线性代数23向量间的线性关系-2线性相关与无关
平面向量的线性相关性和线性无关性
平面向量的线性相关性和线性无关性平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面上的点和矢量之间的关系。
在研究平面向量时，我们经常遇到线性相关性和线性无关性的概念。
这两个概念在矢量空间理论中具有重要意义，本文将深入探讨平面向量的线性相关性和线性无关性。
一、线性相关性的定义及判断方法线性相关性是指若存在不全为零的系数，使得若干个向量的线性组合等于零向量，则这些向量被称为线性相关。
具体而言，给定平面上的n个向量A1，A2，...，An，若存在不全为零的系数k1，k2，...，kn，使得k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0，则这n个向量线性相关。
判断向量线性相关的方法可以通过解线性方程组或检查行列式来实现。
对于n个向量组成的矩阵M = (A1, A2, ..., An)，我们可以将其行向量作为线性方程组的系数矩阵，并将等式右侧设为零向量。
若线性方程组有非零解，则向量线性相关；若线性方程组只有零解，则向量线性无关。
二、线性无关性的定义及判断方法线性无关性是指若n个向量不满足线性相关性的条件，则这些向量被称为线性无关。
即如果k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0的唯一解是k1 = k2 = ... = kn = 0，则这n个向量线性无关。
要判断向量线性无关，可以使用以下方法：将n个向量组合成矩阵，并将该矩阵进行行简化（高斯消元）操作，得到行简化阶梯形矩阵。
如果行简化阶梯形矩阵的主元个数等于向量的个数n，则向量线性无关；如果主元个数小于n，则向量线性相关。
三、示例分析为了更好地理解线性相关性和线性无关性的概念，我们以具体示例进行分析。
假设平面上有三个向量A、B、C，其坐标表示为：A = (1, 2)B = (3, 4)C = (-2, -4)我们可以将这三个向量组合成矩阵M = (A, B, C)，然后进行行简化操作，得到行简化阶梯形矩阵。
若该阶梯形矩阵的主元个数等于3，则向量A、B、C线性无关；若主元个数小于3，则向量A、B、C线性相关。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数 线性相无关
2 ,3 ,4 线性无关, 设向量组1 , 2 , 3 线性相关， 问:(1) 1 能否由 2 , 3 线性表出? 证明你的结论； (2) 4 能否由1 , 2 , 3 线性表出? 证明你的结论.
解:(1)∵2 , 3 , 4 线性无关, ∴ 2 , 3 线性无关 而1 , 2 , 3 线性相关 ∴1 能由 2 , 3唯一线性表出 (2)设 4 11 22 33 由(1) 1 l22 l33 代入上式整理得
k11 k j 1 j 1 (1) j k j 1 j 1 kss O
推论:向量组1 , 2 , , s ( s 2) 线性无关 其中任一向量都不能由其余向量线性表示.
2014-12-20 第三章 向量与线性方程组 8
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定理6. 1 , , s 线性无关， , 1 , , s 线性相关 可由 1 , , s 唯一线性表示. 证① , 1 , , s线性相关 ∴存在不全为0的数k, ki ,使 k k11 ks s O 1 , , s 线性无关 ∴k≠0 (反证可得) ks k1 ( )1 ( ) s k kj ②设 k11 ks s l11 ls s , 则 (k1 l1 )1 (ks ls ) s O
1 , , s 线性无关 ∴ ki=li(i=1,2,…,s) 即 由 1 , , s 线性表示法唯一.
第三章 向量与线性方程组
2014-12-20
9
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例:任一n维向量 (a1 , a2 , 向量组 1 (1,0, ,0), 2 (0,1,
, an ) 可由Rn的基本单位
返回
定理3 若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性 相关， 则整个向量组线性相关. (记：部分相关 整体相关； 逆否命题：整体无关 部分无关) 注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未 必线性无关. 例(1,0), (0,1), (1,1). 定理4 若向量组线性无关，则每个向量在相同位 置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若 向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一 些分量后所得低维向量组线性相关. （记：短无关 长无关；长相关 短相关）
2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)
a 21 a 11 a s1 说明:对任意s 说明:对任意s个n 维向量 a 12 a 22 as2 α1 = α 2 = M ... α s = M M a a a 0α1 + 0α 2 + ... + 0α s = 2n 1n sn a 11 a 21 a s1 0 a a a 0 r 0 12 + 0 22 + ... + 0 s 2 = = 0 M M M M 0 a1 n a2n a sn
1 1 1 1 1 1 D= 1 2 3 = 0 1 2 ≠ 0
方程组(**)的系数行列式 方程组(**)的系数行列式
1 3 7
0 2 6
方程组(﹡﹡)只有零解,故只有当 k1 = k2 = k3 = 0 时 方程组(﹡﹡)只有零解, (*) 式才成立, (**)式才成立 所以α (**)式才成立, 所以α1 ,α2,α3 线性无关. 线性无关.
