洛必达法则详解
洛必达法则是什么
洛必达法则是什么
一、洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
二、在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；分子分母在限定的区域内是否分别可导。
三、如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
四、极限思想的思维功能：极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
五、借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
六、“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。
“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，
整体大于局部思维。
洛必达法则
00∞∞)(x f )(x F )()(lim )(x F x f x a x ∞→→00∞∞x x x tan lim 0→00bx ax x sin ln sin ln lim 0+→∞∞)(x f )(x F a)(x f ')(x F '0)(≠'x F )()(lim x F x f a x ''→)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→)()(x F x f ''00∞∞)(x f ')(x F '.)()(lim )()(lim )()(lim =''''=''=→→→x F x f x F x f x F x f a x a x a x .)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→∞∞x x x tan lim 0→第二节 洛必达法则一、 型及 型未定式解法：洛必达法则定义：如果当（或）时，两个函数 和 都趋于零或都趋于无穷 大，那么极限 可能存在、也可能不存在。
通常把这种极限称为 型及型未定式。
例如： 型 型定理1：设：（1）当时，函数 及 都趋于零；（2）在 点的某去心邻域内， 及 都存在，且 ； （3） 存在（或为无穷大）； 那么这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
注：（1）如果 仍属 型及 型，且 及 满足定理条件，可以继续使用法则，即（2）当时，该法则仍然成立。
（定理2）（3）当，时的未定式 也有相应的法则。
a x →∞→x a x →∞→x a x →∞→x)()(tan lim 0''=→x x x 原式1sec lim 20x x →=123lim 2331+--+-→x x x x x x 求12333lim 221---=→x x x x 266lim 1-=→x x x 23=266lim 1-→x x x bxax x sin ln sin ln lim 0+→求22111lim xx x -+-=+∞→原式221lim x x x +=+∞→xx x 3tan tan lim 2π→求x x x 3sec 3sec lim 222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→πx x x 2sin 6sin lim 2π→=x x x 2cos 26cos 6lim 2π→=)0 ( lim >+∞→λλ为正整数，求n e xx n x x n x x n x e nx e x λλλ1lim lim -+∞→+∞→=xn x e x n λλ0!lim ⋅==+∞→ )0( ln lim >+∞→n x x n x 求例1：求解： =1例2： 解：原式注意：（1）上式中 不是未定式，不能使用洛必达法则，否则导致错误的结果。
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则的原理及应用
洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。
其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。
洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。
二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。
三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。
所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。
2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。
洛必达法则详解
洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。
该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。
洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。
在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。
而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。
洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。
首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。
即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。
其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。
少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。
这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。
然而，洛必达法则也存在一些争议。
一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。
他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。
此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。
总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。
它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。
然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。
(参考资料)洛必达法则详解
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
信息学院 罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
