北京市西城区中考数学二模试卷

若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图 3，当点 E，F 分别在射线 DC，DA 上运动时，连接 DH，过点 D 作直
线 DH 的垂线，交直线 BF 于点 K，连接 CK，请直接写出线段 CK 长的最大值．
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29．（8 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G，给出如下定义：在图 形 G 上若存在两点 M，N，使△PMN 为正三角形，则称图形 G 为点 P 的 τ 型 线，点 P 为图形 G 的 τ 型点，△PMN 为图形 G 关于点 P 的 τ 型三角形．
且∠CDE=∠ACB．如果 AB=1，求 CD 边的长．
小明在解题过程中发现，图 1 中，△CDE 与△
相似，CD 的长度等
于
，线段 CD 与线段
的长度相等；
他进一步思考：如果∠ACB=α（α 是锐角），其他条件不变，那么 CD 的长度可以
表示为 CD=
；（用含 α 的式子表示）
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：
24．（5 分）1949 年以来，北京市人口结构变迁经历了 5 个阶段，从 2001 年至今
已进入第五个阶段﹣﹣人口膨胀增长阶段．以下是根据北京市统计局 1 月的
相关数据制作的统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）以下说法中，正确的是
（请填写所有正确说法的序号）
①从 2011 年至 2014 年，全市常住人口数在逐年下降；
a 的取值范围．
28．（7 分）正方形 ABCD 的边长为 3，点 E，F 分别在射线 DC，DA 上运动，且
DE=DF．连接 BF，作 EH⊥BF 所在直线于点 H，连接 CH．
（1）如图 1，若点 E 是 DC 的中点，CH 与 AB 之间的数量关系是
；
（2）如图 2，当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？
27．
； 28．CH=AB； 29．点 A；
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（1）如图 1，已知点
，B（3，0），以原点 O 为圆心的⊙O 的半径为
1．在 A，B 两点中，⊙O 的 τ 型点是
，画出并回答⊙O 关于该 τ 型点
的 τ 型三角形；（画出一个即可）
（2）如图 2，已知点 E（0，2），点 F（m，0）（其中 m＞0）．若线段 EF 为原点
O 的 τ 型线，且线段 EF 关于原点 O 的 τ 型三角形的面积为 ，求 m 的值；
线 OC2 与边 DA1 交于点 A3，以 DA3 为边在 DA3 的右侧作正方形 A3B3C3D，…，
按这种方式进行下去，则直线 OC1 对应的函数表达式为
，直线 OC3 对
应的函数表达式为
．
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三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17．（5 分）如图，△ABC 是等边三角形，D，E 两点分别在 AB，BC 的延长线上，
1＜x＜0 或 x＞1； 16．y= x；y= ；
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
17．
； 18．
； 19．
； 20．
； 21．
； 22．
；
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
23．
； 24．③④；1.3%； 25．
； 26．CAD； ；BC；
；
五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）
二次函数 y2=x2﹣2ax+4（其中 a＞2）． （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若 a= ，求当 y1＞0 且 y2≤0 时，自变量 x 的取值范围； ②如果满足 y1＞0 且 y2≤0 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出
在 Rt△OMN 中，∠MON=90°，OM＜ON，OQ⊥MN 于点 Q，直线 l 经过点 M，
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且 l∥ON．请在直线 l 上找出点 P 的位置，使得∠NPQ=∠ONM．请写出你的 画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕 迹，不要求证明）
五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 27．（7 分）已知一次函数 y1=kx+b（k≠0）的图象经过（2，0），（4，1）两点，
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户数（户） 20 30 30 20
那么 4 月份这 100 户家庭的节电量（单位：千瓦时）的平均数是（ ）
A．35
B．26
C．25
D．20
7．（3 分）若一个正六边形的半径为 2，则它的边心距等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．2
8．（3 分）如图，△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C，D 两点，且经过圆心 O，边 AB
接 AF 并延长交⊙O 于点 G，在 CD 的延长线上取一点 P，使 PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断 PG 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图 2，当 E 为半径 OA 的中点，DG∥AB，且
时，求 PG 的长．
26．（5 分）（1）小明遇到下面一道题：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BE⊥AC 于点 E，
与⊙O 相切，切点为 B．如果∠A=34°，那么∠C 等于（ ）
A．28°
B．33°
C．34°
D．56°
9．（3 分）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中，O 是原点，若点
A 的坐标为（1， ），则点 C 的坐标为（ ）
A．（ ，1） B．（﹣1， ） C．（﹣ ，1） D．（﹣ ，﹣1）
m 的值．
