人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案
新人教必修五第三章不等式单元综合测试(含答案)
新人教必修五第三章不等式单元综合测试（含答案）新人教必修五第三不等式单元综合测试（含答案）一、选择题：1、若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．．D．2、函数的定义域为（）A．B．．D．3、已知，则（）A．B．．D．4、不等式的解集为（）A．B．．D．、已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则与的大小关系是（）A．B．．D．无法确定6、已知正数、满足，则的最小值是（）Ａ．18Ｂ．16．8D．107、下列命题中正确的是( )A．当且时B．当，．当，的最小值为D．当时，无最大值8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为，斜边上的高为h，则和的大小关系是( )Ａ．Ｂ．．D．不能确定9、在约束条下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A．B．．D．10、若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．．D．或11、某商品以进价的2倍销售，由于市场变化，该商品销售过程中经过了两次降价，第二次降价的百分率是第一次的两倍，两次降价的销售价仍不低于进价的％，则第一次降价的百分率最大为（）A 10％B 1％20％D 2％12、在使成立的所有常数中，把的最大值叫做的“下确界”，例如,则故是的下确界，那么（其中，且不全为的下确界是（）A．２B．．４D．二、填空题13、设满足且则的最大值是___________14、已知变量满足约束条，若目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为___________1、设，且，函数有最小值,则不等式的解集为___________16、某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______三、解答题17、已知, 都是正数，并且，求证：18、关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围19、已知正数满足,求的最小值有如下解法：解：∵且∴，∴判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．20、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和0%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过18万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？21、已知函数，当时，；当时，。
(完整版)必修五第三章不等式练习题(含答案),推荐文档
等式练习题 第一部分1.下列不等式中成立的是(7.在R 上定义运算 :xy x(1 y)，若不等式(x a)(x a) 1对任意实数x 成立，贝U 实数a 的取值范围是().A. {a| 1 a 1}B .{a| 0 a 2}1 3 C {a| 1 a £} D.{a| 3 11-a -}2 28已知正实数x,y 满足x 2y4，则丄 4x 丄的最小值为y•9 .设x, y 为正实数，aJ x 22xy y ,bpjxy,c xy .试比较a 、c 的大小.A. b a C. D. a cB. b c a b ca c bA.若a 则ac 2 bc 2 .若 a b ，贝U a 2b 2 C.若aab b 21.若 a b 0，贝U -a2.已知a 1 3,b14,(A). c a3.已知a,b,c 满足c (B)3 5a b3 4，则a,b,c 的大小关系是()(C) b a c a 且ac 0，下列选项中不一定(D) c成立的是((A ) ab ac(B )(C) cb 2 ab 2(D) ac(a c) 04 .规定记号“O”表示一种运算，定义若1O k 2<3,则k 的取值范围为A . 1 k 1B aO b^/ab a (a , b 为正实数)，5 .若a,b,c 为实数, 则下列命题正确的是(A.若a 则ac 2bc 2B.若a ab b 2C.若aD.若a 1bab6.设a0.5. I,b log 3,c log 4 2，则(6.226函数y = 3x + x^+1的最小值是（）A.10 .已知不等式ax 2 5x 2 0的解集是M .（1）若2 M ，求a 的取值范围;(2)若 M x2x2，求不等式ax 2 5x a 2 10的解集.第二部分1.给出以下四个命题:1 12 2①若a>b ,则-<匚; ②若ac >bc ，则a>b ；a b ③若 a>|b|，则 a>b ； ④若 a>b ,则 a 2>b 2.其中正确的是（A.②④ B .②③ C .①② D ①③2.设 a , b € R, A. b -a>0 B若a -1 b|>0，贝U 下列不等式中正确的是（ .a 3+ b 2<0)C . b + a>0D . a — b <0 3.在下列函数中，最小值是 2的是（） A.x + 2 .y =尸(x >0)C. y = sin x + cscx , x € (0 ,ny )4. 已知log a （a 2+ 1）vlog a 2a<0，则a 的取值范围是（ A. (0,1) B ・（扌,1)C. (0, 2)5. f (x) = ax 2+ ax - 1 在 R 上满足 f (x)<0, 则a 的取值范围是（ ）A. (-X, 0]B. (-X,- 4)C. (-4,0)D. (-4,0]B.C.6.41 17.设a>0, b>0.若{3是3与3的等比中项，则o +b 的最小值为( )A. 8D-4&已知当x>0时，不等式x 2— m)+ 4>0恒成立，则实数m 的取值范围是 9.已知 A = {x|x 2— 3x + 2<0},{x|x 2— (a + 1)x + a <0}.⑴若A B,求a 的取值范围； ⑵若B? A 求a 的取值范围1 910.已知x>0, y>0,且x + y = 1,求X + y 的最小值.11.已知a , b , c 都是正数，且a +b + c = 1.求证：(1 — a)(1 — b)(1 — c) >8abc. 证明•/ a 、b 、c 都是正数，且a +b + c = 1,•-1 — a = b + c 寸 bc>0, 1—b=a+c >2ac>0, 1 — c = a + b 寸 ab>0.••• (1 — a)(1 — b)(1 — C) •^Oc •2ab= 8abc.212.不等式 kx — 2x + 6kv0(k 工0).(1) 若不等式的解集为｛x|x< — 3或x> — 2｝，求k 的值； (2) 若不等式的解集为R,求k 的取值范围.B. 4C. 11. D. 【解析】对于A ,若c 不成立；对于C,若a2. D 【解析】 参考答案 第一部分,显然ac 2b 0，则 a 2;故选Dbc 2不成立；对于B ,若b a 0，则a 2ab b 2b 2，所以C 错；对于D,若a b33 4 2 3. C 【解析】 1所以c 综上,所以答案为：D.Qa c, ac 0, 0,a (1) Qb c,a 0,ab ac;⑵ Q b a,0,0, c b 0 ；(3) Q c a,,Q ac 0, ac a0 ■⑷b a 且c 0, a 0, 0或b 0或b 0, cb 2和ab 2的大小不能确定，即C 选项不一定成立■故选C.4. A 【解析】根据题意1e k 2 1 k 2 3化简为k 2绝对值如下: 原不等式为 k 2k 2 0解得2 0时, 原不等式为 0成立，所以k k 2 0 ,对k 分情况去 k 1，所以0 k 原不等式为 k 2k 2 0，解得 1 k 2，所以1 综上， 5. B 【解析】对于 所以选择 A. 当c 0时, 0，所以1a 所以a b，故D 错，所以选b a两边同时除以 A, ab 故A 错；对于C, 不等式不成立， 11，故C 错;对于D,因为a b 0 , b因为a 1bB .6. A【解析】••• a 20.5, b log 3 , c log42 , 1>2 0.51log 3 >1, Iog 42= -b >a >c .故选: 27. C8. 1 【解析】【解析】根据题意化简不等式为（X a ）（1 (X a)) 1,即 X 2 X(a 2 a 1) 0 对任意实数X 成立,所以根据二次恒成立 0,解得（当且仅当“X y 4”时，取“ ”），故最小值为1.39.a 2 X 22 2 2 22 2xy y 2, c 2X 22xy y 2c 2 a 2xy ；X 0, y0, xy 0，即 c a ;10. (1) a12 (2) X3 X 1【解析】（1）由2 M ，说明元素2满足不等式ax 2 5x 2 0，代入即可求出a的取值范围； （2）由M x2 X 2，2,2是方程ax 25x 20的两个根，由韦达定理即可求出a 2，代入原不等式解一元二次不等式即可；(1)v 2 M 2，二 a 2 5 2 20，••• a 2(2)v Mx1 X 2 ,••• 1,2是方程ax 2 5x 20的两个根，11 y X 8 yX y 1 4 5 25 21 / y X 4点 1 -1 8尸y4x A.由X 2y 4化为4x4 X 2 4x1 2x1 2xX 2y 4，因为o,y所以1 8所以 X + y = (x+ y)( 1+ 9) = y+ — + 10>2 ' 八 X y X y y 9x 1 9当且仅当x =—时，等号成立，又因为X +y = 1.所以当 x = 4, y = 12 时，(X + y) min = 16.•••由韦达定理得2 1/•不等式ax 2 5x a0即为：2x 2 5x 3 0其解集为X第二部分2.解析 由 a —|b|>0? |b|va? — a<b<a? a + b>0,故选 C.3.解析X 2y=- + -的值域为(一X,— 2] U [2，+X);X + 2 --- 1y〒=也〒 + k >2(X >0)；1y = SinX + CSCX = SinX + 茹>2(0<Sin X <1)；y = 7x + 7—x>2（当且仅当x = 0时取等号）.7.解析 V s 是 3a 与 3b 的等比中项？ 3a •3b= 3a + b= 3? a + b = 1, v a>0,b>0, /^ab1 1 a + b 1 1 「a +萨石=Ob ^ 1=4.411.解析因为 x>0, y>0, X + 9= 1,9X-—+ 10= 16. y。
最新人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案
人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)5、不等式0322>-+x x 的解集是 （ ）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是 （ ）A ⎩⎨⎧>∆>00aB ⎩⎨⎧<∆>00aC ⎩⎨⎧>∆<00aD ⎩⎨⎧<∆<00a2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 8.已知集合A ＝{x |x 2-x-2<0}，B ＝{x ｜-1<x <1}，则（ ）A. A B ⊆B.B AC. A = BD. A ∩B ＝∅8、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1B 21C 22D 41 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 10. 设U =R ，M ={x |x 2-2x ＞0}，则 C U M =（ ）A.[0，2]B.RC.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）12、在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15、不等式255122x x -+>的解集是 .三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0; (3) 0322322≤--+-x x x x18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．19、当1>x 时,求11222-+-=x x x y 的最小值. （12分）20、已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，求32a b -的取值范围。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(有答案解析)
一、选择题1．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．952．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+3．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．18．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,119．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-10．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+11．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A．BC ．1D ．212．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题13．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.15．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 16．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．18．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 19．已知0,0ab >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.20．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x yx+的取值范围是__________． 三、解答题21．设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.24．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？25．已知函数()245y x x x R =-+∈.（1）求关于x 的不等式2y <的解集；（2）若不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()0f x m =≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.2．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=， 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即3133,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为843+ 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．A解析：A【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6； 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．C解析：C 【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x =-，利用线性规划即可求解. 【详解】解：由2z x y =-得122z y x =-， 作出x ，y 满足约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-， 得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.8．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.9．D解析：D 【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133zy x =-， ∴当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大； 由图象可知，当133zy x =-过点A 时，在y 轴截距最大，由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D .【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.10．C解析：C【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y t t （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．11．D解析：D【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．B解析：B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题13．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ． 代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-.故答案为：4-【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最 211- 【分析】由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-， ()2717134343343x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-， 所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立， 因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7【分析】根据题中条件，由1222()2212y x y x y y x x y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=， 当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点 解析：10【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322z y x =-+， 由图象可知当直线322z y x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22z y x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a ++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 18．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解 解析：1[,)4+∞. 【分析】 利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】 因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】 本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先解析：3【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++， 又由()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)]()992962222222a a b b a b a b a b a b +++++++⋅+=++≥+⨯=+++++++，当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22(2)a b +=+时等号成立， 即z 的最小值为962+，所以2+a b 的最小值是623+.