洛必达法则
诺比达法则公式
诺比达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。
洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。
洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。
⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。
当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。
比如说利用泰勒公式解。
⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
洛必达法则
x 1 2 − 2 1 + x = lim x 解 原式 = lim = 1. x→+∞ x→+∞ 1 + x2 1 − 2 x tan x ∞ .( ) 例5 求 lim π x→ tan 3 x ∞ 2
1 cos2 3x sec x = lim 解 原式 = lim π 3sec2 3 x 3 x→π cos2 x x→ 2 2
lnsin 2x ∞ lim .( ) 例3 求 x→0 lnsin 3x ∞
+
2cos 2x ⋅ sin 3x cos 2x 解 原式 = lim = lim = 1. x→0 3cos 3 x ⋅ sin 2 x x→0 cos 3 x
+
+
π
例4
求 lim 2
x→+∞
− arctan x 1
. (0)
3. 0 , 1 , ∞ 型
0 ∞ 0
步骤: 步骤:
00 0 ⋅ ln 0 ∞ 1 取对数→∞ ⋅ ln1 ⇒ 0 ⋅ ∞. 0 ⋅ ln ∞ ∞0
+
x 0 例9 求 lim x . ( 0 ) x→0
解
ln x 原式 = lime , 而 lim x ln x = lim x→0 x→0 1 x→0 x 1 = lim x = 0. ∴原式 = e0 = 1. x→0 −1 2 x
第二节
洛必达法则
0 ∞ 一、型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ∞
0 二、⋅ ∞, ∞ − ∞,00 ,1∞ , ∞0型未定式解法
0 ∞ 一、型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ∞
定义 如果当x → a(或 x → ∞)时,两个函数 f ( x) 与F( x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极 f ( x) 0 ∞ 限 lim 称为 型或 型未定式 . x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)
洛必达法则三个条件
洛必达法则三个条件1. 洛必达法则啊，它有三个条件呢。
这就像三把钥匙，少了一把都打不开那扇特定的数学大门。
第一个条件是，在自变量趋于某值时，分子分母的极限都得是零或者无穷大。
比如说，求极限lim(x→0) (sinx)/x，当x 趋于0的时候，sinx趋于0，x也趋于0，这就符合第一个条件啦。
你看，这多像两个人同时走向一个神秘的起点，要一起满足这个特殊的开始条件呢。
2. 洛必达法则的第二个条件也很关键哦。
在这个极限趋近的过程中，分子分母得在那个值的去心邻域内可导。
啥叫去心邻域呢？就像给那个值周围画个圈，但是不包括那个值本身。
举个例子，像lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1)，在x接近1的时候，分子分母在1的去心邻域内都是可导的。
这就好比一群小伙伴要去探险，在接近宝藏的那片区域得有特殊的能力（可导），这样才能继续探索下去呢。
3. 嘿，洛必达法则的第三个条件可不能忘。
分母的导数不能为零啊。
这就像一个规则，分母就像一个支撑的架子，要是这个架子的变化率（导数）为零了，那整个式子就乱套了。
就像lim(x→2) (x³ - 8)/(x - 2)²，分母的导数在x→2的时候不为零，这就符合第三个条件。
这就像一场比赛，分母这个“选手”得按照一定的规则来，不能有特殊的违规情况（导数为零）。
4. 洛必达法则的这三个条件啊，就像拼图的三块，缺了任何一块都拼不出完整的画面。
第一个条件里分子分母极限的那种共同趋向（零或者无穷大），就像是两个舞者同时迈着相同的步伐走向舞台中央。
比如lim(x→0) (tanx)/x，x趋于0时，tanx和x都走向那个神秘的零的状态。
你要是只看到一个舞者在动，另一个不动，那就不符合这个法则的第一个条件啦。
这是不是很神奇呢？5. 再看第二个条件，在自变量趋近的去心邻域内可导。
这就像在一片神秘的森林里，只有在特定的小区域内有特殊的能力（可导）才能继续前进。
罗比达法则
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法 1. 0 型 1 0 1 步骤: 0 , 或 0 0 就可转化为 0 或 型 0
2. 型
1 1 00 步骤: . 0 0 00
将x x0换成x x0 , x x0 , x , x , x 仍有类似的结论
0 如： x 时 型的极限 0
设f ( x ), g( x )在 | x | N上有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g( x ) 0
x x
3. 0 ,1 , 型
0 0
0 0 0 ln 0 步骤: 取对数 1 ln 1 0 ln 0
0 .
