洛必达法则详解

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ex ex 2x
例4: lim x0 x sin x
(0) 0
解:
lim ex ex 2x x0 x sin x
lim ex ex 2 x0 1 cos x
(0) 0
ex ex lim
x0 sin x
(0) 0
lim ex ex 2 x0 cos x
9
x 2 cos 2x 2
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例10：
求 lim sec x x tan x
2
解： 设 lim sec x A x tan x
2
sec x
tan x sec x
A lim lim
x tan x x sec2 x
2
2
lim sec x A 1 x tan x
2
lim tan x 1 x sec x A
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例14: 求 lim x x . ( 00 ) x0
解: lim x x lim e xln x
x0
x0
1
lim ln x
x0 1
e
x
e
lim
x0
x 1
x2
lim ( x )
e x0 e0 1
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1
例15: 求 lim (cot x)lnx . x0
( 0 )
(2) f (x),g(x)在a点的某去心邻域内可导,
且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
那末 lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
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例8:求 lim ln sin ax , a,b 0. ( )
x0 ln sin bx
.
解： lim tan x x lim tan x x x0 x2 tan x x0 x3
利用等价
无穷小量 替换
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim tan2 x 1 x0 3x2 3
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考研题欣赏 2006（四、19）试确定常数A、B、C的值使得：
ex 1 Bx Cx2 1 Ax o x3
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第二节 洛必达法则
当 x a (或 x ) 时，如果函数f(x)和g(x)的极
限都为零或都趋于无穷大，则极限 lim f ( x)
g( x)
可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定 式，简记为 0 或 。
0
例如：lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim lnsinax , ( ) x0 lnsin bx
2
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
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4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
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例11: 求 lim x2e x . x
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim
xa
f ( x) g( x)
A, lim a
f ( ) g( )
A,
lim f ( x) lim f ( ) A. xa g( x) a g( )
3
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注意：1)罗必塔法则中极限A可以是无穷大。
2)当 x 时，罗必塔法则也成立。即
考研题欣赏 （2003年3，4）设
f (x) 1 1 1 , x [1 ,1) .
sin x (1 x) 2
试补充定义f(1)使得f(x)在[1/2，1]上连续。
解：令y=1- x ，有
1 (1 x) sin x
lim f (x) lim
x1
x1 (1 x)sin x
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1
.
(0) 0
解:
x
arctan x
lim 2
x
1
x
lim
1
1 x2
x
1 x2
x2
lim
x
1
x2
1
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f ( x)
如果 g( x) 仍然是未定式极限，且 f ( x), g( x)
也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。 即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa g( x) xa g( x) xa g( x)
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
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4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
()
2
解：
lim tan x lim sec2 x x tan 3x x 3sec2 3x
2
2
1 cos2 3 x
lim 3 x
cos2
x
2
1 lim 6cos 3x sin 3x 3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6 x lim 6cos 6x 3
x sin 2 x 2
( 0 )
解:
lim x2ex
x
lim
x
ex x2
()
lim ex lim e x . x 2x x 2
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2. 型
步骤:
1 0
1 0
00 00
例12: 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解:
11
x sin x
lim( ). lim
x0 sin x x x0 x sin x
1
解：取对数得 ln(cot x)ln x
1
ln(cot x) ln(cot x) ,
ln x
ln x
11
ln(cot x) lim x0 ln x
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x 1,
x
x0 cos x sin x
1
lim (cot x)ln x e1. x0 26
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那末 lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
2
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证： 补充定义f(a)=g(a)=0。 则f(x)、g(x)在区间[a,x ](或[x, a ])上满足柯西定理。
则有
f (x) g( x)
f (x) f (a) g(x) g(a)
f ( ) g( )
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
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1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
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例5： 求lim ex cos x x0 x sin x
解：lim ex cos x lim ex sin x x0 x sin x x0 sin x x cos x
lim
ex cos x
11 1
x0 cos x cos x x sin x 11 0
正解：lim ex cos x x0 x sin x
lim
x0
6x
lim B 4C 2Cx
x0
6
得
1 B A 0 2B 2C 1 0 B 4C 0
8分
解得 A 1 , B 2 ,C 1 10分 336
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4.2.2 型未定式
定理：洛必达法则
设:(1) lim f (x) lim g(x) ;
xa
xa
(0) 0
lim 1 cos x lim
sin x
0
x0 sin x x cos x x0 cos x cos x x sin x
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有关考研题
2005（15）
求
lim
x0
1 x 1 ex
1 x
2004（15） 求
lim
x0
1 sin 2
x
cos2 x2
x
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lim ex sin x x0 sin x x cos x
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x2 sin 1
例6： 求 lim
x
x0 sin x
解：
lim
x2
sin
1 x
lim
2x sin
1 x
x2
cos
1 x
(
1 x2
)
x0 sin x x0
cos x
2x sin 1 cos 1
lim
x
x 不存在
其中 o x3 是当 x 0 时比 x3 高阶无穷小。
解: 根据题设和罗必达法则，由于
ex 1 Bx Cx2
0 lim x0
x3
1 Ax 2分
ex 1 B Bx 2Cx Cx2 A
lim x0
3x2
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ex 2C 1 2B B 4C x Cx2
lim f ( x) lim f ( x) . x g( x) x g( x)
4
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x3 3x 2
例1:求
lim
x2
x3
x2
2x
8
.
(0) 0
解:
lim x2
x3
x3
3x 2 x2 2x
8
lim
x2
x3 3x 2 x3 x2 2x 8
lim
x2
3x2 3 3x2 2x
解:
lim
ln
sin
ax
lim
1 sin ax
a
cos
ax
x0 ln sin bx x0 1 b cos bx
sin bx
a tan bx lim
x0 b tan ax
(0) 0
lim
x0
ab sec2 ba sec2
bx ax
1
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例9：
求 lim tan x . x tan 3 x
1
y sin y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ lim
y0 y sin y
2分
1
lim
y0
y sin
2 y2
y
1
lim y0
cos y 2 2 y
4分
1
2 sin y 1
lim
y0
2 2
6分
1
由于f(x)在[1/2，1]上连续。因此定义f(1)=
就可使f(x)在[1/2，1]上连续。
8分
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小结
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
2
9. 10
5
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例2: 求 lim tan 2x .
(0)
x0 sin 3x
0
解:
lim tan 2x
tan 2x
lim
x0 sin 3x x0 sin 3x
lim (sec2 2x) 2 2 x0 (cos3x) 3 3
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arctan x
例3: 求 lim 2 x
x0
cos x
x2 sin 1
正解：lim
x lim
x
x sin 1 1 0 0
x0 sin x x0 sin x
x
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但 与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷 小量替换），效果更好。
例7： 求
tan x x
lim
x0
x2 tan x