信息学院 罗捍东
例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
信息学院 罗捍东
1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
信息学院 罗捍东
4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
叙述洛必达法则
洛必达法则（L'Hopital's Rule）是一种求极限的方法，应用于解决未定式极限问题。
它的核心思想是通过求导和求极限的过程，将未定式转化为可求极限的形式。
洛必达法则的应用范围广泛，是微积分学中的重要知识点。
洛必达法则的基本表述如下：设函数f(x)和F(x)在点a的邻域内可导，且当x趋近于a时，f(x)和F(x)都趋近于零，且F'(x)不为零。
如果当x趋近于a时，极限存在（或为无穷大），那么此时极限的结果为：lim (f(x) / F(x)) = lim (f'(x) / F'(x))换句话说，当两个函数在某一点附近趋近于零时，我们可以通过求导并求极限的方式，来确定这两个函数的比值的极限。
在使用洛必达法则时，需要注意以下几点：1. 检查是否满足使用条件：在使用洛必达法则之前，首先要确保给定的函数满足极限存在的条件，如0/0或∞/∞型未定式。
否则，滥用洛必达法则会产生错误。
2. 连续多次使用：洛必达法则可以连续多次应用，直到求出最终的极限。
每次应用洛必达法则时，都要确保满足使用条件。
3. 适用范围：洛必达法则适用于解决一系列未定式极限问题，但并非所有极限问题都可以用洛必达法则求解。
当极限形式不满足0/0或∞/∞时，洛必达法则不适用。
此时，需要寻求其他求解方法，如泰勒公式等。
4. 化简结果：在求解过程中，可能需要对结果进行化简，以得到最终的极限值。
5. 举例说明：例如，求极限：lim (sin x / x)我们可以先求导，得到：lim (sin'(x) / 1) = lim (cos x / x) 再求导，得到：lim (cos'(x) / 1) = lim (-\sin x / x^2) 继续求导，得到：lim (-\cos x / 2) = lim (-\sin'(x) / 2x) 最后，我们可以看到，当x趋近于0时，极限存在，且满足洛必达法则的条件。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则通俗理解
洛必达法则通俗理解洛必达法则，又称为洛必达定理，是微积分中的基本定理之一。
它是由法国数学家洛必达于1696年提出的。
洛必达法则用于求解极限问题，是微积分中非常重要的工具之一。
下面我们来通俗理解洛必达法则。
我们需要了解一下极限的概念。
在数学中，极限是指函数在某一点无限接近于某个值的过程。
而洛必达法则则是用来求解某些特定函数在极限点处的极限值的方法。
洛必达法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的极限之商的形式，从而更加方便地计算。
洛必达法则的具体表述是：如果函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心邻域内都可导，且g'(x)不等于0，那么当x趋近于a时，f(x)除以g(x)的极限等于f'(x)除以g'(x)的极限。
这个表述可能有些抽象，下面我们通过几个具体的例子来说明洛必达法则的应用。
我们来计算极限lim(x->0) (sinx)/x。
根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->0) cosx/1。
因为cosx在x=0处可导，且cos(0)=1，那么根据洛必达法则，上述极限的值为1。
接下来，我们来计算极限lim(x->∞) (x^2+3x)/(2x^2+5)。
根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->∞) (2x+3)/(4x)，因为x^2在x趋近于无穷大时增长的速度远远大于x，所以x^2+3x 和2x^2+5的极限值相等。
那么根据洛必达法则，上述极限的值为1/2。
我们来计算极限lim(x->0) (e^x-1)/x。
根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->0) e^x/1，因为e^x在x=0处可导，且e^0=1，那么根据洛必达法则，上述极限的值为1。
通过以上几个例子，我们可以看出洛必达法则在求解极限问题中的重要性和实用性。
它能够将复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更便于计算。
当然，在使用洛必达法则时，我们需要注意一些条件，比如函数可导性和分母不等于0等。
洛必达法则概述
洛必达法则概述洛必达法则是17世纪意大利数学家、物理学家和哲学家劳伦斯洛必达第一次提出的概念，他把它发展成一种定律，影响了现代物理学。
洛必达法则有三个主要要素：位置、速度和加速度，即“位置、速度和加速度之间恒定。
”必达法则是劳伦斯洛必达在1638年提出的，主要讨论了运动的连续性的定律。
他根据哥白尼的力学观点，把大量的历史力学概念联系起来，把它们组合成了一种定律，这就是洛必达法则。
洛必达法则的核心内容是，位置、速度和加速度之间恒定，可以用公式来描述：s = vt+0.5at。
第一部分是讨论与运动有关的一般性概念。
洛必达首先提出了物体在运动中的位置是连续变化的，并且速度和加速度也是连续变化的。
他解释说，当物体开始运动后，将继续运动，除非其运动受到外力的影响。
他指出，物体运动的变化可以用公式来描述，即s = vt + 0.5at2，其中s表示路程、v表示初始速度、t表示时间、a表示加速度。
也就是说，物体在运动中的位置可以用路程来表示，并且这个路程可以由初始速度、时间和加速度来决定。
第二部分是讨论洛必达法则在实践中的运用。
洛必达法则可以应用到各个领域，以确定运动物体的位置和速度。
比如，它可以被用来预测射程武器的飞行路线，以及确定高空弹跳的高度和落点。
此外，洛必达法则也可以帮助科学家计算太阳系中行星运动的轨迹，以及计算物体下落时的速度等等。
总而言之，洛必达法则是劳伦斯洛必达提出的运动定律，它主要规定了位置、速度和加速度之间的恒定关系，并有一个描述物体位置变化的公式。
这个定律有着广泛的应用，可以应用到实际工程以及科学计算中，帮助确定物体的运动轨迹，从而获得较为精确的结果。
高考中的洛必达法则
导数利器——洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x)和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且 g'(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00x a -→，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
洛必达法则通俗理解
洛必达法则通俗理解洛必达法则是管理学中的一种经典理论，它主要用于解决企业中的生产管理问题。
洛必达法则的核心思想是通过合理的资源配置和生产计划，实现生产效率的最大化，从而提高企业的竞争力和盈利能力。
本文将以通俗易懂的方式解释洛必达法则的原理和应用。
一、什么是洛必达法则？洛必达法则是由意大利经济学家洛达诺·洛必达于1913年提出的，他在研究生产管理时发现了一种生产效率的规律。