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四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 23．（5 分）如图，将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与点 A 重
合，点 D 的落点记为点 D′，折痕为 EF，连接 CF． （1）求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=6 ，求线段 D′F 的长．
．
12．（3 分）若一个凸 n 边形的内角和为 1080°，则边数 n=
．
13．（3 分）两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他
的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就
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会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来 验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔 20cm，光屏在距小孔 30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为 2cm，则光屏上火焰所成像的高度为 cm．
商品
时间 第一天
第二天
第三天
牙膏（盒）
7
14
？
牙刷（支）
13
15
12
营业额（元）
121
187
124
求第三天卖出牙膏多少盒．
22．（5 分）已知关于 x 的函数 y=mx2+（m﹣3）x﹣3．
（1）求证：无论 m 取何实数，此函数的图象与 x 轴总有公共点；
（2）当 m＞0 时，如果此函数的图象与 x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数
北京市西城区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
1．（3 分）羊年除夕夜的 10 点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”
峰值的摇动次数达到 8.1 亿次/分钟，送出微信红包 120 000 000 个．将 120 000
000 用科学记数法表示应为（ ）
A．0.12×109
②2010 年末全市常住人口数达到近年来的最高值；
③2014 年末全市常住人口比 2013 年末增加 36.8 万人；
④从 2011 年到 2014 年全市常住人口的年增长率连续递减．
（2）补全“2014 年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014 年末朝阳、丰台、
石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？
10．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（m，1）．如果以原点为
圆心，半径为 1 的⊙O 上存在点 N，使得∠OMN=45°，那么 m 的取值范围是
（）
A．﹣1≤m≤1 B．﹣1＜m＜1 C．0≤m≤1
D．0＜m＜1
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
11．（3百度文库分）若（m+2）2+ =0，则 m﹣n=
．理由是
．
16．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 D 为直线 y=2x 上且在第一象限
内的任意一点，DA1⊥x 轴于点 A1，以 DA1 为边在 DA1 的右侧作正方形 A1B1C1D；
直线 OC1 与边 DA1 交于点 A2，以 DA2 为边在 DA2 的右侧作正方形 A2B2C2D；直
BD=CE，连接 AE，CD．求证：∠E=∠D．
18．（5 分）计算：2cos30°+（ ）﹣1+|1﹣ |﹣（3﹣π）0．
19．（5 分）已知 x2﹣5x﹣4=0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的
值．
20．（5 分）解方程：
．
21．（5 分）列方程（组）解应用题： 某超市的部分商品账目记录显示内容如下：
A．x≠2
B．x≥2
C．x＞2
D．x≥﹣2
5．（3 分）如图，△ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，且 DE∥BC，如果
，
AC=6，那么 AE 的长为（ ）
A．3
B．4
C．9
D．12
6．（3 分）某居民小区开展节约用电活动，该小区 100 户家庭 4 月份的节电情况
如下表所示．
节电量（千瓦 20 30 40 50 时）
（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到底，
北京市要将全市常住人口数控制在 2180 万以内（即不超过 2180 万）．为实现
这一目标，的全市常住人口的年增长率应不超过
．（精确到 0.1%）
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25．（5 分）如图 1，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 F 在线段 ED 上．连
14．（3 分）请写出一个图象的对称轴是直线 x=1，且经过（0，1）点的二次函数
的表达式：
．
15．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=3x 与双曲线 y= （n≠0）
在第一象限的公共点是 P（1，m）．小明说：“从图象上可以看出，满足 3x＞
的 x 的取值范围是 x＞1．”你同意他的观点吗？答：
（3）若 H（0，﹣2）是抛物线 y=x2+n 的 τ 型点，直接写出 n 的取值范围．
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参考答案
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．C； 2．B； 3．D； 4．B； 5．B； 6．A； 7．C； 8．A； 9．C； 10．A； 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．﹣3； 12．8； 13．3； 14．y=x2﹣2x+1； 15．不正确；x 的取值范围是﹣
B．1.2×107
C．1.2×108
D．12×107
2．（3 分）如图，BD∥AC，AD 与 BC 交于点 E，如果∠BCA=50°，∠D=30°，那么
∠DEC 等于（ ）
A．75°
B．80°
C．100°
D．120°
3．（3 分）64 的立方根是（ ）
A．±8
B．±4
C．8
D．4
4．（3 分）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ）