初中数学第17章勾股定理复习与检测

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人教版数学八年级下册第17章勾股定理单元复习试题含答案

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列结论中，错误的有（）①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，将一副三角板如图放置，如果DB＝2，那么点E到BC的距离为（）A．﹣1 B．3﹣C．2﹣2 D．+13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为（）A．B．2 C．D．34．如图，将△ABC放在正方形网格中（图巾每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AB＝15，Rt△ABC的周长为15+9，则CD的长为（）A．5 B．C．9D．67．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条8．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2＝（S1+S3）9．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺10．一云梯AB长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底端在水平方向滑动BB'的长是（）A．10米B．8米C．6米D．4米二．填空题（共6小题）11．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是（填序号）．12．已知，△ABC的三边长分别为：2，，，则△ABC的面积是．13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q 从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t＝s 时，△DPQ是等腰三角形．三．解答题（共6小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．19．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．20．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．21．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ＝，PR＝，QR＝3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．2．解：作EF⊥BC于F，设EF＝x，则BF＝x，BE＝x，CE＝2x，则AC＝，AE＝﹣x，则（﹣x）2+（）2＝（2x）2，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝3﹣，x2＝﹣3﹣（舍去）．故点E到BC的距离为3﹣．故选：B．3．解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，根据勾股定理得：AB＝＝3，∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝2，故选：B．4．解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，∴AB＝AC，AC2+AB2＝BC2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故选：C．5．解：PB＝，∴PB＝PC，∴OC＝PC﹣1＝﹣1，∴点C的数为﹣1，故选：B．6．解：如图所示：∵Rt△ABC的周长为15+9，∠ACB＝90°，AB＝15，∴AC+BC＝9，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，∴（AC+BC）2＝（9）2，即AC2+2AC×BC+BC2＝405，∴2AC×BC＝405﹣225＝180，∴AC×BC＝90，∵AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝6；故选：D．7．解：∵＝，∴是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于；故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．9．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．10．解：由题意可得：AB＝25m，OB＝7m，则OA＝＝24（m），当云梯的顶端下滑了4米，则A′O＝24﹣4＝20（m），故OB′＝＝15（m），则BB′＝CB′﹣BC＝（15﹣7）m＝8m．答：它的底部在水平方向滑动了8米，故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵a2＝（b+c）（b﹣c）∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；故答案为：①②④．12．解：∵△ABC的三边长分别为：2，，，∴22+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，斜边为，∴△ABC的面积为＝，故答案为：．13．解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．15．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．16．解：由运动知，AQ＝t，BP＝2t，∵AD＝8，BC＝10，∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm），PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∴①当DP＝QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，∴AQ+DQ＝BP，∴t+（8﹣t）＝2t，∴t＝，②当DQ＝PQ时，如图，Ⅰ、过点Q作QE⊥BC于E，∴∠BEQ＝∠OEQ＝90°，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，∴EQ＝AB＝6，BE＝AQ＝t，∴PE＝BP﹣BE＝t，在Rt△PEQ中，PQ＝＝，∵DQ＝8﹣t∴＝8﹣t，∴t＝，∵点P在边BC上，不和C重合，∴0≤2t＜10，∴0≤t＜5，∴此种情况符合题意，即t＝或s时，△DPQ是等腰三角形．故答案为：或．三．解答题（共6小题）17．解：根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．∵经检验，x＝6为原方程的解，∴原方程的解为x＝6．∴．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM为△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．设AB＝x，则AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．19．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，∴AD＝＝＝16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．20．解：（1）∵O为原点，∴O坐标为（0，0），∵点C的坐标为（3，4），∴CO＝＝5，故答案为：5；（2）∵点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），E、F两点之间的距离可表示为|EF|＝，∴EF＝＝＝10．21．解：（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．22．解：（1）①如图所示：②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；（2）①如图3，△PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2＝，△PQR的面积为×3×3＝，∴△PQR与△PEF面积相等；②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2＝13+9+10＝32．故答案为：8；32．。

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试题及答案

人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为()A．60海里B．45海里C．海里D．2．一直角三角形的三边分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为()A．13B．5C．4D．13或53．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m)()．A．20m B．25m C．30m D．35m4．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是() A．15°B．30°C．45°D．60°5．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6B．8C．1813D．60136．如图1，一架梯子AB长为5m，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙3m，若梯子的顶端A下滑了1m（如图2），则梯子的底端在水平方向上滑动的距离BD为（）A．1m B．大于1m C．介于0m和0.5m之间D．介于0.5m和1m之间7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=5，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（）A．5+1B．5+1C．5+2D．5+38．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、6 (4π+㎝B、5cmC、35㎝9．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k>1），那么它的斜边长是（）A．2k B．k+1C．k2－1D．k2+110．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的D点沿正方体的盒壁爬到盒内的M点（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是（）A．25+B．13C29D．5评卷人得分二、填空题11．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______.12．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为____．13．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______．14．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为．现已知△ABC 的三边长分别为1，2，则△ABC 的面积为______．16．在△ABC ，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是_______.评卷人得分三、解答题17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：222AD AC BD =+.18．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A '，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19．已知：如图，四边形ABCD 中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13．试判断△ACD 的形状，并说明理由；20．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）222AD DB DE +=．21．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．22．如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．参考答案1．D【解析】试题分析：根据条件易知△APB是直角三角形，AP=30，∠A=60°，∠B=30°，运用三角函数定义易求BP．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．D【解析】【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3是直角边，x是斜边或2和x是直角边，3是斜边，运用勾股定理进行计算即可．【详解】当2和3是直角边，x是斜边时，则x2=4+9=13；当2和x是直角边，3是斜边，则x2=9-4=5．故选D．【点睛】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．3．B【解析】【分析】首先根据题意画出图形，题目已知条件是：已知旗杆AB高21m，目测点C到杆的距离CD 为15m，目高CE为1m.在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC即可.【详解】如图，已知AB＝21m，CD＝15m，CE＝1m，∵∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE＝1.在Rt△BCD中，∵∠CDB＝90°，CD＝15，BD＝AB－AD＝21－1＝20，∴BC25m，即目测点到杆顶的距离为25m.故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意正确画出图形是解题的关键.【解析】设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2-2ab=0，（a-b）2=0∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．点睛：本题考查了的是勾股定理，解答此题的关键是熟知勾股定理、直角三角形的性质及完全平方公式．5．D【解析】【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【详解】=13．所以斜边上的高=12×5÷13=60 13．故选D．【点睛本题考查了勾股定理．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．6．A【解析】解：图（1）中，AB=5m，BC=3m，由勾股定理得AC=4m．∵梯子下滑了1m，∴AE=1m，∴EC=3m，图（2）中，EC=3m，ED=5m，由勾股定理得CD=4m，所以梯子向外端下滑了1m．故选A．点睛：本题考查的是勾股定理的应用，要求熟练掌握．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且∴AB=2CD=5．∴AC2+BC2=5又Rt△ABC的面积为1，∴12AC•BC=1，则AC•BC=2．∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9，∴AC+BC=3（舍去负值），∴AC+BC+AB=3+5，即△ABC的周长是5+3．故选D．考点：1.勾股定理2.直角三角形斜边上的中线．D、7cm8．B9．D【解析】试题分析：设斜边长为c，根据勾股定理得：c2＝(k2－1)2＋(2k)2＝k4－2k2＋1＋4k2＝k4＋2k2＋1＝(k2＋1)2，∴c＝k2＋1．故选D．点睛：本题考查了勾股定理，利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．10．D【解析】【分析】利用侧面展开图形成平面图形,再根据两点之间线段最短,勾股定理即可解答.【详解】解:得如图的侧面展开图，由题意得到Rt△NDM，DN=3，NM=4，线段DM的长为最短路径，DM=5=.故选D.【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．11．24【解析】试题解析：∵8-1＜a＜8+1（其中a为正整数），即7＜a＜9，∴a=8．∴以a-2、a、a+2为边的三角形的三条边长分别为：6、8、10．∵62+82=102，∴以a-2、a、a+2为边的三角形是直角三角形，∴其面积=12×6×8=24．故答案是：24．点睛：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．12．96【解析】根据题意，设两直角边是3x、4x，则（3x）2+（4x）2=202，解得x=4，所以两直角边为12，16，12×12×16=96，所以它的面积是96，故答案为96.13．60 13【解析】【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，=13，∵三角形的面积=12×5×12=12×13h （h 为斜边上的高），∴h=6013．故答案为：6013．【点睛】考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．2．【解析】【详解】∵22251213+=，由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，∴它的内切圆半径5121322r +-==，15．1【解析】【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.【详解】∵SABC 的三边长分别为1，2ABC 的面积为：S=1，故答案为1．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．16．4.8【解析】【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，BP 的长最小，过A 作等腰三角形底边上的高AD ，利用三线合一得到D 为BC 的中点，在直角三角形ADC 中，利用勾股定理求出AD 的长，进而利用面积法即可求出此时BP 的长．【详解】解：根据垂线段最短，得到BP ⊥AC 时，BP 最短，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴D 为BC 的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt △ADC 中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：，又∵S △ABC =12BC•AD=12BP•AC ，∴BP=•BC AD AC =645⨯=4.8．故答案为4.8．【点睛】此题考查勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17．见解析【解析】【分析】连接AM 得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【点睛】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．18．（1）24米；（2）8．【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可求出；（2）梯子的长度不变，再利用勾股定理算出BC'的长，即可求出梯子滑动的长度.【详解】（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB（米）．答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA'=AB－A A'=20米，BC'=（米），则：CC'=15﹣7=8（米）．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，找到两个三角形各边的关系是解决此题的关键19．△ACD是直角三角形．【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC 长，再利用勾股定理的逆定理证明90DAC ∠=︒，可得ACD 是直角三角形．试题解析：证明：∵90ACB ∠= ，AB =15,BC =9,∴12AC ，===∵2251213，+=∴222AD AC CD +=，∴90DAC ∠=︒,∴△ACD 是直角三角形.点睛：在三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.20．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）本题要判定△ACE ≌△BCD ，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，则DC =EC ，AC =BC ，∠ACB =∠ECD ，又因为两角有一个公共的角∠ACD ，所以∠BCD =∠ACE ，根据SAS 得出△ACE ≌△BCD ．（2）由（1）的论证结果得出∠DAE =90°，AE =DB ，从而求出AD 2+DB 2=DE 2．【详解】（1）∵∠ACB =∠ECD =90°，∴∠ACD +∠BCD =∠ACD +∠ACE ，即∠BCD =∠ACE ．∵BC =AC ，DC =EC ，∴△ACE ≌△BCD ．（2）∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B =∠BAC =45°．∵△ACE ≌△BCD ，∴∠B =∠CAE =45°，AE =BD ，∴∠DAE =∠CAE +∠BAC =45°+45°=90°，∴AD 2+AE 2=DE 2，∴AD 2+DB 2=DE 2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．21．5m【解析】试题分析：由于大门的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．试题解析：解：设这条木条的长度为x m，由勾股定理得：木条长的平方＝门高长的平方＋门宽长的平方．即x2＝42＋32，解得x＝5m．答：所需木条的长为5m．点睛：本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，可直接利用勾股定理解答．22．证明见解析.【解析】试题分析：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，再证明△AEG≌△AEF 可得EF=EG，由∠GBE=90°利用勾股定理可得BE2+CF2=EF2，那么根据勾股定理的逆定理得出以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．试题解析：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG，∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．∵∠BAC=90°，∠GAF=90°，∴∠GAE=∠EAF=45°．在△AEG和△AEF中，∵AG AFGAE EAFAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF．又∵∠GBE=90°，∴BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2，∴以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，正确作出辅助线后证出△AEG≌△AEF是解答此题的关键．。