他认为，生产过程中存在着瓶颈资源，这些资源的利用效率直接影响到整个生产线的产能。
只有找到并优化这些瓶颈资源，才能实现生产效率的最大化。
二、洛必达法则的原理洛必达法则的原理可以用一个简单的例子来解释。
假设一个工厂有三个工序，每个工序的加工时间分别是1小时、2小时和3小时，而每个工序的产能分别是100件、50件和30件。
现在工厂的生产线上有1000个产品需要加工，那么按照洛必达法则，应该如何安排生产计划呢？根据洛必达法则，我们首先需要找到瓶颈工序，也就是产能最低的那个工序。
在这个例子中，第三个工序的产能最低，只有30件，所以它是瓶颈工序。
接下来，我们就需要根据瓶颈工序的产能来确定整个生产线的产能。
根据洛必达法则，整个生产线的产能取决于瓶颈工序的产能。
在这个例子中，瓶颈工序的产能是30件，而且每个产品需要依次经过三个工序才能完成。
所以，整个生产线每小时最多只能产出30件产品。
如果我们有1000个产品需要加工，那么至少需要1000/30=33.33个小时才能完成。
三、洛必达法则的应用洛必达法则的应用主要涉及到生产计划和资源配置。
根据洛必达法则，我们可以合理安排生产计划，确保生产线的产能得到最大化。
具体来说，可以采取以下几个步骤：1. 找到瓶颈资源：通过对生产线进行分析，找到产能最低的工序或资源，这些就是瓶颈资源。
2. 优化瓶颈资源：通过提高瓶颈资源的利用效率，可以增加整个生产线的产能。
可以采取加班、增加设备数量等方式来提高瓶颈资源的产能。
(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）法则1 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1) lim x ®af x ()=0 及lim x ®ag x ()=0；(2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；(3) limx ®a ¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A 。
法则2 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1)()lim x ag x →=∞； (2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；(3) limx ®a¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+a，x ®-a洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0⋅∞型： lim x ®0+x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞∞型)=lim x ®0+1x 1ln x(化为00型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®p 2tan x -sec x ()=lim x ®p2sin x -1cos x =lim x ®p 2cos x-sin x =0(通分后化为00型)1∞型： lim x ®0cos x ()1x 2=e limx ®0lncos xx 2=elimx ®0-sin xcos x ×2x=e-12(化为0型) 0∞型： lim x ®+¥x sin1x=elim x ®+¥sin 1x ×ln x =elimx ®+¥ln xx=elimx ®+¥1x=1(化为∞∞型) 0型：lim x ®0+x sin x=elimx ®0+ln x csc x elimx ®0+1x-csc x cot x ()=elim x ®0+-sin xx×tan x =1(化为∞∞型)变形举例: limx ®-lim x ®-¥-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xf x e x ax =---。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则讲解及应用
那么
lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
证 由于 lim f (x) 0，lim g(x) 0 可知x=a或者是f(x)，
xa
xa
g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.
如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0， g(a)=0.从而
对于x 时的0型，有 0
定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0，lim g(x) 0，
x
x
(2) 当| x | 足够大时，f (x)和g(x)存在，且g(x) 0,
(3) lim f (x) 存在(或为无穷大)，那么 x g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
xa
(x)
(x)
则称 lim [ f (x) g(x)]为 型极限.
xa (x)
对于 型，将函数进行恒等变型化为0 型或 0
型，再由洛必达法则求之.
例7 求 lim x ln x.
x0
解 lim x ln x lim ln x.
x0
x0 1
x
如果先令 x t，x 0时，t 0 ,因此
证明时，只要令x 1 就可利用定理4.4的结论得 t
出定理4.5.
例1 求 lim e x ea . xa x a
解 为 0 型，由洛必达法则有 0 lim e x ea lim (e x ea ) xa x a xa (x a) lim e x xa 1 ea.
1
例2 求 lim x . x arc cot x
那么
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x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
1
24
信息学院
x 0 求 lim x . 例14: (0 ) x 0
罗捍东
x ln x
解:
x 0
lim x lim e
x x 0
e
ln x lim x 0 1 x
ln sin ax lim ,( ) x 0 ln sin bx
其它型的未定式还有： 0
, ,1 ,0 ,
0
0
1
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罗捍东
0 4.2.1 型未定式 0 定理：洛必达法则 设:(1) lim f ( x) lim g ( x) 0;
xa xa
(2) f ( x), g ( x)在a点的某去心邻域内可导,且g ( x) 0;
步骤:
0 0 0 , 1 0
或 0 . 1 0
19
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罗捍东
2 x 求 lim x e . ( 0 ) 例11: x
解:
x e lim x 2 e x lim 2 x x x
( )
x e e lim lim . x 2 x x 2
(sec 2 x) 2 2 lim x0 (cos3 x ) 3 3
6
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例3: 求 lim 2
x
罗捍东
.
