五年级寒假第3讲-应用题一(教师版)

第三讲应用题一

一、植树问题

植树问题又称间隔问题，主要是研究间隔数（段数）、棵数、每段长度、路长之间的关系，从而解决诸如爬楼梯、锯木头等这一类实际问题．

1. 直线型植树问题分为以下三类：

1）两端植树：在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1，即：棵树=段数+1．

2）一端植树：在植树的线路两端都植树，则棵数等于段数，即：棵树=段数．

3）两端都不植树：在植树的线路两端都不植树，则棵树比段数少1，即：棵树=段数−1．

2. 封闭型植树问题：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，棵树等于段数，即：棵树=段数．

3. 基本关系：段数=总长每段长度；总长=每段长度段数．

二、方阵

行数和列数相等的正方形方队叫做方阵，例如学生排队，士兵列队时横排、竖排相等．

1. 实心方阵：总人（或物）数= 最外层每边人（或物）数最外层每边人（或物）数．

2. 实心方阵和空心方阵：

1）方阵无论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数少；

2）每层总数= [每边人（或物）数] ；每边人（或物）数=每层总数．

3、空心方阵：总人（或物）数= （最外层每边人（或物）数−层数）层数；

总人（或物）数= （最外层人（或物）数最内层人（或物）数）层数

三、盈亏问题

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：

(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数

(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数

(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数

按两个数的差求未知数的“盈亏问题”．

注意：1．条件转换；2．关系互换．

四、年龄问题

计算有关年龄一类的问题叫做年龄问题，它一般以和差、和倍以及差倍应用题的形式出现．

年龄变化基本规律：1.两人年龄差不变

2.两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变

3.随着时间推移，两人年龄的增加量相等

注意：上面的规律适用于两个人之间的年龄关系，但若涉及到一人年龄与另几人年龄和之间的关系则另当别论．

计算年龄问题的基本方法：几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄

几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差

五、鸡兔同笼

鸡兔同笼问题的基本公式：

1.如果假设全是兔，那么则有

鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数−实际脚数)÷(每只兔子脚数−每只鸡的脚数)

兔数=鸡兔总数−鸡数

2.如果假设全是鸡，那么则有

兔数=(实际脚数−每只鸡的脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数−每只鸡的脚数)

鸡数=鸡兔总数−兔数

六、平均数问题

1．平均数问题是把若干个大小不等的数，在总量不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少．

2．平均数不是一个真实的数，它反映一组数据的总体情况，不能反映某一个具体的数据．

3．解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数．

4．平均数问题的数量关系式：“总数量÷总份数=平均数”，“总数量÷平均数=总份数”，“总份数⨯平均数=总数量”

5．平均速度=总路程÷总时间

例题1

从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆，现在改为每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间还有几根不需移动？

【分析】（53−1）×45=2340m

45、60 的公倍数：180、360

2340÷180=13

不需要移动的杆：13+1=14，除了两端的：14−2=12

例题2

【一】有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？【分析】增加的两层人数为：9 +15=24（人），这两层人数之差是8人，因此最里层有（24 −8）÷2 = 8（人），现在的方阵共5层，那么最外层有8 + 8×4=40（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是105 人．

【二】仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边16人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多8人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心．求原

乙方阵每边的人数（指最外层一边人数）是多少？

【分析】根据题意可知在乙方阵外再增加8 ÷2 = 4层的话乙方阵与丙方阵最外层人数相等，此时若将丙方阵的空心填满，那么增加4 层后的乙方阵与填满空心的丙方阵总人数也相等，，由此可得：乙方阵总人数+ 新加4 层的人数= 丙方阵总人数+ 甲方阵总人数= 甲方阵总人数+ 乙方阵总人数+甲方阵总人数，可见乙方阵新加4 层所需人数等于甲方阵总人数的两倍．那么乙方阵新增加4 层所需人数为16×16× 2 = 512（人），那么原乙方阵最外层每边人数为512 ÷ 4 ÷ 4 + 4 −2×4 = 28（人）

例题3

夏令营营员们到一招待所住宿．若每间宿舍住6人，那么就多14人；若每间宿舍住7人，那么就多1间宿舍．有多少个营员？有多少间宿舍？

【分析】每间6 人多14 人每间7 人多1 间说明少7 人

(7+14)/(7−6)=21 间21*6+14=140 人

例题4

一人从家出发到会所参加会议，先用每分钟走50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他就要迟到8分钟；后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟．这个人从家到会所的距离是多少？

【分析】设从家到会所还有X分钟开会

（X+8）*50=（X−7）*60+2*50 X=72 分钟50*（72+8）=4000 米

例题5

小飞家是个四口之家．今年爸爸妈妈和小飞的年龄和是125岁，爷爷比小飞大57岁，爸爸比妈妈大2岁．5年前这个家庭成员的年龄和为107岁．这个家庭成员现在各几岁？

【分析】今年爸爸妈妈和小飞的年龄和是125 岁，5 年前年龄和是105岁，说明小飞现在3 岁，爷爷60 岁；