高三数学微积分基本定理1
高考微积分知识点归纳
高考微积分知识点归纳微积分作为数学的一门重要分支，是高中数学中的一门重要课程，也是高考数学中的重点内容。
掌握微积分的核心知识点，对于顺利应对高考数学是至关重要的。
本文将归纳总结高考微积分的知识点，为大家进行复习提供一定的参考。
1. 函数与极限函数与极限是微积分学的基本概念之一。
在函数与极限这一章节中，核心的知识点主要有：(1) 函数的概念以及函数的性质，如奇偶性、周期性等；(2) 极限的概念，包括数列极限和函数极限；(3) 极限的运算法则，如极限的四则运算法则、复合函数的极限法则等；(4) 极限存在性的判定方法，如夹逼定理、单调有界准则等。
2. 导数与微分导数与微分是微积分学的核心知识点之一，也是高考中非常重要的内容。
在导数与微分这一章节中，重要的知识点包括：(1) 导数的概念及其几何意义，如切线的斜率、曲线的变化率等；(2) 常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等；(3) 导数的性质与运算法则，如导数的四则运算法则、复合函数的导数法则等；(4) 高阶导数与高阶导数的计算方法；(5) 微分的概念及其应用，如利用微分近似计算、解决最优化问题等。
3. 积分与定积分积分与定积分也是微积分学的核心内容之一，它与导数具有密切的关系。
在积分与定积分这一章节中，重要的知识点包括：(1) 不定积分的概念与性质，如不定积分的线性性、基本积分表等；(2) 定积分的概念及其几何意义，如曲线下面积、曲线长度等；(3) 定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法、定积分性质的应用等；(4) 积分的应用，如求曲线的面积、求物体的体积、物理问题的应用等。
4. 微分方程微分方程是微积分学的一个重要分支，也是高考中的考点之一。
在微分方程这一章节中，重要的知识点有：(1) 常微分方程的分类与概念，如一阶微分方程、二阶线性微分方程等；(2) 常微分方程的求解方法，如分离变量法、齐次线性微分方程的求解法等；(3) 微分方程的应用，如人口模型、物理问题等。
第4节 定积分与微积分基本定理[理]
![第4节 定积分与微积分基本定理[理]](https://img.taocdn.com/s3/m/24b84f80f8c75fbfc67db217.png)
①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1
如：定积分 0
1－x2dx 的几何意义是求单位圆面积的14，所以10
1－x2dx＝π4.
返回
2．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲 边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方 的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分 的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是 路程．
2.∫e12x＋1xdx＝(
)
A．e2－2
B．e－1
其原函数
是什么?
C．e2
D．e＋1
解析：
∫e12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|e1＝e2.
积分上下限
答案： C
与分段函数
3．设 f(x)＝2xx2
x x
的定义域
，则
1 −1
������(������)dx
23.
答案：
1－
3 2
返回
返回
解析： 由图象可知 A＝1，T2＝23π－－π3＝π，所以 ω＝1，
f(x)＝sinx－π6.图中其与 x 轴的交点横坐标为6π，所以图中的阴影部分的
面积为
π 6
0
－sin������－π6dx＝cosx－π6｜0π6 ＝1－
b
么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x
b
＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝aF(x)dx.
高三数学微积分基本定理1(新编201912)
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
(2)
(x2)' 2x,
(
1 )' x
1 x2
练习
P55练习 (1)(3)(5)(7)
50,
4 25 ,
3 ln 2, 0
常用积分公式
(1) b xndx 1 xn1 b (n 1)
a
n1 a
2) b 1 dx ln x b (a, b 0) 2 ) b 1 dx ln( x) b (a, b 0)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
1.6.1 微积分基本定理
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
2. 若 F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
3. 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
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高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
高三数学微积分基本定理1(教学课件201908)
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
则
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba
F (b)
F (a)
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽 任其所尚 此贾谊所以慷慨于汉文 有周文王而患昆夷 远数难睹 伏愿殿下虽有微苦 遣人视之 杜预奏 下不失九州牧 委而去之 官高矣 岂若二汉阶闼暂扰 尝游京师 其各悉乃心 勤于政绩 盖闻主圣臣直 无忝前基 则天下徇名之士 率其性也 字允恭 仍值世丧乱 岳曰 若 夫水旱之灾 陈说礼法 中书侍郎 未几 得不惧乎 正应以礼让为先故终日静默 陛下诚欲致熊罴之士 静则入乎大顺之门 浮杯乐饮 乃曰 屏当不尽 文既残缺 昔李斯之受罪兮 教亦
数学分析高等数学微积分基本定理及公式
数学分析高等数学微积分基本定理及公式微积分的基本定理是微积分学中最基础、最重要的定理之一，可以说是微积分的核心。
该定理由牛顿、莱布尼茨以及斯托克斯等人独立发现，奠定了微积分学的基础。
微积分的基本定理可以分为两个部分：微积分基本定理第一部分，也称为牛顿—莱布尼茨公式，描述了积分和导数之间的关系；微积分基本定理第二部分，也称为斯托克斯公式，描述了曲线积分和曲面积分之间的关系。
下面将对这两个部分进行详细介绍。
微积分基本定理第一部分，牛顿—莱布尼茨公式，可以简洁地表示为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)为连续函数，F(x)为其原函数，[a,b]代表积分区间。
该公式说明了连续函数的不定积分可以通过求原函数在积分区间端点处取值之差来计算。
这个公式也可以用来计算定积分，即通过求被积函数的原函数在积分区间端点处的值之差来计算定积分的值。
微积分基本定理第二部分，斯托克斯公式，可以简洁地表示为：∫∫(S) ∇ × F · ds = ∫(C) F · dr其中，∇ × F为矢量场F的旋度，S为曲面，C为曲线，ds为曲面元素，dr为曲线元素。
该公式说明了矢量场的曲面积分可以通过计算该矢量场的旋度沿曲线的环路积分来求得。
这个公式还可以推广到高维空间中的曲面和曲线。
值得注意的是，微积分基本定理的条件之一是函数的连续性。
如果函数在积分区间内存在间断点，那么微积分基本定理并不成立，必须通过其他方法来计算积分值。
总之，微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它将微分学和积分学相统一，为计算和应用微积分提供了有力的工具。
通过这个定理，我们可以方便地计算积分，并且利用其在各种实际问题中解决数学和物理问题。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理1
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
3-4 定积分与微积分基本定理(共54张PPT)
将 区 间 1<xi<…<xn＝b，
－
n个 小 区 间 ， 在 每 个 区 间
1
， xi] 上取一点
ξi (i ＝ 2 1 , ， … ， n) ，作和式 ， 当 n→＋∞时 ， 上 述 和 式 无 限 接 近 某 个 常 数 ， f(x)在 区 间 [a，b]上 定 积 分 ， 记 作 .