( 0 ) 0
arctan x 1 x
2 lim 解: x
arctan x 1 x
2
x lim 1 2 x 1 x
1 2 1 x lim x 1 2 x
2
sec x lim A 1 tan x x
2
正解：
sec x 1 lim lim 1 x tan x x sin x
2 2
18
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4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则
可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
a tan bx lim x0 b tan ax
2
ab sec bx lim 1 2 x0 ba sec ax
16
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罗捍东
tan x 求 lim . ( ) 例 9： tan 3 x x 2
tan x sec x lim 解： lim 2 x tan 3 x x 3sec 3 x
7
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罗捍东
f ( x ), g( x )
f ( x ) 如果 g( x ) 仍然是未定式极限，且
也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。
即
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g( x ) x a g ( x )
2
2
17
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sec x 例10： 求 lim x tan x
2
罗捍东
sec x A 解： 设 lim x tan x
2
sec x tan x sec x tan x 1 A lim lim lim 2 tan x sec x x x A x sec x 2 2
.
8
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x x
罗捍东
( 0 ) 0
例4: 解:
e e 2x lim x 0 x sin x
x x e x e x 2 x e e 2 0 lim lim ( ) x 0 x sin x x 0 1 cos x 0
e e lim x 0 sin x
1 ln(cot x) ln(cot x) , ln x ln x 1 1 2 cot x sin x lim 1 x 0 x
lim(cot x )
x0
e .
26
1
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考研题欣赏 （2003年3，4）设
罗捍东
1 1 1 f ( x) , x [ ,1) . sin x (1 x) 2
2 2 2
1 cos 2 3 x 1 6 cos 3 x sin 3 x lim lim 2 3 x cos x 3 x 2 cos x sin x
2
2
6cos 6 x sin 6 x lim 3 lim x 2cos 2 x x sin 2 x
f ( x ) f ( x ) f (a ) f ( ) 则有 (在x与a之间) g( x ) g( x ) g(a ) g( )
当x a时, a ,
f ( ) f ( x ) A, lim A, lim a g( ) x a g( x )
x
20
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罗捍东
2. 型
步骤:
1 1 00 0 0 00
1 1 例12: 求 lim( ). x 0 sin x x
()
1 1 x sin x 0 ). lim 解: lim( ( ) x0 sin x x 0 x x sin x 0
15
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罗捍东
( )
ln sin ax , a, b 0. 例8:求 lim x0 ln sin bx
解:
1 a cos ax ln sin ax sin ax lim lim x0 ln sin bx x0 1 b cos bx sin bx
0 ( ) 0
1 Bx Cx 1 Ax o x
2 3
解: 根据题设和罗必达法则，由于
0 limห้องสมุดไป่ตู้
x0
e x 1 Bx Cx 2 1 Ax
3
2分
lim
x0
x x 2 e 1 B Bx 2Cx Cx A 3x
2
13
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4
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罗捍东
0 ( ) 0
x 3x 2
3
x3 3x 2 . 例1:求 lim 3 2 x 2 x x 2 x 8
3
解:
x 3x 2 lim 3 lim 2 x 2 x x 2 x 8 x 2 3 2 x x 2 x 8
1 cos x sin x lim lim 0 x0 sin x x cos x x0 cos x cos x x sin x
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有关考研题
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1 x 1 2005（15） 求 lim x x0 x 1 e
2 1 cos x 2004（15） 求 lim 2 2 x 0 x sin x
2
1 x sin x 1 x 正解：lim lim x sin 1 0 0 x 0 sin x x 0 sin x x
2
11
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罗捍东
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但 与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷 小量替换），效果更好。
利用等价 tan x x tan x x 解： lim 无穷小量 lim 2 3 x0 x tan x x0 x 替换
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第二节 洛必达法则
当 x a (或 x ) 时，如果函数f(x)和g(x)的极
f ( x) 限都为零或都趋于无穷大，则极限 lim g( x )
可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定
0 式，简记为 或 。 0
tan x 0 ,( ) 例如：lim x 0 x 0
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4.2.2 型未定式
定理：洛必达法则
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设:(1) lim f ( x) lim g( x) ;
x a x a
(2) f ( x),g( x)在a点的某去心邻域内可导, 且g( x) 0; f ( x) (3) lim 存在(或); xa g( x ) f ( x) f ( x) 那末 lim lim . xa g( x ) xa g( x )