0 0 0 2 0 + 0 1 +0 0 = 0 0β 1 + 0β 2 + 0β 3 = 0 1 1 0 0 r
2 0 0 β1 = 0 β 2 = 1 β 3 = 0 0 1 1
向量的线性组合与线性相关性
向量的线性组合与线性相关性在线性代数中，向量的线性组合和线性相关性是两个重要的概念。
本文将通过对这两个概念的解释和实际应用来深入探讨它们的意义和特点，以及它们在解决实际问题中的应用。
一、线性组合的定义和意义1.1 定义向量的线性组合指的是将若干个向量按照一定的比例进行相加或相减所得到的向量。
若给定向量v1、v2、...、vn和对应的实数c1、c2、...、cn，则它们的线性组合为：c1v1 + c2v2 + ... + cnvn1.2 意义线性组合的概念在向量空间的理论中起着重要的作用。
它可以帮助我们描述向量之间的关系，以及在解决线性方程组、矩阵运算和几何空间中的变换等问题时的应用。
二、线性相关性的定义和判定2.1 定义向量的线性相关性是指存在不全为零的系数，使得线性组合等于零向量。
若给定向量v1、v2、...、vn和对应的实数c1、c2、...、cn，若存在不全为零的系数c1、c2、...、cn，使得：c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 02.2 判定针对线性相关性的判定，常使用向量间的线性关系和行列式的方法。
其中，若向量v1、v2、...、vn线性相关，意味着至少存在其中一向量可以表示为其它向量的线性组合；而若行列式的值为零，也可以说明这组向量线性相关。
三、线性组合与线性相关性的关系线性相关性是线性组合的一种特殊情况。
若一组向量线性无关，则它们不能相互表示为线性组合；而若一组向量线性相关，则至少存在一个向量能够表示为其它向量的线性组合。
四、线性组合与线性相关性的应用4.1 解决线性方程组线性组合的概念在解决线性方程组时起到重要作用。
通过线性组合，我们可以将一个复杂的线性方程组转化为矩阵运算，从而更加高效地求解未知数。
4.2 空间变换线性组合也广泛应用于空间变换的问题中。
例如，通过线性组合可以实现空间的旋转、投影、缩放等变换操作，从而方便地对空间中的对象进行处理和分析。
4.3 数据分析和机器学习线性组合和线性相关性在数据分析和机器学习领域也有广泛的应用。
线性空间
x2
xn
右端向量
b1
b
=
b2Leabharlann bm（四）n维向量的运算
1.两向量相等
设F 1×n中任意2向量 α = (a1, a2,, ak )
β
=
(b1,
b2
,,
bl
)
则
α = β ⇔ k = l 且 ai = bi
(i = 1,2, , k)
2.零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做0 ， 即 0 = (0,0,,0) 3.向量的.线性运算
增广矩阵
Aˆ
=
a21
a22
a2n
b2
=
β2
am1
am2
amn
bm
βm
其
β1 = (a11, a12 ,, a1n , b1)
中
β2
=
(a21
,
a22
,,
a2n
,
b2
)
第1个方程 第2个方程
βm = (am1, am2 ,, amn , bm )
第m个方程
未知向量
x1
x
=
（四）n维向量的运算
4.行向量、列向量、转置
a1
行向量
α
=
(a1,
a2
,,
an
)
列向量
β
=
a2
转置 αT = β βT = α
an
注意：行、列向量在代数上表示不同的向量，
在几何上表示同一个向量
5.向量内积
1) 定义：设有数域 F 中的n维向量 α = (a1, a2,, an )
与β = (b1,b2 ,,bn ) ，称
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
线性代数3-2
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
线代自考知识点总结
线代自考知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义与性质2. 向量的线性运算3. 向量的数量积与向量积4. 线性相关与线性无关5. 向量组的基和维数向量是线性代数中的基本概念，它是有大小和方向的量。
向量的定义可以通过其几何意义和代数表示两种方式来理解。
在几何意义上，向量可以表示为有向线段，具有模长和方向两个属性。
在代数表示上，向量可以表示为一组有序的实数或复数。
向量的线性运算包括向量的加法和数乘，满足交换律和结合律等性质。
向量的数量积是向量的点乘，其结果是一个实数，表示两个向量的夹角关系。
向量积是向量的叉乘，其结果是一个新的向量，表示两个向量的垂直关系。
