x >2},所以∁R B ={x |-1≤x ≤2},所以A ∩∁R B ={x |-1≤x ≤1}.4.已知a >b >0,c ≠0,则下列不等式中不恒成立的是( B ) A .ac 2>bc 2 B .a -b c>0C .(a +b )(1a +1b)>4D .a 2+b 2+2>2a +2b[解析] ∵c ≠0,∴c 2>0,又∵a >b ,∴ac 2>bc 2; ∵a >b ,∴a -b >0,又c ≠0, ∴c >0时a -b c >0,c <0时,a -bc <0;∵a >b >0,∴(a +b )(1a +1b )=2+b a +ab>2+∵a >b >0,∴a 2+b 2+2-2a -2b =(a -1)2+(b -1)2>0, 故A ,C ,D 恒成立,B 不恒成立.5.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2=b 2+c 2-bc ,bc =4,则△ABC 的面积为( C )A .12B .1C .3D .2[解析] 因为b 2+c 2-a 2=2bc cos A =bc ,所以cos A =12,因为A ∈(0,π),所以A =π3,所以△ABC 的面积为12bc sin A =12×4×32=3,故选C .6.已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( C ) A .1x -1y >0B .sin x -sin y >0C .(12)x -(12)y <0D .ln x +ln y >0[解析] 解法1:因为x >y >0,选项A ,取x =1,y =12,则1x -1y =1-2=-1<0,排除A ;选项B ,取x =π,y =π2,则sin x -sin y =sin π-sin π2=-1<0,排除B ;选项D ,取x =2,y=12,则ln x +ln y =ln(x +y )=ln1=0,排除D .故选C . 解法2:因为函数y =⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减,且x >y >0,所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ,即⎝⎛⎭⎫12x -⎝⎛⎭⎫12y <0,故选C .7.已知数列{a n },满足a n +1=11-a n,若a 1=12,则a 2015=( B )A .12B .2C .-1D .1[解析] 易知a 2=2,a 3=-1,a 4=12,a 5=2,∴数列{a n }的周期为3,而2015=671×3+2,∴a 2015=a 2=2.8.在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影,由区域⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB |=( C )A .22B .4C .32D .6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点C ,D 分别作直线x +y -2=0的垂线,垂足分别为A ,B ,则四边形ABDC 为矩形,又C (2,-2).D (-1,1),所以|AB |=|CD |=(2+1)2+(-2-1)2=3 2.故选C .9.已知数列{a n }的通项公式是a n =1n +n +1(n ∈N *),若a n +a n +1=11-3,则n 的值是( B )A .12B .9C .8D .6[解析] ∵a n =1n +n +1=n +1-n ,∴a n +a n +1=n +1-n +n +2-n +1 =n +2-n =11-3=11-9, ∴n =9.10.已知△ABC 中,∠A =30°,AB 、BC 分别是3+2、3-2的等差中项与等比中项,则△ABC 的面积等于( D )A .32B .34C .32或3 D .32或34[解析] 依题意得AB =3,BC =1,易判断△ABC 有两解,由正弦定理,得AB sin C =BCsin A ,3sin C =1sin30°,即sin C =32.又0°<C <180°,因此有C =60°或C =120°.当C =60°时,B =90°,△ABC 的面积为12AB ·BC =32;当C =120°时,B =30°,△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B =12×3×1×sin30°=34.综上所述,选D . 11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 7+a 12=24,则S 13=( C ) A .52 B .78 C .104D .208[解析] 由等差数列的性质得a 2+a 7+a 12=3a 7=24,∴a 7=8, ∴S 13=13a 7=104,故选C .12.若直线x a +yb =1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于13.( C ) A .2 B .3 C .4D .5[解析] 由已知得,1a +1b =1,a >0,b >0,则a +b =(a +b )(1a +1b )=2+b a +ab ≥2+2b a ·a b=4,当b a =ab,即a =b =2时取等号.[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式,难度又不大,这是高考客观题命题的主要方向.平时就要加强这种小综合交汇训练.二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上) 13.等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 5=b 5,2a 5-a 2a 8=0,则b 3+b 7=4. [解析] ∵2a 5-a 2a 8=2a 5-a 25=0,a n ≠0,∴a 5=2, ∴b 3+b 7=2b 5=2a 5=4.14.在△ABC 中,∠A =π3,BC =3,AB =6,则∠C =π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3=6sin C ,∴sin C =22,∵AB <BC ,∴C <A ,∴C =π4.15.已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3≤0x +3y -3≥0y -1≤0,若目标函数z =ax +y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12,+∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z =ax +y 经过A 点, 位于直线l 1与x +2y -3=0之间时, z 仅在点A (3,0)处取得最大值, ∴-a <-12,∴a >12.16.已知点(1,t )在直线2x -y +1=0的上方,且不等式x 2+(2t -4)x +4>0恒成立,则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1,t )在直线2x -y +1=0的上方, ∴t >3,∵不等式x 2+(2t -4)x +4>0恒成立, ∴Δ=(2t -4)2-16<0,∴0<t <4,∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项,也是一个等差数列的第1项,第4项,第25项,求这三个数.[解析] 由题意,设这三个数分别是a q ,a ,aq ,且q ≠1,则aq +a +aq =114①令这个等差数列的公差为d ,则a =aq +(4-1)·d .则d =13(a -a q),又有aq =a q +24×13×⎝⎛⎭⎫a -a q ② 由②得(q -1)(q -7)=0,∵q ≠1,∴q =7 代入①得a =14,则所求三数为2,14,98.18.(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )=12sin2x -cos 2(x +π4).(1)若x ∈(0,π),求f (x )的单调递增区间;(2)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (B2)=0,b =1,求△ABC 面积的最大值.[解析] (1)由题意可知,f (x )=12sin2x -1+cos (2x +π2)2=12sin2x -1-sin2x 2=sin2x -12.由2k π-π2≤2x ≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π4≤x ≤k π+π4,k ∈Z .又因为x ∈(0,π),所以f (x )的单调递增区间是(0,π4]和[3π4,π).(2)由f (B 2)=sin B -12=0,得sin B =12,由题意知B 为锐角,所以cos B =32. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得1+3ac =a 2+c 2≥2ac ,即ac ≤2+3,当且仅当a =c 时等号成立. 因为S △ABC =12ac sin B ≤2+34,所以△ABC 面积的最大值为2+34. 19.(本题满分12分)为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,去年冬天,某水利工程队在河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘,其四周都留有宽2 m 的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ,宽为y m ,则农田长为(x +4)m ,宽为(y +4)m ,设农田面积为S .则xy =10 000,S =(x +4)(y +4)=xy +4(x +y )+16=10 000+16+4(x +y )≥10 016+8xy =10 016+800=10 816.当且仅当x =y =100时取等号. 所以当x =y =100时,S min =10 816 m 2. 此时农田长为104 m ,宽为104 m.20.(本题满分12分)(2015·浙江文,17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1nb n =b n +1-1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式;数列的递推关系式;数列求和和运算求解能力,推理论证能力.解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ;利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.[解析] (1)由a 1=2,a n +1=2a n ,得a n =2n . 当n =1时,b 1=b 2-1,因为b 1=当n ≥2时,1n b n =b n +1-b n由累乘法得:b n =n .①, 又∵b n =1,符合①式,∴b n =n (2)由(1)知,a n b n =n ·2n ,所以T n =2+2·22+3·23+…+n ·2n ,2T n =22+2·23+3·24+…+(n -1)·2n +n ·2n +1,所以T n -2T n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1=(1-n )2n +1-2, 所以T n =(n -1)2n +1+2.21.(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知向量m =(cos B,2cos 2C2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求角C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD →=DB →,|CD →|=7,c =23,求△ABC 的面积. [解析] (1)∵m =(cos B ,cos C ),n =(c ,b -2a ),m ·n =0, ∴c cos B +(b -2a )cos C =0,在△ABC 中,由正弦定理得 sin C cos B +(sin B -2sin A )cos C =0, ∴sin A =2sin A cos C .又∵sin A ≠0,∴cos C =12,∵C ∈(0,π),∴C =π3.(2)由AD →=DB →,知CD →-CA →=CB →-CD →,所以2CD →=CA →+CB →, 两边平方得4|CD →|2=b 2+a 2+2ba cos C ∴b 2+a 2+ba =28.①又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴a 2+b 2-ab =12.② 由①②得ab =8,所以S △ABC =12ab sin C =2 3.22.(本题满分14分)已知α、β是方程x 2+ax +2b =0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a 、b ∈R ,求b -3a -1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α+β=-aαβ=2b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-(α+β)b =αβ2,∵0≤α≤1,1≤β≤2, ∴1≤α+β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧-3≤a ≤-10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ,则上述不等式组表示的平面区域如图所示.令k =b -3a -1,可以看成动点P (a ,b )与定点A (1,3)的连线的斜率.取B (-1,0),C (-3,1),则k AB =32,k AC =12,∴12≤b -3a -1≤32. 故b -3a -1的最大值是32,最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a <b <0,则( C ) A .1a <1bB .0<a b <1C .ab >b 2D .b a >a b[解析] ∵a <b <0,∴两边同乘b ,得ab >b 2,故选C . 2.己知集合A ={x |x 2-3x +2<0},B ={x |log 4x >12},则( A )A .A ∩B =∅ B .B ⊆AC .A ∩∁R B =RD .A ⊆B[解析] A ={x |x 2-3x +2<0}={x |1<x <2},B ={x |log 4x >12}={x |x >2},∴A ∩B =∅.故选A .3.(x -2y +1)(x +y -3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中,不等式成立,否定A 、B ,将(0,4)点代入不等式中,不等式成立,否定D ,故选C .4.已知数列{a n }中的首项a 1=1,且满足a n +1=12a n +12n ,则此数列的第三项是( C )A .1B .12C .34D .58[解析] ∵a 1=1,a n +1=12a n +12n ,∴a 2=12a 1+12=1,a 3=12a 2+14=34,∴选C .5.已知A 为△ABC 的一个内角,且sin A +cos A =23,则△ABC 的形状是( B ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .不确定[解析] 解法1:∵sin A +cos A =23,∴(sin A +cos A )2=29,∴2sin A ·cos A =-79<0,∴A 为钝角,∴△ABC 的形状为钝角三角形.故选B .解法2:假设0<A ≤π2,则π4<A +π4≤3π4,∴sin(A +π4)≥22>13.∴sin A +cos A =2sin(A +π4)≥1>23.与条件矛盾,∴A >π2.故选B .6.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( C )A .3B .932C .332D .33[解析] 依题意得a 2+b 2-c 2-2ab +6=0,∴2ab cos C -2ab +6=0,即ab =6,△ABC 的面积等于12ab sin C =332,故选C .7.在等差数列{a n }中,a 3+a 9=27-a 6,S n 表示数列{a n }的前n 项和,则S 11=( B ) A .18 B .99 C .198D .297[解析] 由已知得:a 3+a 9+a 6=27,即3a 6=27,a 6=9. ∴S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=11×9=99.故选B .8.(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax +by -6=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长为25,则ab 的最大值是( B )A .9B .92C .4D .52[解析] 圆的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=5,直线截圆所得的弦长为 25,等于直径,∴直线ax +by -6=0过圆心,即a +2b -6=0.又a >0,b >0,由基本不等式得a +2b ≥22ab ,即ab ≤92,当且仅当a =3,b =32时等号成立,∴ab 的最大值为92.故选B .9.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A 、B 间距离是35 m ,则此电视塔的高度是( A )A .521mB .10mC .4 90013mD .35m[解析] 作出示意图,设塔高OC 为h m ,在Rt △AOC 中,OA =h tan60°=33h ,OB =h . AB =35,∠AOB =150°,由余弦定理得352=(33h )2+h 2-2×33h ·h cos150°, 解得h =521.故选A .10.定义np 1+p 2+…+p n为n 个正数p 1,p 2,…,p n 的“均倒数”,若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ,又b n =a n 5,则1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b 10b 11等于( C )A .811B .919C .1021D .1123[解析] 由n a 1+a 2+…+a n =15n 得S n =a 1+a 2+…+a n =5n 2,则S n -1=5(n -1)2(n ≥2),a n =S n -S n -1=10n -5(n ≥2),当n =1时,a 1=5也满足.故a n =10n -5,b n =2n -1,1b n b n +1=1(2n -1)(2n +1)=12(12n -1-12n +1),所以原式=12(1b 1-1b 11)=12×(1-121)=1021.故选C .11.已知O 是△ABC 的重心,且满足sin A 3·OA →+sin B 7·OB →+sin C 8·OC →=0,则角B 等于( B )A .30°B .60°C .90°D .120°[解析] 由正弦定理得:a 3OA →+b 7OB →+c 8OC →=0,又由题意得:OA →+OB →+OC →=0,∴a 3=b 7=c8,∴由余弦定理得:cos B =a 2+c 2-b 22ac=⎝⎛⎭⎫37b 2+⎝⎛⎭⎫87b 2-b 22×37b ×87b=12∴B =60°.故选B .12.已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2,x +y ≤8,则z =x -y 的最大值为( A )A .4B .-4C .0D .2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,由z =x -y 得y =x -z ,欲求z 的最大值,可将直线l :y =x 向下平移,当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距-2最小,此时z 取得最大值.易求点A (6,2),则z max =6-2=4.故选A .二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上)13.如图,在△ABC 中,∠B =45°,D 是BC 边上一点,AD =5,AC =7,DC =3,则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中,cos ∠ADC =52+32-722×5×3=-12,所以∠ADC =120°,所以∠ADB=60°.在△ABD 中,由正弦定理得AB sin60°=AD sin45°,所以AB =562.14.若函数f (x )=2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围为-1≤a ≤0. [解析] 2x 2+2ax -a -1≥0⇔x 2+2ax -a ≥0,∴Δ≤0, ∴-1≤a ≤0.15.已知实数a ,b 满足a >1,b >0且2a +2b -ab -2=0,那么a +2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ,b 满足a >1,b >0且2a +2b -ab -2=0,整理1a -1+2b =1,所以a+2b =(a -1)+2b +1=[(a -1)+2b ]⎣⎡⎦⎤1a -1+2b +1=2(a -1)b +2b a -1+6,所以2(a -1)b +2ba -1+6≥22(a -1)b ×2b a -1+6=10.当且仅当2(a -1)b =2ba -1时取等号. 16.已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≥0,x +y ≤2,y ≥0,则z =(x +1)2+(y -1)2的最小值是12.[解析] 如图,可行域为△ABC 及其内部,其中A (-1,0),B (2,0),C (12,32).目标函数表示可行域内的点M 到点P (-1,1)的距离的平方,因此所求最小值为点P (-1,1)到直线AC :x -y +1=0的距离的平方,即(|-1-1+1|2)2=12.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4+A =2.(1)求sin2Asin2A +cos 2A的值;(2)若B =π4,a =3,求△ABC 的面积.[分析] 考查同角三角函数基本关系式;正弦定理和三角形面积公式.三角恒等变换与运算求解能力.(1)利用两角和与差的正切公式,求出tan A ,再利用同角三角函数基本关系式得到结论; (2)已知A ,B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解.[解析] (1)由tan(π4+A )=2,得tan A =13,所以sin 2A sin 2A +cos 2 A =2sin A cos A 2sin A cos A +cos 2 A =2tan A 2tan A +1=25.(2)由tan A =13,A ∈(0,π)可得,sin A =1010,cos A =31010.由a =3,B =π4及正弦定理知:b =3 5.又sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =255,所以S △ABC =12ab sin C =12×3×35×255=9.18.(本题满分12分)已知函数f (x )=x 2-2ax -1+a ,a ∈R . (1)若a =2,试求函数y =f (x )x(x >0)的最小值;(2)对于任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立,试求a 的取值范围. [解析] (1)依题意得y =f (x )x =x 2-4x +1x =x +1x -4.因为x >0,所以x +1x≥2.当且仅当x =1x ,即x =1时,等号成立.所以y ≥-2.所以当x =1时,y =f (x )x的最小值为-2.(2)解法1:因为f (x )-a =x 2-2ax -1,所以要使得“任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2-2ax -1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g (x )=x 2-2ax -1, 则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立.所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0,g (2)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧0-0-1≤0,4-4a -1≤0所以a 的取值范围是[34,+∞).解法2:∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立, ∴x 2-2ax -1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立, 当x =0时,显然恒成立,a ∈R ;当x ∈(0,2]时,有a ≥x 2-12x ,令g (x )=x 2-12x ,则g (x )=x 2-12x 在(0,2]上单调递增,∴g (x )max =g (2)=34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34,+∞).19.(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1=a ≠14,且a n +1=⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n+14 (n 为奇数).记b n =a 2n -1-14,n =1,2,3,….(1)求a 2、a 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论. [解析] (1)a 2=a 1+14=a +14,a 3=12a 2=12a +18.(2)∵a 4=a 3+14=12a +38,所以a 5=12a 4=14a +316,所以b 1=a 1-14=a -14,b 2=a 3-14=12(a -14),b 3=a 5-14=14(a -14).猜想:{b n }是公比为12的等比数列.证明如下:∵b n +1=a 2n +1-14=12a 2n -14=12(a 2n -1+14)-14=12(a 2n -1-14)=12b n (n ∈N *),∴{b n }是首项为a -14,公比为12的等比数列.20.(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2-2x +6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <-3或x >-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围. [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <-3或x >-2}, ∴-3,-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根,且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(-3)×(-2)=6,(-3)+(-2)=2k ,∴k =-25. (2)∵不等式的解集为R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ=4-4k ·6k <0,即⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k >66或k <-66,∴k <-66. 即k 的取值范围是(-∞,-66). 21.(本题满分12分)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的角A ,B ,C 所对的边,且c =2,C =π3. (1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ; (2)若sin C +sin(B -A )=2sin2A ,求A 的值.[解析] (1)∵c =2,C =π3,由余弦定理得4=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ,∵△ABC 的面积等于3,∴12ab sin C =3,∴ab =4,联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得a =2,b =2;(2)∵sin C +sin(B -A )=2sin2A , ∴sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , ∴sin B cos A =2sin A cos A , ①当cos A =0时,A =π2,②当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a ,联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2-ab =4,b =2a ,解得a =233,b =433,∴b 2=a 2+c 2,∵C =π3,∴A =π6,综上所述,A =π2或A =π6.22.(本题满分14分)已知等差数列{a n }中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和S 10=100. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =20,S 10=10a 1+10×92d =10a 1+45d =100,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1. (2)由(1)可知a n ·2a n =(2n -1)×22n -1,所以S n =1×21+3×23+5×25+…+(2n -3)×22n -3+(2n -1)×22n -1,① 4S n =1×23+3×25+5×27+…+(2n -3)×22n -1+(2n -1)×22n -1,② ①-②得-3S n =2+2×(23+25+…+22n -1)-(2n -1)×22n +1 所以S n =2+2×(23+25+…+22n -1)-(2n -1)×22n +1-3=2+2×8(1-4n -1)1-4-(2n -1)×22n +1-3=-6+16(1-4n -1)+(6n -3)×22n +19=10+(6n -5)×22n +19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在锐角三角形ABC 中,已知A =2C ,则ac 的范围是( C )A .