故答案为623+.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.20．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大；联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ， 联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤， 所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.三、解答题21．（1）13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭；（2）62a -≤≤． 【分析】 （1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果； （2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围.【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以 2 3x x ==，是方程20x ax b -+=的解 由韦达定理得： 5 6a b ==，， 故不等式210bx ax -+>为26510x x -+>，解不等式26510x x -+>得其解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭（2）当3b a =-时，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围为62a -≤≤．【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立；（2）0a <时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立．22．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12t -= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩ 因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点， 令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根， 只有()21682102021t t t x t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：12t -=， 综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．23．（1）1；（2）9.【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值； （2）先求得141b a +=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值．【详解】 （1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<， 即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --，又不等式的解集为{|02}x x <<，所以2(2)2m --=，解得1m =；（2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=，所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为9．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 24．（1）最多调整500名员工从事第三产业；（2）(]0,5．【分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．【详解】（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤，即最多调整500名员工从事第三产业；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23500x ax -≤2110002500x x x +--， 所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(]0,500x ∈时恒成立，因为210004500x x+≥=， 当且仅当21000500x x =，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤，所以a 的取值范围为(]0,5．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，属于常考题. 25．（1）{|13}x x <<；（2）()24.，【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数245y x x =-+的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于m 的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解.【详解】(1)由2y <得2430x x -+<，即13x <<，所以2y <的解集为{|13}x x <<；(2)不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立3min m y ⇔-<，由()224521y x x x =-+=-+得y 的最小值为1， 所以31m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<，所以实数m 的取值范围为()2,4.【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.26．（1）4m ≤；（2）94． 【分析】（1）函数()0f x m =≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解；（2）由（1）可得21432a b a b +=++，然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值．【详解】（1）函数()0f x m =≥恒成立， 即+130x x m +--≥恒成立， 设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b +=++， 所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=， 当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立， 所以74a b +的最小值为94． 【点睛】 本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(答案解析)
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ）A ．32-B ．28-C ．2D ．32．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．323．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b +的最小值为（ ） A ．15 B．8+C ．16 D．8+4．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ） A ．2B ．-2C ．1D ．-1 5．已知0 < a < 1，则141a a +-的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．9D ．10 6．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋ 7．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ） A ．[1,7] B ．[5,13]- C ．[5,7]- D ．[1,13] 8．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．23 B ．43C ．2D ．4 9．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a > 11．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1b B ．a 2>b 2 C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c | 12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <B ．M N >C ．M ND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b +-≥+恒成立，则m 的范围为_______.15．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.16．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________. 17．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 18．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.19．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______. 20．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值；（2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值． 22．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米.求：（1）写出x 与y 的关系式；（2）求出仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？23．已知定义在R 上的函数()()2232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值；（2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围.24．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ． （1）求m ；（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．25．已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+（其中a ∈R ）.（1）当a ＝－1时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若()1f x ≥-的解集为R ，求实数a 的取值范围.26．已知2()3(5)f x x a a x b =-+-+．（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数,a b 的值；（2）若对任意实数,(2)0a f <恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可.【详解】作出x，y满足约束条件2030x yx y mx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x-4y得344zy x=-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线，当直线经过点A时，直线的纵截距4z-最小，z最大.由3x y mx+-=⎧⎨=⎩，解得A(3，m－3)，故()max33439z m=⨯--=，解得3m=.故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y=；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z=为参数).2．C解析：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y+=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x yx y-+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=， 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即3133,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为843+ 故选：D.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ， 代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.5．C解析：C【分析】利用“1”变形为()1411a a a a ⎛⎫+-+⎡⎤⎪⎣⎦-⎝⎭，再利用基本不等式求最值. 【详解】由01a <<，根据均值不等式得14144(1)[(1)]55249111a a a a a a a a a a -⎛⎫+=-++=+++= ⎪---⎝⎭，当且仅当4(1)1a a a a -=-，即23a =时有最小值9. 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A【分析】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，利用基本不等式可求得（x 9x+）min ＝6，从而可得实数m 的取值范围． 【详解】 当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x +恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，当x ＞0时，x 9x +≥=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6，故选A ．【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．7．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β）=（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．8．C解析：C【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=，∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>， ∴121121414(2)4422444n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4n m m n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ．【点睛】 本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．9．B解析：B【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10．C解析：C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11 a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， ab b a=，故D 错误；故选C. 11．C解析：C【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案.【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b >，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的； 当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.12．A解析：A【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各 解析：6【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案.【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++= 则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．【分析】由可得然后利用基本不等式可求出而不等式恒成立等价于小于等于最小值从而可求出的范围【详解】解：因为所以当且仅当即时取等号因为不等式恒成立所以小于等于最小值所以故答案为：【点睛】易错点睛：利用基解析：32m ≤ 【分析】由21a b +=可得1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭322a b b b a b +=+++，然后利用基本不等式可求出11322b a b +≥+1102m b a b +-≥+恒成立，等价于m 小于等于112b a b++最小值，从而可求出m 的范围 【详解】解：因为21a b +=， 所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭ 1122a b b b a b +=++++ 322a b b b a b+=+++333222≥+=+=+当且仅当2a b b b a b +=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b+-≥+恒成立， 所以m 小于等于112b a b ++最小值，所以32m ≤，故答案为：32m ≤【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：(),4-∞【分析】 由参变量分离法可得知，不等式4a x x <+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x <+，由基本不等式可得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，4a <. 因此，实数a 的取值范围是(),4-∞.故答案为：(),4-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.16．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在 解析：2-【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =-+，根据直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y =-+取得最小值时的最优解，代入计算即可. 【详解】 作出不等式组10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y =-+，当直线32z x y =-+经过可行域的顶点()2,1A 时，直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，即min 32122z =-⨯+=-. 故答案为：2-.【点睛】思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.17．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()3199933366212b a a a b b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+⋅=⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.18．