第一章 时间序列分析基础(1)

第一章时间序列分析基础

一维傅里叶变换

首先观察一个实验。将弹簧的一端固定并悬垂，另一端挂一重物。向下拉重物使弹簧拉伸某一距离，比如说0.8个单位，使其振动。现假定弹簧是弹性的，那么它将无休止地上下运动。若将运动起始的平衡位置定为时间零，那么重物的位移量将随着时间函数在极限[＋0.8—－0.8]之间变化。如果有一装置能给出位移振幅随时间函数变化的轨迹，就会得到一条正弦波曲线。其相邻两峰值间的时间间隔为0.08秒(80毫秒)。我们称它为弹簧的周期，它取决于所测弹簧刚度的弹性常数。我们说弹簧在一个周期时间内完成了一次上下振动。在1秒的观测时间内记下其周期数，我们发现是12.5周，这个数被称为弹簧振动的频率。你一定会注意到，1/0.08＝12.5，这就是说频率为周期的倒数。

我们取另一个刚性较大的弹簧，并重复上面的实验。不过这次弹簧的振幅峰值位移为0.4个单位。它的运动轨迹所显示的是另一条正弦曲线。量其周期和频率分别为0.04秒和25周/秒，为了记下这些测量结果，我们做每个弹簧峰值振幅与频率的关系图，这便是振幅谱。

现在取两个相同的弹簧。一个弹簧从0.8个单位的峰值振幅位移开始松开，并使其振动。这时注意弹簧通过零时平衡位置的时间，就在它通过零时的一刹那，请你将另一弹簧从0.8个单位的同样峰值振幅位移处松开。这样由于起始的最大振幅相同，所以两个正弦时间函数的振幅谱也应该一样。但肯定两者之间是有差别的，特别是当第1个正弦波达到峰值振幅时，另一个的振幅为零。两者的区别为：第2个弹簧的运动相对于第1个弹簧的运动有一个等于四分之一周期的时间延迟。四分之一周期的时间延迟等于90°相位滞后。所以除振幅谱之外，我们还可以作出相位延迟谱，至此，这个实验做完了。那么我们学到了什么呢？这就是弹簧的弹性运动可以用正弦时间函数来描述，更重要的是，可以用正弦波的频率、峰值振幅及相位延迟来全面地描述正弦波运动。这个实验告诉我们弹簧的振动是怎样随时间和频率函数变化的。

现在设想有一组弹簧，每个弹簧的正弦运动都具有特定的频率、峰值振幅和相位延迟。所有弹簧的正弦响应如图1所示。我们可以把该系统的运动“合成”为一个总的波动，来代替该组中的各单个分量的运动。这一合成是直接把所有记录道相加，其结果得到一个与时间相关的信号，在图1中由第一道表示。我们通过这种合成可以把这一运动由频率域变换到时间域。这一变换是可逆的：即给定

时间域信号，我们可以把它变换到频率域的正弦分量。在数学上，这种双向过程是由傅里叶变换完成的。在实际应用中，标准的运算是所谓快速傅氏变换。通过傅氏正变换可以把与时间相关的信号分解成它的频率分量，而所有的频率分量合成为时间域信号又是通过反傅氏变换来实现的。图2概括了信号的傅氏变换。振幅谱和相位谱(严格地讲是相位延迟谱)是图1中所显示的正弦波最简单的表示形式。我们很容易看到两种波形显示间的对应性。特别是，振幅谱在大约20赫兹和

40赫兹处分别有一个强峰

值和一个较小的峰值，在图

1中大约相同的频率位置上

可以见到较暗的频带。另一

方面，在大约30赫兹处的弱

振幅区和振幅谱上的高频

和低频端在两种显示中也

都是明显的。要记住，振幅

谱曲线表示的是各个正弦

波峰值振幅与频率的关系。

现在我们来研究不太好理

解的相位谱。这回忆一下弹簧试验，相位延迟是指一个特定频率分量的时间延迟。为了更好地说明相位延迟与频率的关系，让我们在图1上追踪以零计时线截取的正峰值。我们观察到，在谱的低频端这些峰值落在零计时线后面(即负时间值)。然后在大约20赫兹处，它们跳到时间轴正的一边，并且在频率轴的剩余部分它们基本上都在这一边。在图1中我们追踪的路径可以画成图2中显示的相位谱，如果

所有的峰值沿用图1中的零计时线排列，那么它可能对应于零相位谱。在这种情况下，所有的正弦波将彼此加强，在零时产生极大峰值。相对来讲，振幅谱比相位谱容易理解，在本节后面再深入研究这一问题。

假频

地震信号是一个连续的时间函数。由于数字记录的引入，连续的地震信号要以离散的时间间隔进行采样，其时间间隔称为采样率。通常，对于大多数反射地震工作其采样率的范围在l至4毫秒。高分辨率研究要求采样率小到0.25毫秒。图3是一个连续的时间信号。黑点表示实际记录的离散采样点。离散的时间函数称为“时间序列”。图3的下图是企图恢复上图的起始连续信号的曲线。很明显，重建的信号缺少了原来信号所表

现的细节。这些细节对应着高频

分量，它们由于离散化而明显地

丢失了。假如我们选择较小的采

样率，就可能更精确地再现原来

的信号。在零采样间隔的这种极

限情况下，我们就能精确地表示

连续信号。

由于离散化，可能恢复的频

带宽度是否有个量度？通常，若

给定采样间隔为dt，那么可以恢

复的最高频率是1/2dt。这就是所

谓的尼奎斯特频率。若dt为2毫秒，尼奎斯特频率为250赫兹，对这一时间序列重采样，得到采样率5毫秒和8毫秒的时间序列，对应的尼奎斯特频率分别为125赫兹和62.5赫兹。可以想象到，采样间隔越大，时间序列就越平滑，即高频损失越严重。当我们用4毫秒重新采样时，在2毫秒采样的时间序列中存在于125—250赫兹之间的频率分量完全丢失了。同样，8毫秒重采样的序列在62.5至125赫兹之间频率含量也丢失了。我们能否恢复这些频率呢？绝对不能。一旦我们离散化了连续信号，那么我们期望恢复的最高频率就是尼奎斯特频率。人们也可能提出对4毫秒或8毫秒采样的时间序列进行内插成2毫秒采样就应拾回高频。事实上，4毫秒和8毫秒采样的时间序列用同一作图比例尺内插回2毫秒，得出的采样点数目与原始系列相同，这种内插不能恢复由于离散而损失的频率，仅仅产生一些多余的采样点。在野外就其连续信号采样来说，此意义是重要的。如果大地信号具有的频率比如说是高达150赫兹，那么4毫秒采样将丢失125—150赫兹之间的频率。

仅仅是丢失高频吗？它们真的丢失了吗？我们举一个正弦波的例子。对25赫兹正弦波信号像前面所说的以4毫秒和8毫秒采样重采样，振幅谱表明三种不同采样的信号具有相同的频率25赫兹。这就是说在以较大的采样间隔重采样后，信号