线性相关与线性无关是向量组的重要概念，用于刻画向量组之间的线性关系。
向量组的基和维数是向量空间的重要性质，在一定条件下可以用来刻画向量空间的结构。
二、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和性质2. 矩阵的运算3. 行列式的定义和性质4. 行列式的性质和应用矩阵是一种重要的数学工具，它可以用来表示线性变换和线性方程组。
矩阵的定义是一个由数构成的矩形阵列，具有行数和列数两个维度。
矩阵的运算包括矩阵的加法、标量乘法和矩阵乘法等。
矩阵乘法是矩阵运算中的基本运算，具有结合律和分配律等性质。
行列式是一个重要的数学概念，它可以用来刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的定义是一个递归定义，它包含二阶和高阶行列式两种情况。
行列式的性质包括对换行列式、倍加行列式和倍减行列式等，这些性质在计算行列式时非常有用。
三、线性方程组1. 线性方程组的概念与解的存在唯一性2. 线性方程组的解的性质3. 线性方程组的解的结构线性方程组是线性代数中的一个重要内容，它可以用来描述多个未知数的线性关系。
线性方程组的解的存在唯一性是一个重要的判别条件，用来判断线性方程组是否有解以及解的唯一性。
线性方程组的解的性质包括解空间的性质、基础解系和特解等，这些性质在求解线性方程组时非常有用。
线性方程组的解的结构是一个重要的理论问题，它可以用来描述线性方程组解的多样性和规律性。
线性代数向量组的线性相关与线性无关.2021优选PPT
其中
a1i
i
a2i
(i 1, 2,
n ) 为方程组的系数列向量
ami
a11x1 a12x2 a1nxn b1
即
a21x1
a22x2
a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
a 11
1
a 21
am1
a 12
2
a 22
解 假设存在 x, y, z，使得
xyz0
即 ( x z ,x 2 y 3 z ,x 5 y 6 z ) T ( 0 ,0 ,0 ) T
由向量相等的定义得
1x 0 y 1z 0
1
x
2
y
3z
0
1 x 5 y 6 z 0
1 x 0 y 1 z 0 实际上象这样维数和
其中
a1i
i
a2i
(i 1, 2,
, n)
ami
则齐次线性方程组是否有非零解等价于向量方程
x 11 x 22 x n n 0 是否有非零解
而向量方程是否有非零解等价于向量组1,2, n
是否线性相关。 由此我们得到如下结论：
向量组 1,2, ,m线性相关的充分必要
条件是：齐次线性方程组有非零解。
例 4已 知 向 量 组 1 ,2 ,3线 性 无 关 ,112 , 223 ,331 ,试 证 1 ,2 ,3 线 性 无 关 .
证 设有x1，x2，x3使
x 11x 2 2x 3 30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
2 1
x1
11x2
1
1
x3
11x4
平面向量的线性相关与线性无关
平面向量的线性相关与线性无关在线性代数中，平面向量是一种常见的数学概念。
平面向量有两个重要的性质，即线性相关和线性无关。
本文将重点探讨这两个性质及其在平面向量中的应用。
一、线性相关和线性无关的定义1. 线性相关：若存在不全为零的常数c1、c2、……、cn，使得向量v1、v2、……、vn的线性组合c1v1+c2v2+……+cnvn等于零向量，则称向量组v1、v2、……、vn是线性相关的。
2. 线性无关：若向量组v1、v2、……、vn不是线性相关的，则称其为线性无关的。
二、线性相关与线性无关的判断1. 主要判断依据：利用线性方程组的系数矩阵进行判断。
2. 判断方法：a. 将向量组的系数排成一个矩阵A。
b. 对矩阵A进行行变换，化为阶梯型矩阵。
c. 判断矩阵A中是否有零行。
- 若存在零行，向量组线性相关。
- 若不存在零行，再判断主元列是否有重复元素。
- 若主元列有重复元素，向量组线性相关。
- 若主元列没有重复元素，向量组线性无关。
三、线性相关与线性无关的特点和应用1. 线性相关的特点：a. 向量组中至少存在一个向量可以表示成其他向量的线性组合。
b. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表出。
应用：线性相关的向量组可以用来表示一个向量在另一个向量张成的子空间中的投影。
2. 线性无关的特点：a. 向量组中的向量互相独立，无法用其他向量的线性组合表示。
b. 向量组中不存在冗余向量。
应用：线性无关的向量组可以用来表示一个向量在特定的子空间中的唯一分解。
四、1. 平面向量组的线性相关性判断：a. 对于二维平面向量，线性相关与线性无关的判断方法和前文中的方法相同。