说明
0 ， 这两种基本未定式 罗比达法则只能对 0 才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化
定理
( 2) f ( x ), g ( x )在 | x | N时可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x g ( x ) x g ( x )
§4.7 罗比达法则
罗比达法则又叫洛比达法则是在一定条件下通 过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值 的方法。
设(1) 当 x 0时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零; ( 2) 在 a 点的某领域内 (点 a 本身可以除外), f ( x ) 及 F ( x ) 都存在且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); 定理 x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则的原理及应用
洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。
其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。
洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。
二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。
三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。
所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。
2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
洛必达法则
求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a
洛必达法则公式表
洛必达法则公式表德国物理学家恩斯特·洛必达（Ernst Mach）在19世纪末提出了洛必达法则，它被认为是科学中关于物体运动的最基本的定律之一、洛必达法则描述了物体受力时的运动状况，是牛顿第二定律的一种特殊形式。
下面是洛必达法则的公式表及其详细解释。
F=m*a解释：F：物体所受合力的大小，单位为牛顿（N）m：物体的质量，单位为千克（kg）a：物体的加速度，单位为米每秒的平方（m/s²）根据洛必达法则，物体所受合力的大小与加速度之间存在直接的关系。
当物体受到的合力增大时，加速度也会相应增大；反之，当物体受到的合力减小时，加速度也会相应减小。
同时，物体的质量也会影响其加速度，质量越大，物体相同力量作用下加速度越小。
a=F/m这个公式表明，物体受到的合力除以其质量，等于物体的加速度。
这意味着我们可以通过测量物体的质量和给定物体所受的合力来计算其加速度。
另外，根据洛必达法则公式的变形，可以得到以下公式：F=m*Δv/Δt这个公式表明，物体所受合力等于质量乘以速度变化的比率（加速度）。
速度变化可以通过将物体的初始速度与最终速度相减得到，时间变化可以通过将物体的初始时间与最终时间相减得到。
总结：洛必达法则的公式表为F=m*a，其中F为物体所受合力的大小，m为物体的质量，a为物体的加速度。
根据洛必达法则，合力与加速度之间存在直接的关系，质量也会影响加速度。
公式也可以重写为a=F/m或F=m*Δv/Δt，这些公式可以帮助我们计算物体在受力作用下的运动情况。
洛必达法则公式表在物理学中是非常基础和重要的一个概念。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则
此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。 但原极限是存在的，可用下法求得
1 1 x sin sin x x x 0 lim lim x 0 x 0 sin x 1 sin x x
2
练习
3.01： （1） （ 3）
型：
1 1 0 变为 型或者 0 型 0 0
1 ( x x0 ) 法线方程： y y0 f ( x0 )
（1）若 f ( x0 ) 0： 切线：y y0 法线： x x0
（2）若f ( x0 ) ： 切线：x x0 法线： y y0
例1 求过曲线 y x 2 2 x 4 上一点 M (k ,2k ) 处该 曲线的切线和法线。 解：点 M (k ,2k )是曲线上的点，所以 2k k 2 2k 4 ， 解得 k 2 ，点M坐标为（2，4）， 又因为 y x2 (2 x 2) x 2 2 ， 所以切线方程为 即
y 4 2( x 2) y 2x
1 所以法线方程为 y 4 ( x 2) 2 即 2 y x 10 0
3.3函数的单调区间与极值
单调性
函数 y f ( x) 在开区间 J内可导，
f ( x) 0
f ( x)
f ( x) 0
f ( x)
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是 型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
洛比达法则
2
2
x→
2
6 cos 6 x = 3. = lim π x → 2 cos 2 x
2
0 二、 ⋅ ∞, ∞ − ∞,0 ,1 , ∞ 型未定式
0 0
∞
关键: 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法
1.决的类型： 或 型. 0 ∞
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ −2 x 例9 求 lim x e . ( 0 ⋅ ∞ )
ln(1 + x ) 例3 . (0) 求 lim 2 x →0 x 0 1 解 1 1 + x = lim 原式 = lim =∞ x →0 2 x x → 0 2(1 + x ) x
f ′( x ) 0 ∞ 如果 仍属 、 型，且 f ′( x )、 g ′( x ) 满 g' ( x ) 0 ∞ 足定理的条件， 续使用洛必达法则， 足定理的条件，可以继 续使用洛必达法则，即
6x 6x lim 注意： 注意： 式 中 的 x →1 6 x − 2 已不是未定式，不能 已不是未定式， 上
再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果． 再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果．
注意:在多次使用洛必塔法则时， 注意 在多次使用洛必塔法则时，一定要注 在多次使用洛必塔法则时 意验证是否满足条件． 意验证是否满足条件
1 tan x 6. lim ( ) ； x → +0 x
5. lim
x → +0
x
sin x
；
7. lim (
x → +∞
2
π
arctan x) x .
