1-4 函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

1.(文)(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( )

A ．y ＝x 2－2x

B ．y ＝2x

C ．y ＝cos2x

D ．y ＝1|x |－1

(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是

( )

A ．f (x )＝sin x

B ．f (x )＝－|x ＋1|

C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )

D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x

2．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )

A ．1005个

B ．1006个

C ．2009个

D ．2011个

3．(文)(2011·全国理)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，

f (x )＝2x (1－x )，则f (－52

)＝( ) A ．－ 12 B ．－ 14

(理)(2011·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f ?x ?

，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f ＝( ) A ． B ．－ C ．

D ．－ 4．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．－3

5

．函数y ＝log 22－x 2＋x

的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y ＝x 对称

6．奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f ?x ?－f ?－x ?x

<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(－1,0)∪(0,1)

7．(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，

则不等式f ?x ?g ?x ?

<0的解集是________．

8．(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1 x >0a x ＝0x ＋b x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.

(理)若函数f (x )＝a －e x

1＋a e x

(a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．

(x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 12

6)＝( )

B ．－12 D ．6

2．(2011·开封调研)已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )

B ．1 D ．2

[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：

若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32等于( )

A ．0

B ．1 D ．－12

3．(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )

A ．1

B ．4

C ．3

D ．2

4．(文)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2012)的值为( )

A ．2

B ．0

C ．－2

D ．±2

(理)已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f ?x ?1－f ?x ?

，则f (2011)等于( )

A ．2

B ．－3

C ．－12

5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12

对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________. 6．已知函数f (x )＝x |x －a |＋2x －3.

(1)若a ＝4，求当x ∈[2,5]时函数f (x )的最大值；

(2)若函数f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围．

7．(文)(2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1

(a >0且a ≠1)是奇函数．

(1)求m 的值；

(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；

(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值． (理)已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m .

(1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；

(2)是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．

1．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则