正交分解法的例题解法
高一数学正交分解法例题及练习
高一数学正交分解法例题及练习正交分解法是高中数学中的一个重要概念，它在解决向量分解和线性方程组问题时起着关键作用。
下面给出一些高一数学正交分解法的例题及练。
例题1已知向量$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$，求向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的正交投影。
解：首先计算向量$\vec{b}$的单位向量$\vec{u}$：$$\vec{u} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5}\end{pmatrix}$$然后，计算向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的正交投影：$$\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \left(\vec{a} \cdot\vec{u}\right) \vec{u} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix} =\left(\frac{11}{5}\right) \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{33}{25} \\ \frac{44}{25}\end{pmatrix}$$所以，向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的正交投影为$\begin{pmatrix} \frac{33}{25} \\ \frac{44}{25} \end{pmatrix}$。
正交分解应用例题及练习
正交分解应用例题及练习什么是正交分解？正交分解是一种数学方法，用于将一个向量空间分解为一组正交基向量的线性组合。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、信号处理和图像处理等。
正交分解的应用例题例题1：向量投影我们有一个向量v，它的值为[3, 4]。
现在我们想要找出这个向量在正交基向量上的投影。
我们选择两个正交向量u1 = [1, 0]和u2 = [0, 1]作为正交基向量。
现在我们可以使用正交分解的方法找到向量v在这两个正交基向量上的投影：根据正交分解公式，我们可以将向量v表示为：v = proj(u1, v) + proj(u2, v)其中，proj(u, v)表示向量v在向量u上的投影。
具体计算如下：proj(u1, v) = (dot(u1, v) / dot(u1, u1)) * u1proj(u2, v) = (dot(u2, v) / dot(u2, u2)) * u2要计算dot(u, v)，可以使用点积的公式：dot(u, v) = u · v = u1 *v1 + u2 * v2在本例中，计算结果如下：dot(u1, v) = 3 * 1 + 4 * 0 = 3dot(u2, v) = 3 * 0 + 4 * 1 = 4dot(u1, u1) = 1 * 1 + 0 * 0 = 1dot(u2, u2) = 0 * 0 + 1 * 1 = 1根据上述计算结果，我们可以计算向量v在u1和u2上的投影：proj(u1, v) = (3 / 1) * [1, 0] = [3, 0]proj(u2, v) = (4 / 1) * [0, 1] = [0, 4]将投影结果相加，得到v在正交基向量上的投影：v = [3, 0] + [0, 4] = [3, 4]因此，向量v在正交基向量u1和u2上的投影为[3, 4]。
例题2：信号处理正交分解在信号处理领域也有广泛的应用。
例如，我们可以使用离散余弦变换(DCT)来对音频信号进行正交分解。
正交分解法的例题解法
正交分解法的例题解法把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向②把各个力向x 轴、y 轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向③求在x 轴上的各分力的代数和F x 合和在y 轴上的各分力的代数和F y 合④求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=合力的方向：tan α=合合x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）点评：力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）。
【例】质量为m 的木块在推力F 作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?A ．µmg Ｂ．µ（mg+Fsin θ）Ｃ．µ（mg+Fsin θ） Ｄ．F cos θ解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、推力F 、支持力F N 、摩擦力F µ．沿水平方向建立x 轴，将F 进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F )，由于木块做匀速直线运动，所以，在x 轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y 轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即F cos θ＝F µ ①F N ＝mg+Fsin θ ②又由于F µ＝µF N ③∴F µ＝µ（mg+Fsin θ） 故Ｂ、Ｄ答案是正确的．小结：（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。
也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。
在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。
正交分解法例题及练习
正交分解法在运用正交分解法解题时，一般按如下步骤:㈠ 以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴,如果这时物体处于平衡状态,则两轴的方向可根据自己需要选择，如果力不平衡而产生加速度，则x 轴（或y 轴）一定要和加速度的方向重合；㈡将与坐标轴成角度的力分解成x 轴和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号F x 和F y 表示；㈢在图上标出与x 轴或与y 轴的夹角，然后列出F x 、F y 的数学表达式.如：F 与x 轴夹角分别为θ，则θθsin ;cos F F F F y x ==。
与两轴重合的力就不需要分解了；㈣列出x 轴方向上和各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
一、 运用正交分解法典型例题例1.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N,受到斜向上方向与水平面成300角的力F 作用，F = 50N ，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？解析：对F 进行分解时，首先把F 按效果分解成竖直向上的分力和水平向右的分力， 对物体进行受力分析如图2所示。
F 的效果可以由分解的水平方向分力F x 和竖直方向的分力F y 来代替。
则：030sin ,30cos F F F F y X ==由于物体处于静止状态时所受合力为零，则在竖直方向有：G F N =+030sin 030sin F G N -=则在水平方向上有： 030cos F f =例2.如图3所示,一物体放在倾角为θ的光滑斜面上,求使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力。
解析:使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力都是由重力引起的，把重力分解成两个互相垂直的两个力,如图4所示,其中F 1 为使物体下滑的力，F 2为物体压紧斜面的力,则：θθcos sin 21G F G F ==图3图1y xf FG N 图2α例3。
三个力共同作用在O 点，如图6所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求合力.解析:此题用正交分解法既准确又简便,以O 点为原点,F 1为x 轴建立直角坐标； （1）分别把各个力分解到两个坐标轴上,如图7所示：0;111==y x F F F0222260sin ;60cos F F F F y o x == 03303360sin ;60cos F F F F y x =-=（2）然后分别求出 x 轴和y 轴上的合力F cos60F -cos60F F F F F 030213X 2X 1X =+=++=合X FF 3sin60F sin60F 0F F F 03023y 2y 1y =++=++=合y F （3）求出F x 和F y 的合力既是所求的三个力的合力如图8所示。
(完整)1力的正交分解法及其应用
又f =μN;
③
联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.
答案 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
返回
练习8如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的 A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹
角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是多少？
为θ3，绳子的张力为F3。不计摩擦。则（ A．θ1=θ2 =θ3 B．θ1= θ2＜θ3 C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习1如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
F θ
F G cos - sin
正交分解力的目的： 化复杂的矢量运算为普通的代数运算。便于运
用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策
略，即先分解再合成，降低了运算的难度，是一种 重要物理思维方法。
五、典例 求合力
例1一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向
正东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
力的正交分解法
θ
• 练习2.试卷例2
效果分解法
解决共点力平衡问题） （解决共点力平衡问题）
• • • • • • •
分解原则： 根据力所产生的效果进行分解。 步骤： 1.明确研究对象； 2.受力分析； 3.分析力的作用效果； 4.分解力，做出平行四边形； 5.计算求解。
正交分解法 （解决共点力平衡问题） 解决共点力平衡问题）
