洛必达法则详解

x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )

e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得

B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1

e
lim
x 1
x 1
e .
1
24
信息学院
x 0 求 lim x . 例14: (0 ) x 0
罗捍东
x ln x
解:
x 0
lim x lim e
x x 0

e
ln x lim x 0 1 x
ln sin ax lim ,( ) x 0 ln sin bx
其它型的未定式还有： 0
, ,1 ,0 ,
0

0
1
信息学院
罗捍东
0 4.2.1 型未定式 0 定理：洛必达法则 设:(1) lim f ( x) lim g ( x) 0;
xa xa
(2) f ( x), g ( x)在a点的某去心邻域内可导,且g ( x) 0;
步骤:
0 0 0 , 1 0
或 0 . 1 0
19
信息学院
罗捍东
2 x 求 lim x e . ( 0 ) 例11: x
解:
x e lim x 2 e x lim 2 x x x
( )
x e e lim lim . x 2 x x 2
(sec 2 x) 2 2 lim x0 (cos3 x ) 3 3
6
信息学院

例3: 求 lim 2
x
罗捍东
.
( 0 ) 0
arctan x 1 x

2 lim 解: x
arctan x 1 x
2
x lim 1 2 x 1 x
1 2 1 x lim x 1 2 x
2
sec x lim A 1 tan x x
2
正解：
sec x 1 lim lim 1 x tan x x sin x
2 2
18
信息学院
罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则
可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
a tan bx lim x0 b tan ax
2
ab sec bx lim 1 2 x0 ba sec ax
16
信息学院
罗捍东
tan x 求 lim . ( ) 例 9： tan 3 x x 2
tan x sec x lim 解： lim 2 x tan 3 x x 3sec 3 x
7
信息学院
罗捍东
f ( x ), g( x )
f ( x ) 如果 g( x ) 仍然是未定式极限，且
也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。
即
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g( x ) x a g ( x )
2
2
17
信息学院
sec x 例10： 求 lim x tan x
2
罗捍东
sec x A 解： 设 lim x tan x
2
sec x tan x sec x tan x 1 A lim lim lim 2 tan x sec x x x A x sec x 2 2
.
8
信息学院
x x
罗捍东
( 0 ) 0
例4: 解:
e e 2x lim x 0 x sin x
x x e x e x 2 x e e 2 0 lim lim ( ) x 0 x sin x x 0 1 cos x 0
e e lim x 0 sin x
1 ln(cot x) ln(cot x) , ln x ln x 1 1 2 cot x sin x lim 1 x 0 x
lim(cot x )
x0
e .
26
1
信息学院
考研题欣赏 （2003年3，4）设
罗捍东
1 1 1 f ( x) , x [ ,1) . sin x (1 x) 2
2 2 2
1 cos 2 3 x 1 6 cos 3 x sin 3 x lim lim 2 3 x cos x 3 x 2 cos x sin x
2
2
6cos 6 x sin 6 x lim 3 lim x 2cos 2 x x sin 2 x
f ( x ) f ( x ) f (a ) f ( ) 则有 (在x与a之间) g( x ) g( x ) g(a ) g( )
当x a时, a ,
f ( ) f ( x ) A, lim A, lim a g( ) x a g( x )
x
20
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罗捍东
2. 型
步骤:
1 1 00 0 0 00
1 1 例12: 求 lim( ). x 0 sin x x
()
1 1 x sin x 0 ). lim 解: lim( ( ) x0 sin x x 0 x x sin x 0
15
信息学院
罗捍东
( )
ln sin ax , a, b 0. 例8:求 lim x0 ln sin bx
解:
1 a cos ax ln sin ax sin ax lim lim x0 ln sin bx x0 1 b cos bx sin bx
0 ( ) 0
1 Bx Cx 1 Ax o x
2 3
解: 根据题设和罗必达法则，由于
0 limห้องสมุดไป่ตู้
x0
e x 1 Bx Cx 2 1 Ax
3
2分
lim
x0
x x 2 e 1 B Bx 2Cx Cx A 3x
2
13
信息学院
4
信息学院
罗捍东
0 ( ) 0
x 3x 2
3
x3 3x 2 . 例1:求 lim 3 2 x 2 x x 2 x 8
3
解:
x 3x 2 lim 3 lim 2 x 2 x x 2 x 8 x 2 3 2 x x 2 x 8
1 cos x sin x lim lim 0 x0 sin x x cos x x0 cos x cos x x sin x
21
信息学院
有关考研题
罗捍东
1 x 1 2005（15） 求 lim x x0 x 1 e
2 1 cos x 2004（15） 求 lim 2 2 x 0 x sin x
2
1 x sin x 1 x 正解：lim lim x sin 1 0 0 x 0 sin x x 0 sin x x
2
11
信息学院
罗捍东
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但 与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷 小量替换），效果更好。
利用等价 tan x x tan x x 解： lim 无穷小量 lim 2 3 x0 x tan x x0 x 替换
信息学院
罗捍东
第二节 洛必达法则
当 x a (或 x ) 时，如果函数f(x)和g(x)的极
f ( x) 限都为零或都趋于无穷大，则极限 lim g( x )
可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定
0 式，简记为 或 。 0
tan x 0 ,( ) 例如：lim x 0 x 0
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4.2.2 型未定式
定理：洛必达法则
罗捍东
设:(1) lim f ( x) lim g( x) ;
x a x a
(2) f ( x),g( x)在a点的某去心邻域内可导, 且g( x) 0; f ( x) (3) lim 存在(或); xa g( x ) f ( x) f ( x) 那末 lim lim . xa g( x ) xa g( x )
试补充定义f(1)使得f(x)在[1/2，1]上连续。 解：令y=1- x ，有
1
(1 x) sin x lim f ( x) lim x1 x1 (1 x)sin x
3x 2 3 9 lim 2 . x 2 3 x 2 x 2 10
5
信息学院
tan 2 x 例2: 求 lim . x0 sin 3 x
解:
罗捍东
0 ( ) 0
tan 2 x lim lim x0 sin 3 x x0 sin 3 x
2
tan 2 x
f ( x) f ( ) lim lim A. x a g ( x ) a g( )
3
信息学院
罗捍东
注意：1)罗必塔法则中极限A可以是无穷大。 2)当
x 时，罗必塔法则也成立。即
f ( x) f ( x ) lim lim . x g ( x ) x g ( x )
正解：lim e cos x
x x 0
e sin x lim x sin x x 0 sin x x cos x
x