数学人教版八年级下册第十七章勾股定理复习教案及测试

优质资料---欢迎下载1.会运用勾股定理解决简单问题.2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系.能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.【重点】运用勾股定理及其逆定理解决问题.【难点】会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.专题一用勾股定理计算线段的长【专题分析】用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.(2014·淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25〔解析〕如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.故选A.[方法归纳]在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等.【针对训练1】如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D 是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为.〔解析〕由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如图(2)所示,PD=OD=5,点P在点D 的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD-DE=5-3=2,此时点P 坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得OE===3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4).[易错提示]如果一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.专题二应用勾股定理建立方程【专题分析】应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右.(2014·安徽中考)如图所示,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D 重合,折痕为MN,则线段BN的长为()A. B. C.4 D.5〔解析〕设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△BDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.[方法归纳]折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立方程也是一种常用的方法.【针对训练2】(2014·青岛中考)如图所示,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,若AB=6,BC=9,则BF的长为()A.4B.3C.4.5D.5〔解析〕∵折叠前后两个图形的对应线段相等,∴CF=C'F,设BF=x.∵BC=9,∴CF=9-x,∴C'F=9-x,又BC'=3,在Rt△C'BF中,根据勾股定理可得C'F2=BF2+C'B2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4,因此BF的长是4.故选A.专题三实际问题中应用勾股定理【专题分析】勾股定理应用广泛,题目形式不限,既可以有单独考查该知识点的题目出现,又可与其他知识点综合进行考查.(2014·东营中考)如图(1)所示,有两棵树,一棵高12米,另一棵高7米,两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行米.〔解析〕如图(2)所示,过点B作BC⊥AC于C,依题意有AC=5,BC=12,则AB==13(米).故填13.[方法归纳]勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直角三角形,从而利用勾股定理求解.【针对训练3】(2014·湘潭中考)如图所示,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求在直线l上距离D点多远的C处开挖?(≈1.414,精确到1米)解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,∴CB=CD,在Rt△DCB中,CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002,∴CD=400≈566(米).答:在直线l上距离D点566米的C处开挖.专题四用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形【专题分析】一般以选择题的形式考查,题目较为基础.有时给出含有a,b,c三个字母的等式,以解答题形式出现时难度较大一些,主要是学生对等式变形较难,或对问题考虑不全面.(2014·滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,,3〔解析〕∵42=16,52=25,62=36,∴42+52≠62,∴长为4,5,6的线段不能构成直角三角形;∵1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,∴1.52+22=2.52,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B.[方法归纳]给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两线段长的平方和等于第三条线段长的平方;(3)做出判断.【针对训练4】已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判定△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0,∴(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,∴(a2+b2-c2)(a2-b2)=0.得a2+b2=c2或a=b或a2+b2=c2且a=b,即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.专题五勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用【专题分析】勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题目,难度较大.一般以解答题的形式出现,常常与其他知识点综合起来考查.如图(1)所示,三块正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩,三个正方形恰好围着一个池塘.现要将这560英亩的土地拍卖,如果有人能计算出池塘的面积,则池塘不计入土地面积白白奉送,英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗?〔解析〕利用三个正方形的面积可得出相应三角形三边的平方,进而利用74=52+72,116=42+102,370=92+172,利用勾股定理的逆定理求出即可.解:如图(2)所示,∵74=52+72,∴AB是两直角边长分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形,得Rt△ABE.同理,作出Rt△BCF,其中BF=4,FC=10.延长AE,CF交于D,则AD=9,CD=17,而AC2=370=92+172=AD2+CD2,∴△ACD是直角三角形,∠ADC=90°.∴S△ABC=S△ADC-S△AEB-S△BCF-S长方形EDFB=×17×9-×7×5-×10×4-4×7=11(英亩).即池塘的面积为11英亩.[解题关键]解决本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形.用构造法解题,有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74,116,370相当于池塘的三条边长的平方,因而联想到勾股定理,得74=52+72,116=42+102,370=92+172.于是作出图,运用勾股定理的逆定理,问题就得以解决.【针对训练5】已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,求证AB=AC.证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm.在△ABD中,∵AD2+BD2=169,AB2=169,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴AC2=AD2+DC2=169,∴AC=13 cm,∴AB=AC.专题六用勾股定理计算最短路径【专题分析】此类题目常以选择题或填空题的形式出现,几何体多以正方体、长方体、圆柱体出现,题目的分值一般在3分左右.如图所示,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.〔解析〕将圆柱侧面展开,将A,C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.如图所示,将圆柱侧面展开(沿点A竖直剖开)后,侧面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形,作A关于MN的对称点B,连接BC交MN 于点P,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由对称性和三角形的三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP.由已知和长方形的性质,得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC===15,∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.故填15.[方法归纳]在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想,利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长为9 cm,而不是18 cm.【针对训练6】(2014·枣庄中考)如图(1)所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图(2)所示的几何体,一只蚂蚁沿着图(2)的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.〔解析〕要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图(2)的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.部分展开图如图所示,△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,连接AB,交CD于E,则AB⊥CD.在Rt△BCD中,CD==6 cm,∴BE=CD=3 cm.在Rt△ACE中,AE==3 cm,∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.故填(3+3).专题七数形结合思想【专题分析】勾股定理是已知三角形是直角三角形(形),得到三角形三边的数量关系(数);勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数),得到这个三角形是直角三角形(形).二者相互结合,能使抽象的数量关系直观化,有效地分析问题和解决问题.如图所示,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是.〔解析〕由题意联想勾股数,可连接AC,把四边形的问题转化为三角形的问题.连接AC,在Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,∴AC=5.在△ACD中,∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=6+30=36.故填36.[方法归纳]勾股定理及其逆定理是沟通代数、几何知识的桥梁,在计算中往往会多次运用这两个定理. 【针对训练7】有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹断,且新断处比前次低了5 cm,标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.解:如图所示,设第一次吹断后下段AB的长为x cm,上段BC的长为y cm,则第二次断后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm.依题意得②-①得10(x+y)=500,∴x+y=50,故标杆的高为50 cm.专题八分类讨论思想【专题分析】在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,要考虑分类讨论.常以解答题的形式出现,解决这些问题时,容易遗忘另外的情况,一定要根据题目分类讨论,讨论要全面,不能重复和遗漏.已知Rt△ABC中,两边的长分别是3,5,求第三边的长.〔解析〕已知的两边可能是直角边,也可能一条是直角边而另一条是斜边,因此需要分类讨论.解:当已知两条边是直角边时,由勾股定理得第三条边的长为=;当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时,第三边长为=4.∴第三边的长为或4.[易错提示]在利用勾股定理时不可盲目,需要明确哪条边是斜边,否则会遗漏情况,造成丢解的错误. 【针对训练8】如图所示的是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从木块上的一定点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是()A.(3+2)厘米B.厘米C. 厘米D.9厘米〔解析〕这个问题是个空间问题,应该把其平面化.所以将长方体展开是解决本题的关键.分三种情况:(1)如图(1)所示,可得AB2=102+32=109.(2)如图(2)所示,可得AB2=72+62=85.(3)如图(3)所示,可得AB2=42+92=97.比较可以发现沿图(2)的爬行路径路程最短,为厘米.故选C.专题九建模思想【专题分析】能运用勾股定理解决简单的实际问题,建立直角三角形的模型,将其转化为数学问题.勾股定理中的直角三角形三边满足a2+b2=c2(c为斜边长),这本身就是一个等量关系,所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法.以解答题的形式出现较多,常常找到或构建直角三角形,根据勾股定理直接计算或建立方程计算.如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.〔解析〕由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),Rt△ABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长.解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2.∴大树AB的高度为10+2=12(米).【针对训练9】如图所示的是长为40 cm,宽为16 cm的长方形纸片,M点为一边上的中点,沿过M的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,那么M点在(填“长”或“宽”)上,若M点所在边的一个顶点能落在对边上,那么折痕长度为cm.〔解析〕若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,通过折叠就可发现答案.过M作ME⊥AD于E,可得出四边形ABME为长方形,利用长方形的性质得到AE=BM,AB=EM.分两种情况考虑:(1)如图(1)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AB上,B'落在AE上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又∵BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE-B'E=20-12=8.设AG=x,则GB'=GB=16-x.在Rt△AGB'中,根据勾股定理得GB'2=AG2+AB'2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,∴GB=16-6=10,在Rt△GBM中,根据勾股定理得GM==10(cm).(2)如图(2)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AE上,B'落在ED上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE+B'E=20+12=32.设AG=A'G=y,则GB'=AB'-AG=32-y,A'B'=AB=16.在Rt△A'B'G 中,根据勾股定理得A'G2+A'B'2=GB'2,即y2+162=(32-y)2,解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE-AG=20-12=8,在Rt△GEM中,根据勾股定理得GM==8(cm).综上,折痕MG=10 cm或8 cm.〔答案〕宽10或8本章质量评估(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=144,b2=25,则c等于()A.169B.13C.169或119D.13或2.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的边长为()A. cmB.4 cmC. cmD.3 cm3.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()A.∠A=∠B-∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C.a∶b∶c=1∶2∶2D.b2=a2-c24.下列说法正确的是()A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题也是假命题5.如图所示,点A所表示的数是()A.1.5B.C.2D.6.D是△ABC中BC边上一点,若AC2-CD2=AD2,那么下列各式中正确的是()A.AB2-BD2=AC2-CD2B.AB2=AD2-BD2C.AB2+BC2=AC2D.AB2+BC2=BC2+AD27.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定8.已知一个三角形的三条边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是()A.12 cmB.11 cmC.10 cmD.9 cm9.如图所示,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为NM,则线段CN的长是()A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm10.(2014·钦州中考)如图所示,6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中,如果从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种二、填空题(每小题4分,共32分)11.小明将一副三角板按如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC的长为.12.如图所示的是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段条.13.如图所示,三个村庄A,B,C之间的距离分别是AB=5 km,BC=12 km,AC=13 km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,则修这条公路的最低造价是元.14.如图所示,在四边形ABCD中,已知四条边的比为AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠B=90°,则∠DAB的度数为.15.(2014·甘孜中考)如图所示,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.16.如图所示,已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰直角三角形ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰直角三角形ADE,…,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是.17.如图所示,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,那么这圈金属丝的周长最小为 dm.18.(2014·黄冈中考)如图所示,在一张长为8 cm,宽为6 cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为cm2.三、解答题(共58分)19.(8分)(2015·天津中考节选)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.如图所示,当BE=时,计算AE+AF的值.20.(8分)如图所示,四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC与BD相交于O,且AC⊥BD,则a,b,c,d之间一定有关系式:a2+c2=b2+d2,请说明理由.21.(10分)如图所示,一个工人师傅要将一块正方形ABCD的余料修剪成四边形ABEF的零件,其中CE=BC,F是CD的中点.(1)若正方形的边长为a,试用含a的代数式表示AF2+EF2的值;(2)连接AE,则△AEF是直角三角形吗?为什么?22.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D,将△ADE沿DE所在直线折叠,使点A恰好与点B重合,若CD=2,求AB的长.23.(10分)若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.24.(12分)如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.(1)求AO与BO的长.(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC∶BD=2∶3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米.【答案与解析】1.D(解析:由于已知条件中没有说明哪条边是斜边,因此c的取值可能有两种情形:①c==13;②c==.)2.A(解析:根据勾股定理的几何意义,得S A+S B+S C+S D=S最大正方形,设正方形D的边长为x cm.则6×6+5×5+5×5+x2=100,解得x=.故选A.)3.C(解析:A.∠A=∠B-∠C,△ABC是直角三角形;B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,△ABC是直角三角形;C.a∶b∶c=1∶2∶2,△ABC不是直角三角形;D.由b2=a2-c2得b2+c2=a2,△ABC是直角三角形.故选C.)4.A(解析:每一个命题都有逆命题,A选项正确;每个定理的逆命题不一定成立,所以每个定理不一定有逆定理,B选项错误;真命题的逆命题有可能是假命题,C选项错误;假命题的逆命题有可能是真命题,D选项错误.故选A.)5.D(解析:由图知两直角边长为1,2,根据勾股定理,得=,以原点为圆心,为半径画弧,与数轴正半轴的交点所表示的数为.故选D.)6.A(解析:∵AC2-CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴AD⊥BC,∴△ABD是直角三角形,∴AB2-BD2=AC2-CD2.故选A.)7.B(解析:由a+b=4,ab=1可得a2+b2=(a+b)2-2ab=14=c2,所以△ABC是直角三角形.)8.A(解析:因为152+202=625=252,所以这个三角形是直角三角形,25 cm长的边为斜边,运用等面积法可得斜边上的高为=12(cm).)9.A(解析:对折问题即对称问题,设CN=x cm,则DN=NE=(8-x)cm.在Rt△CEN中,(8-x)2=42+x2,解得x=3.故选A.)10.C(解析:从A点到B点,若只走小正方形的边,则最短距离为5;若走一条对角线,其余走边,则最短距离为3+;若走两条对角线,其余走边,则最短距离为1+2.∵1+2<3+<5,∴最短距离为1+2.走两条对角线,其余走边的方法共有3种:A→C→F→B,A→E→F→B,A→E→D→B.故选C.)11.(解析:∵BD=CD=2,∴BC==2.设AB=x,则AC=2x,∴x2+(2)2=(2x)2,∴x=(负值舍去),AC=2AB=.)12.8(解析:根据勾股定理得=,所以直角边长为1和2的直角三角形的斜边长为,一个“日”字中能作出2条,4个“日”字中能作出8条,故答案为8.)13.120000(解析:∵BC2+AB2=122+52=169,AC2=132=169,∴BC2+AB2=AC2,∴∠ABC=90°.当BD⊥AC时,BD最短,造价最低.∵S△ABC=AB·BC=AC·BD,∴BD==(km).∴最低造价为×26000=120000(元).)14.135°(解析:这道题涉及角度的求解,需要利用勾股定理的逆定理,连接AC.设DA=m(m>0),则AB=2m,BC=2m,CD=3m.在Rt△ABC中,由AB=BC=2m,得∠BAC=45°,又由勾股定理得AC2=AB2+BC2=(2m)2+(2m)2=8m2,则AC2+AD2=8m2+m2=9m2,又CD2=(3m)2=9m2,∴AC2+AD2=CD2,从而∠DAC=90°,∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°.)15.(解析:由于小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,故可分别用a,b表示小正方形与大正方形的面积得(b-a)2=k2(k>0),a2+b2=13k2,即a2+b2-2ab=k2,a2+b2=13k2,所以ab=6k2.可得(a+b)2=25k2,所以b-a=k,a+b=5k,解得a=2k,b=3k,所以直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.)16.()2013(解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍,第一个三角形(也就是Rt△ABC)的斜边长为1×=;第二个三角形的直角边长是第一个三角形的斜边长,所以它的斜边长为×=()2;…;第n个三角形的直角边长是第(n-1)个三角形的斜边长,所以其斜边长为()n.则第2013个等腰直角三角形的斜边长是()2013.)17.4(解析:根据题意得AB=2 dm,BC=×4=2(dm),由勾股定理,得AC=2 dm,∴这圈金属丝的周长最小为4 dm.)18.或5或10(解析:有三种可能图形.(1)如图(1)所示,面积=×5×5=(cm2).(2)如图(2)所示,面积=×5×4=10(cm2).(3)如图(3)所示,面积=×5×2=5(cm2).)19.解:当BE=时,AE= =,又DF=BE=,由勾股定理得BD==5,所以BF==AF,所以AE+AF=+=.20.解:∵AC⊥BD,∴a2=OA2+OB2,b2=OB2+OC2,c2=OD2+OC2,d2=OA2+OD2,∴a2+c2=OA2+OB2+OC2+OD2,b2+d2=OA2+OB2+OC2+OD2,∴a2+c2=b2+d2.21.解:(1)AF2+EF2=a2+a2=a2.(2)△AEF是直角三角形.理由如下:∵AE2=AB2+BE2=a2=AF2+EF2,∴△AEF是直角三角形.22.解:∵将△ADE沿DE所在直线折叠得到△BDE,∴△ADE≌△BDE,∴AD=BD,AE=BE,∠AED=∠BED=90°,∠ADE=∠BDE.又∵BD平分∠ABC,∠C=90°,∴CD=ED=2,易证Rt△BDC≌Rt△BDE,∴BC=BE,∠BDC=∠BDE,∴∠ADE=∠BDE=∠BDC=60°,∴∠CBD=30°,∴在Rt△BDC中,BD=2CD=4,则BC==2,∴AB=2BE=2BC=4.23.解:原式可变形为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.因为平方具有非负性,所以可得a=5,b=12,c=13.又因为52+122=132,所以△ABC是一个直角三角形.24.解:(1)Rt△AOB中,∠O=90°,α=60°,∴∠OAB=30°,又AB=4米,∴OB=AB=2米,由勾股定理得OA====2(米).(2)设AC=2x米,则BD=3x米.在Rt△COD中,OC=(2-2x)米,OD=(2+3x)米,CD=4米.根据勾股定理得OC2+OD2=CD2,∴(2-2x)2+(2+3x)2=42,∴13x2+(12-8)x=0,∵x≠0,∴13x+12-8=0,∴x=,∴AC=米.即梯子顶端A沿NO 下滑米.。