b. 对于三维平面向量，线性相关与线性无关的判断方法需要更多的计算，可以使用克莱姆法则等方法。
2. 平面向量的线性相关与线性无关的应用：a. 平面向量的线性相关与线性无关的研究对于解析几何中的线与线、面与面的位置关系有重要意义。
b. 平面向量的线性相关与线性无关的研究还在电磁学和力学等领域中有着广泛的应用。
线性代数2.3向量间的线性关系-2(线性相关与无关)
设
所以α 线性无关. 所以α1,α2,…,αn 线性无关. ,
0 1 1 1 0 ... 0) k 1 0 +k 2 0 + k 3 1 +... + k n 1 = 0 (**) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 0 αn= (1 1 1 ... 1) k 证明 α1 , α 2 ,..., α n 1 + k2 + k3 + ... + kn = 0 1 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 线性无关. 线性无关. k2 + k3 + ... + kn= 0 ∴ k3 + ... + kn= 0 D = 0 0 1 ... 1 只有当 ⋮ ⋮ (***) ⋮ ⋮ ⋮ k1= k2= ... = kn= 0 0 0 0 ... 1 kn = 0 (**) (*) 时(***)式 才成立 (***)式 =1≠ 0
⋮ a β n = (an1 , an 2 , ..., ann ) 21
... a1n ... a2 n ⋮ ... ann =0
a n1
推论
n个 n
a11 线性无关 无关的充分必要条件是 线性无关的充分必要条件是 a21 ⋮ a n1
... 0) ... 0 )
证 设 k1α1 + k2α2 + ... + knαn = 0 (*) 1 1 1 0 即 1
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a2n α 1 = α 2 = ⋮ ... α n = ⋮ ⋮ a a m1 m2 a mn
向量的线性相关及其应用.doc
向量的线性相关及其应用:线性相关的内容是线性代数课程的重点和难点，线性相关的相关结论学生很难理解。
向量的相关性反映了数字域中的维度向量空间中的向量之间的关系。
本文总结了判断向量线性相关性和线性独立性的几种方法。
同时，给出了线性相关的一些应用。
关键词:线性相关；线性独立性；线性组合；最大不相关群；坐标变换；过渡矩阵1。
向量线性相关和线性组合的基本概念1。
向量线性相关是向量线性相关和线性独立性的统称。
它描述了数域f上的n 维向量空间中向量之间的关系。
两个向量之间最简单的关系是成比例的，即是否有数k，而多个向量之间的比例关系是线性组合。
所谓线性组合是指，如果在数域f中有数，那么这个向量就叫做向量组的线性组合，或者可以用向量组来线性表示。
特别地，零向量是任何向量集合的线性组合。
因此，线性相关性和线性独立性的定义:定义1: 对于一个维向量，如果有一组数不全是零，等于0，那么该向量组被称为线性相关；否则，向量组被认为是线性独立的。
也就是说，没有不全是零的数字，零被称为线性独立性。
定义2:对于向量组和向量，如果S的数目使得向量是向量组的线性组合。
2.关于线性相关的几个判断1？用定义来判断或证明。
这种方法证明思维直观，也是证明向量线性相关最常用的方法。
具体步骤是:(1)可以使0，这是一个常数；⑵展开并整理上述公式，求解相应的齐次线性方程；(3)如果不是全部为0，则原始向量组是线性相关的；如果都是0，则原始向量组是线性无关的2。
从逻辑解释来看，我们把线性相关性解释为“冗余”，把线性独立性解释为“无冗余”。
由于线性独立性等价于任何一个向量不能由其余向量线性表示，向量组的线性独立性被认为是一个“无冗余”的向量。
例如，“如果向量组中的一些组是线性相关的，则整个向量组也是线性相关的”，这被解释为如果向量组中的一些组具有冗余向量，则整个向量组也具有冗余向量。
“如果向量组是线性独立的，那么它的任何部分也是线性独立的”，这被解释为在向量组中没有冗余向量，那么在从向量组中移除一些向量之后就没有冗余向量。
线性代数向量间的线性关系
若向量组(1)与(2)可互相线性表示，则称向量组(1)与(2)等价
记作
{1,2, ,m} {1, 2, , n}
山东财经大学数学与数量经济学院
等价向量组具有的性质：
（1）反身性 即 {1,2 , ,m}{1,2, ,m}
（2）对称性 即 {1,2, ,m} {1, 2, , n}
（3）传递性
{1, 2, , n} {1,2, ,m}
山东财经大学数学与数量经济学院
例3.2.8 若向量组1,2, ,r线性相关,则向量组1,2, ,r , r1, ,s必线性相关.
