八年级数学三角形中的辅助线

三角形中的辅助线

一、知识梳理

1、判定两个三角形全等的一般思路

判定两个三角形全等时如果给出的条件不全面，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

具体方法如下：

（1）已知一边及与其相邻的一个内角对应相等

判定两个三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS、ASA、AAS，所以可以从三个方面进行考虑：已知条件思路一思路二思路三

AB＝DE ∠B＝∠E 首先判定BC＝EF，然

后用“SAS”判定全等

首先判定∠A＝∠D，

然后用“ASA”判定

全等

首先判定∠C＝∠F，

然后用“AAS”判定

全等

（2）已知两边对应相等

判定两个三角形全等的公理中已知两边的有SAS、SSS，所以可以从两个方面考虑

已知条件思路一思路二

AB＝DE BC＝EF 首先判定AC＝DF，然

后用“SSS”判定全等

首先判定∠B＝∠E，然

后用“SAS”判定全等

（3）已知两角对应相等

判定两个三角形全等的公理中已知两角的有ASA、AAS，所以可以从两个方面考虑

已知条件思路一思路二

∠A＝∠D ∠B＝∠E 首先判定AB＝DE，然后

用“ASA”判定全等

首先判定AC＝DF或BC＝EF，

然后用“AAS”判定全等

（4）已知一边与其对角对应相等，与之相对应个公理只有AAS，可以考虑先判定这条边的某一邻角也对应相等，然后再判定这两个三角形全等。

2、证明边或角相等的一些常用的依据：

（1）等线段（角）的和或差相等；（2）全等三角形的对应边（角）相等；

（3）等角的余角或补角相等；（4）垂直定义；

（5）角平分线的性质；（6）平行线得同位角、内错角相等，同旁内角互补。

3、角平分线的性质：角平分线上一点到角两边距离相等。

方法：从角平分线上一点作角的两边的垂线，使得垂线段和顶点到两垂足的距离相等。借此，可在角的两边上实施截长补短或既截长又补短，达到“移多补少”的目的。

4、等腰三角形底边中线、高线与顶角平分线“三线合一”。因此在等腰三角形中常作底边的高线，进而得到底边的中线和顶角平分线，创造线段、角相等的条件。

5、直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。一般情况下，遇到30°角常用的添加辅助线的方法就是作垂线，构造直角三角形，解决线段的相关问题。

6、在三角形的问题中，120°角也是常见角，此时既可以作垂线，构造直角三角形；也可以利用120°的外角找到60°角经过添加线段，构造等边三角形。

二、专题精讲

例1：1、已知△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE。

2、锐角△ABC的两条高BD、CE交于点O，且OD＝OE。求证：AB＝AC。

3、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。（1）求OA＋OB的值；（2）若A在x轴正半轴，B在y轴负半轴，求OB－OA的值。

例2：1、如图，在四边形ABCD 中， AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，并且AE ＝

()1

2

AB AD ＋，求∠ABC ＋∠ADC 的度数。

2、如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 交于点O 。求证：AE ＋CD ＝AC 。

例3：1、已知，如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点E ，∠BDC ＝90°，求证：

CE ＝2BD 。

2、如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC。求证：EB⊥AB。

3、如图，∠BAD＝120°，BD＝DC，AB＋AD＝AC，求证：AC平分∠BAD。

4、如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°。求CD的长。

1、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，3），求点C的坐标。

2、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F。求证：BF＝2CF。

3、如图，在△ABC中，AB＝AC，EF为过点A的任一直线，CF⊥BC，BE⊥BC。求证：AE＝AF。

4、在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD与EF相交于点F，CF⊥BE。求AF：BF 的值。

5、如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C＝35°，且AB＋BH＝HC，求∠B的度数。

6、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝78°，∠BDC ＝24°，求∠DBC 的度数。

7、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且BE ＝CF ，求证：AD 是∠ABC 的角平分线。

8、如图，等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC 。点A 、B 分别在坐标轴上，且x 轴恰好平分∠BAC ，BC 交x 轴于点M ，过C 点作CD ⊥x 轴于点D 。 （1）若C 点的横坐标为2，求B 点的坐标； （2）求

AM

CD

的值。

9、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，过D作DF⊥AC于F，DM＝DN，证明：AM＋AN＝2AF。