练习题答案
1.
1 ； 8
洛必达法则及其应用
洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。
它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。
在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。
一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。
例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。
洛必达法则
§2 洛必达法则若0)(lim =→x f ax ，0)(lim =→x g ax ，则 )()(limx g x f ax → 称为00的待定型。
类似的待定型有：00，∞∞，∞⋅0，∞-∞，∞1，00，0∞。
xx x sin lim 0→，x xx ln lim +∞→，x x x ln lim 0+→，)11(lim 22--+∞→x x x ， xx x 1)1(lim +→，x x x )(sin lim 0→，下面的洛必达法则，有助于我们求解这类待定型的极限．定理5.6 若(1) ()f x ,()g x 在(,)a a δ+可导且()g x '0≠，其中0δ>； (2) lim x a+→()f x ＝lim x a+→()g x ＝0；(3) lim x a +→()()f xg x ''＝A ，则 ()lim ()x a f x A g x +→=．证明 补充定义()f a ＝()g a ＝0，则当x ∈(,)a a δ+时，用柯西中值定理()()f x g x ＝()()()()f x f a g x g a --＝()()f g ξξ''，a x ξ<<.当+→a x 时，a ξ+→，故 ()lim ()x af x Ag x +→= 定理5.6证完。
定理5.7 若)()(lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=++→→在直观上是不难理解的：两个无穷小量的必等于它们变化速度的必．注1 极限A 可以是有限数，也可以是∞或∞±，结论仍成立。
注2 对a x →，-→a x ，定理条件作相应的改变后，结论仍成立。
注3 对∞→x ，±∞→x ，定理条件作相应的改变后，结论仍成立。
(1) ()f x ，()g x 在(,)a +∞可导，且()g x '0≠，其中a 是某个实数； (2) lim x →+∞()f x ＝lim x →+∞()g x ＝0；(3) limx →+∞()()f xg x ''＝A ，则 l i m x →+∞()()f xg x ＝A .证明 作变换tx 1=，则lim x →+∞()()f x g x ＝0lim t +→1()1()f t g t ＝0lim t +→2211()()11()()f t t g t t '-'- ＝0limt +→1()1()f t g t''＝()lim ()x f x g x →+∞''＝A 证完。
洛必达法则
洛必达法则洛必达法则（Pareto Principle）是指在许多情况下，80%的结果通常来自20%的原因。
这个法则最早由意大利经济学家洛达尔多·洛必达（Vilfredo Pareto）提出，他在19世纪末的研究中发现，意大利的财富大部分集中在少数人手中。
这个概念后来逐渐扩展到其他领域，并成为管理学、经济学、市场营销等领域中的重要理论之一。
洛必达法则的核心思想是不平等的分布规律。
在经济学中，洛必达法则可以用来解释财富分配不均的现象，即富者愈富，穷者愈穷。
在管理学中，洛必达法则可以用来解释企业中重要客户、关键任务、重要决策等只占总体的一小部分，却对整体结果起到决定性的作用。
在市场营销中，洛必达法则可以用来确定关键客户群体，投入更多的资源和精力来维护和发展这部分客户，从而取得更好的市场表现。
洛必达法则的应用非常广泛。
在个人生活中，我们常常会发现，只有极少数的活动和人际关系对我们的幸福感和成功起到决定性的作用。
比如，我们的朋友圈里只有少数几个好友对我们的生活和情感态度有深远的影响，而其他大部分人的作用相对较小。
同样，在工作中，我们可能发现只有很少的重要任务和决策对我们的能力和职业发展起到关键性的作用，而其他的琐碎工作相对较少。
洛必达法则的应用也对团队和组织管理非常有启示。
我们常常会发现，一个团队中只有少数几个核心成员能够决定大部分的结果。
这些核心成员通常具有极强的能力和经验，他们的贡献对整个团队的发展起到决定性的作用。
因此，团队的管理者应该注重培养和激励这些核心成员，为他们提供更多的机会和资源，以确保团队的成功。
在市场营销中，洛必达法则可以帮助企业识别关键客户群体。
根据洛必达法则，只有少数的顾客贡献了企业大部分的收益。
因此，企业应该重点关注这部分重要的顾客，与他们建立更紧密的合作关系，提供个性化的产品和服务，以提高客户满意度和忠诚度。
与此同时，企业还应该挖掘潜在的重要客户，以扩大市场份额和增加收益。
洛必达法则
