线性代数23向量间的线性关系-2线性相关与无关
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例 证明如果向量组 , , 线性无关, 则 +,
+ , + 也线性无关.
证设 则 (k1
k1( ) k2( k3 ) (k1 k2 )
) (k2
k3
(
k3
)
)
0
0
∵, , 线性无关
k1 k3 0
k1
k2
0
(*)
k2 k3 0
101 10 1
D 1 1 0 0 1 1 =2≠0 方程组(*)只有零解
k1 k2 ... kn 0
时(*((*****)))式 才成立
(***)
kn 0
0 0 0 ... 1
10
所以1,2,…,n 线性无关.
a11 a12
a1n 1,2 , ...,n 线性相关
1
a21
am1
2
a22
am2
...
n
a2n
amn
存使在k1不1 全 k为202 的 ..数. kk1n,..n.,k0rn
例如: 1 (1,5) 2 (2, 1) 3 (3,1) 线性相关
1
0
2
7
0
6
1
2 0
1
2
2 3
0
3
0 1
1
4
9 1
1
5
0 1
1
6
1 1
4
线性相关
5个3维向量线性相关 2个1维向量,3个2维向量,4个3维向量线性相关.
n+1个n维向量线性相关.
1,2,…,n 线性相关 r(1,2 … n )<n
当m < n 时
a11 a12 ... a1n
r(1,2 …,n )
秩
a21
a22
...
a2n
m
n
1,2,…,n 线性相关
am1 am2 ... amn m n
n是向量组所含向量的个数；m是其中每个向量的维数.
推论 当向量组中所含向量的个数 大于向量的维数时, 此向量组一定线性相关.
0
1
1
2
解 ( 1 2
1 3 )= 3 0 1
2 1
4 5
1 0
1 1 0
2 3
2 7 1
4 7
1 0
20 42 1 1
Baidu Nhomakorabea
1
01
0 2
0
3
只作行变换
只作行变换
r(1,2 ,3 ) 2 3
1,2,3 线性相关
3 2 1 2 3 21 2 21－ 2+ 3 =0
amn
秩(1,2,…,n )<n
1,2,…,n 线性无关
a11 a12 ... a1n
秩
a21
a22
...
a2n
n
am1 am2 ... amn
1 2 ... n
秩(1,2,…,n )= n
行的情形:
对于n 维行向量组 1,2,…,m 线性相关 1,2,…,m 线性无关
1 (a11,a12,...,a1n )
011 0 1 1
k1 k2 k3 0 ∴ +, + ,+ 线性无关.
课堂练习 设
1 1 0 0 ... 0 2 1 1 0 ... 0
3 1 1 1 ... 0
n 1 1 1 ... 1
证设
k11 k22 ... knn 0
(*)
即
k1
1
0
0
0M
k2
1
1
0
0M
k3
1
1
1
0M
...
kn
1 1 1 1M
0 0 0 (**) 0
证明1 ,2 , ...,n k1 k2 k3 ... kn 0 1 1 1 ... 1
线性无关. 只有当
k2 k3 ... kn 0 0 1 1 ... 1 k3 ... kn 0 D 0 0 1 ... 1
例 判断向量组 1 (1, 2, 1,5) 2 (2, 1,1,1)
3 (4, 3, 1, 11)是否线性相关.
1 2 4 1 2 4 1 2
1T
,
T 2
,
T 3
2 51
1 1 1
3 1 11
0
0
0
5
3
9
359
0 0 0
1 1 1
1T
T 2
T 3
r
1T
,
T 2
,3T
23
2 (a21,a22,...,a2n )
m (am1,am2,...,amn )
1 a11 a12 ... a1n
秩
2
m
秩aa2m11
a22
am2
...
...
a2n m
amn
1
秩
2
m
M
m
例
1
1 3
2
2 1
4
3 5
判断向量组1 2 3 的线 性相关性
... ...
a1n a2n
an2
r
r
...
0
ann
nn
a21 a22 ... a2n 0
an1 an2 ... ann
1 2 ... n
n个n维向量1,2,…,n线性相关
1 2 ... n 0
推论
n个n
维向量
1
a11 a21
a12
a1n
2
a22
...
n
a2n
1T
,
T 2
,3T
线性相关
4 1 1
1
0 0
0
1 0
2
1
0
1
0
0
0
1T
T 2
T 3
只作行变换
∴1 2 3 线性相关 Q 3 21 2
3 21 2
21 2 3 0
a11 a12
a1n
1
a21
2
a22
...
n
a2n
am1
am2
amn
当向量组所含向量的个数 = 其中每个向量的维数时
a11
a12
a1n
1
a21
2
a22
... n
a2n
an1
an2
ann
1,2,…,n 线性相关 r(1,2 …n )<n
a11 a12 ... a1n
(12
…,n)
a11 a21
an1
a12 a22
齐次线性方程组(*)有非零解. 秩 (1,2,…,n )<n
秩
a21
a22
...
a2n
n
am1 am2 ... amn
线性相关与无关的一些判别方法：
对于m维列向量 组
1,2,…,n 线性相关
a11
a12
a1n
1
a21
2
a22
... n
a2n
am1
am2
an1
线性相关的充分必要条件是
a11
a1a2 n2
...
a1n ann
a21 a22 ... a2n 0
MM
M
an1 an2 ... ann
n个n 维向量 1 (a11,a12,...,a1n )线性相关的充分必要条件是
是n个m 维向量
存在不全为0的数
k1, ..., kn 使
aa1211kk11
a12k2 a22k2
... a1nkn ... a2nkn
0 0
am1k1
am 2 k2
...
amnkn
0
k1存(*aaa)在Mm12111 不k全2 a为aamM1222a20111的...数a122kkn1.,..aaa.....mM12.nnn,ak1nnn使000
+ , + 也线性无关.