人教版八年级数学下册第17章勾股定理单元复习试题附答案

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．12．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角的度数之比为1：2：3B．三内角的度数之比为3：4：5C．三边长之比为3：4：5D．三边长的平方之比为1：2：33．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）A．B．13C．6D．254．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2018C．2019D．20205．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CEB＝S△CDBC．S四边形CDAE＝S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD6．校园内有两棵树，相距12米，一棵树高为13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A．10米B．11米C．12米D．13米7．如图，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．4米B．5米C．7米D．10米8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（）A．﹣1B．+1C．﹣1D．+19．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB ＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元B．50a元C．1200a元D．1500a元10．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1400米二．填空题（共7小题）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝．12．有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于．13．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是．14．观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝，b＝，c＝．15．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．16．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC边上一点，若△ABD为“准互余三角形”，则BD的长为．17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则DE长为．三．解答题（共5小题）18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，求斜边AB上的高CD．19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．20．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P 处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？21．一架方梯AB长13米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB为5米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了3米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？22．这是某商场自动扶梯示意图，若将扶梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知扶梯高度CE＝5cm，CD＝1cm，求扶梯AC的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．B．3．A．4．D．5．D．6．D．7．C．8．D．9．A．10．C．二．填空题（共7小题）11．15．12．3或．13．﹣1．14．2n，n2﹣1，n2+1．15．90．16．或．17．．三．解答题（共5小题）18．解：∵∠ACB＝90°，AB＝，∴AC＝＝，∵×AB•CD＝×AC•BC∴CD＝＝＝．19．解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．20．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P 处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：由题意可知：AB＝CD＝3.8米，AD＝12米，PC＝12.8米，∠ADP＝90°，∴PD＝PC﹣CD＝9米，在Rt△ADP中，AP＝＝15米，答：此消防车的云梯至少应伸长15米．21．解：（1）∵AO⊥DO，∴AO＝＝＝12（m），（2）∵AA′＝3m，∴A′O＝AO﹣AA′＝9m，∴OB′＝＝＝，∴BB′＝OB′﹣OB＝﹣5＝2﹣5（m），∴梯子的底端在水平方向滑动了2﹣5米．22．解：设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，∴AE＝（x﹣1）米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即：x2＝52+（x﹣1）2，解得：x＝13，答：扶梯AC的长为13米．。

人教版八年级数学下册第17章勾股定理单元复习试题含答案

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列各组数是勾股数的是（）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5C．7，24，25 D．，，2．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2B．a＝5，b＝12，c＝13C．∠A：∠B：∠C═3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C3．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．4．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝4，BC＝6，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．325．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．56．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和7．如图，今年第9号台风利奇马”过后，市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是（）A．7m B．8m C．9m D．12m8．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（）A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤129．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（）A．11 B．15 C．10 D．2210．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5 B．10 C．15 D．25二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．12．如图，有赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是．13．观察下列各式：32+42＝52；82+62＝102；152+82＝172；242+102＝262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：．14．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为．15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范同内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝米．16．如图，△ABC是边长为12cm的正三角形，动点P从A向B以2cm/s匀速运动，同时动点Q从B向C以1cm/s匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t秒，则t＝时，△PBQ为直角三角形．三．解答题（共5小题）17．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．（1）连结AC，求AC的长；（2）求∠ADC的度数；（3）求出四边形ABCD的面积18．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2 S1＝；OA32＝（）2+1＝3 S2＝；OA42＝（）2+1＝4 S3＝…（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示S n＝；（2）推算出OA10＝．（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．19．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A（观测点）正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）20．如图1，在△ABC中，∠B＝22.5°，AC＝5，AD是BC边上的高，AB的垂直平分线交AB 于点E，交BC于点F．（1）判别AD与DF的数量关系并证明；（2）过F点作FG⊥AC于点G，交AD于点O（如图2），若OD＝3，求BC的长度．21．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、22+32≠42，故此选项错误；B、0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项错误；C、72+242＝252，故此选项正确；D、（）2+（）2≠（）2，同时它们也不是正整数，故此选项错误．故选：C．2．解：A、∵a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴最大角∠C＝×180°≠90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；D、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．3．解：∵AB＝3，AD＝1，∴AC＝＝，∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，AM＝AC＝，∵A点表示﹣1，∴M点表示的数为：﹣1，故选：A．4．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝82+62＝100所以x＝10所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．6．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．7．解：根据勾股定理可知：折断的树高＝＝5米，则这棵大树折断前的树高＝3+5＝8米．故选：B．8．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣12＝13cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，故h＝25﹣13＝12cm．故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．故选：A．9．解：利用勾股定理可得S a＝S1+S2，S b＝S2+S3，S c＝S3+S4，∴S a+S b+S c＝S a＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝7+4+4＝15．故选：B．10．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．所以，E应建在距A点15km处．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．12．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝27，∴GF2＝9，∴S2＝9，∵S3＝1，∴S1的值是17．故答案为17．13．解：根据规律，下一个式子是：352+122＝372．14．解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB＝＝＝5，因为52+122＝132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即×12×5﹣×3×4＝30﹣6＝24．15．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案是：1.5．16．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝12﹣2x，BQ＝x，∴12﹣2x＝2x，解得x＝3；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（12﹣2x），解得x＝．答：3或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为3或．三．解答题（共5小题）17．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝20cm，BC＝15cm，∴由勾股定理可得：AC＝cm；（2）∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°；（3）由（2）知，∠ADC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，18．解：（1）+1＝n+1Sn＝（n是正整数）；故答案是：；（2）∵OA12＝1，OA22＝（）2+1＝2，OA32＝（）2+1＝3，OA42＝（）2+1＝4，∴OA12＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；故答案是：；（3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝（1+2+3+ (10)＝．即：S12+S22+S32+…+S102＝．19．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，由勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽车的速度为v＝40÷2＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h），∵72（km/h）＞70（km/h），∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．20．（1）AD＝DF，理由如下：证明：如图1，连结AF，∵EF是AB的垂直平分线，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝22.5°，∴∠AFD＝45°，∵AD是BC边上的高，∴△AFD是等腰直角三角形，∴AD＝DF；（2）解：∵FG⊥AC，AD⊥BC，∴∠FGC＝∠ADF＝90°，∠GFC+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∴∠GFC＝∠DAC，∵AD＝DF，∴△ODF≌△CDA，∴OD＝CD＝3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝4，连结AF，在Rt△ADF中，AD＝DF＝4，∴AF＝＝＝4，∴BF＝AF＝4，∴BC＝BF+DF+CD＝4+4+3＝7+4．21．解：（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S＝×4×t＝2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3﹣＝．。

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试卷附答案

人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A ．3，5，6B ．2，3，4C ．1，2D ．3，42．下列命题中是假命题的是()A ．△ABC 中，若∠B ＝∠C －∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．△ABC 中，若a 2＝(b ＋c)(b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形D ．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图：图形A 的面积是()A ．225B ．144C ．81D ．无法确定4．图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是：A ．a<c<bB ．a<b <cC ．c<a<bD ．c<b<a5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是()A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米6．如图：在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（）A．75B．100C．120D．125 7．三角形的三边长满足关系：(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是() A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则AB边上的高是()A．365B．1225C．94D．3349．如图，将一个含有45 角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 角，则三角板最长的长是（）A．2cm B．4cm C．D．10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A cm B．4cm C D．3cm11．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒B．16秒C．20秒D．30秒．12．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是()A．3B．154C．5D．152评卷人得分二、填空题13．一个直角三角形的两边为6,8,第三边为__.14．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积_____________.15．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米.16．如图，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为_____．17．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．评卷人得分三、解答题18．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____________19．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？20．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积.21．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？22．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）222AD DB DE +=．23．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.(1)A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？24．如图l ，在AABC 中，∠ACB=90°，点P 为ΔABC 内一点.(1)连接PB ，PC ，将ABCP 沿射线CA 方向平移，得到ΔDAE ，点B ，C ，P 的对应点分别为点D 、A 、E ，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP ⊥CE ，BP=3，AB=6，求CE 的长(2)如图3，以点A 为旋转中心，将ΔABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接PA 、PB 、PC ，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.参考答案1．C【解析】3+56≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；A、2222+34≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、2221+=2，能构成直角三角形，故符合题意；C、222D 、2223+4≠，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选C ．2．C【解析】【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．【详解】解：A 、∠B+∠A=∠C ，所以∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意．B 、若a 2=（b+c ）（b-c ），所以a 2+c 2=b 2，所以△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意．C 、若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．D 、若a ：b ：c=5：4：3，则△ABC 是直角三角形，故本选不项符合题意．故选C ．【点睛】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．3．C【解析】试题解析：由勾股定理可得：图形A 的面积22514481.=-=故选C.4．C【解析】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC 、BC 分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC 、BC ，然后比较三边的大小即可．解答：解：∵AC=，=∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b ．故选C ．5．A【解析】【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度.【详解】如图所示，=12米，故选A．6．B【解析】【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．7．B【解析】【分析】根据题意，对(a+b)2=c2+2ab进行化简、整理，可得a2+b2=c2；接下来，由勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.【详解】解：∵(a+b)2=c2+2ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形.故选B.【点睛】本题是判断三角形形状的题目，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理；8．A【解析】试题解析：设点C到AB的距离为h，在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，∵AC=9，BC=12，∴，∵S△ABC =12AC•BC=12AB•h，∴h=12936 155⨯=．故选A．9．D 【解析】【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【详解】过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×2=4，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=4，∴BC2=AB2+AC2=42+42=32，∴BC=，故选D.【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形.10．A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则22222+++=，x=x(65)(5)10（负值已舍），故选A11．B【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．故选B．【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．12．C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．13．或10【解析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】当8是斜边时，第三边长==当6和8是直角边时，第三边长10.故第三边的长为或10故答案为或10【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．24【解析】本题主要考查了三角形.设三角形的三边是3x，4x，5x，根据周长公式可求得三边的长，再根据面积公式即可求得其面积．解：设三角形的三边是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2∴三角形的三边是6，8，10∴三角形的面积=12×6×8=2415．7【解析】，所以地毯的长度为4+3=7米．故答案为7．考点：勾股定理的应用．16．30【解析】【分析】根据勾股定理可得：AB=13，根据图形可得：阴影部分的面积=以BC为直径的半圆的面积+以AC为直径的半圆的面积+△ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积，由此进行计算即可.Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴=13，∴S阴影=222 1121511135122222222πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=30，故答案为30.17．15.【解析】【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．18．50【解析】【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF.同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=12(6+4)×16−3×4−6×3=50.19．木杆断裂处离地面6米.【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，由题意得x2+82=（16-x）2，求出x的值即可．【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，由题意得x2+82=（16-x）2，解得x=6米．答：木杆断裂处离地面6米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．(1)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2)12.【解析】【分析】（1）由已知条件得出b 2-c 2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c ）（b+c+2a ）=0，得出b-c=0，因此b=c ，即可得出结论；（2）作△ABC 底边BC 上的高AD ．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=12BC=3，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)△ABC 是等腰三角形，理由如下：∵a ，b ，c 为△ABC 的三条边的长，b 2+2ab=c 2+2ac ，∴b 2﹣c 2+2ab ﹣2ac=0，因式分解得：(b ﹣c)(b+c+2a)=0，∴b ﹣c=0，∴b=c ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)如图，作△ABC 底边BC 上的高AD.∵AB=AC=5，AD ⊥BC ，∴BD=DC=12BC=3，∴，∴△ABC 的面积=12BC•AD=12×6×4=12.【点睛】本题考查因式分解的应用、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；运用因式分解求出b=c 是解决问题的关键．21．收购站E 应建在离A 点10km 处.【解析】【分析】根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE ≌△EBC ，得出AE=BC=10km ；【详解】∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等.∴DE=CE ，∵DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x,则BE=AB−AE=(25−x)，∵DA=15km，CB=10km，∴x2+152=(25−x)2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处.【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于证明DE=CE.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EC，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2．【详解】（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，AE=BD，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2，∴AD2+DB2=DE2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．23．过点A作AC⊥BF于C，则AC=150千米，150〈200，故A市会受到台风的影响，以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2∵AC⊥BF，∴C1C2=2C1C．在Rt△ACC1中，有C1C=2002−1502=507，∴C1C2=1007km，∴A城受台风干扰的时间为：1007107=10（小时）．【解析】(1)会．理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BF于D，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝300千米．∴A=12A=12×300=150(千米)．又∵AD＝150千米＜200千米，∴A市会受台风影响．(2)设C点刚好受台风影响，E点刚好不受台风影响，则AC＝AE＝200千米．在Rt△ADC中，由勾股定理得A=B2−A2=2002−1502=507(千米)，∴C=2A=1007千米．∴A=10(小时)．24．（1）①补图见解析；②33；（2）37【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=CD2−DE2=36−9=27=33；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得BC=AB2−AC2=62−32=33∴在Rt△BCN中，CN=BC2+BN2=27+36=63=37“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.。