• 一、定义：把一个力沿着两个选定的相互 垂直的方向分解。 • 二、步骤： • （1）明确研究对象； • （2）受力分析； • （3）正确选定直角坐标系； • （4）把各力投影到坐标轴上，列方程求解。 Fx合= Fx1+Fx2+……=0 • Fy合= Fy1+Fy2+……=0
• 注意： • 1.坐标原点为共点力的作用点； • 2.坐标轴方向的选择原则是使尽可能 多的力分布在坐标轴上，以减少力的 分解。
• 三、例1： • 已知：物体重50N，AO、BO与竖直方向夹角分 别为30°和45° • 求：AO和BO对物体的拉力？
A
30°
45°
B
O
练习1.试卷例1.Fra bibliotek• 例2. • 已知：如图，物体重力为400N,所受水平推 力为F=400N，θ=60°，物体匀速下滑。 • 求：N和动摩擦因数？
正交分解法解决平衡问题
正交分解法解决平衡问题一、解题思路1、先对物体进行受力分析2、建立直角坐标系，把不在坐标轴上的力分解在坐标轴上，（简单原则：让尽量多的力在轴上）3、根据平衡条件，在x轴上和y轴上分别列出两个等式，并联立解出等式。
二、例题例1：如图所示，一质量为m的物体恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，求：（1）物体与斜面间的压力；（2）物体与斜面间的动摩擦因数，并说明它与物体质量m的关系。
例2：如图所示，半圆柱固定在水平面上，质量为m的物块静置于圆柱体上的A处，O为横截面的圆心，OB为竖直的半径，∠BOA=300，求圆柱体对物块的支持力和摩擦力。
例3：如图所示，一质量为m，横截面为直角三角形的斜劈ABC，AB边靠在竖直墙面上。
F是垂直于斜面的推力。
（1）现物块静止不动。
斜劈受到的摩擦力大小为多大？（2）若斜劈与墙壁之间的动摩擦因数为u，要使斜劈匀速下滑，则F为多大？【作业】：1、如图所示，一个质量为10kg的物体，在沿斜面方向推力的作用下，沿斜面向上匀速运动。
已知斜面倾角为370，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2。
（已知sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2）。
求推力的大小。
2、如图所示，重500N的物体在与水平方向成300的拉力F作用下，向右匀速运动，物体与地面之间的动摩擦因数u=0.2。
求：（1）物体与地面之间的压力；（2）拉力F的大小。
3、如图所示，质量为4kg的物体与竖直墙面间的动摩擦因数为0.2，它在受到与水平方向成370角斜向上的推力F作用时，沿竖直墙面匀速上滑。
（已知sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2）。
求：（1）物体与竖直墙面之间的压力；（2）推力F。
正交分解法例题及练习
正交分解法例题及练习正交分解法是一种常用的数学工具，在诸多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍正交分解法的基本原理，并提供一些例题和练，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
1. 正交分解法的基本原理正交分解法是一种将一个向量空间中的向量表示为一组正交基向量线性组合的方法。
具体来说，如果有一个向量空间V和它的一组正交基向量{v1, v2, ..., vn}，则可以将任意一个向量v∈V表示为：v = c1 * v1 + c2 * v2 + ... + cn * vn其中，c1, c2, ..., cn是标量，也就是向量v在每个基向量上的投影。
2. 正交分解法的例题例题1考虑一个三维向量空间V，其中的一组正交基向量为{v1, v2, v3}，它们分别为：v1 = [1, 0, 0]v2 = [0, 1, 0]v3 = [0, 0, 1]现在给定一个向量v = [2, 3, 4]，要求将它表示为这组正交基向量的线性组合。
解答：根据正交分解法的原理，我们可以将向量v表示为：v = c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3其中，c1, c2, c3为待求的标量。
由于v1, v2, v3是正交基向量，它们两两之间内积为0。
因此，我们可以根据内积的性质求解c1, c2, c3。
具体计算如下：v·v1 = (2 * 1) + (3 * 0) + (4 * 0) = 2v·v2 = (2 * 0) + (3 * 1) + (4 * 0) = 3v·v3 = (2 * 0) + (3 * 0) + (4 * 1) = 4由此可得：c1 = v·v1 / ||v1||^2 = 2 / 1 = 2c2 = v·v2 / ||v2||^2 = 3 / 1 = 3c3 = v·v3 / ||v3||^2 = 4 / 1 = 4因此，将向量v表示为这组正交基向量的线性组合的结果为：v = 2 * [1, 0, 0] + 3 * [0, 1, 0] + 4 * [0, 0, 1]例题2考虑一个二维向量空间V，其中的一组正交基向量为{v1, v2}，它们分别为：v1 = [1, 1]v2 = [-1, 1]现在给定一个向量v = [2, 3]，要求将它表示为这组正交基向量的线性组合。
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
THANKS
感谢观看
控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
2024学年新教材高中物理第三章力力的效果分解法和正交分解法pptx课件新人教版必修第一册
2.如图所示，将物体的重力按力的作用效果进行分解，其中错误的是( )
