单输入单输出控制系统的分析

第3章 单输入单输出控制系统的分析

建立系统数学模型的主要目的是为了对系统性能进行分析与设计。对控制系统的分析有稳态性能和动态性能分析，如系统的稳定性，稳态误差，动态响应性能参数等。其分析方法主要有时域法和频域法两种。时域分析法是直接在时间域内计算系统的时间响应、分析系统的稳定性、能控和能观性、动态性能等，这种分析方法的结果比较直观。频域分析法是在系统受到频率为ω的正弦信号激励时，分析系统输出幅值和相位与输入激励之间的关系，进而得到系统的性能特性。

MATLAB 控制系统工具箱（Control System Toolbox ）对控制系统，尤其是对线性时不变（Linear Time Invariant,简称LTI ）系统的建模、分析和设计提供了一个完整的解决方案，也避免了繁杂的编程工作，是线性控制系统分析和设计的高效率的工具。

3.1单输入单输出（SISO ）控制系统的模型及其转换

在得到控制系统各个环节的MATLAB 表达之后，通常需要进行串联、并联、反馈连接等处理方式，将比较复杂的系统化成简单的系统，再进行分析和设计。在控制系统工具箱中提供了一些函数来支持系统的连接。

3.1.1环节的串联连接：

在控制系统中，几个环节按照信号传递的方向串联在一起，这几个环节可以等效地转换成一个环节。如图3.1.1所示。

图3.1.1(a)所示的串联框图可以等效成图3.1.1（b ），串联后总的传递函数为每个串联环节的传递函数的乘积:

G(s)=G 1(s) G 2(s)… G n (s)= ∏=n i 1G i (s) （3.1.1）

若所有的环节用MATLAB 的TF 传递函数模型和num ，den 多项式的形式来表达，即G1(s)：sys1；或num1，den1；G2(s)：sys2；或num2，den2；…，Gn(s)：sysn ；或numn ，denn 。 系统串联实现的格式:

sys=sys1*sys2*…*sysn

或： sys=series(sys1,sys2); sys=series(sys,sys3);…;sys=series(sys,sysn) 或： [num,den]=series(num1,den1,num2,den2);

[num,den]=series(num,den,num3,den3);…;

[num,den]=series(num,den,numn,denn)

例3.1.1 设有3个LTI 控制环节，其传递函数分别为：

sys1：()11

2+++s s s s ；sys2：()213

2++s s ；sys3：(6s+5)/(2s+3)

求sys1、sys2和sys3串联连接后的传递函数模型。

解：num1=[1,1];den1=conv([1,0],[1,1,1]);sys1=tf(num1,den1);

%sys1的MATLAB 表达

num2=[2,3];den2=conv([1,1],[1,1]);sys2=tf(num2,den2); %sys2的MATLAB 表达 num3=[6,5];den3=[2,3];sys3=tf(num3,den3); %sys3的MATLAB 表达 sys=sys1*sys2*sys3 %系统串联传递函数 运行结果为：Transfer function:

12 s^3 + 40 s^2 + 43 s + 15

-----------------------------------------------

2 s^6 + 9 s^5 + 17 s^4 + 18 s^

3 + 11 s^2 + 3 s

实际上，所得的sys 传递函数结果中，分子、分母的公共因子（s+1）和(2s+3)没有被约去。

3.1.2 环节的并联连接：

几个环节并联在一起时，同一个信号输入到各个环节，并转换成相同物理量的信号相加

成为输出信

号。如图3.1.2(a)所

示。图3.1.2(a)所示的并联环

节，可以等效

成图3.1.2(b)所示的环节。

并联后总的传

递函数等于各个环节传递函

数之和:

G(s)=G 1(s) +G 2(s)+… +G n (s) （3.1.2）

若所有的环节用MATLAB 的tf 传递函数模型和num ，den 多项式的形式来表达，即G1(s)：sys1，num1，den1；G2(s)：sys2，num2，den2；…，Gn(s)：sysn ，numn ，denn 。

系统并联实现的格式： sys=sys1+sys2+…+sysn

或:sys=parallel(sys1,sys2);sys=parallel(sys,sys3);…;sys=parallel(sys,sysn)

或：[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);

[num,den]=parallel(num,den,num3,den3);…;

[num,den]=parallel(num,den,numn,denn);sys=tf(num,den)

例3.1.2 有3个LTI 控制环节，其传递函数分别为：

sys1：()112+++s s s s ；sys2：()213

2++s s ；sys3=(s+1)/(2s+3)

求sys1、sys2和sys3并联连接后的传递函数模型。

解：num1=[1,1];den1=conv([1,0],[1,1,1]);sys1=tf(num1,den1);

num2=[2,3];den2=conv([1,1],[1,1]);sys2=tf(num2,den2);

num3=[1,1];den3=[2,3];sys3=tf(num3,den3);

sys=sys1+sys2+sys3 %系统并联传递函数