证设 则 (k1
k1( ) k2( k3 ) (k1 k2 )
) (k2
k3
(
k3
)
)
0
0
∵, , 线性无关
k1 k3 0
k1
k2
0
(*)
k2 k3 0
101 10 1
D 1 1 0 0 1 1 =2≠0 方程组(*)只有零解
k1 k2 ... kn 0
时(*((*****)))式 才成立
(***)
kn 0
0 0 0 ... 1
10
所以1,2,…,n 线性无关.
a11 a12
a1n 1,2 , ...,n 线性相关
1
a21
am1
2
a22
am2
...
n
a2n
amn
存使在k1不1 全 k为202 的 ..数. kk1n,..n.,k0rn
例如: 1 (1,5) 2 (2, 1) 3 (3,1) 线性相关
1
0
2
7
0
6
1
2 0
1
2
2 3
0
3
0 1
1
4
9 1
1
5
0 1
1
6
1 1
4
线性相关
5个3维向量线性相关 2个1维向量,3个2维向量,4个3维向量线性相关.
n+1个n维向量线性相关.
1,2,…,n 线性相关 r(1,2 … n )<n
当m < n 时
a11 a12 ... a1n
r(1,2 …,n )
秩
a21
a22
...
a2n
m
n
1,2,…,n 线性相关
am1 am2 ... amn m n
n是向量组所含向量的个数；m是其中每个向量的维数.
推论 当向量组中所含向量的个数 大于向量的维数时, 此向量组一定线性相关.
0
1
1
2
解 ( 1 2
1 3 )= 3 0 1
2 1
4 5
1 0
1 1 0
2 3
2 7 1
4 7
1 0
20 42 1 1
Baidu Nhomakorabea
1
01
0 2
0
3
只作行变换
只作行变换
r(1,2 ,3 ) 2 3
1,2,3 线性相关
3 2 1 2 3 21 2 21－ 2+ 3 =0
amn
秩(1,2,…,n )<n
1,2,…,n 线性无关
a11 a12 ... a1n
秩
a21
a22
...
a2n
n
am1 am2 ... amn
1 2 ... n
秩(1,2,…,n )= n
行的情形:
对于n 维行向量组 1,2,…,m 线性相关 1,2,…,m 线性无关
1 (a11,a12,...,a1n )
011 0 1 1
k1 k2 k3 0 ∴ +, + ,+ 线性无关.
课堂练习 设
1 1 0 0 ... 0 2 1 1 0 ... 0
3 1 1 1 ... 0
n 1 1 1 ... 1
证设
k11 k22 ... knn 0
(*)
即
k1
1
0
0
0M
k2
1
1
0
0M
k3
1
1
1
0M
...
kn
1 1 1 1M
0 0 0 (**) 0
证明1 ,2 , ...,n k1 k2 k3 ... kn 0 1 1 1 ... 1
线性无关. 只有当
k2 k3 ... kn 0 0 1 1 ... 1 k3 ... kn 0 D 0 0 1 ... 1
例 判断向量组 1 (1, 2, 1,5) 2 (2, 1,1,1)
3 (4, 3, 1, 11)是否线性相关.
1 2 4 1 2 4 1 2
1T
,
T 2
,
T 3
2 51
1 1 1
3 1 11
0
0
0
5
3
9
359
0 0 0
1 1 1
1T
T 2
T 3
r
1T
,
T 2
,3T
23
2 (a21,a22,...,a2n )
m (am1,am2,...,amn )
1 a11 a12 ... a1n
秩
2
m
秩aa2m11
a22
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...
...
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amn
1
秩
2
m
M
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例
1
1 3
2
2 1
4
3 5
判断向量组1 2 3 的线 性相关性
... ...
a1n a2n
an2
r
r
...
0
ann
nn
a21 a22 ... a2n 0
an1 an2 ... ann
1 2 ... n
n个n维向量1,2,…,n线性相关
1 2 ... n 0
推论
n个n
维向量
1
a11 a21
a12
a1n
2
a22
...
n
a2n
1T
,
T 2
,3T
线性相关
4 1 1
1
0 0
0
1 0
2
1
0
1
0
0
0
1T
T 2
T 3
只作行变换
∴1 2 3 线性相关 Q 3 21 2
3 21 2
21 2 3 0
a11 a12
a1n
1
a21
2
a22
...
n
a2n
am1
am2
amn
当向量组所含向量的个数 = 其中每个向量的维数时
a11
a12
a1n
1
a21
2
a22
... n
a2n
an1
an2
ann
1,2,…,n 线性相关 r(1,2 …n )<n
a11 a12 ... a1n
(12
…,n)
a11 a21
an1
a12 a22
齐次线性方程组(*)有非零解. 秩 (1,2,…,n )<n
秩
a21
a22
...
a2n
n
am1 am2 ... amn
线性相关与无关的一些判别方法：
对于m维列向量 组
1,2,…,n 线性相关
a11
a12
a1n
1
a21
2
a22
... n
a2n
am1
am2
an1
线性相关的充分必要条件是
a11
a1a2 n2
...
a1n ann
a21 a22 ... a2n 0
MM
M
an1 an2 ... ann
n个n 维向量 1 (a11,a12,...,a1n )线性相关的充分必要条件是
是n个m 维向量
存在不全为0的数
k1, ..., kn 使
aa1211kk11
a12k2 a22k2
... a1nkn ... a2nkn
0 0
am1k1
am 2 k2
...
amnkn
0
k1存(*aaa)在Mm12111 不k全2 a为aamM1222a20111的...数a122kkn1.,..aaa.....mM12.nnn,ak1nnn使000