D
A. B. C. D.
D
A.两种情况下，行李箱所受地面的摩擦力相同B.两种情况下，推行李箱省力C.拉行李箱时，行李箱与地面间的弹力有可能为零D.力 与摩擦力的合力方向竖直向下
[解析] 对甲、乙受力分析如图，对于左图，正压力的大小 ，对于右图，正压力的大小 ，根据滑动摩擦力公式知，两个箱子受到的摩擦力大小不同，故A项错误；对于左图，根据
2.力的正交分解的方法和步骤
例题3 [2023江苏盱眙期中]如图，倾角为 的斜面上放着一个木箱， 的拉力 斜向上拉着木箱， 与水平方向成 角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为 轴和 轴建立坐标系，把 分解为沿着两个坐标轴的分力。
（1）试在图中作出分力 和 ；
[答案] 见解析图
[解析] 重力产生了使物体下滑的效果及压斜面的效果；故两分力即图中所示,故A项正确；重力产生了向两边拉绳的效果，故B项正确；重力产生了向两墙壁的挤压的效果，故两分力应垂直于接触面,故C项错误；重力产生了拉绳及挤压斜面的效果，故D项正确。本题选错误的，故选C。
二、力的正交分解法
1.力的正交分解法把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法。正交分解的目的是方便求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。
A
A. 变大， 变小 B. 变大， 变大C. 变小， 变小 D. 变小， 变大
[解析] 对物块受力分析，受推力、重力、支持力和静摩擦力，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，把力 进行分解，如图所示，根据共点力平衡条件，有 ， ，当 变大时，静摩擦力变小，支持力变大，根据牛顿第三定律可得地面受到的压力 变大，故A正确，B、C、D错误。
高一生物正交分解法例题及练习
高一生物正交分解法例题及练习
正交分解法是一种用于研究复杂生物体系的分析方法。
它通过将复杂系统分解为多个独立的组分，进而研究各组分的相互作用和功能。
以下是一些高一生物正交分解法的例题及练，帮助学生加深对该方法的理解和应用。
例题
1. 某实验室对一种缺氧微生物进行正交分解分析，将该微生物分解为5个组分。
在进行正交分解前，需要对微生物进行某种预处理。
请回答下列问题：
- 为什么需要对微生物进行预处理？
- 预处理的主要目的是什么？
- 提供一种可能的预处理方法。
2. 通过正交分解法，对一种特定细胞内蛋白质进行分析，得到以下结果：
- 组分A与组分B之间的互作用强度为0.8。
- 组分B与组分C之间的互作用强度为0.5。
- 组分C与组分D之间的互作用强度为0.3。
- 组分D与组分E之间的互作用强度为0.6。
请计算该蛋白质中各组分的相互关联度，并说明哪些组分关联度较高。
练
1. 将细胞生命周期分解为正交组分，并说明各组分的功能。
2. 对于一种复杂的食物链生态系统，使用正交分解法将其分解为组分，并分析各组分之间的相互关系。
3. 通过正交分解法研究一种新药的成分，将药物分解为组分并分析各组分的药效和相互作用。
以上是一些高一生物正交分解法的例题及练，供学生们进行实践和思考。
通过解答这些问题，学生们可以更好地理解和应用正交分解法来解决生物体系的复杂性问题。
---
注意：以上题目仅为示例，实际的例题和练习问题可能涉及更
多细节和具体内容。
学生们在解答时应理解正交分解法的基本原理，并根据题目要求进行分析。
正交分解例题
正交分解例题什么是正交分解？正交分解是一种数学理论，它将一个向量函数或一个维度数据矩阵分解成多个较小的向量函数或维度数据矩阵，这些小的数据矩阵被称为正交矩阵，它们满足一组严格的条件：它们是正交的，也就是说，它们的标量积为零。
正交分解在数学领域和工程技术领域得到了广泛的应用，它可以将复杂的数据集具体化，并有助于更好地理解数据。
在数学研究中，它可以用来寻找矩阵的特征值以及它们之间的关系；在工程领域，它可以用来处理信号处理、图像处理等问题。
正交分解例题下面是一个简单的正交分解例题：给定一个3维空间的向量x=(x1, x2, x3)，其中x1, x2, x3可以是任意实数。
找出3个正交的单位向量，分别为y1=(y11, y12, y13), y2=(y21, y22, y23), y3=(y31, y32, y33),使得x可以用这3个单位向量线性组合得到：x=y11*y1 + y21*y2 + y31*y3。
解：分解x=(x1, x2, x3)为y=(y11, y12, y13), y2=(y21, y22, y23), y3=(y31, y32, y33)，要求y1, y2, y3为单位向量，并且要求y1, y2, y3相互正交，即y1*y2=y1*y3=y2*y3=0。
首先考虑y3=(y31, y32, y33)，由于x1, x2, x3可以是任意实数，所以可以让y31=x1, y32=x2, y33=x3，这样的话，y3=(x1, x2, x3)就是3维空间的单位向量，而且根据已知条件，y3与y1, y2相互正交，即符合条件。
接下来考虑y1=(y11, y12, y13), y2=(y21, y22, y23)，由于y1, y2是正交的，且与y3正交，所以它们的点积满足：y11*y31+y12*y32+y13*y33=0, y21*y31+y22*y32+y23*y33=0。
由于已知y31=x1, y32=x2, y33=x3，所以可以求出y1，y2：y11=x2*x3/|x|, y12=-x1*x3/|x|, y13=x1*x2/|x|；y21=-x2*x3/|x|, y22=x1*x3/|x|, y23=-x1*x2/|x|。
高中物理必修一 正交分解法
因此，如上图 b 所示，合力 F＝ F2x＋Fy2≈38.2 N tan φ＝FFxy＝1 所以 φ＝45°.
