洛必达法则

那么 证明时，只要令 就可利用定理4.4的结论得出定理4.5.
例1 解 为 型，由洛必达法则有
例2 解 为 型，由洛必达法则有
例3
解
为 型，由洛必达法则有
例4 解 为 型，由洛必达法则有
二、
定理4.6 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
那么
定理4.7 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件： 那么
例10 解 所给极限为 型，可以由洛必达法则求之.
注意极限过程为
如果引入等价无穷小代换，则
例11
解 所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则.
但是注意到所求极限的函数中含有因子
，且
限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.
，因此极
又当
时，
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，故
例5 解 为 型，由洛必达法则有
例6 解 为 型，由洛必达法则有
三、可化为 型或 型极限
1.如果
， 则称
对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如
或
2.如果
例7 解
例8 解
例9 解 为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到
说明 如果 型或 型极限中含有非零因子， 应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.
如果函数
，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.
那么，极限 型.
可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定
并分别简记为
必达
法则.
.这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法——洛
一、
定理4.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
那么
证 由于 f(x),g(x)的可去间断点.
可知x=a或者是f(x)，g(x)的连续点，或者是
如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0，g(a)=0.从而
由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为端点的区间上，f(x)，g(x)满 足柯西中值定理条件.因此
如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新函数F(x)，G(x). 仿上述推证可得
定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件：