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重 解析：14【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=， 所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为14. 故答案为：14【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义. 19．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案 解析：56π 【分析】 由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，化简得tan 23θ=即可得解.【详解】设不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b 为方程()2220x x θ-+=的两个根， 1a ，1b为方程()224sin 210x x θ++=的两个根，由韦达定理得2a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，2sin 2θ=-即tan 2θ= 又 ,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()2,2θππ∈， 所以523πθ=即56πθ=. 故答案为：56π. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.20．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】由函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解.【详解】由题意，函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，令()11x x g x ee --=+因为110,0x x e e -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16． 【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值．【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-， 1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩． （2）由于()12f =，0a >，0b >，则可知232a b +-+=，得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b a a b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立， 所以19a b+的最小值为16. 【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．（1）()320408029x y x x -=<<+；（2）面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【分析】（1）由已知条件得出4090203200x y xy ++=，即可得出x 与y 的关系式； （2）化简得出()16991782929S x x ⨯⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件可求得x 的值.【详解】（1）由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40245203200x y xy +⨯+=， 即492320x y xy ++=，解得320429x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，所以，x 与y 的关系式为()320408029x y x x -=<<+； （2）()33822932043383382229292929x x x S xy x x x x x x x x -+-⎛⎫==⋅=⋅=⋅-=- ⎪++++⎝⎭()()169291699169916992169217829292929x x x x x x x +-⨯⨯⨯=-=--=-+-+++()16991782917810029x x ⨯⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立， 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【点睛】本题考查基本不等式的应用，建立函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）3；（2）[2,)-+∞【分析】（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为2452x x a x -+≥--求解.【详解】（1）()()()()223221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ， 因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，所以1230+=-=x x a ，解得3a =（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，所以()()2245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立， 因为2x >，所以20x -> 所以2452x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立， 而24512222-+⎛⎫-=--+≤- ⎪--⎝⎭x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号，所以 2a ≥-，所以a 的取值范围[2,)-+∞.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.24．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)x x +--的最小值； （2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．【详解】解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497x x x x +-=-+=--， 当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立， 故47=m ． （2）由（1）知4,7m =，若不等式2407ax ax -+ 的解集为R ，则 当0a = 时，407恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩， 解得1607a <， 综上，1607a ， 所以a 的取值范围为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．25．（1）(2)(62)-∞--+∞，，；（2）99a -+≤【分析】（1）当0a =时，解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）化简不等式()1f x ≥-，对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，由()0f x <得，2420x x --+<， 所以2420x x +->，所以不等式的解集为(2)(62)-∞-+∞，，；（2）因为()1f x ≥-解集为R ，所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立，当0a =时，得321x -+-≥，不合题意；当0a ≠时，由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立，得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以99a -+≤【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.26．（1）29a b =⎧⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由题意知，1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根，即可得到方程3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得即可． （2）若()20f <恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b 的不等式，解不等式可求出实数b 的取值范围；【详解】解：（1）由()0f x >，得23(5)0x a a x b -+-+>．23(5)0x a a x b ∴---<又()0f x >的解集为(1,3)-，所以1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根 3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧∴⎨---=⎩29a b =⎧∴⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩（2）由(2)0f <，得122(5)0a a b -+-+<即2210120a a b -+->又对任意实数a ，(2)0f <恒成立，即2210120a a b -+->，对任意实数a 恒成立，2(10)42(12)0b ∴∆=--⨯-<，解得12b <-， ∴实数b 取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．。
新课标人教版必修5高中第3章不等式单元检测试卷及答案解析(原始打印版)
新课标人教版必修5高中数学 第3章 不等式单元检测试卷1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 ( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+2． “0>>b a ”是“222b a ab +<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．不等式b ax >的解集不可能是 ( )A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．不等式||x x x <的解集是 ( ) A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 ( ) A ．22b a < B ．2b ab < C ．2>+ba ab D ．||||||b a b a +>+7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 ( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+229．下列各组不等式中，同解的一组是 ( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A. }8|{<a aB. }8|{>a aC. }8|{≥a aD. }8|{≤a a 11．若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x xy 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.15．已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式:21582≥+-x x x17．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．18．已知0=++c b a ，求证:0≤++ca bc ab 。
人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题(含答案)
绝密★启用前人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟。
一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式表示为()A．v≤120 km/h或d≥10 mB．C．v≤120 km/hD．d≥10 m2.若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2C．a2＋b2≥(a＋b)2D．＋<(a≠b)3.设a＝2－1，b＝－1(t∈R)，则a与b的大小关系是()A．a≥bB．a≤bC．a<bD．a>b4.不等式组的解集为()A． {x|－2<x<－1}B． {x|－1<x<0}C． {x|0<x<1}D． {x|x>1}5.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为()A． (－3,1)B． [－3,1]C． [－3，－1]D． (－3，－1]6.函数y＝的定义域是()A． {x|x<－4或x>3}B． {x|－4<x<3}C． {x|x≤－4或x≥3}D． {x|－4≤x≤3}7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A． (－2,2)B． (－2,2]C． (－∞，－2)∪[2，＋∞)D． (－∞，2)8.若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于()A．－<x<0或0<x<B．－<x<C．x<－或x>D．x<－或x>9.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A． (0，＋∞)B． [0，＋∞)C． [0,4)D． (0,4)10.在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是（）A．（1，4）B．（-1，4）C．（-∞，4）D．（4，+∞）11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为()A．－3B． 3C．－1D． 112.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为() A． 0B． 1C．D． 3第ⅠⅠ卷二、填空题(共4小题，每小题4.0分,共16分)13.已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．14.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．15.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．16.设x，y为实数，若，则的最大值是________．三、解答题(共6小题,第17-21题每小题12.0分,第22题14分，共74分)17.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.18.已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－(3－a)x＋2(1－a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x－3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．20.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?将已知数据列成下表：21.已知实数x，y满足(1)试求z＝的最大值和最小值；(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．22.已知函数．(1) 当时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．答案解析1.【答案】B【解析】考虑实际意义，知v≤120 km/h且d≥10 m.2.【答案】D【解析】显然有a2＋b2≥2ab，a＋b≥2，又a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)2，故选D.3.【答案】B【解析】∵t2≥0，∴t2－1≥－1，∵函数y＝2x在x∈R上是单调递增的，∴2－1≤－1，即a≤b，故选B.4.【答案】C或【解析】由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.5.【答案】B【解析】∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，∴b＝2，∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.6.【答案】C【解析】由x2＋x－12≥0，即(x＋4)(x－3)≥0，x≥3或x≤－4.7.【答案】B8.【答案】D【解析】－b<<a⇔或⇔或⇔x>或x<－.9.【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.10.【答案】D【解析】取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.11.【答案】A【解析】－＝＝，∴a＝－3.12.【答案】B【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.13.【答案】≥1－a【解析】－(1－a)＝＋a－1＝＝，∵|a|<1，即－1<a<1，∴a＋1>0，a2≥0，∴≥0，故≥1－a.14.【答案】[－2，)【解析】由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，当a＝－2时，不等式化为－1<0，显然恒成立；当a≠－2时，则即－2<a<，综上实数a的取值范围是[－2，)．15.【答案】【解析】直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a，作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，数形结合可得≤a≤4.16.【答案】【解析】∵，∴，即∴，∴，即.17.【答案】证明(1)由于x≥1，y≥1，所以要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只需证[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]≥0，即(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝，log b a＝，log c b＝，log a c＝xy，于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．18.【答案】证明a m＋n＋b m＋n－(a m b n＋a n b m)＝(a m＋n－a m b n)－(a n b m－b m＋n)＝a m(a n－b n)－b m(a n－b n)＝(a m－b m)(a n－b n)．当a>b时，a m>b m，a n>b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a<b时，a m<b m，a n<b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a＝b时，a m＝b m，a n＝b n，∴(a m－b m)(a n－b n)＝0.综上，(a m－b m)(a n－b n)≥0.故a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.【答案】(1)f(x)＝(x－2)[x－(1－a)]，设函数f(x)＝0的两根为x1＝2，x1＝1－a，且x1－x2＝2－1＋a＝a＋1，f(x)>0等价于(x－2)[x－(1－a)]>0，于是当a<－1时，x1<x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(1－a，＋∞)；当a＝－1时，x1＝x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>－1时，x1>x2，原不等式的解集为(－∞，1－a)∪(2，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x－3，即a≥－恒成立，又当x>2时，－＝－(x－2＋)≤－2(当且仅当x＝3时取“＝”号)，∴a≥－2.20.【答案】每天食用食物A kg，食物B kg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．【解析】设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⇒目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－x＋，它表示斜率为－且随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组得M点的坐标为.所以z min＝28x＋21y＝16.21.【答案】(1)z＝的最大值为3和最小值为；(2)z＝x2＋y2的最大值为13和最小值为．【解析】解(1)由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴z max＝kMB＝3；z min＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．故z max＝|OA|2＝13，z min＝2＝2＝.反思与感悟当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．22.【答案】【解析】(1) ∵，∴, 当时取等号．即当时，.(2)，恒成立，即,恒成立．等价于在上恒成立，令，，∴，即.∴的取值范围是。