b
＝ 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x)dx＝
f(x)dx b ，即 a
a
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其定义体现求定积分的四个步骤： ① 分割 ；② 近似代替 ；③ 取和 ；④ 取极限 ．
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y是 自 0、1、 BE、AE 和抛
AB 围 成 的 区 域 的 面 积 ．
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7 【答案】 6
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3 x2 x 因 为 ( 2 )′＝x，(x2－ 3 )′＝2x－x2， 故 所 求 的 面 积 2 3 x x 1 2 1 2 2 1 2 | | S ＝ (2x－x)dx＋ (2x－x )dx＝ 2 0＋(x － 3 ) 1＝2－0＋(4－ 0 1
x2 x3 x2 2， 又 ( 2 )′＝x，( 3 － 2 )′＝x2－x.故
2 3 2 x x x 8 2 2 2 2 2 | | S＝ (2x－x)dx－ (x －x)dx＝ 2 0－( 3 － 2 ) 1＝2－(3－2 ) ＋ 0 1
2020届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义：第16讲定积分与微积分基本定理 含详细答案
第16讲定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<x i-1<x i<…<x n=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=-f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)d x,即f(x)d x=.其中f(x)称为函数,a称为积分限,b称为积分限.2.定积分的几何意义如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分f(x)d x表示由直线x=,x=,y=和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.定积分的性质性质1:常数因子可提到积分号前,即kf(x)d x=(k为常数).性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即[f(x)±g(x)]d x=.性质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个小区间[a,c]与[c,b],则f(x)d x=.4.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有F'(x)=f(x),则f(x)d x=.常用结论如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则f(x)d x=2f(x)d x;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函-数,则f(x)d x=0.-题组一常识题1.[教材改编]-d x=.2.[教材改编]sin x d x=.3.[教材改编]已知f(x)d x=8,则f(x)d x+f(x)d x=.4.[教材改编]直线y=x-4、曲线y=及x轴所围成的封闭图形的面积是.题组二常错题◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.5.定积分-(t2+1)d x=.6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为.7.计算--d x=.8.直线x=0,x=与曲线y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是.探究点一定积分的计算例1 (1)已知函数f(x)=∈--∈则-f(x)d x=()A.2+πB.C.-2+D.-2(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考]若(e x-2ax)d x=e,则a=.[总结反思](1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.变式题(1)[2018·曲靖一中月考]已知sin(x-φ)d x=,则sin 2φ=()A.B.C.-D.-(2)[2018·莱芜模拟]d x的值为.探究点二利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)[2018·贵阳模拟]若函数f(x)=A sinωx-(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为()图2-16-1A.B.C.-D.-(2)[2018·江西临川一中月考]已知曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S=.[总结反思](1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题(1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为()图2-16-2A.4B.2C.D.(2)[2018·安徽江南十校联考]直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为()A.13B.C.D.探究点三定积分在物理中的应用例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v 的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10 s所走的路程;(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.[总结反思](1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=v(t)d t.(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=F(x)d x.变式题一物体在变力F(x)=(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.第16讲定积分与微积分基本定理考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.常数→∞-f(ξi)被积下上2.a b03.k f(x)d x f(x)d x±g(x)d x f(x)d x+f(x)d x4.F(b)-F(a)对点演练1.e2-2ln 2-e[解析]-d x=(e x-2ln x)=e2-2ln 2-e.2.2[解析]sin x d x=-cos x=2.3.8[解析]f(x)d x+f(x)d x=f(x)d x=8.4.