洛必达法则①.00型未定式的洛必达法则 设函数)(x f 和)(x g 都在点0x 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1）0)(lim )(lim 00==→→x g x f x x x x . （2）在点0x 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在，且0)('≠x g .（3）)(')('lim 0x g x f x x →存在（或为无穷大）. 则有)(')('lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x →→=. ②.∞∞型未定式的洛必达法则 设函数)(x f 和)(x g 都在点0x 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1）∞==→→)(lim )(lim 00x g x f x x x x . （2）在点0x 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在，且0)('≠x g .（3）)(')('lim 0x g x f x x →存在（或为无穷大）. 则有)(')('lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x →→=. 以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作)(a U 。
设δ是任一正数，则开区间),(δδ+-a a 就是点a 的邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作),(δa U ，即{}δδδ+<<-=a x a x a U |),(。
点a 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。
点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作),(δa U，即{}δδ<-<=||0|),(a x x a U 。
把开区间),(a a δ-称为a 的左δ邻域，把开区间),(δ+a a 称为a 的右δ邻域。
柯西中值定理：如果函数)(x f 、)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≠x g ，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--，b a <<ξ. 洛必达法则的证明：作辅助函数⎪⎩⎪⎨⎧=∈=)( 0))(( )()(00x x x U x x f x F ，⎪⎩⎪⎨⎧=∈=)( 0))(( )()(00x x x U x x g x G ，于是对于任意的)(0x U x∈，在],[0x x 或],[0x x 上，)(x F 和)(x G 显然满足柯西中值定理条件，故由柯西中值定理，有 )(')('lim )(')('lim )(')('lim )()()()(lim )()(lim )()(lim 00000000x g x f g f G F x G x G x F x F x G x F x g x f x x x x x x x x x x →→→→→→===--==ξξξξξξ. 1.求xx x x x sin )2(lim0++→. 解 这是00型未定式，应用洛必达法则1cos 122lim sin )2(lim 00=++=++→→xx x x x x x x . 2.求30sin lim xx x x -→. 解 这是00型未定式，应用洛必达法则616cos lim 6sin lim 3cos 1lim sin lim 002030===-=-→→→→x x x xx x x x x x x x . 3.求n x xx ln lim +∞→. 解 这是∞∞型未定式，应用洛必达法则01lim 1lim ln lim 1===+∞→-+∞→+∞→n x n x n x nx nx x x x 4.求xe xx ln lim +∞→. 解 这是∞∞型未定式，应用洛必达法则+∞===+∞→+∞→+∞→x x x x x x xe xe x e lim 1lim ln lim 5.（2010 新课标（理））设函数21)(ax x e x f x ---=。
洛必达法则定义
洛必达法则定义洛必达法则是微积分中的一条重要定理，它被广泛应用于求解极限的问题。
其名称来源于法国数学家、物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫·路易·拉格朗日，他们独立地发现了这个定理。
洛必达法则的定义如下：设函数f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内都可导，且g'(x)≠0，则lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))换句话说，当一个函数的极限形式为“0/0”或“∞/∞”时，我们可以利用洛必达法则将其转化为一个等价的形式，即对函数的导数进行求解。
这条法则的关键在于对函数的导数运算。
假设f(x)和g(x)在某点a 的某个邻域内都可导，通过函数的导数我们可以得到以下推导：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/hg'(x) = lim[h->0] (g(x+h) - g(x))/h在使用洛必达法则时，我们计算这两个导数的极限，然后将结果代入到洛必达法则的等式中。
