数学：8.3《等腰梯形》教案(鲁教版八年级下)

8.3 等腰梯形

等腰梯形是一种特殊的梯形，它具有下列性质：

1．两底平行，两腰相等；

2．同一底上的来两个底角相等；

3．两条对角线相等.

利用等腰梯形的性质可以解决一些有关的计算题或证明题.现举几例,共大家学习参考.

一、 计算题

例1 如图1,等腰梯形ABCD 中,AB //CD ,DC =AD =BC ,且对角线垂直于腰BC ,求这个梯形的各个内角的度数.

解:∵AB //CD ,DC =AD =BC ,

∴∠1=∠2,∠1=∠3,∠DAB =∠B ,

∴∠1=∠2=∠3,

∴∠B =∠DAB =∠2+∠3=2∠2,

又∵AC ⊥BC ,

∴∠2+∠B =90°,

∴3∠2=90°,∠2=30°, 图1

∴∠B =60°,

∴∠DAB =∠B =60°,∠ADC =∠BCD =120°.

说明:本题主要运用了等腰梯形同一底上的两个角相等,两底平行等性质.

例2如图2，等腰梯形ABCD 的上底和下底的长分别是3cm 和5cm ，一个角为45°，求这个梯形的面积。

解:作AE ⊥BC ,E 为垂足,

∵B =45°,∴∠BAE =45°,

∴BE =AE ,

∵BE =2

1(5-3)=1, ∴AE =1, ∴梯形的面积为

21(5+3)×1=4(cm 2). 说明:求梯形的面积,知道两底,需要求到梯形的高,本题主要利用等腰梯形同一底上的两底角 图2

相等这个特性.

二、证明题

例3如图3，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，BE⊥CD于点E，CF⊥AB于点F.求证:BE=CF.

证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴∠ABC=∠DCB,

∵BE⊥CD,CF⊥AB,

∴∠BFC=∠CEB=90°,

又BC=CB,

∴△BFC≌△CEB,

∴BE=CF.

说明:本题利用了等腰梯形同一底边的上图3

的两底角相等这一性质.

例4 如图4,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别是E、F、G.

求证:PE+PF=BG.

证明:

过点P作PH⊥BG于点H,则∠PHG=90°,

∵∠PFG=90°,∠HGF=90°,

∴四边形PFGH是矩形,

∴PF=HG,PH//CG,

∵AD//BC,AB=DC,

∴∠EBP=∠C=∠HPB,

∵BP=PB,∠BEP=∠PHB=90°, 图4

∴△BEP≌△PHB,∴PE=BH,

∴PE+PF=BH+HG=BG.

说明:本题通过作辅助线,将等腰梯形问题转化为矩形和三角形全等问题解决.