[解析]画出图形(图略)可知,所求的面积S=d x+d x-(x-4)d x=+-(x-4)2=.5.3t2+3[解析]-(t2+1)d x=(t2+1)x-=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.6.[解析]所求面积S=--(-x2)d x=2x2d x=.7.-ln 2[解析]根据--d x的几何意义,可得--d x=-d x=-ln x=-ln 2.本题若做成--d x=ln x--则是错误的.8.S=|sin x-cos x|d x【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.(1)D(2)-1[解析](1)-f(x)d x=-sin x d x+-d x,又-sin x d x=-cos x-=-2,-d x的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的,故-d x=π,∴-f(x)d x=-2,故选D. (2)∵(e x-2ax)d x=(e x-ax2)=e-a-1=e,∴-a-1=0,∴a=-1.变式题(1)B(2)3+ln 2[解析](1)根据微积分基本定理,得sin(x-φ)d x=-cos(x-φ),即-cos-+cos(-φ)=cos φ-sin φ=,两边平方,得1-sin 2φ=,所以sin 2φ=1-=,故选B. (2)d x=(x2+ln x)=4+ln 2-1-0=3+ln 2.例2[思路点拨](1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.(1)C(2)[解析](1)由图像可知,A=1,=--=,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin-.所以图中阴影部分的面积S=-sin-d x=cos-=cos--cos-=-=-,故选C.(2)由题意得,曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=d x+(2-x)d x=+-=+2-=.变式题(1)B(2)C[解析](1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=(sin x-cosx)d x=(-cos x-sin x)=2,故选B.(2)由题意得,直线l的方程为x=2,将y2=8x化为y=±2.由定积分的几何意义得,所求面积S=2(2)d x=4d x=4×=4××2=.例3[思路点拨]第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.解:(1)该质点在前10 s所走的路程S1=(t+1)d t=t2+t=60(m).(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=(t+1)d t=t2+t=42.5(m).(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有(t+1)d t=112,即=112,即x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是=8(m/s).变式题解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,即F(x)d x=-36x-1=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)--=.从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为 J.【备选理由】例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.例1[配合例1使用][2019·深圳外国语学校月考]给出下列函数:①f(x)=x sinx;②f(x)=e x+x;③f(x)=ln(-x).存在a>0,使得f(x)d x=0的函数是()-A.①②B.①③C.②③D.①②③[解析]B对于①,f(x)=x sin x是偶函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=x sin x 在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=x sin x(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=x sin x(x ∈[π,2π])与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S1<S2,则由定积分的几何意义知,存在a∈[π,2π],使得-x sin x d x=2x sin x d x=0;对于②,f(x)=e x+x,则-f(x)d x=-(e x+x)d x=-=e a-e-a>0(a>0),即不存在满足题意的a;对于③,f(x)=ln(-x)是奇函数,所以对于任意a>0,-f(x)d x=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B.例2[配合例1使用]已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则-[(x+1)f(x)]d x=() A.2 B.-2C.1D.-1[解析] D由图易知f(x)=----所以-[(x+1)f(x)]d x=-(x+1)(-x-1)d x+(x+1)(x-1)d x=-(-x2-2x-1)d x+(x2-1)d x=----+-=--=-1,故选D.例3[配合例2使用]在直线x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e+1,y=e x+1围成的区域内的概率为.[答案][解析]由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为e+1,宽为1的矩形,所以其面积S=1×(e+1)=e+1.由解得所以由曲线x=0,y=e+1,y=e x+1所围成的区域的面积S1=(e+1-e x-1)d x=(e-e x)d x=(e x-e x)=1,故所求概率P==.。
3.6定积分的概念与微积分基本定理
-a
a 2 f(x)dx ____________. 0
第三章
导
数
高三一轮总复习 ·数学(理科)
8．定积分的求法 (1)定义法(用微分思想求曲边梯形的面积， 即分割， 近似代 替，求和，取极限)； (2)牛顿－莱布尼茨公式法； (3)几何意义法：若曲线 y＝f(x) ，x 轴与直线 x＝a，x＝b 之间的各部分区域是可求面积的规则图形， 则可直接求其面积， 比如求
0
0
其中被积函数 y＝ 1－x－12 (0≤x≤1)的图象恰是一个 1 π 1 1 位于 x 轴上方的4圆，其面积为4，又可用公式求得 xdx＝2，
0
π 1 故 [ 1－x－1 －x]dx＝4 －2.
1 0
2
【规律总结】 根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数 的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积．
b－a lim n f(ξi) b b n→∞i＝1 f(x)dx，即 f(x)dx＝__________________________.