(完整版)必修5第三章不等式单元测试题及答案
第三章不等式单元测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x 的解集是( )A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－38．若关于x 的函数y ＝x ＋m 2x在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )A ．m >2B ．m <－2或m >2C ．－2<m <2D ．m <－2 9．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有( ) A ．f (x )<－1 B ．－1<f (x )<0 C ．f (x )>1 D ．0<f (x )<110．若x ＋23x －5<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3的结果为( )A ．y ＝－4xB ．y ＝2－xC ．y ＝3x －4D ．y ＝5－x二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0.18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．20．(13分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a 4元；(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元． 经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x <14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面长x ≥14. 试比较①②两种方案哪个更好．必修5第三章《不等式》单元测试题命题：水果湖高中 胡显义1．解析：原不等式化为x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0<b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2>(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A4．解析：x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－1>0⇔－3x ＋2>0⇔x ＋2<0⇔x <－2.答案：A5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0， 所以M ≥N . 答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC . 答案：A7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＝0.得A (2,1)．由图知，当直线y ＝x －z 过A 时，－z 最大，即z 最小，则z 的最小值为2－1＝1.答案：A8．解析：∵x ＋m 2x≥2|m |，∴2|m |>4.∴m >2或m <－2. 答案：B9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2(0)， 若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾． ∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，故f (x )＝1f (－x ).∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0<f (x )<1，故选D.答案：D10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<x <53.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是__________．解析：式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，即kx 2＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2－4k <0，∴0<k <4；而k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立，故0≤k <4，选C.答案：C ？12．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．解析：求原函数定义域等价于解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x >0，解得2≤x <3或3<x <4.∴定义域为[2,3)∪(3,4)． 答案：[2,3)∪(3,4)13．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB .可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 214．已知函数f (x )＝x 2－2x ，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (y )≤0，f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )所形成区域的面积为__________．解析：化简原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2≤2，(x －y )(x ＋y －2)≥0， 所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积． 答案：π 15．(2010·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625≥0，即⎝⎛⎭⎫t ＋115⎝⎛⎭⎫t －65≥0.又∵t ＋115≥0，∴t ≥65，∴1＋x %≥65，∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．解：e a －c －eb －d ＝e (b －d )－e (a －c )(a －c )(b －d )＝(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )e .∵a >b >0，c <d <0，∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.又e <0，∴e a －c －e b －d >0.∴e a －c >eb －d.17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.解：(1)－x 2＋2x －23>0⇔x 2－2x ＋23<0⇔3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式解集为{x |1－33<x <1＋33}．(2)9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0. ∴x ∈R .∴不等式解集为R .18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1； 当－3<m <－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)x－m ]>0，得x >1或x <mm ＋3；当m <－3时，得1<x <mm ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m <－2时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，mm ＋3∪(1，＋∞)；当m <－3时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，mm ＋3.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．(2)作出直线l ：x ＋3y ＝0，将直线l 向上平移至l 1与y 轴的交点M 位置时，此时可行域内M 点与直线l 的距离最大，而直线x ＋y －3＝0与y 轴交于点M (0,3)．∴z max ＝0＋3×3＝9. 20．(13分)(2009·江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1200,1225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x <14)为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面长x ≥14. 试比较①②两种方案哪个更好．解：方案①：修旧墙费用为ax4(元)，拆旧墙造新墙费用为(14－x )a2(元)，其余新墙费用为(2x ＋2×126x－14)a (元)，则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x－1)(0<x <14)，∵x 4＋36x ≥2x 4·36x＝6， ∴当且仅当x 4＝36x即x ＝12时，y min ＝35a ，方案②：利用旧墙费用为14×a 4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x－14)a (元)，则总费用为y ＝7a 2＋(2x ＋252x －14)a ＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)，可以证明函数x ＋126x在[14，＋∞)上为增函数，∴当x ＝14时，y min ＝35.5a . ∴采用方案①更好些．。
高中数学必修5第三章《不等式》单元质量测评(含答案)
高中数学必修5第三章《不等式》单元质量测评（含答案）满分150分，考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a <0，－1<b <0，则( )A ．－a <ab <0B ．－a >ab >0C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 22．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤， {}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ）A. B A ⊆B. A B A ⋃=C. A B A ⋂=D. {}2A B ⋂= 3．区域113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩构成的几何图形的面积是（ ）A. 2B. 1C.14 D. 124．若集合20{|}6A x x x +=-<，230B x xx =≤⎧+⎫⎨⎬-⎩⎭，则A B I 等于（ ） A ．()3,3- B ．[)2,2-C ．()2,2-D ．[)2,3-5．不等式2103x x ->+的解集是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. ()4,+∞ C. ()(),34,-∞-⋃+∞ D. ()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭6．已知关于x 的不等式24x x m -≥对任意(]0,1x ∈恒成立，则有( )A. 3m ≤－B. 3m ≥－C. 30m ≤<－D. 4m ≥－7．若实数x,y 满足x 12104x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则z 2+x y =的最大值为（ ）A. 2B. 5C. 7D. 88．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值19．设满足约束条件y 01030x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z 3x y =-的最大值为( )A. 3B.C. 1D.10．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2 2D ．411．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运()A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年12．若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ）A.34-B. 32-C. 32+D. 34+ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 14．对任意实数x ，不等式2()(2)2240a x a x ---<-恒成立，则实数a 的取值范围是_______．15．已知x 、y 满足条件040328x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩，则25z x y =+的最大值为________．16.若不等式20x ax b --<的解集为{}23x x <<，则不等式2b 10x ax -->的解集为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．18. (本小题满分10分)求函数2710,(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 19．(本小题满分10分) 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,AB 求20ax x b ++<的解集.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16.(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分14分)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤． （1）求实数,a b 的值； （2）解关于x 的不等式： 0x cax b->-（为常数）参考答案 一．选择题二．填空题13．x ＜y 14. （-2,2] 15.19 16.11--23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭三、解答题17． 解：设一条直角边长为x cm(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x ) cm ，面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋10－x 22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x ，即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋10－x 2＝52＋52＝52(cm)．18. 解：27104(1)5,11x x y x x x ++==+++++当1x >-，即10x +>时，59y ≥=，当且仅当1x =时取等号.19．解：（1）解2-230x x -<得，-13x <<，所以(1,3)A =-.解260x x +-<得，-32x <<，所以(3,2)B =-,(1,2)A B ∴⋂=-.(2)由2+a 0x x b +<的解集是(1,2)-，所以1-a 0420b a b +=⎧⎨++=⎩，解得a -1-2b =⎧⎨=⎩所以2-+-20x x <，解得解集为R 。
人教A版高中数学必修5第三章不等式单元测试(有答案)
