上海市崇明区2018届高三第一次模拟考试数学试题有答案AlUMlU

2018 年上海市崇明县高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1．已知集合 A={1，2，5}，B={2，a}，若 A∪B={1，2，3，5}，则 a=
．
2．抛物线 y2=4x 的焦点坐标为
．
3．不等式 ＜0 的解是
．
4．若复数 z 满足 iz=1+i（i 为虚数单位），则 z=
．
5．在代数式（x﹣ ）7 的展开式中，一次项的系数是
．（用数字作答）
6．若函数 y=2sin（ωx﹣ ）+1（ω＞0）的最小正周期是 π，则 ω=
．
7．（5 分）若函数 f（x）=xa 的反函数的图象经过点（ ， ），则 a=
．
8．（5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27πcm3，则该几何体的
侧面积为
cm2．
9．（5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，当 x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且 f（2）=2，则 a=
．
10．（5 分）若无穷等比数列{an}的各项和为 Sn，首项 a1=1，公比为 a﹣ ，且
Sn=a，则 a=
．
11．（5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，
要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法．（用数字作答）
12．（5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E．若 • =6，| |=2，则 AC=
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分） 13．（5 分）展开式为 ad﹣bc 的行列式是（ ）
A． B． C． D． 14．（5 分）设 a，b∈R，若 a＞b，则（ ） A． ＜ B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b 15．（5 分）已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（5 分）直线 x=2 与双曲线 ﹣y2=1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若 =a +b
（a，b∈R，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 17．（14 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，A1C 与底面 ABCD 所成的角为 60°， （1）求四棱锥 A1﹣ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1B 与 B1D1 所成角的大小．
18．（14 分）已知 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x﹣1． （1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的值； （2）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 a= ，b= ，且 f（ ）= ，求边 c 的值． 19．（14 分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后 的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长 的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长 50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后 第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n）的表达式； （2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 20．（16 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： +y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是 F1，F2，直线 l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于 A，B 两点． （1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2 是直角三角形，求 a 的值； （2）若 k=1，且△OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系； （3）若 a=2，且 kOA•kOB=﹣ ，求证：△OAB 的面积为定值． 21．（18 分）若存在常数 k（k＞0），使得对定义域 D 内的任意 x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤ k|x1﹣x2|成 立，则称函数 f（x）在其定义域 D 上是“k﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数 f（x）= ，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数 k 的最小值； （2）判断函数 f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；

（3）若 y=f（x）（x∈R ）是周期为 2 的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x1，x2，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1．

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）
17．解：（1）∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，
∴AA1⊥平面 ABCD，AC=
=2 ，
∴∠A1CA 是 A1C 与底面 ABCD 所成的角， ∵A1C 与底面 ABCD 所成的角为 60°，
∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2 • =2 ， ∵S 正方形 ABCD=AB×BC=2×2=4， ∴四棱锥 A1﹣ABCD 的体积：
V=
=
=．
（2）∵BD∥B1D1， ∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成角（或所成角的补角）．
∵BD=
，A1D=A1B=
=2 ，
∴cos∠A1BD=
=
=．
∴∠A1BD=arccos ．
∴异面直线 A1B 与 B1D1 所成角是 arccos
．