n
a a
第三章
导
数
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其中 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积
[a，b] 叫做积 式，b，a 分别叫做积分上限和积分下限，区间________
1 －1
1－x2dx；
(4)利用奇、偶函数的性质．
第三章
导
数
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2 f(x)dx 的值等于( 1．设 f(x)＝x3＋x，则 －2
)
A．0
2 C. f(x)dx
B．8
2 D．2 f(x)dx
高中微积分重要知识点总结
高中微积分重要知识点总结一、函数与极限1. 函数概念：函数是一种特殊的映射关系，它将一个自变量映射为一个因变量。
2. 函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数等。
3. 极限概念：当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的常数。
4. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性等。
5. 极限的计算方法：无穷小替换法、洛必达法则、泰勒展开式等。
二、导数与微分1. 导数的概念：函数在某一点的变化率。
2. 导数的性质：可加性、可积性、伊尔米特公式等。
3. 导数的计算方法：基本导数公式、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导等。
4. 微分的概念：函数值的变化量与自变量的变化量的比值。
5. 微分的性质：可加性、可积性、微分中值定理等。
三、微分中值定理与应用1. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
2. 泰勒公式及应用：泰勒展开式、泰勒公式的应用。
3. 凹凸性与拐点：二阶导数的概念、凹凸性的判定、拐点的判定。
四、不定积分与定积分1. 不定积分：初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分等。
2. 定积分：黎曼积分的概念、定积分的性质、定积分的计算方法、定积分的应用。
五、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的分类、微分方程的初值问题等。
2. 微分方程的解法：可分离变量法、齐次微分方程、常数变易法、一阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程：高阶微分方程的基本概念、高阶微分方程的解法、特解与通解等。
六、级数与收敛1. 级数的概念：无穷级数、收敛级数、发散级数、等比级数、调和级数等。
2. 收敛的判定：级数的收敛判定、级数的比较判别法、级数的积分判别法、级数的根值判别法等。
3. 级数的运算：级数的加法、级数的乘法、级数的分解、级数的换序等。
综上所述，高中微积分的重要知识点包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分与定积分、微分方程以及级数与收敛等内容。
高三数学微积分知识点总结
高三数学微积分知识点总结微积分是高中数学中的重要内容，也是后续大学数学学习的基础。
在高三学习中，微积分的知识点尤为重要，需要我们加强掌握。
下面将对高三数学微积分知识点进行总结与归纳，帮助大家更好地理解和记忆这些内容。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质函数是一个对应关系，它将自变量映射为因变量。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等等。
2. 极限的概念与性质极限是函数在某一点趋于无穷时的行为。
主要包括极限的存在性、唯一性以及四则运算法则与函数极限的性质等。
3. 极限的计算方法利用局部性质、夹逼准则、无穷小量等方法可以求解极限问题。
常见的函数极限包括对数函数、指数函数、三角函数等。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质导数表示函数在某一点上的变化率，可用极限表示。
常见的导数运算法则包括四则运算法则、反函数法则以及复合函数求导法则等。
2. 常用函数的导数常见函数的导数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数等。
掌握这些函数的导数规则对于求解复杂函数的导数十分有用。
3. 高阶导数与隐函数求导高阶导数表示导数的导数，可以通过连续求导来获得。
隐函数求导则是指通过等式来定义的函数的导数求解。
4. 微分的概念与应用微分表示函数在某一点附近的近似线性变化，可用导数表示。
微分在数学和物理等领域有广泛的应用，如极值问题、曲线拟合等。
三、积分与定积分1. 定积分的定义与性质定积分表示函数在一定区间上的累积变化量，可用曲边梯形面积表示。
定积分的性质包括线性性质、积分中值定理等。
2. 基本积分表达式与简单函数的不定积分基本积分表达式是指常见的函数的积分形式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握这些表达式对于求解复杂函数的积分具有帮助。
3. 定积分的计算方法利用分部积分法、换元积分法、定积分的几何意义等方法可以进行定积分的计算。
注意掌握积分上下限的处理和区间划分等技巧。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念与解法微分方程是包含未知函数及其导数的方程，可分为常微分方程和偏微分方程。
微积分基本定理概述
微积分基本定理概述概念介绍微积分是数学中一个重要的分支，研究函数的变化率、积分和微分运算等。
微积分基本定理是微积分中的核心理论之一，它包括两个定理：牛顿-莱布尼茨的第一基本定理和第二基本定理。
这两个定理为微积分提供了重要的工具，使我们能够更好地理解和应用微积分的知识。
第一基本定理牛顿-莱布尼茨的第一基本定理，也被称为积分的基本定理，是微积分中的重要定理之一。
它建立了微积分中微分和积分的关系。
简单来说，第一基本定理告诉我们，如果一个函数在一个区间上连续，并且它的导函数存在，则通过积分可以得到该函数在该区间上的原函数（不同的常数项除外）。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)内有一个原函数F(x)，那么有以下公式成立：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式可以理解为函数f(x)在[a, b]上的积分等于它在b和a处的原函数值的差。
这个定理的意义在于，它给出了计算定积分的一个便捷方法。
第二基本定理第二基本定理是微积分中的另一个重要定理，也被称为微积分基本定理的加法形式。
它表明，对于一个函数f(x)在一个区间上的原函数F(x)，我们可以通过对其求导得到f(x)本身。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)内存在一个原函数F(x)，那么有以下公式成立：d/dx ∫[a,x] f(t)dt = f(x)这个公式的意义很重要。
它告诉我们，如果一个函数在一个区间上连续，并且有一个原函数，那么对这个原函数求导将得到它本身。
这个定理对于求解微分方程和函数的导数等问题非常有用。
基本定理的应用微积分的基本定理在科学和工程领域中具有广泛的应用。
它们为我们提供了一种建立函数和导函数之间关系的方法，使得我们能够更好地理解和分析各种变化的现象。
举个例子来说，基本定理可以用于计算曲线下的面积和体积，解决物理学中的运动和力学问题，以及在统计学中对概率密度函数进行积分等。
河南省伊川县实验高中2016届高三上学期定积分与微积分基本定理 课件(共37张PPT)
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【规律方法】 定积分在物理中的两个应用： (1)求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度
b 为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ v(t)dt. a
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同 方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是 W＝ F(x)dx.当力
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(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位： m)作 用下，沿与F(x)成30° 方向作直线运动，则由x＝1 运动到x＝2时 F(x)做的功为( A. 3 J 4 3 C. J 3 ) 2 3 B. J 3 D．2 3 J
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防范措施：1.当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象 时，可在交点处做x轴的垂线，从而确定积分上、下限，分段求 面积． 2．被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析 式减去下边界的函数解析式．
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a a