2022-2023学年人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习题(含答案)

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习题一、选择题1．在平面直角坐标系中，点(34)Q --，到原点的距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．72．如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（）A ．12-B ．13-C ．1-D ．13．下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（）A ．3，4，6B ．6，8，10C ．7，24，25D ．9，12，154．如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）A ．7.5尺B ．8尺C ．8.5尺D ．9尺5．一个直角三角形的两条边分别为，，那么这个直角三角形的面积是（）A B ．CD ．6．如图，在ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC AC ，相交于点D ，E ，连接AD ．若45BD DC AE AD ===，，，则AB 的长为（）A ．9B ．8C ．7D ．67．如图，点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格格点上，则AB 边上的高为（）A ．5B C ．6D 8．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米.若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米A ．8B ．10C ．12D ．13二、填空题9．一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为.10．一艘船以20海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距海里．11．如图，在Rt ABC 中，9086C AC BC ∠=︒==，，，D 为AC 上一点，若BD 是ABC ∠的角平分线，则AD =．12．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若420b a c -==，，则每个直角三角形的面积为．三、解答题13．如图，在四边形ABCD 中，90C ∠=︒，1BC CD ==，2AB =，6AD =．求ABC ∠的度数．14．如图，在ABC 中，3AC =，2AB =，E 是边BC 的中点，且52AE =．求证：ABC 是直角三角形．15．要把宣传牌()AB ，装订在教室的黑板上面（如图所示）．一架梯子（5AE =米）靠在宣传牌()AB A ，底端落在地板E 处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌()AB 的B 处，而底端E 向外移到了1米到C 处（1CE =米）．测量得4BM =米．求宣传牌()AB 的高度（结果用根号表示）．四、综合题16．如图，在四边形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且BE CD =，B AED C ∠=∠=∠．（1）求证：EAD EDA ∠=∠；（2）若60C ∠=︒，4DE =时，求AED 的面积．17．如图，永定路一侧有A 、B 两个送奶站，C 为永定路上一供奶站，CA 和CB 为供奶路线，现已测得8km AC =，15km BC =，AC BC ⊥，130∠=︒．（1）连接AB ，求两个送奶站之间的距离．（2）有一人从点C 处出发，沿永定路路边向右行走，速度为2.5km /h ，多长时间后这个人距B 送奶站最近？18．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中ABC 的形状是；（2）在图1中确定一点D ，连接DB DC ，，使DBC 与ABC 全等但不成轴对称；（3）在图2中确定一点D ，连接DB DC ，，使DBC 与ABC 成轴对称；（4）在图3中ABC 边BC 上找一个点D ，使得它与点A B ，与点A C ，构成的三角形为等腰三角形．19．如图，点O 是等边 ABC 内一点，将CO 绕点C 顺时针旋转60°得到CD ，连接OD ，AO ，BO ，AD ．（1）求证： BCO≌ ACD．（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：点(34)Q --，到原点的距离为=5，故答案为：C.【分析】直接利用勾股定理计算即可.2．【答案】D【解析】=，则点A 表示的数为1-，故答案为：D ．【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线的长，即可得到点A 表示的数为13．【答案】A【解析】【解答】解：A 、∵32+42≠62，∴由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项符合题意；B 、∵62+82=102，∴由勾股定理的逆定理可知这三条线段能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；C 、∵72+242=252，∴由勾股定理的逆定理可知这三条线段能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；D 、∵92+122=152，∴由勾股定理的逆定理可知这三条线段能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；故答案为：A.【分析】分别计算各选项中各数的平方，观察是否满足a 2+b 2=c 2，由勾股定理的逆定理可知：若满足，则可构成直角三角形，反之，不能构成直角三角形，结合各选项即可判断求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：设芦苇的长度为x 尺，则AB 为（x-1）尺，根据勾股定理得：2228(1)(2x x -+=，解得：8.5x =，∴芦苇的长度为8.5尺.故答案为：C.【分析】设芦苇的长度为x 尺，则AB 为（x-1）尺，利用勾股定理建立方程，求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：分两种情况：2==，则S ∆=122⨯=为直角边时，则S ∆=12=；.故答案为：C.为斜边时，用勾股定理求出另一条直角边，然后根据直角三角为直角边时，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半可求解.6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线，∴AC =2AE =8，DA=DC ，∴∠DAC=∠C ，∵BD =CD ，∴BD =AD ，∴∠B =∠BAD ，∵∠B+∠BAD+ZC+∠DAC =180°，∴2∠BAD+2∠DAC =180°，∴∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAC =90°，∵BC =BD+CD =2AD =10，∴6AB ===，故答案为：D.【分析】根据垂直平分线求出AC =2AE =8，DA=DC ，再求出∠B =∠BAD ，最后利用勾股定理计算求解即可。

2022年最新人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项测评试卷(含答案详解)

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一圆柱高12cm，底面半径为3cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程（取3）是（）A．15cm B．21cm C．24cm D2、如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间3、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．4，5，6 C．4，6，8 D．5，12，134、如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里5、若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（）A．4、6、8 B．3、4、5C．5、12、13 D．1、36、如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．D．67、下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13 B．23，24，25C．1D．7，24，268、以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，4 D．1 39、在棱长为1的正方体中，顶点A，B的位置如图所示，则A、B两点间的距离为（）A．1 BC D10、以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A．2，3，5 B．6，8，9 C．5，12，13 D．6，12，13第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）E为AC的中点，F为AB上一点，将△AEF1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB沿EF折叠得到△DEF，DE交BC于点G，若∠BFD＝30°，则CG＝_____．2、如图，若△ABC≌△EFC，且CF＝3cm，∠EFC＝60°，则AC＝______________．3、如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．4、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝_____________．5、如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，B（﹣6，0），则点A的坐标为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．2、如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？3、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？4、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．5、如图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B两点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点．（2）在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点．（3）在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD 不全等．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】根据题意可把立体图形转化为平面图形进行求解，如图，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：如图，∵圆柱高12cm，底面半径为3cm，∴2312cm,392BC ACππ⨯====，∴在Rt△ACB中，由勾股定理得15cmAB=，∴蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程为15cm；故选A．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理求最短路径问题是解题的关键．2、C【分析】因为△OAB是一个直角三角形，且有OC=OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可判断其大小．【详解】解：∵AB⊥OA∴在直角三角形OAB中有OA2+AB2=OB2∴.OB＜5又∵OC=OB∴点C所表示的数介于4和5之间故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．3、D先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．4、D【分析】根据题意可知∠AOB=90°，然后求出出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O 向西北方向航行，∴∠AOB=90°，∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，∴15AB==海里，故选D．本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能熟练掌握勾股定理．5、A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A 、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；B 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C 、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D 、12+32=2，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6、A【分析】设CD x =米，BD y =米，根据勾股定理用含x 的代数式表示y ，进而列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设CD x =米，BD y =米，在Rt BCD 中，222BD BC CD =-，即2224y x =-，在Rt BAD 中，222BD AB AD =-，即222(4)y x =-+，22224(4)x x ∴-=-+，解得：2x =，即2CD =米，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理列出方程．7、A【分析】根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足222+=a b c ，称为勾股数．由此判定即可．【详解】解：A 、22251213+=，是勾股数，符合题意；B 、222222(3)(4)(5)+≠，不是勾股数，不符合题意；CD 、22272426+≠，不是勾股数，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．8、B【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边分别为a ，b ，c ，满足222+=a b c ，则该三角形是以c 为斜边的直角三角形，由此依次计算验证即可．【详解】解：A 、22245416+=≠，则长为4，5，6的线段不能组成直角三角形，不合题意；B 、22281528917+==，则长为8，15，17的线段能组成直角三角形，符合题意；C 、22223134+=≠，则长为2，3，4的线段不能组成直角三角形，不合题意；D 、222133+=≠，则长为13的线段不能组成直角三角形，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键．9、C【分析】根据Rt△ABC 和勾股定理可得出AB 两点间的距离．【详解】解：在Rt△ABC 中，AC ＝1，BC=可得：AB =故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上A 、B 两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键． 10、C【分析】根据两小边的平方和是否等于最长边的平方进行判断是否是直角三角形．【详解】A 、选项：22223135+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、选项：222681009+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、选项：22251216913+==，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D 、选项：22261218013+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．二、填空题1、2【分析】由直角三角形的性质求出AC =AFE DFE ∠=∠，AEF DEF ∠=∠，可求出90GEC ∠=︒，由勾股定理可求出CG 的长．【详解】解：60A ∠=︒，90B ∠=︒，30C ∴∠=︒， 3AB =，2AC AB ∴==，E 为AC 的中点，12AE CE AC ∴=== 将AEF ∆沿EF 折叠得到DEF ∆，AFE DFE ∴∠=∠，AEF DEF ∠=∠，180********AFD BFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，1752AFE AFD ∴∠=∠=︒， 180180607545AEF A AFE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，290AED AEF ∴∠=∠=︒，90GEC ∴∠=︒，设EG x =，则2CG x =，222EG CE CG +=， ∴222(2)x x +=，解得1x =，2CG ∴=．故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2、【分析】根据ABC EFC ≌得出,90CF BC ACB ECF =∠=∠=︒，得出30E ∠=︒，根据勾股定理得CE =AC EC =即可得出．【详解】解：ABC EFC ≌，,90CF BC ACB ECF ∴=∠=∠=︒，30E ECF EFC ∴∠=∠-∠=︒，26EF CF ∴==，CE ∴==AC EC =，AC ∴=故答案是：【点睛】本题考查了三角形全等，勾股定理，含30对应的边等于斜边的一半，解题的关键是掌握全等三角形的性质．3、5【分析】分两种情况讨论：当3,4AM NM为直角边时，当4MN =为斜边时，则3AM =为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当3,4AM NM为直角边时， 22345,BN 当4MN =为斜边时，则3AM =为直角边， 22437,BN故答案为：5【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.4【分析】作PE OB ⊥，则PD PE =，由等腰三角形的性质可得，2OC PC ==，在Rt PCE △中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：作PE OB ⊥，如下图：∵OP 平分AOB ∠，PE OB ⊥，PD OA ⊥，∴PD PE =，1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，∵PC OA ∥，∴30DOP OPC POC ∠=∠=︒=∠，∴2OC PC ==，60PCE POC OPC ∠=∠+∠=︒，在Rt PCE △中，2PC =，60PCE ∠=︒，∴30CPE ∠=︒ ∴112CE CP ==，由勾股定理得，PE =，【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及含30直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．5、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B （﹣6，0），∴OB ＝6，∵AB ＝AO ，AC ⊥BO ，∴OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC 4=，∴A （﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．三、解答题1、3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x 米，则斜边为（8-x ）米．利用勾股定理解题即可．【详解】解：由题意知BC ＋AC ＝8，∠CBA ＝90°，∴设BC 长为x 米，则AC 长为（8x -）米，∴在Rt△CBA 中，有222BC AB AC +=，即：22)8(16x x -=+，解得：3x =，∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 2、0.8##【分析】在直角三角形ABC 中运用勾股定理求出BC 的长，进而求得CE 的长，再在直角三角形EDC 中运用勾股定理求出DC 的长，最后求得AD 的长即可．【详解】解：∵在Rt ABC 中， 2.5,0.7AB AC ==∴ 2.4BC=∴2CE BC BE=-=∵在Rt CDE中 2.5DE=∴ 1.5CD=∴0.8AD CD AC=-=．【点睛】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，灵活利用勾股定理解直角三角形成为解答本题的关键．3、（1）12米；（2）7米【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt AOB，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，∴CO=AO-AC=12-7=5米，在Rt COD△，由勾股定理得：OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米∴BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定2222223110,2313,1417,AB AC BC再顺次连接,,A B C即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可.【详解】解：（1）如图，ABC即为所求作的三角形，其中：2222223110,2313,1417,AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABCS故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.5、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据勾股定理AB，以AB为底等腰直角三角形，两直角边为x, 根据勾股定理求出x=找横1竖2个格，或横2竖1个格画线即可；（2）以AB为腰的等腰△ABD，AB=AD,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD； AB=BD,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD．（3）以AB为腰的等腰△ABD，AB=BE,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；如图△ABE．AB=AE,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE与图②中所画的△ABD 不同即可．【详解】AB为底等腰直角三角形，两直角边为x, 根据勾股定理解：（1）∵根据勾股定理AB22+=，解得x=横1竖2，或横2竖1个画线；如图△ABC；x xABD，AB=AD,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画（2）以AB线；如图△ABD；AB=BD,以点B为起点找横1竖3个格画线，或横3竖1个格；如图△ABD；（3）以AB ABD，AB=BE,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；如图△ABE．AB=AE,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等．【点睛】本题考查网格作图，掌握网格作图方法与勾股定理，利用勾股定理确定腰长构造直角三角形是解题关键．。