(0,2)B .(2,2)C .(2,3)D .(3,2)[解析] a c =sin A sin C =sin2Csin C =2cos C ,又A +B +C =π,A =2C ,∴π6<C <π4,∴2<ac< 3. 2.已知2a =3b =m ,且a ,ab ,b 成等差数列,则m =( C )A .2 C .6[解析] ∵2a =3b =m ,∴a =log 2又∵a ,ab ,b 成等差数列,∴2ab =a +b ⇒2=1a +1b=log m 2+log m 3=log m 6,∴m = 6.3.在△ABC 中,若(a -a cos B )sin B =(b -c cos C )sin A ,则这个三角形是( D ) A .底角不等于45°的等腰三角形 B .锐角不等于45°的直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理,得a sin B =b sin A , ∴a sin B cos B =c sin A cos C , sin A sin B cos B =sin C sin A cos C . ∴sin2B =sin2C .∴B =C ,或2B =π-2C ,即B +C =π2.4.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A .66B .99C .144D .297[解析] 设b i =a i +a i +3+a i +6,则由条件知{b n }为等差数列,且b 1=39,b 3=27,∴公差d =b 3-b 12=-6,∴数列{a n }前9项的和a 1+a 2+…+a 9=b 1+b 2+b 3=3b 2=3(b 1+d )=3×(39-6)=99.5.△ABC 的三边分别为a ,b ,c ,且a =1,B =45°,S △ABC =2,则△ABC 的外接圆的直径为( C )A .43B .5C .52D .62[解析] ∵S △ABC =12ac sin B ,∴c =4 2.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =25, ∴b =5.由正弦定理,得2R =bsin B=52(R 为△ABC 外接圆的半径),故选C .6.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( B ) A .172B .192C .10D .12[解析] 由题可知:等差数列{a n }的公差d =1,因为等差数列S n =a 1n +n (n -1)d2,且S 8=4S 4,代入计算可得a 1=12;等差数列的通项公式为a n =a 1+(n -1)d ,则a 10=12+(10-1)×1=192.故本题正确答案为B .7.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >b >c ,a 2<b 2+c 2,则A 的取值范围为( C )A .(π2,π)B .(π4,π2)C .(π3,π2)D .(0,π2)[解析] 由题意,得cos A =b 2+c 2-a 22bc >0,∴A <π2.又a >b >c ,∴A >B >C .又∵A +B +C =π,∴A >π3,故选C .8.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S na n ( C )A .4n -1B .4n -1 C .2n -1D .2n -1[解析] 设公比为q ,则a 1(1+q 2)=52,a 2(1+q 2)=54,∴q =12,∴a 1+14a 1=52,∴a 1=2.∴a n =a 1q n -1=2×(12)n -1,S n =2[1-(12)n ]1-12=4[1-(12)n ],∴S n a n =4[1-(12)n ]2×(12)n -1=2(2n -1-12) =2n -1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ,计算量大,若注意到等比数列的性质及求S na n,可简明解答如下:∵a 2+a 4=q (a 1+a 3),∴q =12,∴S na n =a 1(1-q n )1-q a 1q n -1=1-q n (1-q )·qn -1=1-12n 12·12n -1=2n -1. 9.根据下边框图,对大于2的整数N ,输出的数列的通项公式是( C )A .a n =2nB .a n =2(n -1)C .a n =2nD .a n =2n -1[解析] 由程序框图可知a 1=2,a 2=22,a 3=23, ∴a n =2n .10.已知等比数列{a n }中,a n >0,a 5、a 95为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 20·a 50·a 80的值为( B )A .32B .64C .256D .±64[解析] 由条件知a 5+a 95=10,a 5·a 95=16, ∵{a n }是等比数列,∴a 250=16,∵a n >0,∴a 50=4,∴a 20a 50a 80=a 350=64. 11.△ABC 中,A ︰B =1︰2,∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分,则cos A 等于( C )A .13B .12C .34D .0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线, ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等, ∴△ACD 与△BCD 的高相等. ∵A ︰B =1︰2,∴AC >BC .∵S △ACD ︰S △BCD =3︰2,∴AC BC =32. 由正弦定理,得sin B sin A =32,又∵B =2A ,∴sin2A sin A =32,∴2sin A cos A sin A =32, ∴cos A =34.12.若△ABC 的三边为a ,b ,c ,f (x )=b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x +c 2,则函数f (x )的图象( B ) A .与x 轴相切 B .在x 轴上方 C .在x 轴下方D .与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ=(b 2+c 2-a 2)2-4b 2c 2 =(2bc cos A )2-4b 2c 2 =4b 2c 2(cos 2A -1).∵0<A <π,∴cos 2A -1<0,∴Δ<0, ∴函数图象与x 轴没交点.故选B .二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上) 13.已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时,a n =a n -1+12,且a 1=1,∴{a n }是以1为首项,12为公差的等差数列.∴S 9=9×1+9×82×12=9+18=27.14.三角形一边长14,它对的角为60°,另两边之比为8︰5,则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ,则 cos60°=64x 2+25x 2-14280x 2,∴x =2,∴另两边长为16和10,此三角形面积S =12×16×10·sin60°=40 3.15.若数列{a n }满足a 1=2,a n =1-1a n -1,则a 2016=-1. [解析] ∵a 1=2,a n =1-1a n -1,∴a 2=1-1a 1=12,a 3=1-1a 2=-1,a 4=1-1a 3=2,a 5=1-1a 4=12,……∴数列{a n }的值呈周期出现,周期为3. ∴a 2016=a 3=-1.16.已知a ,b ,c 分别为 △ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC[解析] 由a =2,(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 及正弦定理可得,(a +b )(a -b )=(c -b )·c∴b 2+c 2-a 2=bc ,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,∴A =60°. 在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos60°=b 2+c 2-bc ≥2bc -bc =bc ,(等号在b =c 时成立),∴bc ≤4.∴S △ABC =12bc sin A ≤12×4×32= 3. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a cos B +b cos A =2c cos C .(1)求C ;(2)若△ABC 的面积为23,a +b =6,求∠ACB 的角平分线CD 的长度.[解析] (1)已知a cos B +b cos A =2c cos C ,由正弦定理,得sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C ,所以sin(A +B )=2sin C cos C ,即sin C =2sin C cos C .因为0<C <π,所以cos C =12,故C =π3. (2)方法一:由已知,得S =12ab sin C =34ab =23,所以ab =8. 又a +b =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2b =4,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a =2b =4时,由余弦定理,得c 2=4+16-2×2×4×12=12, 所以c =2 3.所以b 2=a 2+c 2,△ABC 为直角三角形,∠B =π2. 因为CD 平分∠ACB ,所以∠BCD =π6. 在Rt △BCD 中,CD =2cos π6=433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a =4b =2时,同理可得CD =2cos π6=433. 方法二:在△ABC 中,因为CD 平分∠ACB ,所以∠ACD =∠BCD =π6. 因为S △ABC =S △ACD +S △BCD ,所以S △ABC =12b · CD ·sin π6+12a ·CD ·sin π6=12CD ·sin π6·(a +b )=14(a +b )·CD . 因为S △ABC =23,a +b =6,即23=14×6·CD ,解得CD =433. 18.(本题满分12分))在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若m =(cos 2A 2,1),n =(cos 2(B +C ),1),且m ∥n .(1)求角A ;(2)当a =6,且△ABC 的面积S 满足3=a 2+b 2-c 24S时,求边c 的值和△ABC 的面积. [解析] (1)因为m ∥n ,所以cos 2(B +C )-cos 2A 2=cos 2A -cos 2A 2=cos 2A -cos A +12=0, 即2cos 2A -cos A -1=0,(2cos A +1)(coa A -1)=0. 所以cos A =-12或cos A =1(舍去),即A =120°. (2)由3=a 2+b 2-c 24S 及余弦定理,得tan C =33,所以C =30°. 又由正弦定理a sin A =c sin C,得c =2 3. 所以△ABC 的面积S =12ac sin B =3 3. 19.(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =32a n -1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2log 3a n 2+1,求1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b n -1b n. [解析] (1)当n =1时,a 1=32a 1-1,∴a 1=2. ∵S n =32a n -1,① S n -1=32a n -1-1(n ≥2),② ∴①-②得a n =(32a n -1)-(32a n -1-1),即a n =3a n -1,∴数列{a n }是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n =2·3n -1.(2)由(1)得b n =2log 3a n 2+1=2n -1, ∴1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b n -1b n =11×3+13×5+…+1(2n -3)(2n -1) =12[(1-13)+(13-15)+…+(12n -3-12n -1)]=n -12n -1. 20.(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房,购买当天首付300万元,以后每月的这一天都交100万元,并加付此前欠款的利息,设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少万元?全部贷款付清后,买这批住房实际支付多少万元?[解析] 购买时付款300万元,则欠款2 000万元,依题意分20次付清,则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n },故a 1=100+2 000×0.01=120(万元),a 2=100+(2 000-100)×0.01=119(万元),a 3=100+(2 000-100×2)×0.01=118(万元),a 4=100+(2 000-100×3)×0.01=117(万元),…a n =100+[2 000-100(n -1)]×0.01=121-n (万元) (1≤n ≤20,n ∈N *).因此{a n }是首项为120,公差为-1的等差数列.故a 10=121-10=111(万元),a 20=121-20=101(万元).20次分期付款的总和为S 20=(a 1+a 20)×202=(120+101)×202=2 210(万元). 实际要付300+2 210=2 510(万元).即分期付款第10个月应付111万元;全部贷款付清后,买这批住房实际支付2 510万元.21.(本题满分12分)在△ABC 中,若a 2+c 2-b 2=ac ,log 4sin A +log 4sin C =-1,S △ABC =3,求三边a ,b ,c 的长及三个内角A ,B ,C 的度数.[解析] 由a 2+c 2-b 2=ac ,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =12. ∵0°<B <180°,∴B =60°.∵S △ABC =12ac sin B =12ac ×32=3, ∴ac =4.①由log 4sin A +log 4sinC =-1,得sin A sin C =14. 由正弦定理,得ac 4R 2=14, ∴44R 2=14, ∴R =2(负值舍去).∴b =2R sin B =2×2×32=2 3. 由已知,得a 2+c 2-(23)2=4.②当a >c 时,由①②,得a =6+2,c =6- 2.∴三边的长分别为a =6+2,b =23,c =6- 2.由正弦定理,得sin A =a 2R =6+24=sin105°. ∴A =105°,即C =15°.同理,当a <c 时,a =6-2,b =23,c =6+2,A =15°,B =60°,C =105°.22.(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=λS n +1(n ∈N *,λ≠-1),且a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式;(2)求数列{a n b n }的前n 项和.[解析] (1)解法1:∵a n +1=λS n +1(n ∈N *),∴a n =λS n -1+1(n ≥2),∴a n +1-a n =λa n ,即a n +1=(λ+1)a n (n ≥2),λ+1≠0,又a 1=1,a 2=λS 1+1=λ+1,∴数列{a n }为以1为首项,公比为λ+1的等比数列,∴a 3=(λ+1)2,∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1∴a n =2n -1,b n =1+3(n -1)=3n -2,解法2:∵a 1=1,a n +1=λS n +1(n ∈N *),∴a 2=λS 1+1=λ+1,a 3=λS 2+1=λ(1+λ+1)=λ2+2λ+1,∴4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3,整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1∴a n +1=S n +1(n ∈N *),∴a n =S n -1+1(n ≥2)∴a n +1-a n =a n ,即a n +1=2a n (n ≥2), 又a 1=1,a 2=2,∴数列{a n }为以1为首项,公比为2的等比数列, ∴a n =2n -1,b n =1+3(n -1)=3n -2.(2)a n b n =(3n -2)·2n -1,∴T n =1·1+4·21+7·22+…+(3n -2)·2n -1 ① ∴2T n =1·21+4·22+7·23+…+(3n -5)·2n -1+(3n -2)·2n ② ①-②得-T n =1·1+3·21+3·22+…+3·2n -1-(3n -2)·2n=1+3·2·(1-2n -1)1-2-(3n -2)·2n整理得:T n =(3n -5)·2n +5.。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)
一、选择题1.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S ,且24cos cos tan Sb C bc B C=+,2a b +=,c =S =( )A .4B C .16D .122.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则ABC 的面积S =根据此公式,若cos (2)cos 0a B b c A +-=,且2224b c a ,则ABC 的面积为( )AB .CD .3.ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3,60a b A ===︒,则边c =( ) A .1B .2C .4D .64.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222sin sin sin sin A C B A C +-=,1b =,则2a -的最小值为( )A .4-B .-C .2-D .5.已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+,则2cos cos()AC A -的取值范围是( )A .,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B .12⎛⎝⎭ C .,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6.在ABC 中,若2a =,b =30A =︒,则B 等于( ) A .30B .30或150︒C .60︒D .60︒或120︒7.已知点O 为ABC 的外心,且3A π=,CO AB BO CA ⋅=⋅,则ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .等边三角形C .直角三角形或等边三角形D .钝角三角形 8.在ABC 中,tansin 2A BC +=,若2AB =,则ABC 周长的取值范围是( )A .(2,B .(4⎤⎦C .(4,2+D .(2⎤+⎦9.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A 、B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是( )A .35mB .10mC .490013m D .10.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知45A =︒,2a =,b =B 为( ) A .60︒B .60︒或120︒C .30D .30或150︒11.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若ABC 的面积为S ,且()22a b c =+-,则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1B .2C D 12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若角A ,B ,C 成等差数列,且直线ax +cy ﹣12=0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y =0的周长,则△ABC 的面积的最大值为( )A .BC .32D 二、填空题13.已知在锐角ABC ,且212tan tan sin A B A +=,其内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,则边c 的 最小值为_____________.14.在ABC 中,2AB =,4AC =,则C ∠的取值范围为______.15.在ABC 中,内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ,b ,c .若()224c a b =-+,23C π=,则ABC 的面积是________. 16.设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角,已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-,()sin sin ,sin n A C B =-,且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.17.如图,A ,B 两点都在河的对岸(不可到达),在所在的河岸边选取相距30m 的C ,D 两点,测得75ACB ∠=︒,45BCD ∠=︒,30ADC ∠=︒,45ADB ∠=︒,其中A ,B ,C ,D 四点在同一平面内,则A ,B 两点之间的距离是_______m .18.如图,为了测量山坡上灯塔CD 的高度,某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒,30α=︒,若山坡高为32a =,则灯塔高度是________.19.在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =α(0<α<2π),已知AB 的取值范围是(1,2),则cos α的值为_____.20.在三角形ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,222a c b ac +-=,3b =2a c +的最大值为______.三、解答题21.在①222b c a bc +-=;②4AB AC ⋅=;③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求ABC 的面积.问题:已知ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin 2sin C B =,2b =, ?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.22.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =.(1)求b 和sin A 的值;(2)求三角形BC 边的中线AD 长; (3)求πsin(2)4A +的值. 23.已知在△ABC 中,a ∶b ∶c =2∶6∶3+1),求角A 的大小.24.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2sin c bC -=tan cos A C -. (1)求角A 的大小;(2)若b =,2c =,点D 在边BC 上,且2CD DB =,求a 及AD .25.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =,面积28sin a S A=,再从以下两个条件中选择其中一个作为已知,求三角形的周长.(1)6B π=;(2)B C =.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.26.在ABC 中,内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,已知222a c b -=,且sin cos 3cos sin A C A C = ,求b【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D 解析:D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+,利用面积公式和和差角公式求出角C ,用余弦定理求出ab ,求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+,所以22cos cos cos ab C b C bc B =+,所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+,所以1cos ,sin 22C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===,得13ab =,所以1sin 212S ab C ==故选:D 【点睛】在解三角形中,选择用正弦定理或余弦定理,可以从两方面思考: (1)从题目给出的条件,边角关系来选择; (2)从式子结构来选择.2.C解析:C【分析】首先根据正弦定理化简已知,求得1cos 2A =,再根据余弦定理求bc ,最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=, sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠,1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=,解得:4bc =,根据面积公式可知S === 故选:C 【点睛】关键点点睛,本题考查数学文化,理解面积公式,对于面积公式可变形为S =3.C解析:C 【解析】试题分析:2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒,即2340c c --=,解得4c =或1c =-(舍去). 考点:余弦定理,正弦定理.4.A解析:A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=,利用正弦定理和余弦定理,可得6B π=,再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式,得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,借助角C 的范围,即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=,∴222a c b +-=,∴22222a cb ac +-=,∴cos 2B =,又0B π<<,∴6B π=,12sin sin sin sin 6b A C B a c π====, ∴2sin a A =,2sin c C =,∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<,所以7336C πππ<+<, 所以当3C ππ+=时,2a -取得最小值,且最小值为4-.故选:A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题,考查学生对这些知识的掌握能力,属于中档题.在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,一 般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.5.C解析:C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角,结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =,由锐角三角形得出A 角范围,再代入化简求值式,利用余弦函数性质可得结论. 【详解】∵2()c a a b =+,∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-,∴(12cos )b a C =+, 由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+,∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+,整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-,∵,A C 是三角形的内角,∴A C A =-,即2C A =,又三角形是锐角三角形,∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩,解得64A ππ<<,由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭. 故选:C . 