证明： 因为 1,2 , ,r 线性相关， 则存在有不全为零的数 k1, k2 , , kr 使
k11 k22 krr o
从而存在一组不全为零的数 k1, k2 , , kr , 0, , 0, 使
(2)称为(1)的 向量表示形式
x11 x22 xnn (2)
山东财经大学数学与数量经济学院
1.线性组合
定义3.2.1 设 ,1,2, ,n是一组m维向量.如果存在数
k1, k2 , , kn , 使得
k11 k22 knn
称向量 是向量组1 , 2 ,
,
的线性组合，
n
或称可由向量组1,2 ,
解 设 =k11 k22 k33 , 即
(3, 2, 4) k1(1, 0, 1) k2(2, 1, 0) k3(1, 1, 2)
( k1 2k2 k3 , k2 k3 , k1 2k3 )
因此
k1 2k2 k3 3
k2 k3 2
k1 2k3 4
解方程组得
k1 k2
线性表出，并且表示法不惟一；
（3）方程组无解 不能够由向量组 j ( j 1, 2, , n)
高等代数第二版课件§3.3线性相关性
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
线性代数(3)向量
α i = k i 1 β 1 + k i 2 β 2 + L + k is β s
⇒组A可由组 线性表示 B .
β j = k j 1α 1 + k j 2α 2 + L + k jmα m
线性相关 ⇔
a12
a21 L an1 a22 L an2
M M M a1n a2n L ann a11 a12 a21 L an1 a22 L an2
=0
线性无关 ⇔
M M M a1n a2n L ann
≠0
由此可知基本单位向量 组是线性无关的.(Q I = 1)
例2
设向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关，试证向量组
b = k1α1 + k2α2 + L+ knαn
成立， 成立，称 b 可由 α 1 , α 2 , L , α n 线性表示
⇔ Ax = b有解 ⇔ r( Ab) = r( A)
二、线性相关与线性无 关
如果存在一组不全 为零的数 k 1 , k 2 , L , k n 使
k1α1 + k2α2 +L+ knαn = 0 (*)
α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1线性相关 .
α 成单，线性无关； 注： 1 ,α2 ,L,αn成单，线性无关；
成双，线性相关。 成双，线性相关。
例3.设 向 量 组 α 1 , α 2 , α 3线 性 无 关 ， 问 常 数
k1 , k 2满足什么条件时，向量 组 k1α 1 − α 2 , 满足什么条件时， k 2α 2 − α 3 , α 3 − α 1也线性无关 .
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。
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1T
,
T 2
,3T
线性相关
4 1 1
1
0 0
0
1 0
2
1
0
1
0
0
0
1T
T 2
T 3
只作行变换
∴1 2 3 线性相关 Q 3 21 2
3 21 2
21 2 3 0
a11 a12
a1n
1
a21
2
a22
...
n
a2n
am1
am2
amn
011 0 1 1
k1 k2 k3 0 ∴ +, + ,+ 线性无关.
课堂练习 设
1 1 0 0 ... 0 2 1 1 0 ... 0
3 1 1 1 ... 0
n 1 1 1 ... 1
证设
k11 k22 ... knn 0
(*)
即
k1
1
0
0
0M
k2
1
1
0
0M
例 判断向量组 1 (1, 2, 1,5) 2 (2, 1,1,1)
3 (4, 3, 1, 11)是否线性相关.
