高二下学期人教A版数学培优资料：函数与导数 之 零点问题

（2）若函数 f x 在 0, 2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围．
（方法提示：带参讨论；分离参数；函数结构构造；临界状态分析）
【解析】（1）函数
f
x
的定义域为 0,
，
f
x
xex 2ex x3
k
2 x2
1 x
x 2 ex kx
x3
．
当 k 0 时， ex kx 0 ，
所以当 0 x 2 时， f x 0 ，当 x 2 时， f x 0 ．
e
又 y k t 是斜率为 a ，过定点 A1, 2 的直线．
◇典例剖析◇
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函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
ae2x a 2ex x 0 at2 at 2t ln t 0
at 1 2 ln t
．
令
k
t
a
t
1
2
，
t
ln
t
，则
y
k
t
与
y
t
t
有两个交点．
t
因为
t
1
t
ln
2
t
，由
t
0
可得
0
t
e
，由
t
0
可得
t
e
，
所以 t 在 0,e 上递增，在 e, 上递减，且 e 1 ，当 x 时， t 0 ．
时取等号，
则称 f x 为 a,b 上的下凸函数．
2．上凸函数定义：
设函数 f x 为定义在区间 a,b 上的函数，若对 a,b 上任意两点 x1 ， x2 ，
总有
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2
，当且仅当
x1
x2
时取等号，
则称 f x 为 a,b 上的上凸函数．
◇ 知识链接 ◇ 函数的凹凸性
【解析】（2）法 4：当 y k t 与 y t 相切的时候，设切点 Pt0 , y0 ，则有
y0
y0
ln t0 t0
a t0
1
1 ln t0 a
t02
2
，消去
a
和
y0 ，可得
ln t0 t0
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1
ln t02
t0
即 2t0 1ln t0 t0
t0 1 2 ，
1 0 ，即 ln
（方法提示：带参讨论；分离参数；函数结构构造；临界状态分析）
【解析】（2）函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点 f x 0 在 0,2 内有两个不同的根． 法 1：问题 ex kx 0 在 0, 2 内有两个不同的根．设 h x ex kx ，则 h x ex k ．
当 k 1时， h x 0 ，所以 h x 在 0,2 上递增，所以 h x 在 0,2 内不存在两个不同的根．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
【解析】（1）∵ f x 2ae2x a 2ex 1 2ex 1 aex 1 ， 2ex 1 0 ．
①当 a 0 时， aex 1 0 ，所以 f x 0 ，所以 f x 在 R 上递减．
②当 a 0 时，由 f x 0 可得 x ln 1 ，由 f x 0 可得 x ln 1 ，
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3．下凸函数相关定理
设函数 f x 为区间 a,b 上的可导函数，
则 f x 为 a,b 上的下凸函数
f x 为 a,b 上的递增函数
f x 0 且不在 a,b 的任一子区间上恒为零．
函数与导数 之 零点问题
4．上凸函数相关定理
设函数 f x 为区间 a,b 上的可导函数， 则 f x 为 a,b 上的上凸函数
令G
令H
t
t
2t t
t
ae2x a
ln t 2 t
，则
Gt
1 ln t ，则 H
2 ex x 0 at 2
2
1 t
t2 t
2t ln t
t
1
1
t2 t 2
0 ，所以
H
at 2t ln t a
2t 1 2t 1t 1
t2 t 2
t 在 0, 上递增，而
当 k 1时，由 h x 0 可得 x ln k ，由 h x 0 可得 x ln k ，所以 h xmin hln k k 1 ln k ．
g0 1 0
∴ ex
kx
0
在 0,2
内有两个不同的根
g
2
e2
2k
0
g ln k k 1 ln k
，解得 e 0
k
e2 2
．
综上所述，
a
1 时，
f
ln
1 a
0
，
f
1
a e2
a e
1
2 e
0
，
于是
f
x
在
1,
ln
1 a
上有 1 个零点；
因为
f
ln
3 a
1
a
3 a
12
a
2
3 a
1
ln
3 a
1
3 a
1
ln
3 a
1
0，
且
ln
3 a
1
ln
1 a
，所以
f
x
在
ln
1 a
,
上有 1 个零点．
综上所述， a 的取值范围为 0,1 ．
f x 为 a,b 上的递减函数 f x 0 且不在 a,b 的任一子区间上恒为零．
◇典例剖析◇
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函数与导数 之 零点问题
【引例】
设函数
f
x
ex x2
k
2 x
ln x
（ k 为常数， e 2.71828 是自然对数的底数）．
（1）当 k 0 时，求函数 f x 的单调区间；
【解析】（2）
法 1：①当 a 0 时，由（1）可知， f x 在 R 上递减，不可能有两个零点．
②当 a 0 时，
f
xmin
f
ln
1 a
1
1 a
ln a ，令 g a f
xmin ，
则
ga
1 a2
1 a
0
，所以
g
a
在
0,
上递增，而
g
1
0
，
所以当 a 1时， g a f xmin 0 ，从而 f x 没有两个零点．
所以 f x 的递减区间为 0,2 ，递增区间为 2, ．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【引例】
设函数
f
x
ex x2
k
2 x
ln x
（ k 为常数， e 2.71828 是自然对数的底数）．