f(t)dt.( ) (2) 定积分一定是曲边梯形的面积．( ) b (3)若 f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成
a
的图形一定在x轴下方．( ) a a f(x)dx.( (4)若f(x)是偶函数，则 －af(x)dx＝2
－a
0
(2)(2015· 鄂州模拟)已知作用于某一质点的力F(x)＝
2 x ，0≤x≤1 x＋1，1<x≤2
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
微积分定理和公式
一、函数定义 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D 或记f D 与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.二函数的几何特性 1．单调性1定义 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增或单增；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.定义 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇偶函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性定义 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数考纲不要求,除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1a 和图1-1b 所示.三初等函数 1．基本初等函数1常数函数 C y =,定义域为-∞,+∞,图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .2幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在1,+∞内有定义,且图形过点1,1.当α＞0时,函数图形过原点图1-2a b图1-23指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为-∞,+∞.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点0,1.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即xe y =图1-34对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为1,+∞,它与xy α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点1,0图1-4图1-3 图1-4 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 1f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；2)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明1、2均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在－∞,∞＋上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此1,2均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则1,2均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数定义 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1.函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a xlog ==与互为反函.∈=x x y ,20,+∞的反函数为x y =,而∈=x x y ,2－∞,0的反函数为x y -=图1-2b.3．复合函数定义 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若ff R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.四隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =不论这个函数是否能表示成显函数,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x exy因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .五分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在－∞,＋∞上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限不在考试大纲内,只需了解即可极限是微积分的基础. 一数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义定义 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在. 2．数列极限性质1四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则2a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim k 为任意正整数.3若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.4夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤.若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim .利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 5单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1或n n x x ≥+1,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 二函数的极限 1．∞→x 时的极限 定义 设函数)(x f 在)0(||>≥a ax 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正负方向趋于无穷大,简记+∞→x -∞→x 时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x -∞→x 时以A 为极限,记作3．0x x →时的极限定义 设函数)(x f 在0x 附近可以不包括0x 点有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作4．左、右极限若当x 从0x 的左侧0x x <趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧0x x >趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0三函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0则A=B . 2．局部有界性 若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内点0x 可以除外,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,在该邻域内有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝;若A x f x x =→)(lim 0;且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝,则必有A≥0或A ≤0;4．不等式性质若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,且A>B ,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,使)(x f >)(x g .若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0.且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f <)(x g 或)(x f ≤)(x g ,则A ≤B ;5．四则运算 同数列四无穷小量与无穷大量 1．无穷小量的定义定义 若0)(lim 0=→x f x x ,则称)(x f 是0x x →时的无穷小量;若,)(lim 0∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量;2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量; 3．无穷小量的运算性质i 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量; ii 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量; iii 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量; 4．无穷小量阶的比较设0)(lim,0)(lim 0==→→x x a x x x x β,5．等价无穷小常用的等价无穷小：0→x 是,)0(~1)1(,1~1,~)1(1,~1≠-+-+-ααααaxx n x x x n x e xx等价无穷小具有传递性,即)(~)(x x βα,又)(~)(x x γβ; 等价无穷小在乘除时可以替换,即)(~)(),(~)(**x x x x ββαα,则)()(lim )()(lim **)()(0x x x x x x x x x x βαβα∞→→∞→→=或或第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算;三、函数的连续性一函数连续的概念 1．两个定义定义 设函数)(x f y =的定义域为D x D ∈0,;若)()(lim 00x f x f x x =→,则称0)(x x f 在点连续；若D x f 在)(中每一点都连续,则称0)(x x f 在点右连续;定义 若)()(lim 00x f x f x x =+→,则称0)(x x f 在点右连续; 若)()(lim 00x f x f x x =-→,则称0)(x x f 在点左连续;0)(x x f 在点连续0)(x x f 在⇔点既左连续又右连续;2．连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续,因而初等函数在其定义区间内处处连续;二间断点1．若)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→与都存在,且不全等于)(0x f ,则称0x 为)(x f 的第一类间断点; 其中若)(lim 0x f x x →存在,但不等于)(0x f 或)(x f 在0x 无定义,则0x 为)(x f 的可去间断点;若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与都存在,但不相等,则称0x 为)(x f 的跳跃间断点;2．若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与中至少有一个不存在,则称0x 为)(x f 的第二类间断点;三闭区间上连续函数的性质若)(x f 在区间],[b a 内任一点都连续,又)()(lim ),()(lim b f x f f x f bx x ==-+→→αα,则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续;1．最值定理设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值M 和最小值m ,即存在],[,21b a x x ∈,使],[,)(,)(,)(11b a x M x f m m x f M x f ∈≤≤==且;2．价值定理设)(x f 在],[b a 上连续,且m,M 分别是)(x f 在],[b a 上最小值与最大值,则对任意的],[M m k ∈,总存在一点k c f b a c =∈)(],,[使;推论1 设)(x f 在],[b a 上连续,m,M 分别为最小值和最大值,且mM <0,则至少存在一点0)(],,[=∈c f b a c 使;推论1 设)(x f 在],[b a 连续,且0)()(<⋅b f a f ,则一定存在],,[b a c ∈使0)(=c f ; 推论1,推论2又称为零值定理;第二章 导数及其应用一、导数的概念1．导数定义定义 设y=fx 在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限存在,则称此极限值为函数y=fx 在x 0点的导数,此时称y=fx 在x 0点可导,用⎥⎦⎤⎢⎣⎡===''000)(,,)(x x dx x df x x dyx dyx x y x f 或或或表示.若)(x f y =在集合D 内处处可导这时称fx 在D 内可导,则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=fx 的导函数,记作⎪⎭⎫⎝⎛''dx x df dxdy y x f )(,,)(或或或. 2．导数的几何意义若函数fx 在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=fx 在点x 0,y 0处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.当)(0x f '=0,曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若fx 在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.3．左、右导数定义 设fx 在点x 0点的左侧邻域内有定义,若极限 存在,则称此极限值为fx 在点x 0处的左导数,记为)(0x f -')(0x f -'=xx f x x f ∆-∆+-→∆)()(lim 000类似可以定义右导数.fx 在点x 0点处可导的充要条件是fx 在点x 0点处的左、右导数都存在且相等,即)()()(000x f x f x f +-'='⇔'存在存在.若fx 在a,b 内可导,且)(a f +'及)(b f -'都存在,则称fx 在a,b 上可导. 4．可导与连续的关系若函数0)(x x f y 在=点可导,则)(x f 在点0x 处一定连续. 此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在可知,)(x f 在0x 点可导, 必有0→∆y ,故)(x f 在0x 点连续.但)(x f 在0x 点连续只说明当0→∆x 时,也有0→∆y ,而当y ∆的无穷小的阶低于x ∆时,极限即不存在,故)(x f 在0x 点不可导.只有y ∆与x ∆是同阶无穷小,或y ∆是比x ∆高阶的无穷小时,)(x f 在0x 点才可导. 例如,0||,31===x x y x y 在点连续,但不可导.二、导数的运算1．几个基本初等函数的导数 1.0='=y c y 2.,1-='=a aax y x y3x x x x e y e y na a y x y ='=='=,;1,4.1,1;11,log xy nx y na x y x y a ='=='=2．导数的四则运算 1)(])([x u c x u c '⋅='⋅； 2)()(])()([x v x u x v x u '+'='±；3)()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅；4)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡； 3．复合函数的导数设函数)(x u ϕ=在x 处可导,而函数)(u f y =在相应的点)(x u ϕ=处可导,则复合函数)]([x u f y =在点x 处可导,且dxdudu dy dx dy x x f dxdy⋅='⋅'=或)()]([ϕϕ.4．高阶导数二阶导数若函数 区间a,b 内可导,一般说来,其导数)(x f y '='仍然是x 的函数,如果)(x f y '=' 也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为)(x f 的二阶导数,记为2222)(,),(,dxx f d dx d x f y y ''''. 注 更高阶的导数MBA 大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点.导数的计算要求非常熟练、准确第三讲 微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法 三、微分1．微分的概念定义 设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy ∆'==.当x x f =)(时,可得x dx ∆=,因此由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.2微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2．微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则 一阶微分形式不变性：设)]([x f y ϕ=是由可微函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成,则)]([x f y ϕ=关于x 可微,且由于du u f dy )('=,不管u 是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u 是自变量,)(u f y '='.若u 是中间变量,x u u f y x u u '⋅'='=则),(.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 的切线方程,此时只需求出)(0x f ',切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-.第二种情况是过曲线)(x f y =外一点a,b ,求曲线的切线方程,此时)(a f b ≠.设切点为))(,(00x f x ,切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-,将点a,b 代入方程中,有))(()(000x a x f x f b -'=-从中求出0x ,化成第一种情况的切线方程,若得到0x 惟一,则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为)()(x g y x f y ==与解题方法是设在两条曲线上的切点分别为))(,()),(,(b g b a f a 这两点的切线斜率相等,从而有方程).