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换,考查两角与差的正弦公式,余弦函数的性质,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.6.D解析:D 【分析】由正弦定理,求得sin sin bB A a=,再由a b <,且0180B ︒<<︒,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,在ABC 中,由正弦定理可得sin sin a bA B=,即sin sin sin 3022b B A a ==︒=, 又由a b <,且0180B ︒<<︒, 所以60B =︒或120B =︒, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,其中解答中熟记三角形的正弦定理,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7.B解析:B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ,利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+,再利用余弦定理得2bc a =,由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=,即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ,则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-, 同理()2212BO CA c a ⋅=-,所以2222a b c =+, 又3A π=,由余弦定理,得222a b c bc =+-,即222b c a bc +=+,所以2bc a =,由正弦定理,得23sin sin sin 4B C A ==, 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭, 所以23131cos 23sin sin sin cos sin 2322444B B B B B B B π⎛⎫-⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 32cos 22B B -=,所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以262B ππ-=,解得3B π=,所以3A B C π===, 所以ABC 是等边三角形. 故选:B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则,正弦定理、余弦定理、三角恒等变换,综合性比较强,属于中档题.8.C解析:C 【解析】由题意可得:cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭, 则:21sin22C =,即:1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形,则:()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭,据此有:a b +≤△ABC的周长:2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边,则:2,4a b a b c +>∴++>, 综上可得:ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9.D解析:D 【分析】设塔底为O ,设塔高为h ,根据已知条件求得,OA OB 的长,求得AOB ∠的大小,利用余弦定理列方程,解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ,设塔高为h,由已知可知,OA OB h ==,且150AOB ∠=,在三角形AOB中,由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭,解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用,考查利用余弦定理解三角形,属于基础题.10.C解析:C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =,再根据a b >知A B >,得到答案. 【详解】根据正弦定理:sin sin a bA B =,即1sin 2B =,根据a b >知A B >,故30B =︒. 故选:C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度,多解是容易发生的错误.11.D解析:D 【分析】根据()2243S a b c =+-3cos 1C C -=,结合三角函数的性质,求得C 的值,最后利用两角和的正弦函数,即可求解. 【详解】由()22a b c =+-,可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+,因为2222cos a b c ab C +-=,所以sin 2cos 2C ab C ab =+,cos 1C C -=,可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 又因为0πC <<,则ππ5π666C -<-<,所以ππ66C -=,解得π3C =, 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值,以及余弦定理的应用,其中解答中根据题设条件和余弦定理,求得C 的值,结合三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力.12.B解析:B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=,根据直线过圆心可得2312a c +=,根据基本不等式可得6ac ≤,最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中,A +B +C =π,∵角A ,B ,C 成等差数列,∴2B =A +C , ∴2B =π﹣B ,∴B 3π=.∵直线ax +cy ﹣12=0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y =0的周长, ∴圆心(2,3)在直线ax +cy =12上,则2a +3c =12, ∵a>0,c >0,∴12=2a +3c ≥ac ≤6. 当且仅当2a =3c ,即a =3,c =2时取等号.∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 故选:B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,基本不等式以及三角形面积公式的应用,属于中档题.二、填空题13.2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析:2 【分析】先化切为弦,结合正、余弦定理将角化边,再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=,构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,再用导数求得最值.【详解】 由212tan tan sin A B A +=,得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=, 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=,结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=,再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=,整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-,代入上式得()22cos c bc A =-,又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=, 设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,求导可得()212cos sin xf x x-'=,由()212cos 0sin x f x x -'==,得3x π=,所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是24c =≥,即2c ≥,当且仅当3A π=时,等号成立. 故答案为:2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边,构造函数求最值是本题解题的关键.14.【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解:在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得:函数在上单调解析:π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围,再结合余弦定理可以用a 表示cos C ,求出cos C 的范围,进而求得C ∠的取值范围. 【详解】解:在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c , 由题意得2c =,4b =, b c a b c -<<+,即26a <<,2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+, 令()382x f x x =+,所以()2221312'828x f x x x-=-=, 所以根据导数与函数单调性的关系得:函数()f x 在(2,上单调递减,在()上单调递增,所以当26x <<时,()f x 的取值范围为2⎫⎪⎢⎪⎣⎭.所以cos C ⎫∈⎪⎪⎣⎭又因为0πc <<, 所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为:π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形,三角形的性质,考查运算能力与化归转化思想,是中档题.15.【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得:在中由余弦定理得:即所以即所以故答案为:【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题解析:3【分析】利用余弦定理,结合()224c a b =-+,23C π=求出43ab =,利用1sin 2ABCS ab C =,即可求出三角形的面积.【详解】由()224c a b =-+可得:22224c a b ab =+-+, 在ABC 中,由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-, 即222c a b ab =++, 所以24ab ab -+=, 即43ab =,所以114sin 223ABCSab C ==⨯=,【点睛】本题主要考查了余弦定理,面积公式的应用,属于中档题.16.【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为:【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析:3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系,再根据正、余弦定理求出cos C ,即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-,()sin sin ,sin n A C B =-,且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==,又因为()0,C π∈得3C π=故答案为:3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用,是常考的综合题,属于中档题.17.【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解:如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴(米)即AB 之间的距离为米解析:1015. 【分析】本题先在ACD △中,得出30CAD ADC ∠=∠=︒,得CD 的值,然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长,最后在ABC 中由余弦定理,算出21500AB =,即可得到A ,B 之间的距离. 【详解】解:如图所示,∵75ACB ∠=︒,45BCD ∠=︒,30ADC ∠=︒, ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒,∴在ACD △中,18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠, ∴30AC CD ==.∵在BCD 中,60CBD ∠=︒, ∴由正弦定理,得30sin 75sin 60BC =︒︒,可得sin 7530203sin 75sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中,由余弦定理,得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=,∴1015AB =(米),即A ,B 之间的距离为1015米. 故答案为:1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题,是中档题.18.28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为:28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此解析:28 【分析】作BN DC ⊥于N ,DC 延长线交地面于M ,则AM BN =,AM DM ⊥,tan DM AM β=,tan DN BN α=,由40DM DN -=求得BN ,从而可得DM ,然后即得DC . 【详解】如图,BN DC ⊥于N ,DC 延长线交地面于M ,则tan DN BN α=,tan DM AM β=,而BN AM =,所以tan tan BN BN h βα-=,即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=,40203tan 60tan 30BN ==︒-︒,所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=. 故答案为:28.【点睛】本题考查解三角形的应用,掌握仰角概念是解题基础.测量高度问题常常涉及到直角三角形,因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键,有时还需要用三角函数恒等变换公式.19.【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解:如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得 解析:24【分析】延长BA ,CD 交与E 点,过点C 作CFAD 交与F 点,可得BF AB BE <<,由AB 的取值范围是(1,2),可得1,2BF BE ==,设BC x =,在BCE ∆与BCF ∆中,分别运用正弦定理可得关于cos α的方程,联立可得答案. 【详解】解:如图,,延长BA ,CD 交与E 点,过点C 作CF AD 交与F 点,可得BF AB BE <<,由AB 的取值范围是(1,2),可得1,2BF BE ==, 设BC x =,在BCE ∆中,由正弦定理可得:sin sin BC BEE BCE=∠∠,即:2sin(2)sin x παα=-,可得22cos xα=, 同理,在BCF ∆中,由正弦定理可得:sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即:1sin sin(2)x απα=-,可得2cos 1x α=, 故可得:2124cos α=,可得21cos 8α=,又02<<πα,故2cos α=, 故答案为:24. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形,考查学生数学建模的能力与运算能力,属于中档题.20.【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为:【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析:7【分析】由余弦定理可求出角B ,再根据正弦定理即可表示出2a c +,然后利用消元思想和辅助角公式,即可求出2a c +的最大值. 【详解】因为222a cb ac +-=,所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,而0B π<<,∴3B π=.∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====,∴2sin ,2sin a A c C ==.∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+,其中tan ϕ=. 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得.故答案为: 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及利用三角函数求解三角形中的最值问题,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.三、解答题21.答案见解析 【分析】利用边角互化可得24c b ==,选①:利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解;选②:利用向量数量积的定义可得1cos 2A =,从而可得3A π=,再利用三角形的面积公式即可求解;选③:利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =,从而可得3A π=,再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =,2b =,所以24c b ==,选①:因为222b c a bc +=+,所以2221cos 22b c a A bc +-==, 又因为()0,A π∈,所以3A π=.所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选②:若4AB AC ⋅=,故cos 4AB AC A ⋅⋅=,则1cos 2A =,故3A π=, 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③:若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭,则cos2cos 0A A +=,故22cos cos 10A A +-=,解得1cos 2A =(cos 1A =-舍去),故3A π=. 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 22.(113;(2)2;(3)26. 【分析】(1)确定B 锐角,求得cos B ,由余弦定理求得b ,再由正弦定理得sin A ; (2)在ABD △中由余弦定理求得中线AD ,(3)确定A 是锐角,求得cos A ,由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A ,然后由两角和的正弦公式求值. 【详解】(1)在ABC 中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得cos 45B =.由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b = 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==. 所以,bsin A(2)设BC 边的中点为D ,在ABD △中,cos 45B = 由余弦定理得:2AD ===, (3)由(1)及a c <,得cos A =,所以12sin 22sin cos 13A A A ==,25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=.【点睛】关键点点睛:本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解,注意在用平方关系求得角的余弦时,先确定角的范围,然后计算.23.45A =︒【分析】利用余弦定理可求A 的大小. 【详解】由题设可设)2,,1(0)a k b c k k ===>,由余弦定理得,222222644cos 2k k k b c aA bc+-+-===, 而A 为三角形内角,故45A =︒. 24.(1)π4A =;(2)a =AD = 【分析】(1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-,再化简计算即可求出cos A =(2)由余弦定理求得a =,求得cos B =3a BD ==,再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解:(1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-, ()()sin sin sin tan cos C A CA C A C -+=-, ∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-,∵sin 0C ≠,∴2sincos cos AA A+=∴cos 2A =0πA <<,∴π4A =.(2)由余弦定理可得:2222cos 1841210a b c bc A=+-=+-=, ∴a =∵点D 在边BC 上,且2CD DB =,∴33a BD ==, 又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=,∴AD = 【点睛】 关键点睛:本题考查正余弦定理的应用,解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件,再结合三角恒等变换化简运算.25.2+【分析】 利用三角形的面积公式,结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =,再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边,可得三角形的周长.【详解】 由三角形的面积公式可知,1sin 2S ab C =, 21sin 28sin a ab C A∴=, 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠,4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=, 若选择条件(1)由6B π=:得1sin 2B =,则1sin 2C =, 又,,A B C 为三角形的内角,6B C π∴==,2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件(2)B C =,则由B C =,得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =,1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角,,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==,代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛:利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26.4【分析】根据题意,在ABC 中,因为sin cos 3cos sin A C A C =,由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得:2222()a c b -=,结合已知条件222a c b -=,联立即可得解.【详解】在ABC 中,因为sin cos 3cos sin A C A C =,由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得:2222()a c b -=,又由已知222a c b -=,所以24b b =,解得4b =或0b =,由0b ≠,所以4b =.。
(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案
.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷(选择题)一、单选题1.数列的一个通项公式是( )0,23,45,67⋯A .B . a n =n -1n +1(n ∈N *)a n =n -12n +1(n ∈N *)C .D .a n =2(n -1)2n -1(n ∈N *)a n =2n2n +1(n ∈N *)2.不等式的解集是( )x -12-x ≥0A .B .C .D . [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3.若变量满足 ,则的最小值是( )x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A .B .C .D . 4-5-314.在实数等比数列{a n }中,a 2,a 6是方程x 2-34x +64=0的两根,则a 4等于( )A . 8B . -8C . ±8D . 以上都不对5.己知数列为正项等比数列,且,则( ){a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A . 1B . 2C . 3D . 46.数列前项的和为( )11111,2,3,4,24816n A . B . C .D .2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7.若的三边长成公差为的 等差数列,最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为( )A .B .C .D .1541534213435348.在△ABC 中,已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A . 30°B . 60°C . 30°或150°D . 60°或120°9.下列命题中正确的是( )A . a >b ⇒ac 2>bc 2B . a >b ⇒a 2>b 2C . a >b ⇒a 3>b 3D . a 2>b 2⇒a >b.10.满足条件,的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A . 1个B . 2个C . 无数个D . 不存在11.已知函数满足:则应满足( )f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A .B .C .D .-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312.已知数列{a n }是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为( )a 1,a 2,a 5a2A . -2B . -3C . 2D . 313.等差数列的前10项和,则等于(){a n }S 10=15a 4+a 7A . 3B . 6C . 9D . 1014.等差数列的前项和分别为,若,则的值为( ){a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A .B .C .D . 3547581219第II 卷(非选择题)二、填空题15.已知为等差数列,且-2=-1,=0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16.在中,,,面积为,则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17.已知中,,, ,则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18.若数列的前n 项和,则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19.直线下方的平面区域用不等式表示为________________.x -4y +9=020.函数的最小值是 _____________.y =x +4x -1(x >1)21.已知,且,则的最小值是______.x ,y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22.解一元二次不等式(1) (2)-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.(1)求边上的中线的长;BC AD (2)求△的面积。
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12.D 【解析】 【分析】
选项 D 中,因为当 a2>b2 时,比如 a=-2,b=0,的不满足 a>b,故错误,排除法只有选 C.
考点:本试题主要考查了不等式的性质的运用。
点评:解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。 10.B
【解析】
解:因为满足条件a
=
4,b
=
3
2,A
=
45
∘
,利用余弦定理可知得到关于
参考答案
【解析】
【分析】 观察数列分子为以 0 为首项,2 为公差的等差数列,分母是以 1 为首项,2 为公差的等差数 列,故可得数列的通项公式.
【详解】 观察数列分子为以 0 为首项,2 为公差的等差数列,分母是以 1 为首项,2 为公差的等差数 列,
2(n - 1)
故可得数列的通项公式 an= 2n - 1 (n∈Z*).
1 11 1 6.数列1 , 2 , 3 , 4 ,前 n 项的和为( )
2 4 8 16
1 n2 n
1 n2 n
1 n2 n
A.
B.
1
C.
D.