人教八年级下册数学_第十七章复习同步练习

《勾股定理》复习一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a2＋b2＝c2；D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a2＋b2＝c2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．如果Rt △的两直角边长分别为k2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+1C 、k2－1D 、k2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿. 16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB2＋BC2＋AC2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．ACB2、有一个直角三角纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑薄膜？AECDB5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车B C观测点答案: 一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．【素材积累】1、冬天是纯洁的。

人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》综合检测题含答案

人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》综合检测题含答案一、选择题(每题3分,满分30分)1. 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为勾股数的有( )组A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（）A. 三角形中有两个角是互为余角B. 三角形三个内角之比为3∶2∶1C. 三角形的三边之比为3∶2∶1D. 三角形中有两个内角的差等于第三个内角 3. 已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为（）A.13B.119Ｃ.13或119 Ｄ.不能确定4. 在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A. 5、4、3、B. 13、12、5C.10、8、6D.26、24、105. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图1，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．中间小正方形与大正方形的面积比是（） A ．12 B ． 14 C ． 15 D ． 1106. 已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为（） A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对7. 如图2，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米8. 图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是A ．13B ．26C ．47D ．94图1图29.如图4，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°10. 如图5，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )A ．521B ．25C ．105+5D ．35二、填空题(每题3分,满分24分)11. 已知甲乙两人从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲乙俩人相距__________.12. 如图6，某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应_________米．13. 已知2512(13)0x y z -+-+-= ,则由此z y x ,,为三边的三角形是三角形. 14.如图7，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．15. 三边长为三个连续偶数的三角形会不会是一个直角三角形，如可能,那么这三条边为 ______________.16. 某楼梯的侧面视图如图8所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为．17. 已知：如图9，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝5,则图中阴影部分的面积为．52015 10CA B B 1.52 A 图6 CBA图4图5B C A 30° 图7 图8ABC EF H第12题图 18.长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图10所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．三、解答题(满分66分)19.(满分6分) 已知：如图11所示，等边三角形ABC 的边长是6cm.求：(1)高AD 的长；(2)△ABC 的面积.20. (满分8分) 如图12,每个小方格都是边长为1的小正方形, △ABC 的位置如图所示,你能判断△ABC 是什么三角形吗?请说明理由.21.(满分8分)如图13，己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB ，求四边形ABCD 的面积.22. (满分8分)如图14，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45o方向上．（1）求出A ，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．图9 A CDB图11 图10图13 B AD C北东A C Dl图1423. (满分8分)学习了勾股定理以后,小明同学提出“在直角三角形中,三边满足222a b c +=,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验:(1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a =______mm;b =_______mm;较长的一条边长c =_______mm. 比较222__a b c + (填写“>” ,“<”, 或“=”);(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a =______mm;b =_______mm;较长的一条边长c =_______mm. 比较222__a b c + (填写“>” , “<”, 或“=”);(3)根据以上的操作和结果,对小明同学提出的问题,你可以猜想出什么结论？24. (满分8分)如图15，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？25. (满分10分)如图16是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．cba cba cbacbaccE图15 图1626. (满分10分)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.D5.C6.A7.B8.C9.C 10.B 二、填空题11. 5km 12. 2.5 13. 直角 14. 4 15. 6、8、10 16. （2+23）米 17. 25 18. 三、解答题19.(1)(2)20. 直角三角形 .由勾股定理得：AB =BC =5AC =满足2225+=，由勾股定理的逆定理得三角形是直角三角形.21. 析解：连接AC,在Rt △ABC 中，由勾股定理得5432222=+=+=BC AB AC ,在Rt △ACD 中因为22222251213AC CD AD +=+==,所以由勾股定理的逆定理得︒=∠90ACD . 所以1512302ACD S =⨯⨯=△,又因为13462ABC S =⨯⨯=△, 所以ABC ACD ABCD S S S =+△△四边形63036=+=.22. 解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°．ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=，BO =∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）．方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形，图18图17图19 A DC BA D BC AD BC∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB ==km ）∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M N ，，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．23.(1)根据自己的作图,填出a 、b 、c 的值，< (2) 根据自己的作图,填出a 、b 、c 的值，> (3)只有在直角三角形中,才满足两条较短边的平方和等于较长边的平方.24. 解:由折叠得, △A CD ≌△AED,所以AC=AE,CD=ED. 由勾股定理得,AB=10.设CD x =, 则DE x =，8BD x =-，在Rt BDE △中，由勾股定理列方程得，2224(8)x x +=- 解得3x =，即3CD =. 25. 方法一解：（1）如图（2）证明：Q 大正方形的面积表示为2()a b +,大正方形的面积也可表示为2142c ab +⨯,221()42a b c ab ∴+=+⨯，22222a b ab c ab ++=+，222a b c ∴+=．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二解：（1）如图（2）证明：Q 大正方形的面积表示为2c ，又可以表示为：214()2ab b a ⨯+-, BA CDlN MOPabc a bccccbb b aaa2214()2c ab b a ∴=⨯+-，22222c ab b ab a =+-+，222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方26. 解：在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，由勾股定理有：10AB =，扩充部分为Rt ACD △，扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图17，当10AB AD ==时，可求6CD CB ==,得ABD △的周长为32m ．②如图18，当10AB BD ==时，可求4CD =,由勾股定理得：AD =得ABD △的周长为(20m +．③如图19，当AB 为底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x =,得ABD △的周长为80m 3．。

人教版八年级数学上册第17章勾股定理复习题(含答案)

人教版八年级数学第17章勾股定理复习题一、选择题（本大题共10道小题） 1. 下列说法正确的是（） A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2. 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为203. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米4. 三角形的三边长为22()2a b c ab +=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.5. 已知ABC ∆的三边为a 、b 、c ，且4a b +=，1ab =，14c =，则ABC ∆是（）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍7. 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<8. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D.89. 已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A . 32B . 332C . 32 D . 不能确定10. 若2212(13)10250x y z z -+-+-+=，以x 、y 、z 为三边长的三角形是（）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题（本大题共8道小题） 11. 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ；（2）如果68a b ==，，则c = ；（3）如果512a b ==，，则c = ；（4）如果1520a b ==，，则c = .12. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8.分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E ，F.过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是________．13.已知直角三角形两边x ，y 的长满足224560x y y --+，则第三边长为______________．14. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．“路”4m3m15. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆=.16.如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.PODC BA17. 如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池AEDF ，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为20cm 和30cm ，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和．．．为 2cm ．18. 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为三、解答题（本大题共4道小题）19. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.20.在ABC ∆中，AD 是BC边上的中线，AB AD ==，AC 求证：30ADB ∠=.DCBAEDCBA21. 在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =()1a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且()1km d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且()2km d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算⑴ 在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；⑵ 在方案二中，组长小强为了计算2d 的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）．探索归纳⑶ ①当4a =时，比较大小：1d 2d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：1d 2d （填“＞”、“＝”或“＜”）；⑷ 请你参考右边方框中的方法指导，就a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？22. 设,,,a b c d 都是正数。