不等式单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．不等式x (x －2)>0的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B ．(－2,0) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)2．直线a >b >0，那么下列不等式成立的是( )A ．－a >－bB ．a ＋c <b ＋c C.1a >1bD ．(－a )2>(－b )23．y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3·1x 2＋x －2的定义域是( )A ．{x |x ≤1或x ≥3}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x ≤－2或x >3} 4．若x ，y ∈R, x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1 B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值15．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ＋y ≤1y ≥－1，，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12 C ．2 D ．－56．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b 7．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．58．不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1≥m 对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m <2C ．m ≤3D ．m <39．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－1211．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4912．若对满足条件3x ＋3y ＋8＝2xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[8，＋∞)C ．(－∞，10]D ．[10，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设常数a >0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，x ≥0，y ≥0，则w ＝4x ＋2y －16x －3的取值范围是________．15．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 为不相等的正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.18.(12分)解不等式0<x －12x ＋1<1，并求适合此不等式的所有整数解．19．(12分)(1)已知x >0，求f (x )＝2x＋2x 的最小值和取到最小值时对应x 的值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．20.(12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．21．(12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．22.(12分)某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).混合 烹调 包装 A 1 5 3 B24130 h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？答案与解析1．C 不等式x (x －2)>0， ∴x <0或x >2，故选C.2．D ∵a >b >0，∴a 2>b 2，(－a )2＝a 2，(－b )2＝b 2，∴D 成立．3．C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，1x 2＋x －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2＋x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－2，∴x >3或x <－2，故选C.4．B 由x 2＋y 2＝1, 0≤y 2＝1－x 2≤1, ∴(1＋xy )(1－xy )＝1－x 2y 2＝1－x 2(1－x 2)＝x 4－x 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122＋34.∵0≤x 2≤1, ∴当x 2＝12时有最小值34.当x 2＝0或1时有最大值1，故选B. 5．A 不等式组所表示的平面区域如图示．直线z ＝－2x ＋y 过B 点时z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得B (－1，－1)，∴z max ＝1.6．B ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.故b >a >c . 7．C 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥22×2＝4，当且仅当1a ＝1b且21ab＝2ab ，即a ＝b ＝1时，“＝”号成立，故选C.8．A ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴不等式可化为3x 2＋2x ＋2≥m (x 2＋x ＋1)，即(3－m )x 2＋(2－m )x ＋2－m ≥0对任意实数x 都成立，当m ＝3时，不等式化为－x －1≥0不恒成立．当m ≠3时，有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，2－m 2－4×3－m ×2－m ≤0，即m ≤2.综上，实数m 的取值范围是m ≤2，故选A. 9．D 作出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距． 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.10．C cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋c 222bc ＝b 2＋c 24bc ≥2bc 4bc ＝12，当且仅当b ＝c 时等号成立，故选C.11．C 作出可行域如图(阴影部分)．由题意知，圆心C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得A (6,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝1，得B (－2，1)，而目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与A (6,1)重合时，a 2＋b 2取到最大值37.12．C ∵xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴3x ＋3y ＋8＝2xy ≤x ＋y22，∴x ＋y22－3(x ＋y )－8≥0，解得x ＋y ≥8，∵(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，即a ≤x ＋y ＋16x ＋y， 又x ＋y ＋16x ＋y≥10.∴只需a ≤10，故选C. 13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：∵a >0，x >0，∴9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a .当且仅当9x ＝a 2x，即3x ＝a 时取等号，要使9x ＋a 2x≥a ＋1成立，只要6a ≥a ＋1，即a ≥15.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.14.[5,6]解析：w ＝4x ＋2y －16x －3＝4x －3＋2y －4x －3＝4＋2×y －2x －3，设k ＝y －2x －3.则k 的几何意义是区域内的点到定点D (3,2)的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图象得AD 的斜率最小，BD 的斜率最大，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B (1,0)，此时k AD ＝12－20－3＝12，此时w 最小为w ＝4＋2×12＝4＋1＝5，k BD ＝0－21－3＝1，此时w 最大为w ＝4＋2×1＝6， 故5≤w ≤6. 15．6解析：画出可行域如图所示，其中z ＝x ＋y 取得最小值时的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点．故可确定5＋1＝6条不同的直线．16．18解析：由2x ＋8y －xy ＝0得2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x≥18.当且仅当2x 2＝8y 2，即x ＝2y 时，等号成立．17．证明：证法一：∵a ，b ，c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝ 1bc＋1ca＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立． 证法二：∵a ，b ，c 为不等正数，且 abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立． 18．解：∵0<x －12x ＋1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －12<x ＋1，x －1≠0，∴0<x <3，且x ≠1.故不等式的解集为{x |0<x <3，且x ≠1}， ∴适合此不等式的所有整数解为x ＝2.19.解：(1)f (x )＝2x ＋2x ≥22x·2x ＝4，当且仅当2x＝2x ，即x ＝1时，等号成立，∴f (x )的最小值为4，此时对应的x 的值为1. (2)∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1－3x 22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，∴x ＝16时，等号成立，∴y ＝x (1－3x )的最大值为112.20．解：(1)由已知得f (1)＝－a 2＋6a ＋3>0. 即a 2－6a －3<0.解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式f (1)>0的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)∵f (x )>b ，∴3x 2－a (6－a )x ＋b －6<0，由题意知，－1,3是方程3x 2－a (6－a )x ＋b －6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a3＝2，b －63＝－3.∴⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.21.解：(1)由x >0, y >0, y ＝3n －nx >0， 得0<x <3.所以x ＝1或x ＝2，即D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l, l 与x ＝1, x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1, y 2, 则y 1＝2n, y 2＝n, ∴a n ＝3n (n ∈N ＋)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3nn ＋12，∴T n ＝n n ＋12n. 又T n ＋1T n ＝n ＋22n>1⇒n <2， ∴当n ≥3时， T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32， ＋∞. 22．解：设生产A x 箱，生产B y 箱，可获利润z 元，即求z ＝40x ＋50y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0， y ≥0下的最大值．解得z max ＝40×120＋50×300＝19 800.所以生产A 120箱，生产B 300箱时，可以获得最大利润19 800元．。
人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题(含答案)
人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题（含答案）不等式，用不等号将两个整式连结起来所成的式子。
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一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，那么a的取值范围是()A.a0或aB.0答案 B2.假定不等式ax2+bx-20的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.-2+-14=-ba-2-14=-2a，a=-4b=-9.a+b=-13.3.假设aR，且a2+a0，那么a，a2，-a，-a2的大小关系是()A.a2-a2B.-a-a2aC.-aa-a2D.a2a-a2答案 B解析∵a2+a0，a(a+1)0，-1a2a.4.不等式1x12的解集是()A.(-，2)B.(2，+)C.(0,2)D.(-，0)(2，+)答案 D解析 1x1x-122-x2x0x-22xx0或x2.5.设变量x，y满足约束条件x+y3，x-y-1，y1，那么目的函数z=4x+2y的最大值为()A.12B.10C.8D.2答案 B解析画出可行域如图中阴影局部所示，目的函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大. 解方程组x+y=3，y=1得A(2,1)，zmax=10.6.a、b、c满足cA.abB.c(b-a)C.ab2cb2D.ac(a-c)0答案 C解析∵c0，c0.而b与0的大小不确定，在选项C中，假定b=0，那么ab2cb2不成立.7.集合M={x|x2-3x-280}，N={x|x2-x-60}，那么MN为()A.{x|-4-2或3B.{x|-4C.{x|x-2或x3}D.{x|x-2或x3}答案 A解析∵M={x|x2-3x-280}={x|-47}，N={x|x2-x-60}={x|x-2或x3}，MN={x|-4-2或38.在R上定义运算：xy=x(1-y)，假定不等式(x-a)(x+a)1对恣意实数x成立，那么()A.-1答案 C解析 (x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)-x2+x+(a2-a-1)0恒成立=1+4(a2-a-1)-129.在以下各函数中，最小值等于2的函数是()A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析选项A中，x0时，y2，x0时，y选项B中，cos x1，故最小值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-22ex4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适宜.10.假定x，y满足约束条件x+y-12x-y2，目的函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值，那么a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析作出可行域如下图，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知-12，即-411.假定x，yR+，且2x+8y-xy=0，那么x+y的最小值为()A.12B.14C.16D.18答案 D解析由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x0，y0，x-80，失掉y=2xx-8，那么=x+y=x+2xx-8=x+2x-16+16x-8=(x-8)+16x-8+102x-816x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取=.12.假定实数x，y满足x-y+10，x0，那么yx-1的取值范围是()A.(-1,1)B.(-，-1)(1，+)C.(-，-1)D.[1，+)答案 B解析可行域如图阴影，yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-11或yx-1-1.二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)13.假定A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，那么A、B的大小关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-300的解集是___________________________________________________ _____________________.答案 {x|-56}15.假设ab，给出以下不等式：①1a②a3③a2④2ac2⑤ab⑥a2+b2+1ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.答案②⑥解析①假定a0，b0，那么1a1b，故①不成立;②∵y=x3在xR上单调递增，且ab.a3b3，故②成立;③取a=0，b=-1，知③不成立;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成立;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]0，a2+b2+1ab+a+b，故⑥成立.16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速中转B 市，两地铁路途长400千米，为了平安，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需求________小时.答案 8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，那么t=400+16v202v=400v+16v4002 400v16v400=8(小时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成立，此时t=8小时.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(12分)假定不等式(1-a)x2-4x+60的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a(2)b为何值时，ax2+bx+30的解集为R.解 (1)由题意知1-a0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根，1-a041-a=-261-a=-3，解得a=3.不等式2x2+(2-a)x-a0即为2x2-x-30，解得x-1或x32.所求不等式的解集为x|x-1或x32.(2)ax2+bx+30，即为3x2+bx+30，假定此不等式解集为R，那么b2-430，-66.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a20.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0，即x+a7x-a80.①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为③当-a7a8，即a0时，a8综上知，当a0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为当a0时，原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式：a，b，cR，a4+b4+c4abc(a+b+c). 证明∵a4+b42a2b2，b4+c42b2c2，c4+a42c2a2，2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c，b2c2+c2a22abc2，c2a2+a2b22a2bc.2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4abc(a+b+c).20.(12分)某投资人计划投资甲、乙两个项目，依据预测，甲、乙项目能够的最大盈利率区分为100%和50%，能够的最大盈余率区分为30%和10%，投资人方案投资金额不超越10万元，要求确保能够的资金盈余不超越1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才干使能够的盈利最大? 解设投资人区分用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y10，0.3x+0.1y1.8，x0，y0.目的函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图，阴影局部(含边界)即可行域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=14+0.56=7(万元).∵70，当x=4，y=6时，z取得最大值.答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才干在确保盈余不超越1.8万元的前提下，使能够的盈利最大.21.(12分)设aR，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.由于x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，且0所以f00，f10，f20a2-a-20，7-a+13+a2-a-20，28-2a+13+a2-a-20a2-a-20，a2-2a-80，a2-3aa-1或a2，-23-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购置每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，贮存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，假定每批购入4台，那么该月需用去运费和保管费共52元，如今全月只要48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰外地布置每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由.解 (1)设题中比例系数为k，假定每批购入x台，那么共需分36x批，每批价值20x.由题意f(x)=36x4+k20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0f(x)2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.小编为大家提供的高二必修5数学第三章不等式章末训练题，大家细心阅读了吗？最后祝同窗们学习提高。
人教A版高中数学必修五本章练测：第三章不等式(含答案详解).docx
第三章不等式（数学人教实验A版必修5）7.已知函数f（x）=1,1,0,x xx x-+<0,⎧⎨-≥⎩则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A.{x|-1≤x-1}B.{x|x≤1}C.{x|x-1}D.{x|1≤x-1}8. 设，且a b （a、b、），则M的取值范围是（）A.，18B. ［，1）C.［，）D.［8，+∞）9.对于满足等式x2+（y-1）2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A.（-∞，0］B.+∞）C.-1，+∞）D.［1，+∞）10.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一11. 一个直角三角形的周长为2p，则其斜边长的最小值为（）A.B.C.D.12.某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报. A.250 B.400C.300D.350二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.不等式2242x x+-≤12的解集为.14.函数y=1xa-（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则1m+1n 的最小值为.15.若不等式x22a x a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t1＜a t22t3的解集为 .16.设x，y，z∈R，则最大值是 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共74分）告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告版面的高与宽的尺寸（单位:cm ）能使矩形广告的面积最小? 18.（12分）不等式（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（12分）某人上午7时乘摩托艇以匀速 v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)从B 港向距 300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h.若所需的经费p =100+3(5-y )+2(8-x )元，那么v ，w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.20.（12分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立.（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设b n=1()f n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞43(3)nn+.21.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？22.（14分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第三章不等式（数学人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．18.19.20.21.22.第三章 不等式（数学人教实验A 版必修5）参考答案一、选择题1.D 解析：∵ y 2x 是增函数，而0＜b ＜a ＜1，∴ 1＜2b ＜2a ＜2.2.D 解析：∵ t-s =a+2b-a-b 2-1=-（b-1）2≤0，∴ t ≤s .3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又B ，C 两点的坐标分别为（0，4），(0，43)， 故S △ABC =12 (4-43)×1=43. 第3题答图 4.B 解析：特殊值法.令a =7，b =3，c =1，满足a ＞b ＞c ＞0，∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 5. A 解析：不等式组可化为 xy ＞0，x y ＞0，或 xy ＜0，x y ＜0，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示， ∴ 不等式组（x y ）（x y ）＞0，0 x2表示的平面区域为三角形. 第5题答图6.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错，再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B.7.C 解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或，所以1,1,11x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈≤≤⎪⎩⎩R 或x ＜-1或-1≤x-1 x-1，故选C. 8. D 解析：M≥9.C 解析：令x = cos θ，y =1+ sin θ，则-（x+y ）=- sinθ-cos θ-1=sin (θ+π4)-1.∴ -（x+y ）max-1.∵ x+y+c ≥0恒成立，故c ≥-（x+y ）max-1，故选C.10.A 解析：因为a+b =cd =4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a =b =c =d =2时，等号成立.故选A.11.A 解析：设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长为c ， 则根据题意得c （sin θ+cos θ+1）=2p ， ∴ c =2sin cos 1p θθ++∵ π，当θ=π时，等号成立，∴ c，当此三角形为等腰直角三角形时，等号成立. ∴ 斜边c.故选A. 12. B 解析：若设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份晚报，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x -250)份，每份亏损0.15元，建立月利润函数f (x )，再求f (x )的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份晚报，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得 y ＝0.10(20x ＋10×250)-0.15×10(x -250)＝0.5x ＋625，x ∈［250，400］.∵ 函数y =0.5x +625在［250，400］上单调递增，∴ 当x ＝400时，y ＝825. 即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.13.{x |-3≤x ≤1} 解析：依题意x 2+2x-4≤-1 （x+3）（x-1）≤0 x ∈［-3，1］. 14.4 解析：由题意知A （1，1），∴ m+n-1=0，∴ m+n =1，∴1m +1n =(1m +1n )（m+n ）=2+n m +mn≥2+=4. 15.（-2，2） 解析：由x 2-2ax +a ＞0对x ∈R 恒成立得Δ 4a 24a ＜0，即0＜a ＜1， ∴ 函数y ax是R 上的减函数，∴ 2t 1＞t22t3，解得-2＜t ＜2.16.222 解析： x22y 2z222221 22xy z 2x 22y 2z21122xy z 2.17.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.①广告版面的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S =（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b ≥18 500+=18 500+当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =58a ，代入①式得a =120，从而b =75，即当a =120，b =75时，S 取得最小值24 500.故广告版面的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 18.解：若m 2-2m-3=0，则m =-1或m =3.当m =-1时，不合题意；当m =3时，符合题意.若m 2-2m-3≠0，设f （x ）=（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1，则由题意，得22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎨=[-(-3)]+4(--)<⎩ 解得-15<m <3.综合以上讨论，得-15<m ≤3.19.解：依题意得 4 50x 20，30 300y 100， 9 x y 14，x ＞0，y ＞0，考察z =2x +3y 的最大值，作出可行域，平移直线2x +3y =0， 当直线经过点(4，10)时，z 取得最大值38.故当v =12.5，w =30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元. 20.（1）解：∵ 242()2+≤≤x x f x 对一切实数都成立，∴ 4≤f （2）≤4，∴ f （2）=4.（2）解：设f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0）.∵ f （-2）=0，f （2）=4，∴424,1,42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩ ∵ ax 2+bx+c ≥2x ，即ax 2-x+2-4a ≥0，∴ Δ=1-4a （2-4a ）≤0⇒（4a-1）2≤0，∴ a =14，c =2-4a =1，故f （x ）=24x +x+1. （3）证明：∵ b n =1()f n =24(2)n +＞4(2)(3)n n ++=4(12n +-13n +)， ∴ S n =b 1+b 2+…+b n ＞4[(13-14)+(14-15)+…+(12n +-13n +)] =4×13-13n +=43(3)n +. 21.解：设投资人分别用x ，y 万元投资甲，乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z =x+0.5y . 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线l 0:x+0.5y =0，并作平行于直线l 0的一组直线x+0.5y =z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线x+y =10与直线0.3x+0.1y =1.8的交点. 第21题答图解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，z =4+0.5×6=7（万元）.∴ 当x =4，y =6时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.22.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2（a+2b）≤80-（m2）.当且仅当a=2b，即a=12，b=6时，S max=32.答：矩形温室的边长为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.。
必修五第三章《不等式》单元水平检测题及答案
必修五第三章《不等式》单元水平检测题一、选择题。
(60分)1．设a<b<0，则下列不等式中不能成立的是（ ）A ．1a >1bB ．１a-b ＞1aC ．a bD ．22b a >2．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。
A. 10 B. 10- C. 14 D. 14-3、一元二次不等式02>++n mx mx 的解集是{}12|<<-x x ，则m ，n 的值分别是（ ）A 、3,23=-=n mB 、3,23==n mC 、3,23-==n mD 、3,23-=-=n m 4、不等式0322>-+x x 的解集是（ ）A.{x|-1＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜-1}C.{x|-3＜x ＜1}D.{x|x>1或x ＜-3}-5、若对于任何实数，二次函数y=a x 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足（ ）A 、a ＞0且a c ≤41 B 、a ＜0且a c ＜41 C 、a ＜0且a c ＞41 D 、a ＜0且a c ＜0 6、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．28B ．16C ．439 D ．121 7、不等式6)23)(5(-≥-+x x 的解集是（ ）A 、}29,1|{≥-≤x x x 或B 、}291|{≤≤-x xC 、}1,29|{≥-≤x x x 或D 、}129|{≤≤-x x 8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值 1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值2而无最小值9、不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D ．{}2|<x x 【10、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－111、、对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 取值范围是( )A 、()2,∞-B 、(]2,∞-C 、（－2,2）D 、(]2,2-12、的取植范围是的两侧，则）在直线，）和（，点（a a y x 0236413=+--（ ） A ．24,7>-<a a 或 B. 24,7=-=a a 或 C. 247<<-a D. 724<<-a 二填空题。
高中数学单元综合测试卷 第三章 不等式 (人教A版必修5)
第三章不等式单元综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．不等式x2≥2x的解集是()A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}解析：原不等式化为x2－2x≥0，则x≤0或x≥2.答案：D2．若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.1a<1bB．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|解析：根据不等式的性质，知C正确；若a>0>b，则1a>1b，A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确，所以选C.答案：C3．若a，b，c是不全相等的正数．给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与b<a及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：D4．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是() A．(－3,4) B．(－3，－4)C．(0，－3) D．(－3,2)解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋5>0.答案：A5．已知m，n∈R＋，且m＋n＝2，则mn有()A ．最大值1B ．最大值2C ．最小值1D ．最小值2 解析：∵m ，n ∈R ＋，∴mn ≤(m ＋n 2)2＝1.答案：A6．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B7．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2，其中正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由于1a <1b <0，则b <a <0，则③不正确；又a ＋b <0<ab ，则①正确；b 2－a 2＝(b ＋a )(b－a )>0，所以b 2>a 2，则|b |>|a |，所以②不正确；b a >0，a b >0，且b a ≠a b ，则b a ＋ab>2，所以④正确．答案：C8．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2B.32 C ．1＋223D ．3＋2 2解析：1x ＋1y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝13(2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝232＋1，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号． 答案：C9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是( )A ．0B ．1 C. 3D ．9解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，A (0,1)，B (－12，12)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：B10．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a －b 等于( )A ．10B ．14C ．－4D ．－10解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－16，∴b ＝－2，∴a －b ＝－10.答案：D11．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼D ．4楼解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n ，即n ＝22≈3时，n ＋8n取得最小值．答案：C12．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，12)D ．(－∞，1)解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <11－sin θ.∵θ∈[0，π2)，∴11－sin θ≥1，∴m <1.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．不等式x －x 2>0的解集是________． 解析：原不等式等价于x 2－x <0，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：图1如下图1中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB . 可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42， 所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 215．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．那么这种汽车使用________年时，它的平均费用最少．解析：设使用x 年平均费用最少，由年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车年维修费构成首项为0.2万元，公差为0.2万元的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x2x 万元，设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2xx ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x 10≥1＋210x ·x 10＝3.