1 2 4 1 2 4 1 2
1T
,
T 2
,
T 3
2 51
1 1 1
3 1 11
0
0
0
5
3
9
359
0 0 0
1 1 1
1T
T 2
T 3
r
1T
,
T 2
,3T
23
0
1
1
2
解 ( 1 2
1 3 )= 3 0 1
2 1
4 5
1 0
1 1 0
2 3
2 7 1
4 7
1 0
20 42 1 1
1
01
0 2
0
3
只作行变换
只作行变换
r(1,2 ,3 ) 2 3
1,2,3 线性相关
3 2 1 2 3 21 2 21－ 2+ 3 =0
齐次线性方程组(*)有非零解. 秩 (1,2,…,n )<n
秩
a21
a22
...
a2n
n
am1 am2 ... amn
线性相关与无关的一些判别方法：
对于m维列向量 组
1,2,…,n 线性相关
a11
a12
a1n
1
a21
2
a22
... n
a2n
am1
am2
是n个m 维向量
存在不全为0的数
k1, ..., kn 使
aa1211kk11
a12k2 a22k2
... a1nkn ... a2nkn
0 0
am1k1
am 2 k2
...
amnkn
0
k1存(*aaa)在Mm12111 不k全2 a为aamM1222a20111的...数a122kkn1.,..aaa.....mM12.nnn,ak1nnn使000
1,2,…,n 线性相关 r(1,2 … n )<n
当m < n 时
a11 a12 ... a1n
r(1,2 …,n )
秩
a21
a22
...
a2n
m
n
1,2,…,n 线性相关
am1 am2 ... amn m n
n是向量组所含向量的个数；m是其中每个向量的维数.
推论 当向量组中所含向量的个数 大于向量的维数时, 此向量组一定线性相关.
... ...
a1n a2n
an2
r
r
...
0
ann
nn
a21 a22 ... a2n 0
a个n维向量1,2,…,n线性相关
1 2 ... n 0
推论
n个n
维向量
1
a11 a21
a12
a1n
2
a22
...
n
a2n
k3
1
1
1
0M
...
kn
1 1 1 1M
0 0 0 (**) 0
证明1 ,2 , ...,n k1 k2 k3 ... kn 0 1 1 1 ... 1
线性无关. 只有当
k2 k3 ... kn 0 0 1 1 ... 1 k3 ... kn 0 D 0 0 1 ... 1
an1
线性相关的充分必要条件是
a11
a1a2 n2
...
a1n ann
a21 a22 ... a2n 0
MM
M
an1 an2 ... ann
n个n 维向量 1 (a11,a12,...,a1n )线性相关的充分必要条件是
例 证明如果向量组 , , 线性无关, 则 +,
+ , + 也线性无关.
证设 则 (k1
k1( ) k2( k3 ) (k1 k2 )
) (k2
k3
(
k3
)
)
0
0
∵, , 线性无关
k1 k3 0
k1
k2
0
(*)
k2 k3 0
101 10 1
D 1 1 0 0 1 1 =2≠0 方程组(*)只有零解
k1 k2 ... kn 0
时(*((*****)))式 才成立
(***)
kn 0
0 0 0 ... 1
10
所以1,2,…,n 线性无关.
a11 a12
a1n 1,2 , ...,n 线性相关
1
a21
am1
2
a22
am2
...
n
a2n
amn
存使在k1不1 全 k为202 的 ..数. kk1n,..n.,k0rn
2 (a21,a22,...,a2n )
m (am1,am2,...,amn )
1 a11 a12 ... a1n
秩
2
m
秩aa2m11
a22
am2
...
...
a2n m
amn
1
秩
2
m
M
m
例
1
1 3
2
2 1
4
3 5
判断向量组1 2 3 的线 性相关性
例如: 1 (1,5) 2 (2, 1) 3 (3,1) 线性相关
1
0
2
7
0
6
1
2 0
1
2
2 3
0
3
0 1
1
4
9 1
1
5
0 1
1
6
1 1
4
线性相关
5个3维向量线性相关 2个1维向量,3个2维向量,4个3维向量线性相关.
n+1个n维向量线性相关.
amn
秩(1,2,…,n )<n
1,2,…,n 线性无关
a11 a12 ... a1n
秩
a21
a22
...
a2n
n
am1 am2 ... amn
1 2 ... n
秩(1,2,…,n )= n
行的情形:
对于n 维行向量组 1,2,…,m 线性相关 1,2,…,m 线性无关
1 (a11,a12,...,a1n )
当向量组所含向量的个数 = 其中每个向量的维数时
a11
a12
a1n
1
a21
2
a22
... n
a2n
an1
an2
ann
1,2,…,n 线性相关 r(1,2 …n )<n
a11 a12 ... a1n
(12
…,n)
a11 a21
an1
a12 a22