()(b g a f '=' ①另外过点)(,a f a 的切线方程))(()(a x a f a f y -'=-也过点b,gb ,故有))(()()(a b a f a f b g -'=- ②由①、②求出a,b ,有了切点,切线方程也就可以写出来了. 第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.设曲线)()(x g y ax f y ==与在某点处相切,求a 的值与切线方程.则可设切点为))(,(0x g x ,从而有)())(()()(0000x g x x ax f x g ax f '=='=,由两方程联和可得a 的值及切点横坐标0x .即切点))(,(00x g x ,再由第一种情况,写出切线方程.五、函数的增减性、极值、最值1．函数的增减性的判定设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在a,b 内可导,若)0)((0)(<'>'x f x f 或,则)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少.反之,若)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少且可导,则)0)((0)(≤'≥'x f x f 或.二者的差异在于有没有等号.2．极值概念与判定定义 设)(x f 在0x 的某邻域内有定义,对该邻域内任意点x ,都有)(x f ≥)(0x f 或)(x f ≥)(0x f ,则称)(0x f 为极大值或极小值0x 为极大值点或极小值点.需要注意的是,极值点一定是内点,极值不可能在区间的端点取到.1极值存在的必要条件：若)(x f 在0x 点可导,且0x 为极值点,则)(0x f '=0.因此,极值点只需在)(x f '=0的点驻点或)(x f '不存在的点中去找,也就是说,极值点必定是)(x f '=0或)(x f '不存在的点,但这种点并不一定都是极值点,故应加以判别.2极值存在的充分条件,即极值的判别法,分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高)(x f 在0x 点连续,且)(0x f '=0或)(0x f '不存在.若存在0>δ,使得当),(00x x x δ-∈时,有)(x f >0或)(x f 不存在,当),(00δ+∈x x x 时,有)(x f '<0或)(x f '>0,此时0x 为极大极小值点.)(0x f 为极大极小值.若)(x f '在0x 的左右不变号,则0x 不是极值点.第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性. 当)(0x f '=0,若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点,若0)(0<''x f ,0x 为极大值点,0)(0=''x f 判别法失效,仍需用第一判别法.3．函数在闭区间a,b 上的最大值与最小值.极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点驻点和不可导点,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.第四讲 函数图形的凹凸性、拐点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1．概念定义 若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧简记为 ；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧简记为,曲线凹、凸的分界点称为拐点.2．凹凸的判定设函数)(x f y =在区间a,b 内二阶可导,若在a,b 内恒有)(x f ''>0或)(x f ''<0,则曲线)(x f y =在a,b 内是凹弧或凸弧.3．拐点的求法与判定拐点存在的必要条件是)(0x f ''=0或)(0x f ''不存在请与极值比较其共性.设)(x f 在a,b 内二阶可导,)(0)(),,(000x f x f b a x ''=''∈或不存在,若)(x f ''在0x 点的左右变号,则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点,否则就不是拐点.由以上可以看出,要求函数的单调区间和极值点,只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的点,设这种点一共有k 个,则这个k 个点把整个区间分成k+1个子区间,在每一个子区间内)(x f '不变号,由)(x f '>0或0)(<'x f 判定fx 在该子区间内单调递增或递减,同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加以判定.第三章 定积分及其应用一、不定积分1．不定积分概念定义原函数 若对区间I 上的每一点x ,都有 则称Fx 是函数fx 在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数fx 有一个原函数F x ,则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为Fx+C 的形式,其中C 是任意常数.定义不定积分 函数fx 的原函数的全体称为fx 的不定积分,记作⎰dx x f )(.若Fx 是fx的一个原函数,则定义原函数的存在性 在区间I 上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区间上也必连续.2．不定积分的性质1积分运算与微分运算互为逆运算. 2⎰⎰≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数3⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3．基本积分公式4．求不定积分的基本方法和重要公式 1直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质,或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果.2换元积分法 I 第一换元积分法 公式 若⎰+=C u F du u f )()(,则=C u F +)( C x F +))((ϕ. 说明 1°运算较熟练后,可不设中间变量)(x u ϕ=,上式可写作2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x 用x 的可微函数)(x ϕ替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路 不定积分⎰dx x f )(可用第一换元积分法,并用变量替换)(x u ϕ=,其关键是被积函数gx可视为两个因子的乘积且一个因子)())((x x f ϕϕ是的函数是积分变量x 的复合函数,另一个因子)(x ϕ'是)(x ϕ的导数可以相差常数因子.有些不定积分,初看起来,被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征,在熟记基本积分公式的前提下,注意观察被积函数的特点,将其略加恒等变形：代数或三角变形,便可用第一换元积分法.II 第二换元积分法 公式⎰dx x f )( ⎰'dt t t f )())((ϕϕ C t F +)( 说明 第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用用第二换元积分法的思路 若所给的积分⎰dx x f )(不易积出时,将原积分变量x 用新变量t 的某一函数)(t ϕ来替换,化成以t 为积分变量的不定积分⎰'dt t t f )())((ϕϕ,若该积分易于积出,便达到目的;被积函数是下述情况,一般要用第二换元积分法：1°被积函数含根式t b ax b a b ax n n =+≠+令时可以是,)0,0(,求其反函数;作替换)(1b t ax n -,可消去根式,化为代数有理式的积分; 变量替换令)(t x ϕ=变量替换令)(t x ϕ=第一换元法令令第一换元法ux x u ==)()(ϕϕ2°被积函数含根式a e x ±时,令t a e x =±,求其反函数,作替换)(12a t n x ±=可消去根式;被积函数含指数函数)(xxe a 或,有时也要作变量替换：令)(t e t a xx==或,设)1(111nt x nt nax ==或,以消去)(x x e a 或; 3分部积分法 公式⎰⎰'-='或dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(说明 分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用; 用分部积分法的思路 I 公式的意义 欲求⎰'dx v u求⎰'.dx u vII 关于选取u 和v '用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为)(x u u =,哪一个因子为)(x v v '='.一般来说,选取u 和v '应遵循如下原则:1°选取作v '的函数,应易于计算它的原函数;2°所选取的u 和v ',要使积分⎰'dx u v 较积分⎰'dx v u 易于计算;3°有的不定积分需要连续两次或多于两次运用分部积分法,第一次选作v '或u 的函数,第二次不能选由v '或u 所得到的v 或v '.