2n 2
2n 2
2n 2
1 2n1
n2 2
n
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3
7.若ΔABC的三边长a,b,c成公差为2的 等差数列,最大角的正弦值为 2 ,则这个三角形
北师大版高二数学必修5质量检测题及答案
高二数学必修5质量检测题姓名:_________班级:________ 得分:________第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本答题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 3,…那么A .第12项B .第13项C .第14项D .第15项2. 已知数列{a n }中,12n n a a -= (n ≥2),且a 1=1,则这个数列的第7项为A .512B .256C .128D .643. 已知等差数列}{n a 中,610416,2,a a a +==则6a 的值是A . 15B . 10 C. 5 D. 84. 数列{n a }的通项公式是n a =331n n -(n ∈*N ),则数列{n a }是 A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .不能确定该数列的增减性5.在ABC ∆中,6016A AB ∠=︒=,,面积S =,则AC 等于A.50B.C.100D. 6.对于任意实数a 、b 、c 、d ,以下四个命题中的真命题是A .若,0,a b c >≠则ac bc >B .若0,,a b c d >>>则ac bd >C .若,a b >则11a b< D .若22,ac bc >则a b > 7. 在等比数列{a n }中,3S =1,6S =4,则101112a a a ++的值是A .81B .64C .32D .278. 已知等比数列{}n a 满足1223412a a a a +=+=,,则5a =A .64B .81C .128D .2439.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,则不等式()()1f x f > 的解集是A.()()3,13,-+∞ B. ()()3,12,-+∞ C. ()()1,13,-+∞ D. ()(),31,3-∞-10. 用铁丝制作一个面积为1 m 2的直角三角形铁框,铁丝的长度最少是A. 5.2 mB. 5 mC. 4.8 mD. 4.6 m11.已知点P (x ,y )在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动, 则12z x y =-+的取值范围是 A .[-1,-1] B .[-1,1] C .[1,-1] D .[1,1]12.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米,测得灯塔A 在观察站C 的正西方向,灯塔B 在观察站C 西偏南30,若两灯塔A 、B千米,则x 的值为C.或二、填空题:本大题共5小题,每小题6分,共30分.把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上.13. 不等式2(2)(23)0x x x ---<的解集为14. 已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =-,则其通项公式为=n a ________ 15. 在29和34之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则插入的2个数的乘积为 16.已知点(3,1)和(-1,1)在直线320x y a -+=的同侧,则a 的取值范围是17.若2+22+ (2)>130,n ∈N*,则n 的最小值为_______.高二数学必修5质量检测题(卷)2009.11第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题:本大题共5小题,每小题6分,共30分.把答案填在题中横线上.13. ; 14. .15. . 16. ; 17.__________.三、解答题:本大题共4小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分15分)设不等式2430x x -+<的解集为A ,不等式260x x +->的解集为B.(1)求A∩B; (2)若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B,求,a b 的值.19. (本题满分15分)在锐角△ABC 中,已知AC =2AB =, 60A ∠=. 求:(1)BC 边的长;(2)分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数.20. (本题满分15分)已知a ∈R, 解关于x 的不等式:220x x a a ---<21. (本题满分15分)某种汽车购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费及汽油费共1万元;汽车的维修费第一年为1千元,以后每年都比上一年增加2千元.(Ⅰ)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为n S ,试写出n S 的表达式;(Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).高二数学必修5质量检测题参考答案及评分标准2009.11一、选择题:本答题共12小题,每小题5分,共60分.1. B (根据石油中学 魏有柱供题改编)2. D (根据铁一中张爱丽供题改编)3. C (根据金台高中高二数学组供题改编)4.B (根据铁一中周粉粉供题改编)5.A. (根据十二厂中学闫春亮供题改编)6.D (根据金台高中高二数学组供题改编)7. D (根据石油中学夏战灵供题改编)8. B (根据石油中学高建梅供题改编)9.A ( 09天津高考题 )10. B (根据教材第94页练习改编)11. B (根据铁一中周粉粉供题改编)12.D (根据金台高中高二数学组及斗鸡中学张永春供题改编)二、填空题:13.{}123或x x x <-<< (根据铁一中孙敏供题改编);14. 64n -(根据铁一中周粉粉供题改编);15. 16(根据铁一中孙敏供题改编); 16.{|}75或a a a <->(根据斗鸡中学张永春、铁一中张爱丽、石油中学高建梅供题改编); 17.7(根据石油中学夏战灵供题改编).三、解答题:本大题共5小题,共60分.18.设不等式2430x x -+<的解集为A ,不等式260x x +->的解集为B.(1)求A∩B; (2)若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B,求,a b 的值.(根据斗鸡中学张永春、石油中学高建梅等供题改编)解:(1) A={}13x x <<, (3分) B={}32或x x x <->(6分)A∩B ={}23x x << (9分)(2)∵不等式20x ax b ++<的解集为A∩B∴ 23a +=-(11分) 23b ⨯= (13分)得5a =-,6b = (15分)19.在锐角△ABC 中,已知AC =AB =, 60A ∠=. 求:(1)BC 边的长;(2)分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数. 解:(1)由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠ (3分)=22122+-⨯ =3 (6分)∴BC =(7分)(2)45B ∠= ,能用正弦定理求出B ∠的度数得4分,过程略.能用余弦定理求出B ∠的度数得4分,过程略.(根据铁一中张爱丽供题改编)20. 已知a ∈R, 解关于x 的不等式:220x x a a ---<解:由题意得(1)()0x a x a --+< (3分)∴ 当1a a +<-时,即12a <-时,解集为(1,)a a +- (7分) 当1a a +>-时,即12a >-时,解集为(,1)a a -+ (11分) 当1a a +=-时,即12a =-时,解集为φ (15分) (根据铁一中孙敏、金台高中高二数学组。
高二数学必修5质量检测参考答案及评分标准
高二数学必修5质量检测参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(教材习题改编)C.2.(教材练习题改编) C .3.(根据石油中学林华命题改编)D.4.(根据西关中学牛占林、张东月、十二厂中学司琴霞命题改编)A .5. ( 根据石油中学齐宗锁命题改编 )A .6.(教材例题改)D .7.(根据斗鸡中学梁春霞、强彩虹、张晓明命题改编)D .8.(根据胡伟红命题改编)B . 9.(根据沈涛命题改编)B .10.(根据十二厂中学王海燕命题改编) B .11.(教材习题改编)D . 12.(教材习题改编)C .二、填空题:本大题共 5小题,每小题6分,共30分. 13. 1,12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或(教材习题改) 14. 1,2,4,8,16,14(教材复习题改)15. 11,23x x x ⎧⎫<--<<⎨⎬⎩⎭或(教材习题改) 16. 2(根据铁一中司婷命题改编) 17.72(根据胡伟红命题改)三、解答题:本大题共4小题,共60分.18.(本题满分15分)(教材习题改)解:不等式可化为()()10x x a ++< (4分)当1a =时 ,不等式的解集为∅;(7分)当1a <时,不等式的解集为{}1x x a -<<-;(11分)当1a >时,不等式的解集为{}1x a x -<<- (15分) 19.(本题满分15分)(根据铁一中司婷命题改编)解:设每天生产A 型桌子x 张,B 型桌子y 张,则283900,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩(6分)目标函数为:z =2x +4y (8分)作出可行域(图略,11分):解方程2839x y x y +=⎧⎨+=⎩得直线28x y +=与39x y +=的交点坐标为M (3,2). 把直线l :2x +4y =0向右上方平移,直线经过可行域上的点M ,且与原点距离最大,此时z =2x +4y 取最大值234214z =⨯+⨯=(千元)答:每天应生产A 型桌子3张,B 型桌子2张才能获得最大利润,最大利润是14千元 (15分)20.(本题满分15分)(教材习题2-2第3题改)解:(正确画出图形2分)(1) 在△ABC 中,由正弦定理得:sin sin B AC AB C ==sin 4556sin 602=5 (7分) (2)∵∠ACD=120,在△ACD 中,由余弦定理得:2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠=2253253cos120+-⨯⨯=49∴AD =7 (12分)(3)能求出△ABD 的面积,具体方法较多,只要学生言之有理,说清楚所求的角、边及所用的定理即可得分. (15分)21.(本题满分15分)(根据石油中学王蒙、胡伟红命题改)解:(1)设n a kn b =+, (3分)则有21103k b k b +=⎧⎨+=⎩ 得223k b =-⎧⎨=⎩ (5分)所以,223n a n =-+ (7分)(2)∵12,2n n a a n --=-≥∴{}n a 是首项为21,公差为2-的等差数列 (11分)∴ 当100n n a a +≥⎧⎨≤⎩时,前n 项和n S 有最大值,解得11n = ∴所求最大值为1111111()1212a a s +== (15分) (注:也可利用前n 项和公式求解)(完)。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)
一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥,若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立,则实数λ的最小值为( ) A .52-B .116C .332D .12.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40423.在数列{}n a 中,11a =-,33a =,212n n n a a a ++=-(*n N ∈),则10a =( ) A .10B .17C .21D .354.两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ,其前.n 项的乘积....分别为,n n A B ,若552a b =,则99A B =( ) A .512B .32C .8D .25.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,6.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元466485~年间,其记臷着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺,30天其织布390尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为( ) A .1629B .1627C .1113D .13297.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( ) A .1011B .910C .89D .28.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若数列{}12n S a -也为等比数列,则43a a =( ).A .2B .1C .32D .129.对于数列{}n a ,定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”,现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则20202020S=( ) A .2019B .2020C .2021D .202210.已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+,5a 是数列{}n a 的最小项,则实数a 的取值范围是( ) A .[40,25]--B .[40,0]-C .[25,0]-D .[25,0]-11.已知数列{}n a 满足123n n a a +-=,11a =,3n n b a =+,则10b =( ) A .92B .103C .2048D .102412.已知{}n a 为等比数列,13527a a a =,246278a a a =,以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.已知数列{}n a 的首项1a m =,其前n 项和为n S ,且满足2123n n S S n n ++=+,若数列{}n a 是递增数列,则实数m 的取值范围是_______. 14.设数列{}n a 是等比数列,公比2q,n S 为{}n a 的前n 项和,记219n nn n S S T a +-=(*n N ∈),则数列{}n T 最大项的值为__________. 15.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈,都有m n m n a a a ++=成立,72a π=,函数()f x =2sin 24cos 2xx +,记()n n y f a =,则数列{}n y 的前13项和为______. 16.无穷数列{}n a 满足:只要()*,p q a a p q N=∈,必有11p q aa ++=,则称{}n a 为“和谐递进数列”.已知{}n a 为“和谐递进数列”,且前四项成等比数列,151a a ==,22a =,则2021S =_________.17.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 18.下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中,着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项,则数列{}n a 的一个通项公式为______.19.已知数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,21nn n b a -=+,且1222n n n S T n ++=+-,则2n T =____.20.已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅,若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立,则整数λ的最大值为_____.三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22.已知{}n a 是等差数列,{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ,112822,10a b a a ==+=,___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列,②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分). (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23.已知数列{}n a 满足112a =,1223241n n n a a n ++-=-,n *∈N . (1)设121n n b a n =+-,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,求证:3n S <,n *∈N .24.已知正项数列{}n a 、{}n b ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1143a b +=,21n n S a +=,2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求数列{}2n n a b 的前n 项和n T . 25.已知数列{}n a ,11a =,121n n a a +=+.(1)求证数列{}1n a +是等比数列; (2)令()2log 1n n b a =+,求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26.已知数列{}n a 满足:12a =,()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)设2nn n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-,则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭,设272nn n c -=,利用数列的单调性即可求解. 【详解】解:数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥, 所以112nn n n n S S S S +--=+-,故()122nn n a a n +-=≥,因为1212a a -=,所以()121nn n a a n +-=≥,所以112n n n a a ---=,2122n n n a a ----=,⋯,1212a a -=, 则1211222n n a a --=++⋯+,故11211222121n n n n a --=++⋯+==--, 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---,所以21nn n S a n -=--,因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立,所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 设272n n n c -=,则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=, 当4n ≤时,1n n c c +>,当5n ≥时,1n n c c +<, 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=,故λ的最小值为332. 故选:C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式,再利用累加法求出na 的通项;2.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3.B解析:B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列,求出公差得到其通项公式,最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-(*n N ∈),212n n n a a a ++∴+=,即数列{}n a 是等差数列, 11a =-,33a =,312a a d ∴=+即312d =-+,则公差2d =,则()11223n a n n =-+-⨯=-(*n N ∈), 所以10210317a =⨯-=. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列,进而求出通项公式进行计算.4.A解析:A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中,如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地,2m p q =+时,则2·m p q a a a =,m a 是p q a a 、的等比中项. 5.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=,12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----,所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<, 因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C .【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.6.A解析:A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题,且已知13030,390a S ==,求公差d .由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=,解之得1629d =,应选答案A . 7.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称, 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =,且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++, 因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.8.D解析:D 【分析】分公比是否为1进行讨论,再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,()1111222n S a na a n a -=-=-, 则{}12n S a -不为等比数列,舍去, 当1q ≠时,()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----, 为了符合题意,需11201a a q -=-,得12q =,故4312a q a ==. 故选D . 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式,定义,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.9.D解析:D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,得到112333n n n a a a n -+++=⋅,然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+,再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,∴112333n n n a a a n -+++=⋅,当2n ≥时,有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅,两式相减可得:()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+(2n ≥). 当1n =时,13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项,以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选:D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用,属于中档题.10.D解析:D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立,参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立, 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥, 当6n ≥时,有()56a n n ≤-恒成立,故0a ≤, 当14n ≤≤时,有()56a n n ≥-恒成立,故25a ≥-, 当5n =时,a R ∈, 故250a -≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查数列的函数性质:最值问题,此类问题可利用函数的单调性来研究,也可以利用恒成立来研究,本题属于较难题.11.C解析:C 【分析】根据题意得到12n n b b +=,计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=,()1323n n a a +∴+=+,即12n n b b +=, 14b =,910422048b ∴=⨯=.故选:C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式,确定12n n b b +=是解题的关键.12.A解析:A 【分析】先求出首项和公比,得出{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 【详解】{}n a 为等比数列,3135327a a a a ==,32464278a a a a ==, 33a ∴=,432a =,4312a q a ∴==,112a =,543·14a a q ==<. 故{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1, 以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是4, 故选:A . 【点评】本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.二、填空题13.【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得:两式相减得:两式相减可得:数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得:将代入可得要使得恒成立只需要解析:15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥,再求得234,,a a a ,根据1234a a a a <<<列不等式,解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得:212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得:141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得:114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ,4a ,6a ,...是以4为公差的等差数列,数列3a ,5a ,7a ,...是以4为公差的等差数列,将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得:252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈,1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ,考查数列的单调性,属于中档题.14.【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析:3【解析】数列{}n a 是等比数列,公比q 2=,n S 为{}n a 的前n 项和,219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ,2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=, 当且仅当822nn =时取等号, 又,1n N n *∈=或2 时,n T 取最大值19243T =--= .∴ 数列{}n T 最大项的值为3 .故答案为3 .15.【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解:对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析:26【分析】由题意可得11n n a a a +-=,为常数,可得数列{}n a 为等差数列,求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,运用等差数列中下标公式和等差中项的性质,计算可得所求和. 