人教版本八下数学第十七章勾股定理单元总结复习测试卷习题有答案

人教版八下数学第十七章《勾股定理》单元测试卷及答案【1】一、选择题（每题 4 分，共 40 分）BC21、在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=2 ，AB = 3，则边 AC 的长是（）A 、 5B 、34D 、13 C、32、如图 1，小正方形边长为1，连结小正方形的三个极点，可得△ABC ，则 AC 边上的高是（）AB CCA图 2B 图 13 2 5 5 3 54 5A 、 2 B、10 C、 5 D 、 53、假如△ ABC 中，∠ A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，那么这个三角形是（）A 、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形4、把直角三角形两直角边同时扩大到本来的 3 倍，则斜边扩大到本来的（）A 、 2 倍B 、 3 倍C、 4 倍D、 5 倍5、对于随意两个正整数m、 n（ m＞ n），以下各组三个数为勾股数的一组是（）A 、 m2+mn，m2－ 1， 2mnB 、 m2－ n2， 2mn，m2+n 2C、m+n， m－ n， 2mn D 、 n2－ 1， n2+mn， 2mn6、如图 2，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为 1，则△ ABC 是（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C、钝角三角形 D 、以上答案都不对北A 东图 3南12 海7、如图 3，一轮船以 16 海里 /小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以里 /小时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，则走开港口2h 后，两船相距（）A 、 25 海里B 、 30 海里C 、 35 海里D 、40 海里 8、以下表达中，正确的选项是（）A 、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方B 、假如一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C 、△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a 、 b 、 c ，若 a 2+b 2=c 2，则∠ A=90°D 、假如△ ABC 是直角三角形，且∠C=90°，那么 c 2=b 2－ a 29、 CD 是 Rt △ ABC 斜边 AB 上的高，若 AB=2 ， AC ：BC=3 ： 1，则 CD 为（）1234A 、 5B 、 5C 、 5D 、 510、如图 4，矩形 ABCG （ AB ＜ BC ）与矩形 CDEF 全等，点 B 、C 、D 在同向来线上， ∠ APE的极点在线段 BD 上挪动，使∠ APE 为直角的点 P 的个数是（） A 、 0B 、 1C 、 2D 、3FEAB ′AGMBPC D 图 4BCA ’二、填空题（每题 3 分，共 30 分）图 511、如图5，将 Rt △ ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转90°到△ A ′ B ′C 的地点，次开发已知斜边 AB=10cm ， BC=6cm ，设 A ′B 的′中点是 M ，连结 AM ，则 AM= cm ．12、如图6，直线 l 过正方形 ABCD 的极点 B ，点 A 、 C 到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则正方形的边长是．ADCEM FA2BDC图 71lB图 622互为相反数，则以 x 、y 、z 为三边的三角形为三13、已知 |x － 12|+（ y －13）和 z － 10z+25 角形（填锐角、直角、钝角）14、如图 7，△ ABC 中，CE 均分∠ ACB ，CF 均分∠ ACD ，且 EF∥ BC 交 AC 于 M ，若 EF=5，2 2．则 CE +CF =15、在△ ABC 中，若 AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线 AD=4cm ，则∠ ADC 的度数是．16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为．17、某人要登上6m 高的建筑物，为保证安全，梯子底端要走开建筑物 2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应许多于m．18、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长20cm，则斜边上的高为．19、如图 8，在△ ABC 中，∠ B=90°， D 是斜边AC 的垂直均分线与BC 的交点，连结AD ，∠ DAC ：∠ DAB=2 ：5，则∠ DAC= ．AAD EBBDC图 9 图 8C20、如图 9，在四边形 ABCD 中， AB ： BC ： CD ：DA=2 ： 2： 3： 1，且∠ ABC=90°，则∠ DAB 的度数是．三、解答题（每题7 分，共 28 分）21、如图 10，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段 AB 和 CD 分别是图中 1×3 的两个矩形的对角线，明显 AB ∥ CD，请你用近似的方法画出过点 E 且垂直于 AB的直线，并证明．FC EADG B图1022、台球是一项文雅的体育运动，此中包括了很多物理、几何学知识，图 11－①是一个台球桌，目标球 F 与本球之间有一个 G 球阻拦．y○（○A ○ （ ○ ABB·E ·E··GG··FFD ○○xD○ ）○）CC图 11-①图 11-②（ 1）击球者想经过击打 E 球，让 E 球先撞球台的 AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球，他应将 E 球打到 AB 边上的哪一点？请在图 10－①顶用尺规作出这一点H ，并作出 E 球的运转路线；（不写画法，保存作图印迹）（ 2）如图 11－②，现以 D 为原点，成立直角坐标系，记 A （ 0， 4）， C （ 8， 0）， E （ 4，3）， F （ 7， 1），求 E 球按方才方式运转到球的路线长度（忽视球的大小）23、如图 12，已知在△ ABC 中， AD 、AE 分别是 BC 边上的高和中线，AB=9cm ，AC=7cm ， BC=8m ，求 DE 的长．AB CED 图 1224、如 13 所示的一地ABCD ，已知 AD=4m ，CD=3m ，∠ ADC=90°，AB=13m ，BC=12m ，，求地的面．CDAB13四、合用（每小11 分，共 22 分）25、察以下勾股数：3，4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 9， 40， 41；⋯，a， b， c依据你的律，写出（1）当 a=19 ，求 b、 c 的．（2）当 a=2n+1 ，求 b、 c 的．（3）用（ 2）的判断 15，111， 112 能否一勾股数，并明原因．26、如 14，南北向MN 我国海，即 MN 以西我国海，以公海，上午950 分，我国反走私 A 艇正方有一走私艇以13 海里 /的速度向我海开来，便立刻通知正在 MN 上巡的我国反走私艇 B 亲密注意．反走私艇 A 和走私艇 C 的距离是 13 海里， A 、 B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇 B 得距离 C 艇 12 海里，若走私艇 C 的速度不，最早会在什么候入我国海？MA E CB14N参照答案一、选择题1～ 10 ACBBB ADBCC提示： 2、如图 1， AC=AB=22 12 = 5 ，BC= 12 12 =2 ，作 AD ⊥ BC 于 D ，则 BD=DC ，2 3A5 2 )AD=( 2= 2设 AC 边上的高为 h ，则 1 1C2 AC ·h= 2 BC ·AD2 3DBC AD2 3 5h= AC =5= 5B 5、可代 m=2，n=1 ，查验图 16、 AC 2=32+22=13 AB 2=62 +42=5 2BC 2=82+1 2=65 ∵ AC 2+AB 2 =BC 2 ∴△ ABC 为直角三角形9、设 AC=3x ， BC=x ，则 22229x +x =4 x = 5由 CD ·AB=AC · BC ，得 CD=ACBC =3xx =3x 2 =3 2 3 AB2 2 2 · =5510、如图 2，作 EH ∥BD ， BH ∥ BD 交于 H ，设 AB=a ，DE=bH F EA G ba BPcCD图 2若 P 在 BC 上，且∠ APE 为直角，有AP 2+PE 2=AE 2=（ a+b ）2 +（ b － a ）2=2 （a 2+b 2）（ 1）又 AP 2+PE 2 =a 2+（b － PC ） 2+b 2+（ a+PC ） 2=2（ a 2+b 2） +2P （ a+PC ）－ 2bpc （2）当 a+PC=b 时，（ 1）、（2）两式相等，此时，∠ APE 为直角当 P 在 C 时也合适，应选 C ．二、填空题11～ 20415 直角25 90° 24 209.6cm 20° 135 °提示： 11、如题图，过 M 作 MN ∥ BA ′，因为 M 为 A ′B 的′中点，因此 N 为 B ′C 的中点在 Rt △ACB 中，由 AB=10 ， BC=6 得 AC=8∴∠ A ′=8B ′ C=6 ∴ B ′ N=NC=3 AB ′ =AC －B ′ C=8－ 6=21∴ AN=2+3=5MN= 2 CA ′ =4在 Rt △ANM 中， AM 2=25+16=41 ∴ AM= 4112、如题图，易证含边长为 1 和 2 的两个直角三角形全等∴正方形边长 = 122=513、由题意知， |x － 12|+（ y － 13） 2=0， z 2－ 10z+25=0∴ x=12， y=13 ，z=5，∵ 122+52=132 ∴为直角△14、证∠ ECF=90°20、连结 AC ，在△ ABC 中，∵∠ ABC=90°， AB=BC=2DA ，∴∠ BAC=45° AC 222 2=AB +BC =8DA 在△ ACD 中，∵ AC 2=8DA 2 ， CD=3DA ∴ AC 2+DA 2=CD 2 ∴∠ CAD=90° ∴∠ DAB= ∠CAD+ ∠BAC=135°三、解答题21、解：直线 AE 为所画的直线如图4F CAED图 4G证明：连B 接 BE ，由网格的特点，得∠ F=∠ G=∠ BCE=90°由勾股定理，得222AE =10， AB =10 ，BE =20∴ AE 2+AB 2=BE 2∴∠ BAE=90°，即 EA ⊥ AB22、解：（ 1）画出正确的图形．如图3（可作点 3 对于直线 AB 的对称点 E 1，连结 E 1F 、E 1F与 AB 交于点 H ，球 E 的运动路线就是EH →HF ）yE 1 HA ○ （ ○B ·E · N G ·FD ○）○ x C 图 3（ 2）过 F 作 AB 的平行线，交 E 1E 的延伸线于点 N ，由题意可知， E 1N=4 ， FN=3 ，在 Rt △FNE 1 中， E 1F= E 1N 2NF 2 =5因为是点 E 1 是点 E 直线 AB 的对称点，因此 EH=E 1 H ，因此 EH+HF=E 1F=5因此 E 球运转到 F 球的路线长度为 523、解：在Rt △ ABC 中， AD 2 =AB 2－BD 2，即 AD 2=92－（ 4+DE ）2在 Rt △ADC 中， AD 2=AC 2－ DC 2即 AD 2=72－（ 4－DE ）2 ∴ 81－（ 4+DE ）2=49－（ 4－DE ）2 ∴（ 4+DE ） 2－（ 4－ DE ） 2=32 8·2DE=32 DE=224、解：连结 AC∵△ ADC 为直角三角形2222∴由勾股定理，得 AC =3 +4 =5 又 AC 2+BC 2=52+122=13 2=AB 2 ∴△ ACB 为直角三角形 ∴ S ABCD =S 112四边形△△25、解：（1） b=180， c=181（ 2）经过察看知 b － a=1，又（ 2n+1） 2+a 2=b 2 ∴ b 2－ a 2=（ 2n+1）2 （ b+a ）（ b － a ） =（ 2n+1）2 ∴ b+a=（ 2n+1） 2∴ b= (2 n 1) 2 1， a=( 2n 1)2 12 2(2 n 1) 2 1 ( 2n 1)2 1（ 3）由（ 2）知， 2n+1， 2 =2n（ n+1 ），2=2n（ n+1 ）+1 为一组勾股数，当n=7 时， 2n+1=15 ， 112－ 111=1，但 2n（ n+1 ）=2×7×8=112≠111，∴ 15， 111， 112 不是一组勾股数26、解：设MN 与 AC 订交于 E，则∠ BEC=90°2 2 2 2 2 2∵ AB +13 =5 +12 =13 =AC∴△ ABC 为直角三角形，∠ ABC=90°因为 MN ⊥ CE，因此走私艇 C 进入我领海的最的距离是 CECE 2 BE 2 144 ①1BC 1BE②2 AB 2 AC SABC144解得 CE= 1314414413÷13= 169≈ 0.85（ h）=51（ min）9 时 50 分 +51 分=10 时 41 分即走私艇C 最早在 10 时 41 分进入我领海．。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题一(含答案) (93)