当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．答案：1016．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：设y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2·2x ＝(2x －1)2－1.由于1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，由二次函数性质，知当2x＝2，即x ＝1时y 有最小值0，所以原不等式在区间[1,2]上恒成立，只要a ≤0.答案：(－∞，0]三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知a >0，试比较a 与1a的大小．解：a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a.因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a. 综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.18．(本小题12分)已知a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c 解：方法1：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立． 方法2：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立．19．(本小题12分)已知实数x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，求(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围．解：因为x ，a 1，a 2，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a 1＋a 2. 因为x ，b 1，b 2，y 成等比数列，所以xy ＝b 1b 2，且xy ≠0. 所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2.当x 、y 同号时，x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≥2xyxy ＋2＝4；当x 、y 异号时，x 2＋y 2≥2|xy |，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≤2|xy |xy＋2＝0.故(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．20．(本小题12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解：由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，所以A ＝{x |x <－4或x >2}；由6＋x －x 2>0，即x 2－x －6<0，得－2<x <3，所以B ＝{x |－2<x <3}．于是A ∩B ＝{x |2<x <3}．由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0，当a >0时，C ＝{x |a <x <3a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0即为x 2<0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a <0时，C ＝{x |3a <x <a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．21．(本小题12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：图2设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域，如右图2所示的阴影部分．目标函数z ＝2x ＋3y 即直线y ＝－23x ＋z 3，其斜率为－23，在y 轴上的截距为z3，且随z 变化的一族平行线．由图知，当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)，此时z min =2×5＋3×5＝25(m 2)，即两种金属板各取5张时，用料面积最省．图322．(本小题12分)如图3所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：设AN 的长为x 米(x >2)，由|DN ||AN |＝|DC ||AM ||AM |＝3x x －2，∴S 矩形AMPN =|AN |·|AM |＝3x 2x －2.(1)由S 矩形AMPN >32，得3x 2x －2>32，又x >2，则3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <83或x >8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋∞)．(2)y ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12 ≥23(x －2)×12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2，即x ＝4时，取等号，∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。
人教版高中数学必修5不等式练习题及答案
第三章 不等式一、选择题1．假设a ＝2，b ＝log π3，c ＝log πsin 52π，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则以下不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．21ab＜b a 21 D ．a b ＜ba3．假设对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1B ．｜a ｜≤1C ．｜a ｜＜1D ．a ≥14．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，＋∞)5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11-x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )．A B C D7．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧yx y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧5－－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )．A ．[21，34] B ．[34，2] C ．[21，2] D ．[21，＋∞) ≥0 ≤1≥1 ≥0≥1 ≤1 (第6题)9．已知a ，b ∈R ，则使｜a ｜＋｜b ｜≥1成立的一个充分不必要条件是( )． A ．｜a ＋b ｜＜1 B ．a ≤1，且b ≤1 C ．a ＜1，且b ＜1D ．a 2＋b 2≥110．假设lg x ＋lg y ＝2，则x1＋y 1的最小值为( )． A ．201B ．51 C ．21 D ．2二、填空题11．以下四个不等式：①a ＜0＜b ，②b ＜a ＜0，③b ＜0＜a ，④0＜b ＜a ，其中使a 1＜b1成立的充分条件是 ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧-11 则不等式xf (x )＋x ≤4的解集是____________．13．假设不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对任意正整数n 恒成立， 则a 的取值范围是 ．14．关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＜0(a ＞0)的解集为__________________． 15．假设不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是 ．三、解答题16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2194)(x －，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f (x )的最小值．(x ＞0)，(x ＜0)．17．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假设m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．第三章不等式参考答案一、选择题 1．A解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．因为π＞1，0＜sin52π＜1，所以c ＝log π sin 52π＜0． 又因为3＞1，所以b ＝log π3＞0，而a ＝2＞0，故c 最小，只需再比较a 与b 的大小． 由指数函数的性质知，2＞1而且0＜log π 3＜log π π＝1，所以a ＞b ，即a ＞b ＞c ． 2．C解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法． ∵a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，当a ＜b ，且a ，b 均为负数时，(a ＋b )( a －b )＞0，a 2 ＞b 2，排除A ． ∵ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，由于b －a ＞0，当a ，b 同号时(比方a ＝1，b ＝2)，ab (b －a )＞0，ab 2＞a 2b ，排除B ．∵21ab －b a 21＝22－b a b a ＜0，即21ab ＜b a 21． 同样可以用作差法判断a b ＜ba是错误的． 3．B解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法． 令f (x )＝｜x ｜，g (x )＝ax ，画出图象如右图， 由图可以看出｜a ｜≤1． 4．D解析：用数轴标根法求解． x 3－x ≥0可化为 x (x －1)(x ＋1)≥0，如图，原不等式的解集为{x ｜－1≤x ≤0，或x ≥1}． 5．C解析：关键是利用单调性去掉“f ”，转化为不含“f ”的不等式求解．(第3题)(第4题)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (11-x )＞f (1)⇔11-x ＜1⇔12--x x ＞0⇔x ＜1或x ＞2． 6．B解析：首先根据方程ax 2－x －c ＝0的根确定a ，c ，再求出f (－x )． 由已知，方程ax 2－x －c ＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝a 1，(－2)×1＝ac -，解得a ＝－1，c ＝－2，则f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －21)2＋49，由开口方向和对称轴位置判断为B ．7．D解：先画可行域如图．作直线l 0:5x ＋y ＝0，平行移动直线l 0至直线l ，从图形中可以发现，当直线l 经过平面区域内的点A 时，直线在y 轴的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧1＝＋1＝2＋y x y x ，解得⎩⎨⎧0＝1＝y x ，即A (1，0)， ∴z ＝5×1＋0＝5．(第7题)8．C解析：k 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧1＝2＝0＝3－＋0＝5－－3y x y x y x 得A (2，1)， k OA ＝－20－1＝21； 由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧2＝1＝0＝3－＋0＝1＋－y x y x y x 得B (1，2)， k OB ＝0－10－2＝2．∴21≤k ≤2，即k ∈[21，2]．9．D分析:如果①：某选项能推出|a |＋|b |≥1，则充分性成立；还需要②：|a |＋|b |≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．解：假设a 2＋b 2≥1，则(|a |＋|b |)2＝a 2＋2|ab |＋b 2≥a 2＋b 2≥1，|a |＋|b |≥1，充分性成立．但|a |＋|b |≥1时，未必有a 2＋b 2≥1，例如21＋21＝1，然而221⎪⎭⎫ ⎝⎛＋221⎪⎭⎫⎝⎛＜1．10．B解：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100，且x ＞0，y ＞0， ∴x 1＋y 1≥2y x 11⋅＝xy2，即x 1＋y 1≥51， 当且仅当⎩⎨⎧100＝＝xy yx x ＝10，y ＝10时取等号．二、填空题 11．①②④． 解：a ＜0＜b ⇒a 1＜0＜b1，充分性成立； b ＜a ＜0⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒aba b －＜0，即a 1＜b 1，充分性成立；b ＜0＜a ⇒b 1＜0，a1＞0⇒a 1＞b 1，充分性不成立； (第8题)0＜b ＜a ⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒a 1＜b1，充分性成立． 12．{x ｜0＜x ≤2，或x ＜0}．解析：由于f (x )是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x ＞0，x ＜0条件下)解不等式．由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔0＜x ≤2， 由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔x ＜0， ∴0＜x ≤2或x ＜0． 13．［－2，23)． 解析：首先处理(－1)n ，需要对n 的奇偶性进行讨论． 假设n 为奇数，原不等式⇔－a ＜2＋n 1⇔ a ＞－(2＋n 1)，即a ＞－(2＋n1)对任意正奇数n 恒成立，因为－(2＋n 1)＝－2－n1＜－2，所以只需a ≥－2． 假设n 为偶数，原不等式⇔a ＜2－n 1，即a ＜2－n1对任意正偶数n 恒成立， 只需a ＜(2－n 1)最小值＝2－21＝23，即a ＜23． 所以假设对任意正整数n 不等式恒成立，以上应同时满足， 故－2≤a ＜23． 14．{x ｜1＜x ＜a ＋a1}． 解析：首先判断方程x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＝0(a ＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a 1＜0可化为(x －1)[x －(a ＋a1)]＜0， ∵a ＞0，a ＋a 1≥2＞1，∴1＜x ＜a ＋a1． 15．{x ｜－1＜a ＜3}．解析：把问题等价转化为“恒成立”问题． x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集， ⇔ x 2－2x ＋3＞a 2－2a －1在R 上恒成立，x ＞0 xf (x )＋x ≤4 x ＞0x ·1＋x ≤4 x ＜0 xf (x )＋x ≤4 x ＜0x ·(－1)＋x ≤4⇔ x 2－2x －a 2＋2a ＋4＞0在R 上恒成立．因为抛物线y ＝x 2－2x －a 2＋2a ＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即x 2－2x ＋3＜0⇔－1＜a ＜3． 三、解答题16．解析：f (x )＝(x －1)2＋2194)(x －－1≥294－1＝31． 当x －1＝2194)(x －时，即x ＝1±36时，f (x )取到最小值31． 17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．解：设从出发地到指定地点的路程是s ，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2，则s n t m t ＝2＋211，2＝2＋2t n s m s ，所以t 1＝n m s ＋2，t 2＝mnsn m 2＋)(． t 1－t 2＝mns n m n m s 2＋－＋2)(=)(］)([n m mn s n m mn ＋2＋－42)()(n m mn s n m ＋2－＝－2， 因为s ，m ，n 均为正数且m ≠n ，所以t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2， 所以甲比乙先到达指定地点．18＊．解：(1)当a ＝4时，(ax －5)(x 2－a )＜0⇔(x －45)(x －2)(x ＋2)＜0，由数轴标根法得x ＜－2，或45＜x ＜2． 故M ＝{x ｜x ＜－2，或45＜x ＜2}． (2)3∈M ，且5∈M⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧⇔))(())((25－1－9－35－a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⇔1≤a ＜35，或9＜a ≤25．故实数a 的取值范围是{x ｜1≤a ＜35，或9＜a ≤25}． (3a －5)(9－a )＜0(5a －5)(25－a )≥0 ≤0 a ＜35，或a ＞9 1≤a ≤25＞0 (第18题)。
2021年高中数学 第三章 不等式单元测试(含解析)新人教版必修5