力的正交分解法
1.正交分解法求合力
概念： 将力沿着两个选定的相互垂直的方向分解 优点： 把矢量运算转化为代数运算 适用情况： 适用于计算三个或三个以上力的合成
例1
解析：本题若连续运用平行四边形定则求解，需 解多个斜三角形，一次又一次确定部分合力的大 小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力 的正交分解法求解此题．
【解析】先对物体进行受力分析，如右图所示，
然后对力F进行正交分解． 水平方向分力F1＝Fcosθ 竖直方向分力F2＝Fsinθ 由力的平衡可得
F1＝f，F2＝mg＋N 又由滑动摩擦力公式知f＝μN 将F1和F2代入可得f＝Fcosθ＝μ(Fsinθ－mg)， 故正确选项为B、C. 【答案】 BC
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(5)求共点力的合力，合力大小F＝ Fx2＋Fy2，
合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝ FFyx.
2.共点力作用下物体的平衡的基本分析方法
(1)合成法
(2)分解法
(3)正交分解法
例2 如图所示，重为G的 物体放在水平面上，推力 F与水平面夹角为θ，物体 做匀速直线运动，已知物 体与地面间的动摩擦因数 为μ，求施加的推力F和物 体所受的摩擦力。
代入数据得：
F
G
cos sin
FN
正交分解法(精选例题)
Fy
o
F α Fx
x
Fx F cos F F sin y
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下滑，物体与斜面间的滑动摩擦因数为μ，求滑 块下滑的加速度
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下滑，物体与斜面间的滑动摩擦因数，μ，求滑 块下滑的加速度 y
∵物体匀加速运动，合外力为 零 由x方向合外力为零，有：
f
N
m g sin N
由y方向合外力为零，有：
x
θ
mg
N m g cos
解得：
sin tan cos
练习一：如图所示，质量为m的光滑小球放在倾角为 θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板 对小球的弹力。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
用力的正交分解求解物体平衡问题
1、画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上） 4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
5、根据方程求解。
正交分解法
FN
F x
θ
由题得： X方向：Fx= Ff Y方向：FN+Ff = G
G
则得： FN= G- Fy=G - Fsin θ Ff =FX= Fcos θ
例题 2、在倾角为θ的光滑斜 面上用一水平的推力F 使质量为m的物体保 持静止状态，求推力F 的大小？
y
F1y
F1 F1x x F2
F3
（4）将坐标轴上的力分别合成，按坐标轴规定的方向求代数和. （5）最后求再求合力F的大小和方向
F合
tan
Fx2 Fy2 Fy
Fx
二、应用正交分解法 ——求合力
例4 如图12所示，在同一平面内有三个共点力，它们之间的 夹角都是120°，大小分别为F1＝20 N，F2＝30 N，F3＝40 N， 求这三个力的合力F. y Fx＝F1－F2sin 30°－F3sin 30° ＝20 N－15N－20 N ＝－15 N Fy＝F2cos 30°－F3cos 30° ＝30cos 30°N－40cos 30°N ＝－5 3 N
正交分解法
小结
把力沿两个选定的互相垂直的方向进 行分解的方法叫正交分解法。
y
FX= Fcosα Fy= Fsinα
Fy
o
α
F
Fx
x
正交分解法
原理
将不在同一直线上的力分解到两个互相垂直方向， 使得平面内的矢量运算转化为沿坐标轴方向的代数 运算。 是处理合成与分解的一种简便方法尤其是在求
解不在一条直线上的多个共点力的合力时很方便。
F2
N
F F1
x: F cos F f 0 y: F N F sin G 0
高一语文正交分解法例题及练习
高一语文正交分解法例题及练习介绍正交分解法是一种将复杂问题分解为更简单问题的方法，可以帮助我们更好地理解和解决复杂的问题。
本文将介绍高一语文中常见的正交分解法例题及练，以便帮助学生提高解决问题的能力。