10
信息学院
罗捍东
1 x sin x 例6： 求 lim x 0 sin x
2
1 1 1 1 2 x sin 2 x sin x cos ( 2 ) x lim x x x 解： lim x 0 sin x x 0 cos x 1 1 2 x sin cos x x lim 不存在 x 0 cos x
22
信息学院
罗捍东
3. 1 ,0 , 型
0 0

1 步骤: 取对数 0 0 0

ln1 0 ln 0 0 ln
0 .
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信息学院
例13:
解:
罗捍东
.
( 1 )
1 ln x 1 x
求 lim x
x 1 1 1 x
f ( x) (3) lim 存在(或); xa g ( x )
f ( x) f ( x) 那末 lim lim . x a g ( x ) xa g ( x )
2
信息学院
证： 补充定义f(a)=g(a)=0。
罗捍东
则f(x)、g(x)在区间[a,x ](或[x, a ])上满足柯西定理。
tan x 1 sec x 1 lim lim 2 2 x 0 x0 3 x 3x 3
2
12
tan x x 例7： 求 lim . 2 x0 x tan x
2
信息学院
考研题欣赏
罗捍东
2006（四、19）试确定常数A、B、C的值使得：
e
x
3 3 o x 其中 是当 x 0 时比 x 高阶无穷小。