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题一（含答案）已知三角形三边长为3、4、5，则最小角的正弦是__________．【答案】35【解析】【分析】根据三角形三边长可以判断三角形是直角三角形，再根据三角函数的定义就可以求解．【详解】∵32+42=52，∴这个三角形是直角三角形。

则最小角即3所对的角，它的正弦值是3.5故答案为：35【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解题关键在于掌握其定义82．如图，一张纸片的形状为直角三角形，其中∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，则CD 的长为______cm．【答案】6;【解析】【分析】在Rt△ABC中根据勾股定理得AB=20，再根据折叠的性质得AE=AC=12，DE=DC，∠AED=∠C=90°，所以BE=AB-AE=8，设CD=x，则BD=16-x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理得到82+x2=（16-x）2，再解方程求出x即可．【详解】在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=16，∴=20，∵△ACB沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，∴AE=AC=12,DE=DC,∠AED=∠C=90∘，∴BE=AB−AE=20−12=8，设CD=x，则BD=16−x，在Rt△BDE中,∵BE2+DE2=BD2，∴82+x2=(16−x)2，解得x=6，即CD的长为6cm.故答案为6.【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是知道折叠的性质和勾股定理的使用.83．如图，已知矩形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上．若BE＝3，EC＝5，则AB的长为_____.【答案】6.【解析】分析：根据折叠的性质得出AF =AB ，EF =BE =3，在Rt △EFC 中根据勾股定理求出CF =4，设AF =AB =x ，则AC =x +4，在Rt △ABC 中根据勾股定理列方程即可求出AB 的长．详解：由△ABE 沿着AE 折叠至△AEF 的位置可得：AF =AB ，EF =BE =3，∠AFE =∠B =90°，在Rt △EFC 中根据勾股定理得CF=4，设AF =AB =x ，则AC =x +4，在Rt △ABC 中根据勾股定理得：AB 2+BC 2=AC 2，即x 2+(3+5)2=(x +4)2，解得：x =6，即AB =6．点睛：本题主要考查了矩形中的折叠问题，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键．84．如图，函数0)y x =>的图象与直线(0)y kx k =≠相交于点A ，点B 是OA 的中点，过点B 作OA 的垂线，与x 轴相交于点C ,当点AAC 的长为______________.【答案】3【解析】【分析】过A 作AH x ⊥轴于H ，利用垂直平分线的性质证明,CO CA = 利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：过A 作AH x ⊥轴于H ， 3,A x =1,A y ∴==A ∴1,OH AH ∴==,CB OA B ⊥为OA 的中点，,CO CA ∴=设,CO CA m ==则,CH m = 由勾股定理得：222)1,m m +=m ∴=AC ∴=【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．85．若150BAC ∠=︒，D 、E 为线段BC 上的两点，60DAE ∠=︒，且AD AE =，若3DE =，5CE =，则BD 的长为__________．【答案】16.5【解析】【分析】作AH BC ⊥，求出CH 和AC 的长，作EF ⊥AD 于点F ，作AG ∥EF 交BC 于点G ，，通过证明△ABC ∽GAC,可求出BC 的值，从而可求出BD 的值.【详解】解：作AH BC ⊥，∵60DAE ∠=︒，且AD AE =，∵∵ADE 是等边三角形，∵DH=HE=12DE=32，∵ADE=∵AED=∵DAE=60°,∴CH=32+5=132,AH==sin60°×,∴7=.作EF ⊥AD 于点F ，作AG ∥EF 交BC 于点G ，则∵AEF=∵DEF=30°,AF=DF ，∴∠AGC=150°，GE=DE=3，∴CG=2，∵150BAC ∠=︒，∴∠BAC=∠AGC,∵∠C=∠C,∴△ABC ∽GAC, ∴BC AC AC CG=, ∴772BC =, ∴BC=492, ∴BD=492-3-5=16.5. 故答案为：16.5.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数的知识，平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.86．如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝8，点E，F分别是边BC，AD的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是______．【答案】4＋【解析】连接EF，点E、F分别是边BC、AD边的中点，可知BE=AF=AB=4，可证四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可知AE⊥BF，且AE与BF互相平分，⊥ABC=60°，⊥ABE为等边三角形，ME=11AE AB2E22==，F=4，由勾股定理求MF，根据菱形的性质可证四边形MENF为矩形，再求四边形ENFM的周长．解：连接EF，⊥点E、F分别是边BC、AD边的中点，⊥BE=AF=AB=4，又AF⊥BE，⊥四边形ABEF为菱形，由菱形的性质，得AE⊥BF，且AE与BF互相平分，⊥⊥ABC=60°，⊥⊥ABE为等边三角形，ME=11AE AB2E22==，F=4，在Rt⊥MEF中，由勾股定理，得MF=，由菱形的性质，可知四边形MENF为矩形，⊥四边形ENFM的周长=2（ME+MF）故答案为87．长方形ABCD被等分为12个边长相等的小正方形，三角形EFC的面积占长方形ABCD的面积________(填“几分之几”)．【答案】13【解析】【分析】利用长方形ABCD的面积分别减去直角三角形AEF、直角三角形CDF、直角三角形BCE的面积即可.【详解】如图所示，长方形ABCD的面积=4×3=12，直角三角形AEF面积=2×1÷2=1，直角三角形BCE面积=2×4÷2=4，直角三角形CDF面积=2×3÷2=3，三角形EFC面积=12-1-4-3=4，三角形EFC 的面积占长方形ABCD 的面积的：41=123. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了求三角形的面积，根据网格的特点，利用补形法求解是解题的关键.88．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝a ＝_____，b＝_____．【答案】6 4【解析】由勾股定理知，2a +2b =(2, 2a ＝3b, 联立求解得64a b =⎧⎨=⎩. 89．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝_____°（点A ，B ，P 是网格线交点）.【答案】45.【解析】【分析】延长AP 交格点于D ，连接BD ，根据勾股定理得到PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，求得PD 2+DB 2=PB 2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，即△PBD为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．90．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为_____度．【答案】60【解析】【分析】从上底两个顶点向下底引垂线，构造出两个直角三角形和一个矩形，利用等腰梯形的性质得到DE长，进而得到坡角．【详解】解：如图，作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．AB＝6，DC＝10，AE＝BF＝∵AE ⊥DC ，BF ⊥DC ，四边形ABCD 为等腰梯形． ∴四边形AFEB 是矩形，∴AB ＝EF ＝6，AE=BF ，∠AED=∠BFC=90°，又∵AD=BC ，∴Rt △ADE ≌Rt △BCF （HL ），∴DE ＝CF ＝1()22DC AB -=，∴tan 2AE D DE ===， ∴∠D=60°，故答案为：60．【点睛】此题主要考查学生对坡角的理解及等腰梯形的性质的应用．。

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第17章复习与检测
一、内容分析：本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题．
二、学习目标：
1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用.
三、学习重点：
勾股定理及其逆定理的应用．
四、教学过程
1、理清脉络构建框架
问题1回忆勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么2
2c
2
+．
a=
b
勾股定理的题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c 内容．结论：2
2
2c
b
+
a=
设计意图：回顾勾股定理的内容，为下面做题打基础
应用1，在直角三角形中已知两边求第三边
练习1 在Rt △ABC 中，已知a=1，b=3，∠B=90°；则第三边c 的长为多少
设计意图：勾股定理最简单的应用
变式在Rt △ABC 中，已知a=1，b=3，则第三边c 的长多少设计意图：让学生做题要考虑全面。

应用2，特殊的直角三角形
练习：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4 求AB 和BC 的长
三边之比1：
3 :2
变式在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AC=4 求AB 和BC 的长三边之比1:1:2
设计意图：让学生初步了解特殊的直角三角形以及三边的比值，方便计算为做题节省时间。

应用3，在直角三角形中已知一边，及两边关系求未知边的
1：如图，小明折叠一个直角三角形的纸片，使A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=8，BC=6, 求CE 的长。

解题方法： A （B ） B
C 4
D
E
1在直角三角形中找到一边及两边关系
2设未知数
3利用勾股定理列方程
4解方程求出边长
设计意图：这是常出现的题型，学会做题方法
二、求直角三角形斜边上的高
练习：已知一个直角三角形，两直角边分别是6和8 ，那么这个直角三角形斜边上的高为多少？
设计意图：利用：两直角边的乘积=斜边与斜边上的高的乘积
三、勾股定理的证明
练习：用两个全等的直角三角形，直角边分别是a 和b ，斜边为c ，和一个以c 为直角边的等腰直角三角形，将它们拼成一个直角梯形，并利用这个图形证明勾股定理
设计意图：利用：部分面积=整体面积
a c
b a
c b
c c
四、勾股定理的逆定理
练习如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
D
∠B=90°，求四边形ABCD的面积
设计意图：应用判断三角形的形状
A
B C。

初中数学 第17章勾股定理 复习与检测

人教版数学八年级下册 第17章 勾股定理 单元复习试题 含答案