例题以下是一些高一语文正交分解法的例题：例题1下面是一个古文阅读题，通过正交分解法解答问题：论语·子罕篇》：“___与命与仁。
” 子曰：“务民之义，敬鬼神而远之，可谓民之父母也。
”请分析这段言论的含义及其与仁、命、利的关系。
例题2下面是一个文言文翻译题，通过正交分解法解答问题：风筝不会飞翔的，是线让它会飞翔。
”请分析这句话的意义，从文言文中找出类似的表达方式，并解释其含义。
例题3下面是一个文学常识题，通过正交分解法解答问题：红楼梦》是中国古代四大名著之一，也是中国小说史上的巅峰之作。
请通过正交分解法分析《红楼梦》的主题内容，并解释为何它如此受到人们的喜爱。
练题以下是一些高一语文正交分解法的练题，供学生巩固和提高自己的解题能力：1.解释以下成语的意思，并找出与之相似的其他成语。
推陈出新文过饰非随波逐流2.请将下面这句话进行正交分解，找出其中的并列关系。
父母的爱和老师的教诲是孩子成功的关键。
”3.通过对一篇课文进行正交分解，找出其中的主题及其支撑的细节。
这些例题和练题可以帮助学生通过正交分解法解决高一语文中的问题，提高他们的思维能力和语言运用能力。
总结正交分解法是一种有益的思维工具，可以帮助我们更好地理解和解决复杂问题。
通过例题和练习题的实践，学生可以逐渐掌握这种方法，并在高一语文的学习中取得更好的成绩。
希望本文能帮助到大家！。
正交分解法和力的平衡
A
F3 O F1 C
F2
B
• 三力平衡条件:任意两个力的合力与第 三个力等大、反向、共线。
课堂探究·考点突破
考点二 平衡问题的常用处理方法
平衡问题是指当物体处于平衡状态时， 利用平衡条件求解力的大小或方向的 问题． 处理方法常有力的合成法、 正交 分解法、三角形法则．
解析 解法一 (正交分解法)
对小球受力分析如图甲所示，小球静止，处于平衡 状态，沿水平和竖直方向建立坐标系，将 FN2 正交 分解，列平衡方程为 FN1＝FN2sin α，mg＝FN2cos α. 可得：球对挡板的压力 FN1′＝FN1＝mgtan α，所以 B 正确．
θ O
A
例题3. 如图所示，质量为m的物体用一轻绳挂在水平轻杆BC 的C端，B端用铰链连接，C点由轻绳AC系住，已知AC、 BC夹角为 ，则轻绳AC上的张力和轻杆BC上的压力大小分 别为多少？
例题4 质量为5.5Kg的物体，受到斜向右上方与水 平方向成370角的拉力F=25N作用，在水平 地面上匀速运动，求物体与地面间的动摩 擦因数(g=10m/s2)。 FN f
平衡条件的应用小结 ： 1、总共只受两个力平衡时： 两个力大小相等、方向相反、 作用在同一条直线上。 2、总共受三个力平衡时： 解法一： 正交分解法 解法二： 合成法
N=G
任意两个力的合力与第三个大小相 等、方向相反、作用在同一条直线上。
3、共受三个力以上平衡时： 正交分解法
谢谢大家！
A
F3
O
F2 F1
B
F1
F2
θ
C
G
2、平衡状态 静止或匀速直线运动，叫做平衡状态。 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为0. 即: F合=0 3、物体平衡的两种基本模型 F支 F支 F支=G f
高一美术正交分解法例题及练习
高一美术正交分解法例题及练习正交分解法是美术学中一种常用的技法，可以帮助艺术家更好地理解和表现物体的形态、光影和细节。
以下是一些高中一年级美术正交分解法的例题及练，供学生们参考和练。
例题一：正交分解基础题目描述：请使用正交分解法，将一个简单的立方体进行正交分解。
要求：在纸上绘制一个正方形作为立方体的底面，然后使用直线将这个正方形分解为等腰直角三角形。
通过绘制等腰直角三角形的边线，将整个立方体分解为各个面，然后对每个面进行细化。
例题二：正交分解细节题目描述：请使用正交分解法绘制一只水杯的正视图和侧视图，并通过细致的线条勾勒出水杯的细节。
要求：将纸横向放置，分别绘制水杯正视图和侧视图。
在正视图中，绘制出杯子的底面和侧面；在侧视图中，绘制出杯子的侧面和顶面。
通过直线和弧线等线条，勾勒出水杯的弧线、花纹等细节，使其看起来更加真实和立体。
例题三：正交分解复杂物体题目描述：请使用正交分解法绘制一只苹果的正视图和侧视图，并通过线条勾勒出苹果的质感和光影效果。
要求：将纸横向放置，分别绘制苹果正视图和侧视图。
在正视图中，绘制出苹果的轮廓和表面细节，如茎、叶子等；在侧视图中，绘制出苹果的侧面和底面。
通过线条的变化、阴影和光影的处理，使苹果看起来更加真实、有质感。
练题：利用正交分解法绘制一些常见物体的正视图和侧视图，并尽量体现出物体的形态、光影和细节。
通过练正交分解法，学生们可以逐渐掌握这一技法，并在后续的美术创作中灵活运用。
希望以上例题和练可以帮助到学生们更好地理解和掌握正交分解法。