【详解】 解:对*,m n ∀∈N ,都有m n m n a a a ++=成立,可令1m =即有11n n a a a +-=,为常数, 可得数列{}n a 为等差数列, 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++, 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=,可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,113212a a a a +=+=6872a a a π=+==,∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==,∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=.故答案为26. 【点睛】本题考查等差数列的性质,以及函数的对称性及运用,化简运算能力,属于中档题.16.7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为:7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析:7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列,从而易求得2021S . 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列,121,2a a ==,∴344,8a a ==,又15a a =,{}n a 为“和谐递进数列”,∴26a a =,37a a =,48a a =,59a a =,…, ∴数列{}n a 是周期数列,周期为4. ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=. 故答案为:7576.【点睛】本题考查数列新定义,解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列,从而易得结论.17.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.18.【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通解析:817n n a -= 【分析】根据图象的规律,得到前后两项的递推关系,然后利用迭代法求通项,并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =,218181a a =⨯+=+,23281881a a =⨯+=++, 依次类推,1288...1n n n a --=+++,数列{}18n -是首项为1,公比为8的等比数列,所以1881187n n n a --==-, 故答案为:817n n a -=【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通项,重点是得到前后两项的递推关系.19.【解析】所以 解析:22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20.4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解:∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析:4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立,再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解:∵()102nn a n =+⋅>,∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->, 记232n nn b -=,112121223462n n n n n b n n b n ++--==--, ∴3n ≥时,11n nb b +<,即3n ≥时数列单调递减, 又∵ 1211,24b b =-=, ∴ ()3max 38n b b ==, ∴358λ->,即337588λ<-=,∴整数λ的最大值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数,考查化归转化思想,是中档题.三、解答题21.(1)21n a n =-;(2)2332n nn S +=-.【分析】(1)利用已知条件列出关于首项与公差的方程组,解方程组即得数列{}n a 的通项公式;(2)先由(1)得到n n n a 2n 122-=,再利用错位相减法求和即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩,即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩,所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩, 所以21n a n =-. (2)由(1)得n n n a 2n 122-=, 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++,① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++,② -①②得:21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭,所以2332n nn S +=-. 【点睛】易错点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.条件选择见解析;(1)n a n =,2n n b =;(2)212222n n n n T +=-++.【分析】选①,(1)列出关于首项与公差、首项与公比的方程组,求出首项与公差、首项与公比,从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)由(1)知2nn n a b n +=+,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②,(1)列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式,利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式;(2)由(1)知2n n n a b n +=+,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==, 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭,得324522b b b =+, 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+,即22520q q -+=,解得2q,或12q =,由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意, 所以{}n b 是一个以2为首项,2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=(2)由(1)知2nn n a b n +=+,()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++,()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+, ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==, 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =,则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-,122n n S +∴=-当2n ≥时,()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时,12b =也满足上式.2n n b =(2)由(1)知2nn n a b n +=+,()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++, ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+, ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛:利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)直接利用定义证明12n n b b +=即得证;(2)分析得到211321n n a -≤⋅-,再利用等比数列求和得证. 【详解】 解:(1)121n n b a n =+-,1223241n n n a a n ++-=-, 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--, 又11312b a =+=, 所以数列{}n b 是等比数列; (2)由(1)得,1232322n n n b --=⋅=⋅,N n *∈, 213221n n a n -∴=⋅--,N n *∈, 211n -≥,23210n n a -∴≥⋅->,211321n n a -∴≤⋅-, 当2n ≥时,21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-,又11123S a ==<, 综上,3n S <,n *∈N . 【点睛】方法点睛:证明数列不等式常用的方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)数学归纳法;(5)放缩法;(6)反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24.(1)13n n a =,12n n b +=;(2)151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】(1)由1n =求得1a ,再風1b ,然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系,知其为等比数列,从而得通项公式,由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+,用累乘的方法求得n b ;(2)用错位相减法求和n T . 【详解】(1)由题意知:1111221S a a a +=+=,113a =,∴11413b a =-=, ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-(1b 也适合), (2)∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅. 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,累乘法求通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法:设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.25.(1)证明见解析;(2)()()235412n n nT n n +=++【分析】(1)利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+,证明数列{}1n a +是等比数列;(2)首先求数列{}n b 的通项公式,再利用裂项相消法求和. 【详解】 (1)121n n a a +=+,()1121n n a a +∴+=+,即1121n n a a ++=+,且112a +=, 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列;(2)由(1)可知11222n nn a -+=⋅=, 所以2log 2nn b n ==,()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛:本题第二问考查裂项相消法求和,这样的形式不是连续相消,如果前面剩下两个正数项,那么最后一定剩下两个负数项.26.(1)2nn a n =⋅;(2)()1122n n T n +=-⋅+;(3)12.【分析】(1)利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式; (2)利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)令2n n n c S S =-,分析数列{}n c 的单调性,由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】(1)数列{}n a 满足:12a =,()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭, 则2140a a =>,323202a a =⨯>,,以此类推,对任意的n *∈N ,0n a >,由已知条件可得()121n n n a a n++=, 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-; (2)1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--,因此,()1122n n T n +=-⋅+;(3)21n n n b a n ==,则111123n S n=++++, 令2n n n c S S =-,则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++,则1n n c c +>, 则数列{}n c 为单调递增数列,所以,数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.。
最新高中数学必修五试卷(含答案)
必修五阶段测试四(本册综合测试)时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.不等式3x -12-x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x ≤34 D .{x |x <2} 2.(2017·存瑞中学质检)△ABC 中,a =1,B =45°,S △ABC =2,则△ABC 外接圆的直径为( ) A .4 3 B .5 C .5 2 D .6 2 3.若a <0,则关于x 的不等式x 2-4ax -5a 2>0的解为( )A .x >5a 或x <-aB .x >-a 或x <5aC .-a <x <5aD .5a <x <-a 4.若a >0,b >0,且lg(a +b )=-1,则1a +1b 的最小值是( )A.52B .10C .40D .80 5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,a 3=5,S k +2-S k =36,则k 的值为( ) A .8 B .7 C .6 D .5 6.若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D .a |c |>b |c | 7.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m 的值为( ) A .12 B .8 C .6 D .4 8.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z =5y -x 的最大值为a ,最小值为b ,则a —b 的值是( )A .48B .30C .24D .169.设{a n }是等比数列,公比q =2,S n 为{a n }的前n 项和,记T n =17S n -S 2na n +1(n ∈N *),设Tn 0为数列{T n }的最大项,则n 0=( )A .2B .3C .4D .5 10.设全集U =R ,A ={x |2(x -1)2<2},B ={x |log 12(x 2+x +1)>-log 2(x 2+2)},则图中阴影部分表示的集合为( )A .{x |1≤x <2}B .{x |x ≥1}C .{x |0<x ≤1}D .{x |x ≤1} 11.在等比数列{a n }中,已知a 2=1,则其前三项的和S 3的取值范围是( ) A .(-∞,-1] B .(-∞,0]∪[1,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,-1]∪[3,+∞)12.(2017·山西朔州期末)在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n +n +1,设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,若S n <m对一切正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围为( )A .(3,+∞)B .[3,+∞)C .(2,+∞)D .[2,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017·福建莆田二十四中期末)已知数列{a n }为等比数列,前n 项的和为S n ,且a 5=4S 4+3,a 6=4S 5+3,则此数列的公比q =________.14.(2017·唐山一中期末)若x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是________.15.如右图,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于3a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°.灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为________.16.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2017·山西太原期末)若关于x 的不等式ax 2+3x -1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. (1)求a 的值;(2)求不等式ax 2-3x +a 2+1>0的解集.18.(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.19.(12分)(2017·辽宁沈阳二中月考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos A =13.(1)求sin 2B +C2+cos2A 的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.20.(12分)(2017·长春十一高中期末)设数列{a n }的各项都是正数,且对于n ∈N *,都有a 31+a 32+a 33+…+a 3n =S 2n ,其中S n 为数列{a n }的前n 项和.(1)求a 2;(2)求数列{a n }的通项公式.21.(12分)已知点(x ,y )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x +2y ≤2n ,x ≥0,y ≥0(n ∈N +)内的点,目标函数z =x +y ,z 的最大值记作z n .若数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且点(S n ,a n )在直线z n =x +y 上.(1)证明:数列{a n -2}为等比数列; (2)求数列{S n }的前n 项和T n .22.(12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f (n )表示前n 年的纯利润总和(f (n )=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额).(1)该厂从第几年起开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?答案与解析1.B 由3x -12-x ≥1,可得3x -12-x -1≥0,所以3x -1-(2-x )2-x ≥0,即4x -32-x ≥0,所以⎩⎪⎨⎪⎧(4x -3)(x -2)≤0,x -2≠0,解得34≤x <2.故选B.2.C ∵S △ABC =12ac sin B =2,∴12×1×22c =2,∴c =42, ∴b 2=c 2+a 2-2ac cos B =32+1-2×1×42×22=25, ∴b =5,∴外接圆的直径为b sin B =522=52,故选C. 3.B (x +a )(x -5a )>0. ∵a <0, ∴-a >5a . ∴x >-a 或x <5a ,故选B.4.C 若lg(a +b )=-1,则a +b =110,∴1a +1b =10⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=10⎝⎛⎭⎫2+b a +ab ≥10(2+2)=40. 当a =b =120时,“=”成立,故选C.5.A ∵a 1=1,a 3=5,∴公差d =5-12=2,∴a n =1+2(n -1)=2n -1,S k +2-S k =a k +2+a k +1=2(k +2)-1+2(k +1)-1=4k +4=36,∴k =8,故选A. 6.C ∵a >b ,1c 2+1>0,∴a c 2+1>bc 2+1,故选C.7.B 由等差数列的性质知,a 3+a 6+a 10+a 13=4a 8=32, ∴a 8=8.又a m =8,∴m =8.8.C如图所示,当直线z =5y -x 经过A 点时z 最大,即a =16,经过C 点时z 最小,即b =-8,∴a -b =24,故选C.9.A S n =a 1(2n -1)2-1=a 1(2n-1),S 2n =a 1(22n -1)2-1=a 1(22n -1),a n +1=a 1·2n ,∴T n =17S n -S 2n a n +1=17a 1(2n -1)-a 1(22n -1)a 1·2n =17-⎝⎛⎭⎫2n +162n ≤17-8=9,当且仅当n =2时取等号,∴数列{T n }的最大项为T 2,则n 0=2,故选A.10.A 由2(x -1)2<2,得(x -1)2<1.解得0<x <2. ∴A ={x |0<x <2}.由log 12(x 2+x +1)>-log 2(x 2+2),得log 2(x 2+x +1)<log 2(x 2+2). 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x +1>0,x 2+2>0,x 2+x +1<x 2+2.解得x <1.∴B ={x |x <1}.∴∁U B ={x |x ≥1}. ∴阴影部分表示的集合为 (∁U B )∩A ={x |1≤x <2}.11.D 设数列{a n }的公比为q ,则a 2=a 1q =1,∴q =1a 1,∴S 3=a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=a 1+1+1a 1,当a 1>0时,S 3≥1+2a 1·1a 1=3,当且仅当a 1=1时,取等号;当a 1<0时,S 3≤1-2=-1,当且仅当a 1=-1时,取等号.故S 3的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 12.D a 1=1,a n +1-a n =n +1,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =(n -1+1)+(n -2+1)+…+(1+1)+1 =n +(n -1)+(n -2)+…+2+1=n (n +1)2,当n =1时,也满足上式, ∴a n =n (n +1)2,1a n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1, ∴S n =2⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1=2⎝⎛⎭⎫1-1n +1.∵S n <m 对一切正整数n 恒成立,∴m ≥2,故选D. 13.5解析:由题可得a 5-a 6=4S 4-4S 5=-4a 5, ∴a 6=5a 5,∴q =5. 14.4解析:∵x +2y +2xy =8, 又2xy ≤⎝⎛⎭⎫x +2y 22, ∴x +2y +⎝⎛⎭⎫x +2y 22≥8,∴14(x +2y )2+x +2y -8≥0, ∴x +2y ≥4,当且仅当x =2y =2时,等号成立. ∴x +2y 的最小值为4. 15.3a km解析:由题意知,∠ACB =120°,∴AB 2=3a 2+3a 2-23a ×3a cos120°=9a 2, ∴AB =3a km. 16. 3解析:由正弦定理及(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,得(2+b )(a -b )=(c -b )c ,又a =2, ∴b 2+c 2-a 2=bc .由余弦定理得 cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12,∴A =60°.又22=b 2+c 2-2bc cos60°=b 2+c 2-bc ≥2bc -bc , ∴bc ≤4.当且仅当b =c 时取等号. ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×4×32= 3.17.解:(1)依题意,可知方程ax 2+3x -1=0的两个实数根为12和1,∴12+1=-3a 且12×1=-1a 解得a =-2, ∴a 的值为-2,(2)由(1)可知,不等式为-2x 2-3x +5>0,即2x 2+3x -5<0, ∵方程2x 2+3x -5=0的两根为x 1=1,x 2=-52,∴不等式ax 2-3x +a 2+1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-52<x <1. 18.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B . 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得a =2,c =3或a =3,c =2. 因a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223,由正弦定理,得sin C =c b sin B =23×223=429.因a =b >c ,所以C 是锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4292=79. 于是cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+223×429=2327.19.解:(1)在△ABC 中,∵cos A =13,∴sin 2B +C 2+cos2A =12[1-cos(B +C )]+2cos 2A -1=12(1+cos A )+2cos 2A -1=-19.(2)由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴3=b 2+c 2-23bc ≥2bc -23bc =43bc ,∴bc ≤94,当且仅当b =c =32时,等号成立,∴bc 的最大值为94.20.解:(1)在已知式中,当n =1时,a 31=a 21,∵a 1>0,∴a 1=1, 当n ≥2时,a 31+a 32+a 33+…+a 3n =S 2n ,① a 31+a 32+a 33+…+a 3n -1=S 2n -1,②①-②得a 3n =a n (2a 1+2a 2+…+2a n -1+a n ).∵a n >0,∴a 2n =2a 1+2a 2+…+2a n -1+a n ,即a 2n =2S n -a n ,∴a 22=2(1+a 2)-a 2,解得a 2=-1或a 2=2, ∵a n >0,∴a 2=2.(2)由(1)知a 2n =2S n -a n (n ∈N *),③当n ≥2时,a 2n -1=2S n -1-a n -1,④③-④得a 2n -a 2n -1=2(S n -S n -1)-a n +a n -1=2a n -a n +a n -1=a n +a n -1.∵a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1,∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为1,可得a n =n .21.解:(1)证明:由已知当直线过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故z n =2n .∴方程为x +y =2n .∵(S n ,a n )在直线z n =x +y 上,∴S n +a n =2n .① ∴S n -1+a n -1=2(n -1),n ≥2.②由①-②得,2a n -a n -1=2,n ≥2.∴a n -1=2a n -2,n ≥2.又∵a n -2a n -1-2=a n -22a n -2-2=a n -22(a n -2)=12,n ≥2,a 1-2=-1,∴数列{a n -2}是以-1为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)得a n -2=-⎝⎛⎭⎫12n -1,∴a n=2-⎝⎛⎭⎫12n -1. ∵S n +a n =2n ,∴S n =2n -a n =2n -2+⎝⎛⎭⎫12n -1.∴T n =⎣⎡⎦⎤0+⎝⎛⎭⎫120+⎣⎡⎦⎤2+⎝⎛⎭⎫12+…+⎣⎡⎦⎤2n -2+⎝⎛⎭⎫12n -1 =[0+2+…+(2n -2)]+⎝⎛⎭⎫120+⎝⎛⎭⎫12+…+⎝⎛⎭⎫12n -1=n (2n -2)2+1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12=n 2-n +2-⎝⎛⎭⎫12n -1. 22.解:由题意知f (n )=50n -⎣⎡⎦⎤12n +n (n -1)2×4-72=-2n 2+40n -72.(1)由f (n )>0,即-2n 2+40n -72>0,解得2<n <18.由n ∈N +知,该厂从第3年起开始盈利. (2)方案①:年平均纯利润f (n )n =40-2⎝⎛⎭⎫n +36n ,∵n +36n ≥2n ×36n=12,当且仅当n =6时取等号,∴f (n )n≤40-2×12=16.因此方案①共获利16×6+48=144(万元),此时n =6.方案②:f (n )=-2(n -10)2+128.从而方案②共获利128+16=144(万元).比较两种方案,获利都是144万元,但由于第一方案只需6年,而第②种方案需要10年,因此,选择第①种方案更合算.。
人教新课标版数学高二必修五练习人教A版必修5综合质量评估(含答案解析)