2021年高中数学第三章不等式单元测试（含解析）新人教版必修5一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式（x+3）2<1的解集是（）A.{x|x>-2}B.{x|x<-4}C.{x|-4<x<-2}D.{x|-4≤x≤-2}2.已知t=a+2b，s=a+b2+1，则t和s的大小关系正确的是（）A.t>sB.t≥sC.t<sD.t≤s3.不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（）A. ＞＞B. ＞＞C. ＞＞D. ＞＞5.已知不等式（x+y）()≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.满足不等式y2-x2≥0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（）7.已知函数f（x）=则不等式x+（x+1）· f（x+1）≤1的解集是（）A.{x|-1≤x≤-1}B.{x|x≤1}C.{x|x≤-1}D.{x|--1≤x≤-1}8.设M=(-1)(-1)(-1)，且a+b+c=1（a、b、c∈R+），则M的取值范围是（）A.[0，]B.[ ，1）C.［1，8）D.［8，+∞）9.对于满足等式x2+（y-1）2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A.（-∞，0］B.［，+∞）C.［-1，+∞）D.［1-，+∞）10.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A.ab≤c+d且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B.ab≥c+d且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C.ab≤c+d且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在题中横线上）11.不等式≤的解集为 .12.函数y=（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn ＞0）上，则 +的最小值为 .13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域内到直线y ＝2x －4的距离最远的点的坐标为________． 14．(xx·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．15．设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．三、解答题16.（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位:cm ）能使矩形广告的面积最小?17.（12分）不等式（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.18.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？19.（12分）已知二次函数f （x ）满足f （-2）=0，且2x ≤f （x ）≤对一切实数x 都成立.（1）求f （2）的值；（2）求f （x ）的解析式（3）设b n =，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n＞.20.（13分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．（备选题）：22．（本题14分）已知函数=是区间上的增函数．（1）求的取值集合D；（2）是否存在实数，使得对且恒成立；（3）讨论关于x的方程的根的个数．第三章不等式（数学人教实验A版必修5）答案一、选择题1.C 解析：原不等式可化为x2+6x+8<0，解得-4<x<-2.2.D 解析：∵ t-s=a+2b-a-b2-1=-（b-1）2≤0，∴ t≤s.3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1），又B，C两点的坐标分别为（0，4），(0，)，故S△ABC= (4-)×1=.4.B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a ＞b ＞c ＞0，∴ ＞＞.5.B 解析：不等式（x+y ）()≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1+a+≥a+2+1≥9，∴ ≥2或≤-4（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.6.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错；再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B.7.C 解析：依题意得所以x ＜-1或-1≤x ≤-1错误！未找到引用源。
高二数学必修五单元测试03不等式(A卷)(解析版).doc
班级_________ 姓名_____________ 学号____________ 分数 ___________ 《必修五单元测试三不等式》测试卷（A卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在不等式x + 2y-1>0表示的平面区域内的点是（）A. （1,-1）B. （0,1）C. （1,0）D. （-2,0）【答案】B【解析】试题分析：・・・1+2><（_1）_1〈0；0+2><1_1血1 + 2><0-1 = 0；-2 + 2><0-1<0,二可知点（0丄）在不等式x+2y-l >0表示的平面区域內.故B正确.2.已知集合A = [xeN\x2-5x + 4<0], B = {x\x2-4 = o],下列结论成立的是（）A. Be A B_. A\J B = A C. Ar\B = A D. AcB = {2}【答案】D【解析】由已知得A = {123,4}, B = {-2,2},则AcB = {2},故选D.x>l3.区域｛y>\构成的儿何图形的面积是（）x+y<3A. 2B. 1C. 一D.-4 2【答案】D【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形对知区域三角形的面积是S=-xlxl=l,应选答案D.2 24.[2018届河南省中原名校高三上学期第一次质】若a<b<0,则下列不等关系屮，不能成立的是1 ] ] ] 1 1A. ->-B. -------------------- >-C. a3 <b3D. a2 > b2a b a~b a【答案】B【解析]Va<b<0,.\a<a - b<0由y =丄在（一a,0）上单调递减知：一-— < 丄x a~b a因此B不成立.故选：B.5.不等式乞二L>0的解集是（）x + 3A. _,+8B. （4,+00）、2（J 、C. （-00, -3）U（4, +oo）D. （-00,-3）u —,+oo【答案】D【解析】分式不等式可转换为二次不等式：（2兀一1）（兀+3）>0,（\ \据此可得不等式的解集为：（-00,-3）u -,+a）>本题选择D选项.6.已知关于兀的不等式x2-4x>m对任意XG（O,1]恒成立，则有（）A. m <一3B. m >—3C. —3 < m < 0D. m > ~4【答案】A【解析1 vx2-4x> w对任意xe[O3l]恒成立，令/（x）=x2-4x s xe[0a l], v f（x）的对称轴为x = 2 ,二/ （x）在[0 J]单调递减，二当* 1时取到最小值为-3 ,:.实数w的取值范围是w<-3,故选A.X>1x + y<47.【2018届四川省南充市高三零诊】若实数俎y满足lx-2y-lS0 ,贝ljz = 2x + y的最大值为（）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】作出可行域：学@科网rf]Z = 2x +儿可得：y=- 2x + z,平行移动丿=-2兀+ z,由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大, 即z最大；易得A（3, 1）,带入目标惭数z = 2咒+儿得：z = 2x3 + l = 7,即z = 2兀+ y的最大值为7故选：C.8.已知/（兀）=0?+加，且满足：15/（1）53,-1</（-1）<1,则/（2）的取值范围是（）A. [0,12] B. [2,10] C. [0,10] D. [2,12]【答案】B【解析】・・・/（兀）=血2+加且15/（1）53, -1</（-1）<1, ：.\<a + b<3, -\<a-b<\,JV+V =4 x— 3/（2）= 4a + 2b,令4d + " = x（Q+b） + y（a—b）,可得｛7-,解得｛—,即x-y=2 y=l4a + 2/? = 3（Q+b）+（o—b）, ・・・353（d+b）59, 253（a+b）+（d—b）510,则/（2）的取值范围是[2,10],故选B.F — r — 69.不等式一<0的解集为（）兀—1A. {兀|兀（一2或»1}B. {兀| 兀<一2或vxv3}C. {兀|-2v兀〈1或x〉3}D. {%|-2VJVV1或lcxv3}【答案】B【解析】不等式即：（〒）（节2）<0（-1）转化为高次不等式：（x-3）（x+2）（x-l）<0利用数轴穿根法解得x < —2或1 v尢v 3 ,本题选择B选项.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决.10.若a，bER且必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）11 2 b a9 9.—— +「> ~严= —d—二2A. a + b > 2ab g a + b > Q a b ^Jab D. Q b'【答案】D【解析】对于选项A,当a = b时不成立；对于选项巧当a<0.b<0或a = b > 0时不成立；对于选项C, 当aV0,b<0时不成立：对于选项D,因为ab>0,所以;>0^>0,由基本不等式有恒成立, 故选D.y>0尤-y + 1 二011.[2018届广东省茂名市五大联盟学校高三9月】设绘y满足约束条件U + y-3<0,贝ijz = x-3y的最大值为（）A. 3B. -5C. 1D. -1【答案】Ax - y +1 > 0 y = _x —z —z画出不等•式组k + 表示的区域如图，则问题转化为求动直线 3 B 在y 上的截距B 的最小值 1 1的问题，结合图形可知：当动直线一孑经过点P （3,0）^, z nlax = 3-3x0 = 3,应选答案A .12. [2018届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线ax + by-2 = Q （d>0』>0）始终平分圆第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填•在答题纸上）13.【2018届江苏省泰州屮学高三上学期开学】已知点PU ，y ）满足<-XI y>>-+ y Xy z ~~ _贝I 」X 的最大值为 __________【解析】画出满足条件的半面区域，如图示：由z【答案】D【解析】x 2+y 2-2x-2y = 2 的周长,则眾的最小值为（3-2^2 43-2^2 ~2-D.【解析】直线平分圆周，则直线过圆心（1」），所以有G + b = 2,-!- +丄二丄(d + b) — 2ci b 2、)"(1 1)• -I 2G b )b = y[2a 时取“二”），故选 D.y咒表示过平面区域的点Qy）与（°，°）的直线的斜率,显然直线过力仃，3)时，z取得最大值，x故答案为：3.14. [2018届河南省中原名校高三上学期第一次联考】某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有. _________ 种.【答案】7.(6x + 7y < 50% > 3沖2【解析】根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有I ,32y <——当x=3时，7 ,可取的值.为2、3、4；26y < —当x=4时，7,可取的值为2、3；20y <——当x=5时，一7,可取的值为2；14y <——当X二6时，7,可取的值为2；共7种不同的选购方式；故答案为：7.15.若不等式x2-ax-b< 0的解集为何2VXV3},则不等式bx2-ax-l>0的解集为_____________________【答案】【解析】.••不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3})・・・2,3是一元二次方程x2-ax-b = 0的两个实数根,2 +3 = a[2 x 3 =- b ,解得。
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人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)5、不等式0322>-+x x 的解集是 （ ）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是 （ ）A ⎩⎨⎧>∆>00a B ⎩⎨⎧<∆>00a C ⎩⎨⎧>∆<00a D ⎩⎨⎧<∆<0a2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 8.已知集合A ＝{x |x 2-x-2<0}，B ＝{x ｜-1<x <1}，则（ ）A. A B ⊆B.B AC. A = BD. A ∩B ＝∅8、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1B 21C 22D 41 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 10. 设U =R ，M ={x |x 2-2x ＞0}，则 C U M =（ ）A.[0，2]B.RC.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）12、在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15、不等式255122x x -+>的解集是 .三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0; (3) 0322322≤--+-x x x x18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．19、当1>x 时,求11222-+-=x x x y 的最小值. （12分）20、已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，求32a b -的取值范围。
（13分）必修5第三章《不等式》单元测试题命题：水果湖高中 胡显义1．解析：原不等式化为x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0<b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2>(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A4．解析：x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－1>0⇔－3x ＋2>0⇔x ＋2<0⇔x <－2.答案：A5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0， 所以M ≥N . 答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC . 答案：A7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＝0.得A (2,1)．由图知，当直线y ＝x －z 过A 时，－z 最大，即z 最小，则z 的最小值为2－1＝1.答案：A8．解析：∵x ＋m 2x≥2|m |，∴2|m |>4.∴m >2或m <－2. 答案：B9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2(0)， 若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾． ∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，故f (x )＝1f (－x ).∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0<f (x )<1，故选D. 答案：D10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<x <53.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是__________．解析：式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，即kx 2＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2－4k <0，∴0<k <4；而k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立，故0≤k <4，选C.答案：C ？12．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．解析：求原函数定义域等价于解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x >0，解得2≤x <3或3<x <4.∴定义域为[2,3)∪(3,4)． 答案：[2,3)∪(3,4)13．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB .可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 214．已知函数f (x )＝x 2－2x ，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (y )≤0，f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )所形成区域的面积为__________．解析：化简原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2≤2，(x －y )(x ＋y －2)≥0， 所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积． 答案：π 15．(2010·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625≥0，即⎝⎛⎭⎫t ＋115⎝⎛⎭⎫t －65≥0.又∵t ＋115≥0，∴t ≥65，∴1＋x %≥65，∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．解：e a －c －eb －d ＝e (b －d )－e (a －c )(a －c )(b －d )＝(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )e .∵a >b >0，c <d <0，∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.又e <0，∴e a －c －e b －d >0.∴e a －c >eb －d.17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.解：(1)－x 2＋2x －23>0⇔x 2－2x ＋23<0⇔3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式解集为{x |1－33<x <1＋33}．(2)9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0. ∴x ∈R .∴不等式解集为R .18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1； 当－3<m <－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)x－m ]>0，得x >1或x <mm ＋3；当m <－3时，得1<x <mm ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m <－2时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，mm ＋3∪(1，＋∞)；当m <－3时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，mm ＋3.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．(2)作出直线l ：x ＋3y ＝0，将直线l 向上平移至l 1与y 轴的交点M 位置时，此时可行域内M 点与直线l 的距离最大，而直线x ＋y －3＝0与y 轴交于点M (0,3)．∴z max ＝0＋3×3＝9. 20．(13分)(2009·江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1200,1225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x <14)为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面长x ≥14. 试比较①②两种方案哪个更好．解：方案①：修旧墙费用为ax4(元)，拆旧墙造新墙费用为(14－x )a2(元)，其余新墙费用为(2x ＋2×126x－14)a (元)，则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x－1)(0<x <14)，∵x 4＋36x ≥2x 4·36x＝6， ∴当且仅当x 4＝36x即x ＝12时，y min ＝35a ，方案②：利用旧墙费用为14×a 4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x －14)a (元)，则总费用为y ＝7a 2＋(2x ＋252x －14)a ＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)，可以证明函数x ＋126x在[14，＋∞)上为增函数，∴当x ＝14时，y min ＝35.5a . ∴采用方案①更好些．。