正交分解法例题及解析
正交分解法例题及解析正交分解法是一种有效的数学工具，它可以用来解决一些复杂的问题。
它可以将一组函数分解成一组基本函数的线性组合，有助于理解问题，并且可以更好地解决它们。
本文将以一个简单的正交分解例题作为示例，来介绍如何使用正交分解法来解决问题。
首先，考虑一个简单的正交分解例题：已知函数$f(x)$，求$f(x)$的正交分解。
假设，函数$f(x)$如下：$f(x) = x + 2x^2 + 3x^3$我们首先根据拉格朗日定理把函数$f(x)$表示为如下形式：$f(x) = c_0 + c_1 varphi_1(x) + c_2 varphi_2(x) + c_3 varphi_3(x)$其中，$c_0, c_1, c_2, c_3$分别是正交基函数$varphi_1(x), varphi_2(x), varphi_3(x)$的系数，令$varphi_1(x) = 1,varphi_2(x) = x, varphi_3(x) = x^2$，后计算每个系数，得到： $c_0 = 1$, $c_1 = -4$, $c_2 = 6$, $c_3 = -3$ 因此，函数$f(x)$的正交分解形式为：$f(x) = 1 - 4varphi_1(x) + 6varphi_2(x) - 3varphi_3(x)$ 可以看出，把函数$f(x)$分解成几个基本函数的线性组合，有助于理解问题，也可以更好地解决它们。
正交分解法可用于解决许多复杂的数学问题。
例如，通过正交分解法，可以解决多元函数拟合、热力学及反应动力学等复杂的数学问题。
此外，正交分解法还可以用来自动构建和调整复杂的网络结构，以便实现精准的结果。
正交分解法对于解决复杂的数学问题具有重要意义。
不仅可以更有效地求解问题，还可以提高算法的效率和准确度。
因此，学习和熟悉正交分解法是很有必要的。
总之，正交分解法是一种有效的数学工具，它可以比较有效地求解复杂的数学问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正交分解法的例题解法
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
②把各个力向x 轴、y 轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x 轴上的各分力的代数和F x 合和在y 轴上的各分力的代数和F y 合
④求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=
合力的方向：tan α=合合
x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）
点评：力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）。
【例】质量为m 的木块在推力F 作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?
A ．µmg Ｂ．µ（mg+Fsin θ）
Ｃ．µ（mg+Fsin θ） Ｄ．F cos θ
解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、推力F 、支持力F N 、摩擦力F µ．沿水平方向建立x 轴，将F 进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F )，由于木块做匀速直线运动，所以，在x 轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y 轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即
F cos θ＝F µ ①
F N ＝mg+Fsin θ ②
又由于F µ＝µF N ③
∴F µ＝µ（mg+Fsin θ） 故Ｂ、Ｄ答案是正确的．
小结：（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。
也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。
在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。
（3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理。
（4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。
（当题目规定为45°时除外）。