（1）当 k 0 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若函数 f x 在 0, 2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围．
（方法提示：带参讨论；分离参数；函数结构构造；临界状态分析）
【解析】（2）函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点 f x 0 在 0,2 内有两个不同的根．
法 4：问题 ex kx 0 在 0, 2 内有两个不同的根．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
【解析】（2）法
2： ae2x
a
k
的取值范围为
e,
e2 2
．
0 ln k 2
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【引例】
设函数
f
x
ex x2
k
2 x
ln x
（ k 为常数， e 2.71828 是自然对数的底数）．
（1）当 k 0 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若函数 f x 在 0, 2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围．
法 3：问题 ex kx 0 在 0, 2 内有两个不同的根．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【引例】
设函数
f
x
ex x2
k
2 x
ln x
（ k 为常数， e 2.71828 是自然对数的底数）．
（1）当 k 0 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若函数 f x 在 0, 2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
【解析】法
1：（2）当 0
2021年上学期 高二数学 培优专题
函数与导数 之 零点问题
◇ 知识链接 ◇ 函数的凹凸性
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函数与导数 之 零点问题
1．下凸函数定义：
设函数 f x 为定义在区间 a,b 上的函数，若对 a,b 上任意两点 x1 ， x2 ，
总有
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2
，当且仅当
x1
x2
又 g 1 e ， g 2 e2 ，当 x 0 时， g x ．
2
画出 g x 在 0,2 内的图象可知：
要使
y
k
与
g
x
在
0, 2
内有两个不同的交点，
k
的取值范围为
e,
e2 2
．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【引例】
设函数
f
x
ex x2
k
2 x
ln x
（ k 为常数， e 2.71828 是自然对数的底数）．
（1）当 k 0 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若函数 f x 在 0, 2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围．
（方法提示：带参讨论；分离参数；函数结构构造；临界状态分析）
【解析】（2）函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点 f x 0 在 0,2 内有两个不同的根．
而 h0 0 ，所以当 x 0 时， h x 0 ，当 x 0 时， h x 0 ，
∴当 x 0时 g x 0 ，当 x 0 时 g x 0 ，∴ g x 在 ,0 上↑，在 0, 上↓．
又 g 0 1 ，当 x 时， g x ，当 x 时， g x 0 ．
若 f x 有两个零点，则 y a 与 g x 有两个交点，所以 a 的取值范围是 0,1 ．
（方法提示：带参讨论；分离参数；函数结构构造；临界状态分析）
【解析】法 2：问题 k ex 在 0, 2 内有两个不同的根 y k 与 g x ex 在 0, 2 内有两不同的交点．
x
x
∵ gx
xex ex x2
x 1ex
x2
，当 0 x 1时， g x 0 ，当 x 1时， g x 0 ．
a
a
所以
f
x
在
,
ln
1 a
上递减，在
ln
1 a
,
上递增．
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
◇典例剖析◇
高二数学培优
函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
【解析】（2）法 4：设 t ex 0 ，则 x lnt ，于是
2ex
x
0
ae2x
aex
2ex
x
a
2ex x e2x ex
．
令
g
x
2ex x e2x ex
，则 gx
2ex 1
e2x ex 2ex x e2x ex 2
2e2x ex
ex 2ex 1 ex x 1
e2x ex 2
，
令 h x ex x 1 ，则 h x ex 1 0 ，所以 h x 在 R 上递增，
◇典例剖析◇
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函数与导数 之 零点问题
【例 1】 已知函数 f x ae2x a 2ex x ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
（方法提示：放缩取点；带参讨论；分离参数；指对互化；临界状态分析）
【解析】（2）法 3：设 t ex 0 ，则 x lnt ，于是
ln
H
2t ln t t2 t
t ，
1 0 ，
，
t
所以当 0 t 1时， H t 0 ， Gt 0 ，当 t 1时， H t 0 ， Gt 0 ，
所以 G t 在 0,1 上递增，在 1, 上递减．
而 G 1 1，当 t 0 时， G t ，当 t 时， G t 0 ． 若 f x 有两个零点，则 y a 与 G t 有两个交点，所以 a 的取值范围是 0,1 ．