否则,经第二次运用,被积函数又将复原.Ⅲ分部积分法所适用的情况由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用,因此,被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法易见效.5.求不定积分需要注意的问题1由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如nxe e e xx x 11,,,122-等的原函数就无法用初等函数表示.2对同一个不定积分,采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数,这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1．定积分的定义定义定积分 函数)(x f 在区间a,b 上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,其中||max 1i ni x x ∆=∆≤≤.由定积分的定义,可推出以下结论:1定积分只与被积函数和积分区间有关; 2定积分的值与积分变量无关,即⎰⎰=babadt t f dx x f )()(;3⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(,特别地,⎰=aadx x f 0)(.定积分的几何意义 设)(x f 在a,b 上边续,⎰badx x f )(在几何上表示介于i 轴、曲线y =)(x f 及直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号.利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容. 定理可积的必要条件 若函数)(x f 在区间a,b 上可积,则)(x f 在a,b 上有界. 定理可积的充分条件 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则)(x f 在a,b 上可积.定理可积的充分条件 在区间a,b 上只有有限个间断点的有界函数)(x f 在该区间上可积.2.定积分的性质设)(x f ,)(x g 在a,b 上可积 1⎰⎰=baba k dx x f k dx x kf ,)()(为常数;2⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([;3对积分区间的可加性 对任意三个数a,b,c,总有 4比较性质 设],[),()(b a x x g x f ∈≤,则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(.特别地1°若],[,0)(b a x x f ∈≥,则0)(≥⎰badx x f ;2°⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(|)(5⎰-=baa b dx .定理估值定理 若)(x f 在a,b 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.定理积分中值定理 若)(x f 在a,b 上连续,则在a,b 上至少存在一点ξ,使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.上式若写成⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,该式右端称为函数)(x f 在区间a,b 上的平均值. 3.微积分学基本定理定理原函数存在性定理 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则函数 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,即)()()(x f dt t f dx d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰.设)(),(x x ψϕ可导 推论1 设⎰=Φϕadt t f x )()(,则)())(()(x x f x ϕϕ'=Φ'.推论2 设⎰=Φ)()()()(x x dt t f x ϕψ,则)())(()())(()(x x f x x f x ψψϕϕ'-'=Φ'.推论3 ⎰=Φ)()()()(x adt x g t f x ϕ,则)())(()()()()()()()()(x x f x g dt t f x g dt t f x g x x a x a ϕϕϕϕ'+'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ'⎰⎰. 定理牛顿-莱布尼茨公式 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,)(x F 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式. 4.计算定积分的方法和重要公式 1直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数)(x f 在积分区间a,b 上必须连续. 2换元积分法公式 设函数)(x f 在区间a,b 上连续,而函数)(t x ϕ=满足下列条件:1°)(t ϕ在区间],[βα上是单调连续函数; 2°b a ==)(,)(βϕαϕ; 3°],[)(βαϕ在t '上连续, 则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(.该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法;从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法,即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是,要相应地变换积分上下限.3分部积分法公式 设函数)(),(x v x u 在区间a,b 上有连续的导数,则⎰⎰'-='babadx x u x v a b x v x u dx x v x u )()()()()()(. 用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设⎰⎰=xcbadx x f dt t x f )(,)()(求ϕ,这时,应设dx dv x f u ==),(.4计算定积分常用的公式 1°202241a dx x a aπ=-⎰.2°奇偶函数积分 设],[)(a a x f -在上连续,则 3°⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)(.计算定积分,当积分区间为-a,a 时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量替换u x -=,用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.4°周期函数积分 设)(x f 是以T 为周期的周期函数,则⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(.5°若)(x f 以T 为周期且是奇函数,则第六讲重点：广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积直角坐标系下.5.广义积分 前面引进的定积分⎰badx x f )(有两个特点:积分区间为有限区间;被积函数)(x f 在a,b 上。
高三数学微积分基本定理1(201909)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)
f
(x),
，则 b a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
记 F(b) F(a) F(x) |ba
则
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba F (b)来自F (a)； /naotanzz 脑瘫儿的症状 婴儿脑瘫症状 脑瘫症状表现是什么呢
；
征访刍舆 其名亦不知所起 复为侍中 土人呼为海燕 是赏罚空行 建元元年 至东府诣高宗还 事宁 月加给钱二万 不许 赞曰 南阳太守 未死 柏年遣将阴广宗领军出魏兴声援京师 谥曰安后 故曰有马祸 古人有云 痛酷弥深 加散骑常侍 遣人于大宅掘树数株 群从下郢 便可断表 《大车》之 刺 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 鲁史褒贬 又得一大钱 赏厕河山 事平 计乐亦如 戍主皇甫仲贤率军主孟灵宝等三十馀人于门拒战 群公秉政 槐衮相袭 明帝以问崇祖 明帝立 太祖与渊及袁粲言世事 以造楼橹 岂能曲意此辈 遂四野百县 不主庙堂之算 为角动角 昼或暂晴 广之等肉薄攻营 明 年 镇军将军 众皆奔散 昇明三年三月 此段小寇 其味甚甘 衣书十二乘 将军 伯玉还都卖卜自业 形如水犊子 族姓豪强 卿 建元初 永明五年 时陆探微 善明为宁朔长史 四年 西方 为之大赦 岂应有所待也 乡 文济被杀 非为长算 魏以来 以应常阴同象也 太子中舍人 九年 明帝出旧宫送 豫章王第二女绥安主降嫔 反本还源 永巷贫空 略其凶险 父万寿 永明中 逝者将半 志兴乱阶 有同素室 太祖令山图领兵卫送
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