用不动点法求数列通项公式

用不动点法求数列通项

公式

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用不动点法求递推数列d

t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南

（安徽省岳西中学 246600）

1．通项的求法 为了求出递推数列d

t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +⋅+⋅=

+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=

+1d b t d a t n n +⋅=⇒+1, 记k d a =,c d

b =，则有

c t k t n n +⋅=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,

由kx+c=x ⇒x=

k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k

c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k k

c t k c t . (2)当c ≠0时,

数列{n t }的特征函数为：)(x f =d x c b x a +⋅+⋅ 由x d

x c b x a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:

0)(121=--+b x a d cx ,0)(222

=--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1)

222)(x a d cx b -+=……(2) 又设2

12111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++ ⇒2121x t x t k x d

t c b t a x d t c b t a n n

n n n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅ ⇒212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --⋅=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得: ∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证02

1≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--n cx a cx a x t x t ⇒121211

11

212

11

1211--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⋅-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .

2．应用举例

例1：已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。 解：因为{a n }的特征函数为：312)(+=

x x f , 由1312)(=⇒=+=

x x x x f , ∴3121+=+n n a a ⇒)1(3

211-=-+n n a a ∴数列{a n -1}是公比为

3

2的等比数列, ∴a n -1=11)32)(1(--n a ⇒a n =1+1)32(-n . 例2已知数列{a n }中，a 1=3，1241+-=+n n n a a a ，求{a n }的通项。 解：因为{a n }的特征函数为：124)(+-=

x x x f , 由2,10231

24)(212==⇒=+-⇒=+-=x x x x x x x x f 设212111--⋅=--++n n n n a a k a a ⇒2121

241124--⋅=-+--+-n n n n n n a a k a a a a 23=⇒k 即2

1232111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧--21n n a a 是公比为23的等比数列. ∴111232121-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=--n n n a a a a

∵a 1=3,∴123221-⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅=--n n n a a ⇒1

21232322-----⋅-=n n n n n a .

例3已知数列{a n }中，a 1=2，n

n n a a

a -+=+111，求{a n }的通项。

解：因为{a n }的特征函数为：x x

x f -+=11)(, 由x x x

x f =-+=11)(⇒i x i x x -==⇒=+212,01 设i a i a k i a i a n n n n +-⋅=+-++11⇒i

a i a k i a a i

a a n n n

n

n n

+-⋅=+-+--+1111

i i k -+=11即i

a i a i i i a i a n n n n +-

⋅-+=+-++1111, ∴数列⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+-i a i a n n 是公比为i i

-+11的等比数列. ∴1

1111-⎪

⎭⎫ ⎝⎛

-+⋅+-=+-n n n i i i a i a i a i a

∵a 1=2,∴1

1122-⎪

⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-=+-n n n i i i i i a i a ⇒()122-⋅+-=+-n n n i i

i i a i a

⇒1)2(221)2(---++--=n n n i i i i

i i a .

例4已知数列{a n }的前n 项和为n S ，21

1=a ，)1(2--=n n a n S n n ，求

{a n }的通

项。

解：∵ )1(2--=n n a n S n n ……①

∴n n a n S n n )1()1(12

1+-+=++……②

②-①得：)1()1()1(2121-++--+=++n n n n a n a n a n n n ⇒2)2(1+=++n n na a n ⇒22

21+++=+n a n n

a n n ……③