综合质量评估第一~三章 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如果a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是( )()(()()2211A B C a b D a b a b< < >2.在△ABC 中,∠A=60°,a =b=4,那么满足条件的△ABC ( ) (A)有一个解 (B)有两个解 (C)无解 (D)不能确定3.已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n +2n ,那么a 2 012的值是( ) (A)2 0122 (B)2 011×2 010 (C)2 012×2 013 (D)2 011×2 0124.(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c ,2asinAsinB bcos A +=则ba=( ) ()()((A B C D 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( )()()()()A B 7C 6D6.设a,b, c ∈(-∞,0),则111a ,b ,c bca+++( ) (A)都不大于-2(B)都不小于-2 (C)至少有一个不大于-2 (D)至少有一个不小于-27.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2则角B 的值为( )()()()()52A B C D 636633ππππππ 或或 8.已知x>0,y>0,2x+y=2,c=xy,那么c 的最大值为( )()()()()11A 1BCD 2249.在△ABC 中,关于x 的方程(1+x 2)sinA+2xsinB+(1-x 2)sinC=0有两个不相等的实根,则A 为( ) (A)锐角 (B)直角 (C)钝角 (D)不能确定10.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5=( )(A)35 (B)33 (C)31 (D)2911.已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100,那么a 3·a 18的最大值是( )(A)50 (B)25 (C)100 (D)12.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使等差数列{a n }前n 项和S n 取最大值的正整数n 是( )(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中的横线上)13.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49,S n 达到最小时,n 等于__________.14.在△ABC 中,A ,B ,C 分别为a,b,c 三条边的对角,如果b=2a,B=A+60°,那么A=________.15.若负数a,b,c 满足a+b+c=-1,则111a b c++的最大值是__________. 16.不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是_______.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC 中,角A ,B ,C 成等差数列,并且sinA ·sinC=cos 2B ,三角形的面积ABC S =求三边a,b,c.18.(12分)(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项的和S k =-35,求k 的值.19.(12分)(2011·山东高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,已知cosA 2cosC 2c a.cosB b--=(1)求sinCsinA的值; (2)若1cosB ,4=b=2,求△ABC 的面积S.20.(12分)已知f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,当x ∈(-3,2)时,f(x)>0;x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求y=f(x)的解析式;(2)c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集为R.21.(12分)某公司计划在2012年内同时出售空调机和洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如表:试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?22.(12分)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令n2n1ba1=-(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.答案解析1.【解析】选A.如果a<0,b>0,那么110,0,ab<>11,a b∴<故选A. 2.【解析】选C.根据正弦定理得bsinA sinB 1,a ===>故无解.故选C.3.【解析】选D.由已知a n+1-a n =2n,∴a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,a 4-a 3=2×3,…,a n -a n-1=2(n-1),以上各式两端分别相加得:()()()n 1n 2 012a a 2123n 1n n 1.a n n 1.a 2 011 2 012.-=++⋯+-=-=-∴=⨯[]即故选D.4.【解析】选D.2asinAsinB bcos A +=2sinAsinAsinB sinBcos A b sinBsinB a sinA∴+=∴=∴==故选D. 5.【解析】选A.18789123a a a q 2.a a a== ()99456123q a a a a a a q ∴===故选A.6.【解题提示】解答本题关键是分析111a b c bca+++++的最大值.【解析】选C.111a b c 6,b c a+++++≤- 三者不能都大于-2.故选C.7.【解析】选D.在△ABC 中,根据b 2=c 2+a 2-2cacosB 得a 2+c 2-b 2=2cacosB ,代入已知得sinB 2∴=2B B ,33ππ∴==或故选D.8.【解析】选B.由已知,22x y =+≥=1c ,2∴≤故选B.9.【解析】选A.4sin 2B-4(sin 2A-sin 2C)>0, 即sin 2B+sin 2C>sin 2A,由正弦定理得b 2+c 2>a 2, 再由余弦定理得cosA>0,所以A 为锐角,故选A. 10.【解析】选C.设公比为q,由题意知2323113647113133311a a a q 2a .5a 2a a q 2a q 2a q 25a q 2a q q 2⎧==⎪⎨+=+=⎪⎩⎧=⎪⎨+=⎪⎩即 解得11q .2a 16⎧=⎪⎨⎪=⎩故55116(1)2S 31 .112⨯-==-故选C.11.【解析】选B.由题可知()3181202031820a a 20a a )S 100,a a 10,22++===∴+=(2318318a a a a ()25.2+∴≤=故选B.12.【解题提示】解答本题的关键是分析出数列{a n }第几项开始有符号发生变化.【解析】选B.由|a 3|=|a 9|得()()()22111n 1a 2d a 8d .a 5d.a a n 1d n 6d,d 0,+=+∴=-=+-=-<()∴当n ≤6时,a n ≥0,当n>6时,a n <0, ∴前5项或前6项的和最大,故选B. 13.【解析】∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列,且首项为-47,公差为2,由()n n 1a 2n 490,a 2n 1490-=->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩,解得n=25. ∴从第25项开始为正,前24项都为负数,即前24项之和最小. 答案:24【方法技巧】求等差数列前n 项和最值的方法:对于等差数列,当公差不等于零时,则其为单调数列,所以其前n 项和往往存在最大值或最小值,常用的方法有:(1)通项公式法:先求出通项公式,通过通项公式确定等差数列的单调性,再求其正项或负项为哪些项,从而确定前n 项和的最值. (2)二次函数法:根据等差数列的前n 项和S n 是关于项数n 的一元二次函数,从而可直接配方,求其最值,但应注意项数n 为正整数,由此,本题还可有以下解法:方法二,a n =2n-49,a 1=-47<0,公差d=2>0,∴数列{a n }为递增等差数列. 令a n =0,得1n 24.2=∴该数列中,a 1,a 2,…,a 24<0,a 25>0,…… ∴数列{a n }的前24项和最小,故n=24. 方法三,可知数列{a n }为等差数列,a 1=-47.()()1n n 222n a a n 472n 49S 22n 48n n 2424,+-+-∴===-=--()∴当n=24时,S n 取最小值,故n=24. 14.【解析】∵b=2a,B=A+60°,∴sinB=2sinA, sinB=sin(A+60°),∴2sinA=sin(A+60°).12sinA sinA tanA 223=+∴=又∵0°<A<180°,∴A=30°. 答案:30°15.【解题提示】解答本题一方面要注意常值代换的应用,另一方面要注意利用不等式的性质化“负”为“正”. 【解析】∵a+b+c=-1,∴1=-a-b-c.111a b c a b c a b ca b c a b cb ac a c b3()()()a b a c b c32229.---------∴++=++=--+-+-+≤----=-当且仅当a=b=c=13-时取等号. 答案:-916.【解析】不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,即(a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立,若a+2=0,则4x-3>0,显然不恒成立;若a+2≠0,则a 200+>⎧⎨∆<⎩,即()()2a 2044a 2a 10+>⎧⎪⎨-+-<⎪⎩,解得a>2. 答案:(2,+∞)17.【解析】∵角A ,B ,C 成等差数列, ∴A+C=2B ,A+B+C=180°,∴B=60°, 所以21sinAsinC cos 60.4=︒= ①又ABC 1S acsinB,2==得ac=16. ② 由①②及a csinA sinC=得:22ac a c ()()64,sinAsinC sinA sinCa c 8.sinA sinC asinBb 8sinB 8sin60sinA ========︒=所以又222a c b 1cosB ,2ac 2+-== ()()222222a cb ac,ac b 3ac,a c 484896,a c ∴+-=+-=∴+=+=∴+=③联立③与②得a 2,c 2,a 2,c 2.====或18.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,由a 1=1,a 3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2. 从而a n =1+(n-1)×(-2)=3-2n ,n ∈N *. (2)由(1)可知a n =3-2n.()2n n 132n S 2n n .2+-∴==-[]由S k =-35可得2k-k 2=-35. 即k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k ∈N *,故k=7.19.【解析】(1)由正弦定理设a b ck,sinA sinB sinC=== 则2c a 2ksinC ksinA 2sinC sinA ,b ksinB sinB ---==cosA 2cosC 2sinC sinAcosB sinB--∴=即(cosA-2cosC )sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C), 又A+B+C=π,∴sinC=2sinA.因此sinC2.sinA= (2)由sinC2sinA=得c=2a.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accosB 及1cosB ,b 2.4==22214a 4a 4a .a 1.c 2.4=+-⨯==得解得从而又∵cosB=14且0<B<π,sinB 4∴=因此11S acsinB 122244==⨯⨯⨯= 20.【解析】(1)由x ∈(-3,2)时,f(x)>0;x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0知:-3,2是方程ax 2+(b-8)x-a-ab=0的两根且a <0,()2b 832a 3,a a ab b 5.32a f x 3x 3x 18.-⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⎨⎨--=⎩⎪-⨯=⎪⎩∴=--+得(2)由a<0,知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下.要使-3x 2+5x+c ≤0的解集为R ,只需Δ≤0,即25+12c ≤0,得25c .12≤-∴当25c 12≤-时,ax 2+bx+c ≤0的解集为R. 21.【解析】设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 台,y 台,总利润是z ,则z=6x+8y由题意有30x 20y 3005x 10y 110x 0y 0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x, y 均为整数. 作出可行域如图.由图知直线31y x z 48=-+过M (4,9)时,纵截距最大.这时z 也取最大值z max =6×4+8×9=96(百元).故当月供应量为空调机4台,洗衣机9台时,可获得最大利润9 600元.22.【解题提示】第(1)题可以列方程组求出首项和公差,从而易求a n ,S n .第(2)题要注意对b n 的化简变形和裂项求和法的应用.【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由于a 3=7,a 5+a 7=26,∴a 1+2d=7,2a 1+10d=26.解得a 1=3,d=2.由于a n =a 1+(n-1)d,()1n n n a a S .2+=∴a n =2n+1,S n =n(n+2),n ∈N *.(2)∵a n =2n+1,()2n a 14n n 1.∴-=+()n 1111b ().4n n 14n n 1∴==-++ 故T n =b 1+b 2+…+b n()111111(1)4223n n 111n (1).4n 14n 1=-+-+⋯+-+=-=++ ∴数列{b n }的前n 项和()*n n T n N .4n 1=∈+,。
人教a版数学必修五测试题答案及解析
人教a版数学必修五测试题答案及解析一、选择题1. 下列函数中,是奇函数的是()A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin x \)D. \( y = \cos x \)答案:C解析:奇函数的定义是对于定义域内的任意x,都有f(-x) = -f(x)。
A选项是偶函数,B选项是奇函数,C选项是奇函数,D选项是偶函数。
2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3 = 9,S_5 = 15,则a_4 + a_5 = ()A. 3B. 4C. 5D. 6答案:D解析:根据等差数列的性质,S_3,S_5 - S_3,S_7 - S_5成等差数列。
因此,2(S_5 - S_3) = S_3 + (S_7 - S_5)。
代入已知数据,2(15 - 9) = 9 + (S_7 - 15),解得S_7 = 21。
所以,a_4 + a_5 = S_5 -S_3 = 15 - 9 = 6。
二、填空题1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8的对称轴方程为x = ________。
答案:3解析:二次函数的对称轴方程为x = -b / 2a,其中a和b分别为二次项和一次项的系数。
对于f(x) = x^2 - 6x + 8,a = 1,b = -6,所以对称轴方程为x = -(-6) / (2 * 1) = 3。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 2,a_{n+1} = a_n + 2n,求a_5。
答案:16解析:根据递推关系,a_2 = a_1 + 2 * 1 = 4,a_3 = a_2 + 2 * 2= 8,a_4 = a_3 + 2 * 3 = 14,a_5 = a_4 + 2 * 4 = 16。
三、解答题1. 解方程:3x^2 - 5x - 2 = 0。
答案:x = -\(\frac{1}{3}\) 或 x = 2解析:这是一个一元二次方程,可以使用求根公式求解。
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》检测(包含答案解析)
一、选择题1.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层( ) A .7B .8C .9D .102.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ,所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ,把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ,则下列说法正确的是( ) A .122a b c +=B .824b a c -=C .228b c =D .629a b c =3.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40424.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若点(),n n a S ,在直线60x y +-=上,则4S =( ) A .92B .254C .458D .4095.已知数列{}n a 中,13n n a S +=,则下列关于{}n a 的说法正确的是( ) A .一定为等差数列 B .一定为等比数列C .可能为等差数列,但不会为等比数列D .可能为等比数列,但不会为等差数列6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,836S =,则数列11{}n n a a +的前n 项和为( ) A .11n + B .1n n + C .1n n- D .11n n -+ 7.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( )A .1011B .910C .89 D .28.若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈,d 为常数),则称数列{}n a 为调和数列,已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列,且222212320184036x x x x +++⋯+=,则92010x x +的最大值为( ) AB .2C.D .49.数列{}n a 满足122,1a a ==,并且()111212n n n n a a a -+=-≥,则1011a a +=( ) A .192B .212C .2155D .236610.已知函数()()31f x x x =-+,数列{}n a 中各项互不相等,记()()()12n n S f a f a f a =+++,给出两个命题:①若等差数列{}n a 满足55S =,则33a =;②若正项等比数列{}n a 满足33S =,则21a <;其中( )A .①是假命题,②是真命题B .①是真命题,②是假命题C .①②都是假命题D .①②都是真命题11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1000S >,1010S <,则满足10n n a a +<的n =( ) A .50B .51C .100D .10112.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2),且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩,设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈,且数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n <k 对任意的正整数n均成立,则实数k 的取值范围为( ) A .27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D .27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13.数列{}n a 中,1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14.在数列{}n a 中,11a =,0n a ≠,曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +,下列四个结论:①223a =;②313a =;③416527i i a ==∑;④数列{}n a 是等比数列;其中所有正确结论的编号是______.15.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n 1n a ,a +均在l 上,若2a 6=,则3a 的值为______.16.数列{}n a 中,若31()n na a n *+=∈N ,13a =,则{}n a 的通项公式为________. 17.在数列{}n a 中,11a =()*1n =∈N ;等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-.当n *∈N 时,使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________.18.已知下列结论:①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+,则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-,则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等,若,,a b c 成等差数列,则111,,a b c 可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等,若,,a b c 成等比数列,则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.19.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若22a =-,714S =,则10a =__________. 20.若等差数列{}n a 中,10a <,n S 为前n 项和,713S S =,则当n S 最小时n =________.三、解答题21.已知各项为正数的等比数列{}n a ,前n 项和为n S ,若2125,2,log a log a 成等差数列,37S =,数列{}n b 满足,11b =,数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ (1)求{}n a 的公比q 的值; (2)求{}n b 的通项公式.22.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,2232S a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21n nn b a -=,求数列{}n b 的前n 项和. 23.已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记12n n n b a a +=,设{}n b 的前n 项和是n T ,求使得20202021n T >的最小正整数n . 24.在数列{}n a 中,已知12a =,且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+,*n ∈N . (1)设1nn a b n=-,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .25.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1,{}n b 的前n 项和为n S ,且22a S =,43a S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)设n n n c a b =⋅,*n N ∈,求数列{}n c 的前n 项和n T . 26.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n nS a 和2n a 的等差中项为1. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设41log n n b a +=,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】根据题意,假设电梯所停的楼层,表达出“不满意度”之和,利用等差数列的求和公式即可求得结论. 【详解】解:设电梯所停的楼层是(212)n n ,则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上,对称轴为5396x =≈, 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==.故选:C . 【点睛】本题考查数列知识,考查函数思想的运用,考查计算能力,求得“不满意度”之和是关键.2.C解析:C 【分析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列,从而得到数列{}n c 是等差数列,依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2,公差为3的等差数列, 23(1)31n a n n =+-=-, 数列{}n b 是首项为2,公差为5的等差数列,25(1)53n b n n =+-=-,数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ,故数列{}n c 是首项为2,公差为15的等差数列,215(1)1513n c n n =+-=-,对于A , 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=, 122a b c +≠,错误; 对于B , 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=,824b a c -≠,错误; 对于C , 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=,228b c =,正确;对于D , ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=,629a b c ≠,错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式,解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式,考查了理解能力和计算能力.3.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.4.C解析:C 【分析】由题可得,S 60n n a +-=,根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,可求得{}n a 为等比数列,进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上,所以S 60n n a +-=. 当1n =时,1160a S +-=,得13a =;当2n ≥时,S 60n n a +-=①,1160n n a S --+-=②,①-②得,112n n a a -=, 所以数列{}n a 为等比数列,且公比12q =,首项13a =, 则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选:C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.5.C解析:C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=,分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列,但不会为等比数列. 【详解】解:13n n a S +=,13n n n S S S +∴=-, 14n n S S +∴=,若10S =,则数列{}n a 为等差数列;若10S ≠,则数列{}n S 为首项为1S ,公比为4的等比数列,114n n S S -∴=⋅,此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣(2n ≥),即数列从第二项起,后面的项组成等比数列.综上,数列{}n a 可能为等差数列,但不会为等比数列. 故选:C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断,考查学生分析解决问题的能力,正确分类讨论是关键.6.B解析:B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . ∵55a =,836S =∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =,则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭;(2)1k=; (3)()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭;(4)()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.7.