具体计算方法如下：1. 首先计算f(x)和g(x)在点a的函数值，即f(a)和g(a)。
2. 计算f'(x)和g'(x)。
3. 对f'(x)和g'(x)计算极限。
若极限存在且不为无穷大，记为L和M。
4. 若存在极限，则根据洛必达法则的等式 lim[x->a] (f(x)/g(x)) =L/M，将L和M代入。
5. 若L/M的极限存在，即lim[x->a] (f(x)/g(x))存在，则该极限即为原函数lim[x->a] (f(x)/g(x))的极限。
需要注意的是，洛必达法则只适用于形式为“0/0”或“∞/∞”的极限，且假设函数满足以上条件才能进行计算。
洛必达法则的应用范围非常广泛。
它可以用于解决各种求极限问题，特别是在处理不确定型的极限时非常有用。
21.洛必达法则
2(a 2 2) 6a 6 a 2 .
§2. 洛必达法则 1. “ 0 0 ” 不定式极限的计算法则
a. 自变量趋于有限数情况
x x0 x x0
设函数 f ( x ) 与 g ( x ) 满足条件：
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0 (2) g ' ( x) 0
f ' ( x) (3) lim A (或 ） ; x x0 g ' ( x) 0 f ( x) 则不定式 极限 ： lim A (或 ） 。 x x0 g ( x) 0
x x0
代入
ln(1 ax3 ) , x0 x arcsin x 设函数 f ( x) 6 x 0 ; 问 a 为何值时 ， e ax x 2 ax 1 x 0 x x sin 4 （1） f ( x) 在 x 0 处连续； 2） x 0 是 f ( x) 的可去间断点？ （ ( 03 年考研题 )
3
洛必达法则可以多次运用
e x e x 2 求：lim 的值 。 x 0 1 cos x
e x e x 2 0 解：lim （ ） x 0 1 cos x 0
x x cos x 0 1 cos x x sin x 0 解： lim （ ） lim （ ） x 0 x sin x x 0 0 1 cos x 0
注意与原有求极限方法（变量替换、共轭因子法等）的综合运用
高等数学 第二节 洛必达法则
x
( 0 , 0 ) .5
应用罗彼塔法则后如果还是不定式 , 可以继续设法求 极限 , 包括继续使用罗彼塔法则 ( 如例 4 ) 或其它方法 , 如 等价无穷小代换等 . 1 2 arc tan x 0 1 2 ln 0 lim arc tan x x1 x 例 5 . lim x x x e e x 1 e 2 lim e x lim lim 2 x arctan x x 1 x x 2 x
1 2n , 1 x 右端极限不存在 , 也不是 . 1 ( 2n 1) , 1 x
但并不能说明原极限不存在 , 也不是 .
x 2 sin 1 sin x ~ x x 2 sin 1 x lim x 事实上 , lim x x 0 x 0 sin x
n Leabharlann x lim(n ) x
n 1
x
e
x
lim
( n ) ( n 1 ) ( n n ) x 1
x
n 1 x
e
0.
结论 : 当 x 时 ,
ln x x e
当 x 时 , x ( 0 ) 和 ln x 都趋于 , 但 x 速度
更快些 . 记为 ln x x . 例 4 . 当 0 , 0 1 , 整数 n 0 时 : ( n 复盖了 R )
lim x x e
1 x
1 x
1 x
nx
y y n ln ( a1y a2 an ) ln n lim ln f ( x ) lim y x y 0 y y n 0 y y a 1 ln a 1 a n ln a n a1 a n 0 lim y 0 1 ln a 1 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 洛必达法则
一．洛必达法则
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a
g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()()
lim x a f x l g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；
(3)()()
lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()
()lim x f x g x →∞=()()
lim x f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()()
lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○
1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也
成立。
○
2洛必达法则可处理00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
○
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1．设函数2()1x f x e x ax =---。