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称, 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =, 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++, 因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.8.C解析:C 【分析】 先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列,进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值,再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解:由题设知:2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈,d 为常数), {}2n x ∴是等差数列, 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==, 222212018920104x x x x ∴+==+,2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“), 2229201092010()2()8x x x x ∴++=,9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“),92010x x ∴+的最大值为故选:C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用,属于中档题.9.C解析:C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-,由此计算得323a =,424a =,……101110112221,,101155a a a a ==+=. 10.A解析:A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性,再结合等差数列的等距性确定3a ;结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上,解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+,而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增,所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增, 先证明下面结论:若()g x 为奇函数且在R 上单调递增,{}n a 为等差数列,123g()()()()0n a g a g a g a ++++=,则1230n a a a a ++++=.证明:若1230n a a a a ++++>,则当n 为偶数时,1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>,即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾,当n 为奇数时,1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>,即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>,与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立,因此1230n a a a a ++++=再引申结论:若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增,{}n a 为等差数列,123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=,则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-,再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =,即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=,则123453555a a a a a a ++++=∴=, 31a ∴=,故①是假命题,②若正项等比数列{}n a 满足33S =, 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等,所以公比不为1,不妨设公比大于1,即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<,因为1322a a a +>=∴2()1f a <,()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选:A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用,考查综合分析判断能力,属中档题.11.A解析:A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>;510a <,进而可得500a >,据此分析可得答案. 【详解】根据题意,等差数列{}n a 中,1000S >,1010S <, 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>,则有50510a a +>;又由110110151()10110102a a S a +⨯==<,则有510a <;则有500a >,若10n n a a +<,必有50n =; 故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用,涉及等差数列的性质,属于基础题.12.B解析:B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值,由递推式可得数列{}n a 为首项为94,公比为13的等比数列,由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值【详解】解:当[0,2]x ∈时,且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩, 可得01x ≤<时,()f x 的最大值为(0)2f =,12x <≤时,()f x 的最大值为39()24f =,即当[0,2]x ∈时,()f x 的最大值为94, 当24x ≤<时,1()(2)3f x f x =-的最大值为912,当46x ≤<时,1()(2)3f x f x =-的最大值为936, ……可得数列{}n a 为首项为94,公比为13的等比数列, 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-, 由S n <k 对任意的正整数n 均成立,可得278k ≥, 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选:B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式,以及不等式恒成立问题的解法,考查转化思想和运算能力,属于中档题二、填空题13.【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列解析:121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=,从而可得数列1{}n a 是等差数列,求出数列1{}na 的通项公式,即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+,所以11121112n n n n a a a a ---+==+,即1112n n a a --=,又111a ,所以数列1{}na 是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-,所以121n a n =-. 故答案为:121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列,同时考查等差数列的概念及通项公式,属于中档题.14.①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析:①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程,由此求得1n a +与n a 的递推关系式,进而证得数列{}n a 是等比数列,由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =,∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-,则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠,∴123n n a a +=, 则{}n a 是首项为1,公比为23的等比数列, 从而223a =,349a =,4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为:①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法,考查根据递推关系式证明等比数列,考查等比数列通项公式和前n 项和公式,属于基础题.15.-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析:-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程,求得n 1n 1a a 3+=-,则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列,运用等比数列的通项公式可得所求值. 【详解】直线经过坐标原点,()n 3,1=是l 的一个法向量, 可得直线l 的斜率为3-, 即有直线l 的方程为y 3x =-,点()n 1n a ,a +均在l 上,可得n n 1a 3a +=-, 即有n 1n 1a a 3+=-,则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列, 可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为2-. 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查直线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.16.【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为:【点睛】本题主要考查了 解析:133()n n a n -*=∈N【分析】两边取对数,化简整理得313log 3log n na a +=,得到数列3{log }n a 是以1为首项,公比为3的等比数列,结合等比数列的通项公式,即可求解. 【详解】由31()n na a n *+=∈N ,两边取对数,可得313log 3log n n a a +=,即313log 3log n na a +=, 又由13a =,则31log 1a =,所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项,公比为3等比数列,则113log 133n n n a --=⋅=,所以133()n n a n -*=∈N .故答案为:133()n n a n -*=∈N 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质,以及等比数列的通项公式的求解,其中解答中合理利用对数的运算性质,结合等比数列的通项公式求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力.17.【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛:含参数的数解析:94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项,再构建新数列212n n n c -=,求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n =∈N,故是以1为首项,以1为公差的等差数列,()11n n =+-⨯=,2*()n a n n N ∴=∈.当2n ≥时,111(2)(2)2nn n n n n b S S m m ---=-=---=,{}n b 是等比数列,112b S m ∴==-也适合12n n b -=,故21m -=即1m =,1*2()n n b n N -∴=∈.又n n b a λ≥恒成立等价于212n n λ-≥恒成立,2max max 1()()2n n n a n b λ-∴≥=,令212n n n c -=,则()2221121142222n n n n n n n n n c c --------=-=, 当23n ≤≤时,10-->n n c c ,当4n ≥时,10n n c c --<, 故max 39()4n c c ==,94λ∴≥. 【点睛】方法点睛:含参数的数列不等式的恒成立,可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题,后者可利用数列的单调性来处理.18.②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误;②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确;③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误;④先得方程整理得判断解析:②④ 【分析】①先求出12a =,再当2n ≥时求出21n a n =-,判断当1n =时有11n a a =≠,判断①错误;②先求出11a =,再当2n ≥时求出12n na ,判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列,判断②正确;③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩,再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾,判断③错误;④先得方程2b ac =,整理得2111()b a c =⨯,判断④正确. 【详解】①:数列{}n a 的前n 项和21n S n =+, 当1n =时,211112a S ==+=,当2n ≥时,221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦,当1n =时,11n a a =≠,故①错误;②:数列{}n a 的前n 项和21nn S =-, 当1n =时,111211a S ==-=,当2n ≥时,111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=,当1n =时,11n a a ==,且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项,以2为公比的等比数列, 故②正确;③:若111,,a b c是等差数列,则211a c b a c ac+=+=, 因为,,a b c 成等差数列,则2a c b +=,则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩,整理得a b c ==,与非零实数,,a b c 不全相等矛盾, 故③错误;④:因为非零实数,,a b c 不全相等,且,,a b c 成等比数列, 所以2b ac =,则21111b ac a c==⨯, 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断,是基础题.19.14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解:因为数列是等差数列所以解得所以故答案为:14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析:14 【分析】本题先求1a 、d ,再求10a 即可解题. 【详解】解:因为数列{}n a 是等差数列,22a =-,714S =所以217127(71)7142a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯-=+=⎪⎩,解得142a d =-⎧⎨=⎩, 所以101914a a d =+= 故答案为:14 【点睛】本题考查等差数列的基本量法,是基础题.20.10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为:10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析:10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律,即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增,因此10110,0a a <>即10n =,n S 最小 故答案为:10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题21.(1)2q ;(2)()121n n b n =-⋅+.【分析】(1)对正项的等比数列{}n a ,利用基本量代换,列方程组,解出公比q ; (2)设11n nn n b b d a ++-=,由题意分析、计算得 1n d n =+,从而得到()112n n n b b n +-=+⋅,用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】(1)∵2125log ,2,log a a 成等差数列,∴ ()225215log log log 4a a a a +==,即132516a a a ==,又0,n a >34a ∴=,又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=,当2n ≥时,()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式,1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=,()112n n n b b n +∴-=+⋅,()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥, ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-,()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式, 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换; (2)数列求和常用方法:①公式法;②倒序相加法;③裂项相消法;④错位相减法.22.(1)2nn a =;(2)()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法,基本量代换;(2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-,用错位相减法求和.【详解】解:(1)设{}n a 的公比为q ,0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n nn a -=⋅=.(2)()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭-()1111112212222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122nnn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】(1) 等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换;(2)数列求和的方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 23.(1)21n a n =-;(2)1011. 【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可得答案; (2)求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】 (1)111a S ==,当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-,1a 符合上式,所以21n a n =-. (2)()()21121212121n b n n n n ==--+-+, ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++, 令120201212021n ->+,解得1010n >, 所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧:( 1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. ( 2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. ( 3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.( 4)裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和. 24.(1)12n n b -=;(2)22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【分析】(1)由定义证明数列{}n b 是等比数列,得出数列{}n b 的通项公式;(2)由{}n b 的通项公式求出n a ,再由错位相减法以及分组求出法得出数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】解:(1)因为12(1)(1)n n na n a n n +=+-+,所以1211n n a an n+=⋅-+ 所以11211n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭,又1111a -=所以{}n b 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12n nb -=.(2)由(1)知,()()111212n n n n n a b n n n --=+⋅=+=⋅+⋅所以()21(1)11223222n n n n T n -+=⨯+⨯+⨯++⋅+设211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅① 232S 1222322n n n =⨯+⨯+⨯++⋅②①-②得211212222?212nn nn n S n n ---=++++-⋅=--所以(1)21n n S n =-⋅+所以22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【点睛】关键点睛:在第二问中,对于求{}n a 的前n 项和,关键是利用错位相减法结合分组求和得出n T .25.(1)()1121n a a n d n =+-=-,1112nn n b b q ;(2)()3232n n T n =+-⋅.【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,由22a S =,43a S =,求得2,2d q ==,然后利用等差数列和等比数列通项公式求解.(2)由(1)得到()1212n n c n -=-⋅,然后错位相减法求解.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 因为22a S =,43a S =,所以11d q +=+,2131d q q +=++,解得2,2d q ==所以()1121n a a n d n =+-=-,1112nn n b b q ;(2)由(1)知:()1212n n c n -=-⋅,所以()0121123252...212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅, 则()1232123252...212nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅, 两式相减得:()23122...2212n nn T n -=++++--⋅,()()1412121212n n n --=+--⋅-,()3322n n =-+-⋅,所以()3232nn T n =+-⋅.【点睛】方法点睛:求数列的前n 项和的方法 (1)公式法:①等差数列的前n 项和公式,()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩;(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的,则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解.26.(Ⅰ)2n n a =;(Ⅱ)22n n T n =+. 【分析】(Ⅰ)利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系,然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系,求出1a 其为等比数列,从而得通项公式;(Ⅱ)用裂项相消法求和n T .【详解】解:(Ⅰ)因为n nS a 和2n a 的等差中项为1, 所以22n n nS a a +=,即22n n S a =-, 当2n 时,1122n n S a --=-.两式相减得1122n n n n S S a a ---=-,整理得12n n a a -=.在22n n S a =-中,令1n =得12a =,所以,数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,因此1222n n n a -=⨯=.(Ⅱ)411log 2n n n b a ++==. 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n . 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛:本题考查求等比数列的通项公式,裂项相消法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;(2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法;(3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.。
高中数学必修五试卷(含答案)
必修五阶段测试四(本册综合测试)时间:120分钟满分:150分、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 3x — 11. 不等式右广1的解集是()1 1且lg (a + b )=— 1,则匚+匚的最小值是()a bS n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1= 1, a 3= 5, S k +2 — S k = 36,贝U k 的值为()D . a|c|>b|c|A . 12的最大项,贝U n °=()3W xW2B. x4wx<2C/2 . (2017 存瑞中学质检)△ ABC 中,a = 1 , B =45 °A . 4,33 .若a<0 ,则关于 A . x>5a 或 x< — a3x>2 或 x w4D . {x|x<2}&ABC =2,则厶ABC 外接圆的直径为(C . 5,22 2 x 的不等式x — 4ax — 5a >0的解为( )B . x> — a 或 x<5a D . 6,2C . — a<x<5aD . 5a<x<—aA.|10C . 40D . 80a ,b ,c € R , a>b ,则下列不等式成立的是210 .设全集 U = R , A = {x|2(x — 1) <2} , B = {x|lo g2(x 2+ x+1)> - lo g 2(x 2+ 2)},则图中阴影部分表示的集合为 ()a > 0,b > 0, 7.已知等差数列{ a n }的公差为d (d ^ 0),且a 3+ a 6 + a 10 + 玄仁=32,若 a m = 8,贝U m 的值为( &若变量x ,y 满足约束条件rx + y w 8,2y — x w 4,x > 0, y > 0,且z = 5y — x 的最大值为a ,最小值为b ,则a — b 的值是A . 48B . 30C . 24D . 169.设{a n }是等比数列,公比q = 2, S n 为{a n }的前 n 项和,记 T n = 17S n 'n (n €a n + 1N ),设Tn o 为数列{T n }A . {x|1w x<2} B. {x|x》1} C. {x|0<x w 1} D. {xX< 1}11 •在等比数列{a n}中,已知a2= 1,则其前三项的和S3的取值范围是()A . ( — 3 —1]B . (— s, 0] U [1 ,+s )C. [3,+s ) D . (— s,—1] U [3 ,+s )112. (2017 •西朔州期末)在数列{a n}中,a1 = 1, a*+1 = a*+ n+ 1,设数列匸的前n项和为Si,若S n<ma n对一切正整数n恒成立,则实数m的取值范围为()A . (3,+s )B . [3 ,+s )C . (2 ,+s )D . [2 ,+s )二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. _______________________ (2017福建莆田二十四中期末)已知数列{ a n}为等比数列,前n项的和为S n,且a5= 4S4 + 3, a6= 4S s + 3,则此数列的公比q= .14. _______________________________________________________________________ (2017唐山一中期末)若x>0, y>0, x+ 2y+ 2xy= 8,贝U x+ 2y的最小值是 ___________________________________ .15. 如右图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°则灯塔A与灯塔B的距离为_______________ .16. _______________________ 已知a, b, c 分别为△ ABC 三个内角A, B, C 的对边,a = 2,且(2 +b)(sinA —sinB) = (c—b)sinC, 则厶ABC面积的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17. (10分)(2017山西太原期末)若关于x的不等式ax2+ 3x—1>0的解集是,x舟<x<1(1) 求a的值;(2) 求不等式ax2—3x+ a2+ 1>0的解集.~~118. (12分)在厶ABC中,内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a>c.已知BA BC= 2, cosB = 3, b = 3.求:(1)a 和c 的值;(2)cos(B—C)的值.119. (12分)(2017辽宁沈阳二中月考)在厶ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,且cosA = 3.B+ C(1) 求sin2—2 + cos2A 的值;(2) 若a = .3,求bc的最大值.20. (12分)(2017长春^一高中期末)设数列{a n}的各项都是正数,且对于n € N*,都有a? + a2 + a3+- +a n = S 2,其中S n 为数列{a n }的前n 项和.(1)求 a 2;⑵求数列{a n }的通项公式.x + 2y w 2n ,21.(12分)已知点(x , y)是区域x >0, (n € N +)内的点,目标函数 z = x + y , z 的最大值记作Z n .,y > 0若数列{a n }的前n 项和为S n , a i = 1,且点(S n , a n )在直线z n = x + y 上.(1)证明:数列{a n — 2}为等比数列; ⑵求数列{S n }的前n 项和T n .22. (12分)某投资商到一开发区投资 72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50万元.设f(n)表示前n 年的纯利润总和(f(n)=前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额).(1) 该厂从第几年起开始盈利?(2) 若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以 48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?答案与解析1. B 由> 1,可得空——1> 0,所以3x — 1 —(2— x 碁0,即皱—> 0,所以炉—3【x— 3 4戶0,2 — x2 — x2— x 2 — x|x — 2 工 0,3解得4< x <2.故选B.1 .•1+1= 10;+〔 1 . 1 a b (a + b)=当a = b =気时,"=”成立,故选 C.、 5— 15. A T a i = 1, a 3= 5,…公差 d = -2~ = 2, ••• a n = 1 + 2(n — 1) = 2n — 1,S k +2 — S k = a k +2 + a k +1 = 2(k + 2) — 1 + 2(k + 1) — 1 = 4k + 4 = 36, • k = 8,故选 A. 6. C •- a >b , #7>o , • T+VT +V 故选 C.7.B 由等差数列的性质知, a 3 + a 6 + a io + a i3 = 4比=32,•- a $= 8.又 a m = 8, • m = 8.& C如图所示,当直线 z = 5y — x 经过A 点时z 最大,即a = 16,经过C 点时z 最小,即b =— 8, • a — b = 24,故选C.列{「}的最大项为T 2,则n 0= 2,故选A.2210. A 由 2(x — 1) <2,得(x — 1) <1.解得 0<x<2.122•- A = {x|0<x<2} •由 log?(x + x + 1)> — Iog 2(x + 2), 得 log 2(x 2 + x + 1)<log 2 (x 2 + 2). x 2+ x + 1>0, 则』x 2+ 2>0,解得x<1..^2 + x + 1<x ?+ 2.• B = {x|x<1} . • ?u B = {x|x > 1}. •••阴影部分表示的集合为 (?u B) n A = {x|1< x<2}.111. D 设数列{a n }的公比为q ,则a 2= a i q = 1, • q = T ,a i• S 3= a i + a 2+ a 3= a i + a i q + a i q 2= a i + 1 + ~,当 a i >0 时,S 3》1 + 2 1 a i •- = 3,当且仅当 a i = 1 时,9. A S n =a i; —V = a i (2n — 1),2 — 1V), a n +1 = a 1 2 ,n = 2时取等号,.••数取等号;当a i <0时,S 3< 1-2 = - 1,当且仅当a i =- 1时,取等号故S 3的取值范围是(一a, — 1] U [3 ,+^ ). 12. D a 1= 1, a n +1 一 a n = n + 1,a n = (a n — a n - 1)+ (a n -1 一 a n -2)+ …+ 但2一 a 1)+ a 1=(n — 1 + 1) + (n — 2+ 1) + …+ (1 + 1) + 1 =n + (n — 1) + (n — 2) + …+ 2+ 1 = n 1,当n = 1时,也满足上式,丄=2 = 2p 一丄、 a n n(n + 1) W n + 1 丿'T S n<m 对一切正整数n 恒成立,••• m >2,故选D. 13. 5解析:由题可得 a 5— a 6= 4S 4— 4S 5=— 4a 5,--a 6 = 5a5,・• q = 5.14. 4解•/ x + 2y + 2xy = 8,x + 2y 2又 2xyw —,i'x + 2y \ • x + 2y + —丿》8,• 4(x + 2y)2+ x + 2y -8 > 0, • x + 2y > 4,当且仅当x = 2y = 2时,等号成立. • x + 2y 的最小值为4.15.3a km解析:由题意知,/ ACB = 120°• AB 2= 3a 2+ 3a 2-2 . 3a x . 3acos120°= 9a 2, • AB = 3a km. 16. .3--a n =n n + 121—2+ 2 - 3+•••+ 2 2 3 1―丄=n n + 1丄)n + 1 )解析:由正弦定理及(2 + b)(sinA —sinB)= (c — b)sinC ,得(2 + b)(a — b) = (c — b)c ,又 a = 2, • b 2 + c 2— a 2= be.由余弦定理得 沁=畫 J= 2bi = 1,- A = 60°又 22= b 2+ c 2— 2bccos60°= b 2+ c 2— bc > 2bc — bc , • bc < 4.当且仅当b = c 时取等号.11{3 • &ABC =^bcsinA W4 x _23= .3.ax 2 + 3x — 1 = 0的两个实数根为 舟和1,1 3 1 1• 1+1=—a 且 2x 1=—a 解得••• a 的值为一2,⑵由(1)可知,不等式为一 2x 2- 3x + 5>0 ,即即 2x 2 + 3x — 5<0, •.•方程 2x 2 + 3x — 5 = 0 的两根为 x 1 = 1, x 2=— 2 由余弦定理,得 a 2+ c 2= b 2+ 2accosB. 又 b = 3,所以 a 2+ c 2 = 9 + 2 x 2= 13.ac^ 6, 解;2+ c 2= 13,得 a=2,c= 3或 a=3,c= 2.因 a>c ,所以 a = 3, c = 2.c 2,2.2 4.2sinC=b sinB = 3X 3 =9 .是 cos(B 一 C )=cosBcos C +sinBsinc =1x 9+竽x节=筹19. 解:(1)在厶ABC 中,T cosA = 3,2B + C1 2 1 2 1• sin — + cos2A =尹—cos(B + C)] + 2cos A — 1 =尹 + cosA) + 2cos A — 1 =—- ⑵由余弦定理知a 2= b 2+ c 2— 2bccosA ,⑵在△ ABC 中, sin B =訪—cos 2B =因a = b>c ,所以 C 是锐角,因此 cosC = 1 — sin 2c=7 9.17.解:(1)依题意,可知方程 a =— 2,•不等式ax 2— 3x + a 2+ 1>0的解集为5<x<118.解:⑴由BA BC = 2 得 cacosB = 2,1又 cosB = 3 所以 ac = 6.由正弦定理,得—1••• be 的最大值为9420. 解:(1)在已知式中,当 n = 1 时,a 3 = a f ,: a^o , • a i = 1, 当 n 》2 时,a 3+ a ; + a 3+…+ a *= £,① a 3 + a 3 + a 3 +…+ a : i = i ,②①一②得 a ¥= a n (2a i + 2a 2+…+ 2a n -1+ a n ). -a n>0 , • a n =2a 1+ 2a 2+…+2a n - 1+a n,即 a n = 2S n — a n ,•- a 2= 2(1 + a 2)— a 2,解得 a 2=— 1 或 a 2= 2,T a n >0a 2= 2.2 *(2)由(1)知 a n = 2S n — a n (n € N ),③ 当 n 》2 时,a 2-1 = 2S n -1 — a n -1,④③一④得 a :— a 2—1 = 2(S n — S n -1)— a n+a n - 1= 2a n— a n+a n - 1= a n+a n - 1.Ta n+a n -1>0 ,• a n—為-1= 3 ,•数列{a n }是等差数列,首项为 1 ,公差为21.解:(1)证明:由已知当直线过点(2n,0)时,冃标函数取得最大值,故 z n =2n.•方程为x + y = 2n. -(S n , a n)在直线 Z n =x+y上,…S n+a n= 2n •①• S n -1 + a n -1 = 2(n — 1), n A 2•②由①一②得,2a n — a n —1 = 2, n A 2. • a n —1 = 2a n — 2, n A 2.3•数列{a n — 2}是以一1为首项,1为公比的等比数列. (2)由(1)得 a n- 2=—2 * 1,• a n= 2— ~ ° 1T Sn+a n= 2n,「・ S n=2n—a n=2n— 2+f ° 19• 3= b 2 + e 22 4A2be—3be =3be ,3当且仅当b =c =2时,等号成立,1,可得a n = n ・又T= ^^ = 1, n A 2, a 1 — 2=— 1a n -1—42a n— 2—22(a n — 2) 21—触n 2n — 2 1 —2 2 -1 n —1=—n - +T =n— n+2—1 .1—2--T n = 0 +=[0 + 2 + …+ (2n — 2)] + + 2 + …+ 2n -2 +- nfn — 122. 解:由题意知 f(n)= 50n — 12n +(1)由f(n)>0,即一2n 2+ 40n — 72>0,解得2<n<18.由n € N +知,该厂从第3年起开始盈利.fL < 40 — 2X 12= 16. n 因此方案①共获利 16X 6+ 48= 144(万元),此时n = 6.方案②:f(n) = — 2(n — 10)2 + 128.从而方案②共获利 128 + 16= 144(万元)•比较两种方案,获利都是144万元,但由于第一方案只需 6年,而第②种方案需要 10年,因此,选择第①种方案更合算.2. C T S ^ABC =gacsinB = 2,• J x 1X 〒c = 2 ,• c = 42,• b 2= c 2 + a 2— 2accosB = 32 + 1 — 2x 1 x 4 2^^" = 25,• b = 5,.••外接圆的直径为SinB = 5 * * * * = 5.2,故选C. 23. B (x + a)(x — 5a)>0. ■/ a<0, /• — a>5a. ••• x> — a 或 x<5a ,故选 B.14. C 若 lg(a + b) = — 1,则 a + b =石,4 — 72=— 2n 2+ 40n — 72.(2)方案①:年平均纯利润 号=40-2n +36,••• n + 36 > 2 n n x 36n 12,当且仅当n = 6时取等号,。
2020学年高中数学综合质量测评(二)(含解析)新人教A版必修5(2021-2022学年)
综合质量测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b ,c 分别是△ABC 中内角A,B,C 的对边,且a=1,b =5,c=2错误!未定义书签。
,则△A BC 的面积S=( )A .错误!未定义书签。
B.2 C .3 D .4答案 B解析 因为cos C =错误!未定义书签。
=错误!,所以sin C =错误!,所以S=错误!ab sin C=2.故选B .2.若a <0,b <0,则p =b 2a +错误!未定义书签。
与q=a +b 的大小关系为( ) A.p<q B .p≤q C .p>q D .p≥q答案 B解析 因为p -q =错误!+错误!未定义书签。
-a -b=错误!≤0,所以p≤q.故选B.3.已知a ,b,c 成等比数列,a ,x,b 成等差数列,b,y,c 成等差数列,则错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
的值等于( )A.错误!未定义书签。
B .错误! C.2 D .1答案 C解析 用特殊值法,令a=b =c.4.若数列{an }满足a 1=2,a n+1=3a n +2,则{an}的通项公式为( )A .a n=2n -1B .an =3n -1C .a n =22n -1D .a n=6n-4答案 B解析 ∵数列{a n }满足a 1=2,an +1=3a n +2,∴a 2=6+2=8=32-1,a 3=24+2=26=33-1,ﻬa4=78+2=80=34-1,…,a n =3n -1,故数列{an }的通项公式为a n =3n-1.故选B. 5.已知a,b ,c 为△AB C的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m=(3,-1),n =(cos A ,sin A ).若m⊥n ,且a cos B +b cos A=c sin C ,则角A,B 的大小分别为( )A .错误!,错误!未定义书签。
新课标人教版必修5高中数学综合检测试卷附答案解析
解题技巧
认真审题,理解 题意
运用所学知识, 分析问题
结合实际,联系 生活
细心计算,确保 答案准确
易错点提醒
计算错误:学生可 能因为粗心或计算 能力不足而犯错
概念混淆:学生对 相关概念理解不清 晰,导致填空题答 案错误
逻辑推理错误:学生 在解题过程中,可能 因为逻辑推理不严密 而导致答案错误
审题不清:学生可能因 为审题不仔细,导致理 解题意出现偏差,从而 影响答案的准确性
难度分布:试卷难度适中,注重基础知识的考查,同时也有一定的难度和区分度。
题型设计:本试卷包括选择题、填空题、解答题等多种题型,考查学生的不同能力。
考查重点:本试卷重点考查学生的数学基础知识和应用能力,以及学生的数学思维和解题技 巧。
难度分析
基础题占比: 40%
中档题占比: 40%
难题占比:20%
题目设计注重考查 学生的数学析
题目类型:单项选择题
题目数量:10道
题目难度:中等
解析:对每道题目进行详细的 解析,包括解题思路、方法、 答案等
解题技巧
掌握基础知识:选择题通常考察基础知识点,应熟练掌握相关概念和公式。 仔细审题:读懂题目要求,找出关键信息,避免因误解而选错答案。
排除法:对于一些难以确定答案的选择题,可以采用排除法,排除明显错误的选项。
善于利用选项:有些选择题的答案可以通过代入选项进行验证,从而快速找到正确答案。
易错点提醒
选项中涉及到的知识点是否准确掌握 选项中的陷阱和迷惑性词语是否能够识别 计算和分析过程中是否有遗漏或错误 解题思路和方法是否正确且符合题意
题目类型及解析
题目类型:填空题 题目难度:中等 题目数量:10道 解析:针对每道题目给出详细的解题思路和答案解析
人教A版高中数学必修五5全册测试--含答案.docx
数学5全册测试说明:时间120分钟,满分150分;可以使用计算器.一、选择题(每小题只有一个正确选项;每小题5分,共60分) 1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是(A )a n =n 2-(n-1) (B )a n =n 2-1 (C )a n =2)1(+n n (D )a n =2)1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的(A )第12项 (B )第13项 (C )第14项 (D )第15项3.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,n 2=a 1a 2…a n 恒成立,则a 3+a 5等于 (A )7613111(B)(C)(D)3161544.一个三角形的两内角分别为45°和60°,如果45°角所对的边长是6,那么60°角所对的边长为(A )36 (B )32 (C )33 (D ) 26 5.在△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于(A )1∶2∶3(B )3∶2∶1 (C )2∶3∶1(D )1∶3∶26.在△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC(A )无解 (B )有解 (C )有两解 (D )不能确定7、等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若1062a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中可以用这个常数表示的是(A ) 6S (B ) 11S (C )12S (D ) 13S8.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2 a 10-a 12的值为 (A)20(B)22(C)24 (D)289. 当a <0时,不等式42x 2+ax -a 2<0的解集为 (A){x |-6a <x <7a } (B ){x |7a <x <-6a } (C){x |6a <x <-7a} (D ){x |-7a <x <6a} 10.在∆ABC 中,A B C ,,为三个内角,若cot cot 1A B ⋅>,则∆ABC 是 ( ) (A )直角三角形 (B )钝角三角形(C )锐角三角形 (D )是钝角三角形或锐角三角形11.已知等差数列{a n }满足56a a +=28,则其前10项之和为 ( ) (A )140 (B )280 (C )168 (D )5612.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )(A ) 矩形( B ) 三角形(C ) 直角梯形(D ) 等腰梯形二、填空题(把答案写在题中的横线上;每小题4分,共16分)13. 数列{a n }中,已知a n =(-1)n·n +a (a 为常数)且a 1+a 4=3a 2,则a =_________,a 100=_________.14.在△ABC 中,若 0503,30,b c a ===则边长___________.15.若不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-3121<<x },则a +b =_________. 16.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n 个图案中有白色地面砖 块.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 非等边三角形ABC 的外接圆半径为2,最长的边23BC =,求sin sin B C +的取值范围.18. (本小题满分12分)在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A 、B 两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案. (1)画出测量图案;(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);(3)计算AB 的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).19.(本小题满分12分)设{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,,,,134234211a b b b a a b a ==+==分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和1010T S 及.20.(本小题满分12分)已知10<<m ,解关于x 的不等式13>-x mx. 21、(本小题满分12分)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本)(n g 与科技成本的投入次数n 的关系是)(n g =180+n .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为)(n f 万元.①求出)(n f 的表达式;②问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?22.(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ,设数列{}n b 满足对任意自然数n 都有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b =n 2+1恒成立. ①求数列{}n b 的通项公式;②求+++321b b b ┅+2005b 的值. 参考答案:一、选择题CCBAD ABCBB AD二、填空题42n +. 三、解答题 17. 解:由正弦定理2BC R SinA= ,得23sin =A . ∵BC 是最长边,且三角形为非等边三角形, ∴π32=A . )3sin(sin sin sin B B c B -+=+π1sin 2B B =+sin()3B π=+. 又30π<<B ,∴2333B πππ<+< ,sin()13B π<+≤.故 c B sin sin +的取值范围为1]18.略.19.解:设等差数列{}n a 的公差为,d 等比数列{}n b 的公比为q . d q q b d a d a 42,,31,122342+=∴=+=+=Θ ①又,,21,,2333342b a d a q b q b =+===ΘΘd q 214+=∴ ② 则由①,②得242q q =-.22,21,02±==∴≠q q q Θ 将212=q 代入①,得855,8310-=∴-=S d当22=q 时,)22(323110+=T , 当22-=q 时,)22(323110-=T , 20. 解:原不等式可化为:[x (m -1)+3](x -3)>0Θ 0<m <1, ∴-1<m -1<0, ∴ 31313>-=--m m ; ∴ 不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x x 133|.21.解:第n 次投入后,产量为10+n 万件,价格为100元,固定成本为180+n 元,科技成本投入为100n ,所以,年利润为n n n n f 100)180100)(10()(-+-+=(+∈N n ) =)191(801000+++-n n520≤ (万元) 当且仅当191+=+n n 时,即 8=n 时,利润最高,最高利润为520万元.22. 解:(1)Θ对任意正整数n ,有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b=n 2+1 ① ∴当n =1时,311=a b ,又11=a ,∴31=b ; 当2≥n 时,11a b +22a b +33a b +┅+11--n n a b =n 2-1 ② ∴②-①得 2=nn a b ; 1322-⨯==n n n a b ;∴n-13 , (1),23 , (2)n n b n =⎧=⎨⨯≥⎩(2)+++321b b b ┅+2005b=)323232(320042⨯++⨯+⨯+Λ=)13(332004-+=20053。
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高中数学必修五质量检测(含答案)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 1. 设集合{}1A x x =>,集合{}
220B x x x --=<,则()
A
B R =ð( )
A .{}1x x ->
B .{}11x x -<≤
C .{}11x x -<<
D .{}12x x << 2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若854,18S a a 则-=等于( )
A .72
B .54
C . 36
D .18
3. 若△ABC 为钝角三角形,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a =3,b =4,c =x ,角
C 为钝角,则x 的取值范围是( )
A .x >5
B .5<x <7
C .1<x <5
D .1<x <7
4. 已知数列2,x ,y ,3为等差数列,数列2,m ,n ,3为等比数列,则x +y +mn 的值为
( )
A .16
B .11
C .-11
D .±11 5.设()22M a a -=,()()13N a a +-=,则有( )
A .M >N
B .M ≥N
C .M <N
D .M ≤N 6.在等比数列
{}n a ,37232a a ==,,则q =( )
A. 2
B. -2
C. ±2
D. 4
7.在△ABC 中,若2
22c
a b ab =++,则∠C=( )
A. 60°
B. 90°
C. 150°
D. 120°
8. 设a 、b 是实数,且a +2b =3,则24a b +的最小值是( )
A .6
B ...8
9. 设锐角△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =1,B =2A ,则b 的取值
范围为( )
A .
B .(
C .
)
D .()0,2
10.已知()
1
1234561n n S n +-+-+-+
+-=,则20192020S S -=( )
A .2019
B .-2019
C .2020
D .-2020 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
11.在△ABC 中,已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
12.等差数列110,116,122,128,……,在400与600之间共有________项.
13.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若ABC S △=,ac =48,c -a =
2,则b = .
14.已知不等式20x ax b --<的解集为()2,3,则不等式210bx ax -->的解集为 .
15.f x ax ax ()=+-2
1在R 上满足f x ()<0,则a 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(6分)已知数列{}n a 的前n 项和2
48n S n n =-。
(1)求数列的通项公式; (2)求n S 的最大或最小值。
17.(8分)已知2
()3(6)6f x x a a x =-+-+.
(1)解关于a 的不等式(1)4f >;
(2)若不等式()f x b >的解集为(0,3),求实数,a b 的值.
18.(8分)等差数列{}n a 的项数m 是奇数, 且a 1 + a 3 + …+a m = 44 , a 2 + a 4 +…+ a m -1 =33 .求m 的值.
19.(8分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且bcos C -ccos (A+C )=3a cos B . (1)求cos B 的值; (2)若2=⋅,且6=
a ,求
b 的值.
20. (10分)已知是数列{}n a 是等比数列,其中71a =,且456,1,a a a +成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)数列{}n a 的前n 项和记为n s ,证明:128(1,2,3,...n s n <=).
参考答案: 一.选择题
11 1200
12. 33 13
.
. ()
11,23
-- 15. (4,0]-
三、解答题:
16. 解:(1)1147
(1)
249(2)
n n
n S n a S S n n -⎧=-=⎪=⎨
-==-≥⎪⎩
249n =-
(2)由2490n a n =-≤,得24n ≤。
∴当n =24时, 2
(24)576n S n =--有最小值:-576
2∴
18. 解:由已知可得
1324144(1)33
(2)
m m a a a a a a -+++=⎧⎨
++
+=⎩
(1) -(2)得
11
112
m a d -+
= (1)+(2)得
11(1)(1)
[]7722
m m m m S ma d m a d --=+
=+= 所以 11m=77 即 m=7
19.解:(1)sin cos sin cos 3sin cos ,B C C B A B +=由正弦定理可得: ,
0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(≠==+A B A A B A C B 又可得即
故.3
1cos =
B
(2)由2cos ,2==⋅B ac BC BA 可得,
,
cos 2.6,6,
6222B ac c a b c a ac -+====由可得又即
可得22=b .
20. 解:(1)由题意得:2
44422a q a a q +=+
341a q =
整理得2
2
2(1)1q q q +=+1
2
q ∴=
48a ∴=,164a =
11
64()2
n n a -=
证明:(2)由(1)得,11281()1282n n s ⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦。