第十七章勾股定理复习导学案
第17章 勾股定理 全章导学案
第十七章 勾股定理 第一课时17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程： 一、自主学习画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容 文字表述： 几何表述： 二、交流展示例1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为 a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
八年级数学第十七章勾股定理导学案
八年级数学第十七章勾股定理导学案学习课题：勾股定理（第一课时）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：（一）、温故互查：1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语 言表示） （1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2学生操作： （1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长问题：你是否发现23+24与25，25+212和213的关系，即23+24 25，25+212 213，3命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
（二）、设问导读：1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证： 222a b c +=证明：4S △+S 小正=S 大正根据的等量关系：（学生独立完成）由此我们得出：勾股定理的内容是： 。
（三）自我检测：1、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ，（1）如果a=3，b=4，则c=________； （2）如果a=6，b=8，则c=________；ABA B（3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________. 2、下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c += B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则222a b c += D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则222a b c +=3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。
荷塘区X中学八年级数学下册 第十七章 勾股定理章末复习导学案 新人教版
章末复习一、复习导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理及其逆定理，大家对定理的内容及应用掌握得如何呢？这节课我们一起来作一个回顾总结，检阅学习成果.2.复习目标（1）复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.（2）总结本章的重要思想方法及其应用.3.复习重、难点重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关系.难点：勾股定理及逆定理的综合运用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：P22到P39.（2）复习时间：8分钟.（3）复习要：通过阅读课本和笔记梳理本章的重要知识点及典型应用.（4）复习参考提纲：①如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.②如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.③如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.④两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题.原命题正确，逆命题不一定正确.⑤一个命题一定有逆命题，一个定理的逆命题不一定正确，所以它不一定有逆定理(填“一定”或“不一定”).2.自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生对本章重要知识点的整理和识记是否完整，知识应用是否熟练.②差异指导：对定理的应用方面进行指导总结，共性问题集中指导，个性问题个别指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化：（1）勾股定理及其逆定理的内容.（2）强调本章的数学思想方法：①建立数学模型；②定理求边、逆定理求直角.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，疑点跟踪. （2）复习时间：15分钟.（3）复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨. （4）复习参考提纲：【例1】 下列各组数中，不是勾股数的是(C)A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17【例2】如图直角三角形中，边长x 等于5的三角形有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】一束光线从y 轴上点A(0，1)出发，经过x 轴上点C 反射后经过点 B(3，3)，则光线从A 点到B 点经过的路线长是 5 .【例4】 我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a 、b ，那么(a ＋b)2的值是 25 .【例5】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是AD 中点.求证：CE ⊥BE. 证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 交AB 于F.∵CF ⊥AB,AB ∥CD,∠A=90°,∴四边形ADCF 为矩形.∴AF=DC,AD=CF, ∴FB=AB-AF=2-1=1. 在Rt △CFB 中，22223122CF BC BF AD =--==.∴122ED AE AD ===. 在Rt △CDE 中，()2222213CE CD DE =+=+= ，同理：BE=6.在△BCE 中，222369CE BE BC +=+==. ∴△BCE 为直角三角形，∠CEB=90°,∴CE ⊥BE.【例6】如图，一个圆柱形油罐，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，请你算一算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周长是12米，高是5米)解：如图，将油罐侧面展开，此时2212513AB =+=(米). 2.自主复习：学生尝试完成复习参考提纲中的例题. 3.互助复习： （1）师助生：① 明了学情：注意学生在自主学习解答例题时，存在的障碍和问题在哪里？② 差异指导：例5中证CE ⊥BE 的思路指导：勾股定理的逆定理；例6中引导学生将曲面转化成平面考虑. （2）生助生：学生相互研讨疑难之处. 4.强化（1）点两位学生口答例1、例2的解答依据和过程、结果.点三位学生板演例3、例4、例5. （2）点评其中的易错点及思想方法. 三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生复习的方法、收获和存在的问题. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是复习课，师生共同完成本章知识框图的建立，教师帮助学生进行知识梳理，让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系.牢牢抓住勾股定理及其逆定理，并会运用这两个定理解决实际问题.教师精选部分例题，让学生试着解答；教师再予以点拨，以达到复习效果.(时间：12分钟满分：100分) 一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，为求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，且∠B=90°，再测得AC 长160米，BC 长128米，则A 、B 之间的距离为(A )A.96米B.100米C.86米D.90米第1题图 第3题图2.(10分)下列命题中，逆命题仍然成立的是(B)A.全等三角形的面积相等B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C.同一个角的余角相等D.等腰三角形是轴对称图形 3.(10分)如图，正方形的面积是74.4.(10分)有长为3cm, 6cm,9cm,12cm,15cm 的五根木棒，要从中选出3根，搭成直角三角形，则选出的3根木棒的长应分别为9cm 、12cm 、15cm.5.(15分)在如图所示的数轴上作出表示-10的点.点A 即为表示-10的点.6.(15分)如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高大约为多少？(结果精确到0.1m ，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)解：由题意知：DE=1.6,AD=6,在△ACD 中，∠A=30°,∠C=60°，∴∠ADC=90°，2222.AC CD AC CD AD ==+ ,即()22226CD CD =+ ,解得CD=23,∴这棵树高大约为：CE=CD+DE=23+1.6≈5.1(m).二、综合运用(15分)7.如图所示，一只蚂蚁在A 处往东爬8格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西爬3格，再折向北爬6格，这时发现B 处有食物，于是便又向东爬1格到B 处找到食物，如果图中每一个方格都是边长为1cm 的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程是多少？如果蚂蚁从A 处沿直线AB 到达B 处，则可少爬多远的路程？解：此时蚂蚁爬行的路程是：8+2+3+6+1=20(cm)，若蚂蚁从A 处沿直线AB 到达B 处;设由A 向东6格处的点为C(如图所示)， 易知△ABC 为直角三角形， 则22226810AB AC BC =+=+=(cm),20-10=10(cm). 则可少爬10cm. 三、拓展延伸(15分)8.如图，已知B 、C 两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A 与B 相距15千米，A 与C 相距20千米，以点A 为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B 、C 两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明.解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D. 在△ABC 中，AB 2+AC 2=152+202=252=BC 2. ∴△ABC 为直角三角形，∠BAC=90°. 又∵AB ·AC=AD ·BC.∴()1520121025AD km km ⨯==>. ∴这条公路不会穿过自然保护区.第4章一元一次不等式（组）【知识与技能】1.要求学生通过复习熟练掌握不等式和不等式解集的概念.2.掌握求一元一次不等式及不等式组的解集.3.能较熟练地应用一元一次不等式和一元一次不等式组来解决简单的实际问题.【过程与方法】通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解.【情感态度】在练习过程中让学生认识到数形结合的思想，从而让他们感觉到数学解题的简洁美.【教学重点】一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法.【教学难点】利用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.一、知识结构【教学说明】总结学生的发言，并将本章的内容作一次总结，指出本章重难点，鼓励学生作出知识结构图.二、释疑解惑，加深理解1.不等式的概念：我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．3.一元一次不等式的概念：含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.求一个不等式的解集的过程称为解不等式.4.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1.5.一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：第一步：审题，找不等关系；第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；第三步：列不等式；第四步：解不等式；第五步：根据实际情况写出答案.6.一元一次不等式组的概念：把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.7.求不等式组解集的规律：皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.【教学说明】通过引导学生复习总结本章概念和知识点，进一步加深学生对本章知识的理解.三、典例精析，复习新知1.下列不等式中，是一元一次不等式的有（B）个.A.1B.2C.3D.42.不等式ax+b>0（a<0）的解集是（B）A. x>－baB. x<－baC. x>baD. x<ba3.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（B）A. m>1B. m<1C. m≥1D. m≤14.不等式组32010x x ->+≥⎧⎨⎩的解集在数轴上表示正确是的是（D ）5.若关于x 的不等式0721x m x -<-≤⎧⎨⎩的整数解共有4个,则m 的取值范围是 (D )A.6<m<7B.6≤m<7C.6≤m ≤7D.6<m ≤7 6.解不等式2151132x x -+-≤，并把它的解集在数轴上表示出来.解：2（2x －1）－3（5x ＋1）≤6. 4x －2－15x －3≤6. 4x －15x ≤6＋2＋3. －11x ≤11. x ≥－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:7.解不等式组：解：()1332512243xx x x +->-⎧-≤⎪⎩-⎪⎨①② 解不等式①，得x ＜5． 解不等式②，得x ≥-2．因此，原不等式组的解集为-2≤x ＜5．【教学说明】通过例题学习让学生明晰解一元一次不等式（组）的方法，提高解决实际问题的能力，使学生对本章知识内容有进一步的理解和掌握. 四、复习训练，巩固提高1.若不等式3x －m ≤0的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是_______ 答案：9≤m<12 （解不等式得x ≤3m，其正整数解是1，2，3，说明3≤m3<4，所以9≤m<12.）2.若代数式()3252k+的值不大于代数式5k－1的值，则k的取值范围是_______.答案：k≥17 4(由题意得()3252k+≤5k－1，解此不等式即可.)3.如果不等式4x－3a>－1与不等式2（x－1）+3>5的解集相同，请确定a的值解：解4x－3a>－1得x>314a-；解2（x－1）+3>5得x>2，由于两个不等式的解集相同，所以有314a-=2，解得a=3.4.关于x的一元一次方程4x+m+1=3x－1的解是负数，求m的取值范围. 解：解此方程得x=－2－m，根据方程的解是负数，可得－2－m<0，解得m>－2.5.解不等式组()3242513x xxx--≥--<-⎧⎪⎨⎪⎩并写出该不等式组的整数解解：解不等式-3（x-2）≥4-x 得：x≤1；解不等式253x-<x-1得：x＞-2；所以该不等式组的解集为：-2＜x≤1，所以该不等式组的整数解是-1，0，1．6.一般地，如果a bc d>>⎧⎨⎩，那么a+c_____b+d．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？证明：∵a>b，∴a+c>b+c．又∵c>d，∴b+c>b+d，∴a+c>b+d．7.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元.后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，请你帮忙算一算，该商品至多可以打几折？解：设该商品可以打x 折，则有 1200·10x－800≥800×5% 解得x ≥7.答：该商品至多可以打7折.8.郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?解：(1)设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x －8)元．根据题意得： 3x +2(x －8)＝124 解得：x ＝28． ∴x －8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元． （2）设购买书包y 个，则购买词典(40－y)本．根据题意得：()())1000282040100100028204010120)0y y y y ---≥-⎧--≥≤⎪⎨⎪⎩解得：10≤y ≤12.5因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12． 所以有三种购买方案，分别是： ①书包10个，词典30本； ②书包11个，词典29本； ③书包12个，词典28本．9.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元．则根据题意列方程组得：6.65 2.2633.8x y x y +=-+=⎧⎨⎩ 解之得： 3.63x y ==⎧⎨⎩5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元）6×3=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元.（2）设购进甲药品x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x ）箱，则根据题意列不等式组得：()815%10510%1010090010040x x x ⨯⨯+⨯⨯-≥-≥⎧⎨⎩ 解之得：1577≤x ≤60 则x 可取：58，59，60，此时100-x 的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；【教学说明】要求每个学生在进行独立思考时，教师要关注学困生并给予帮助.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“复习题”中第5、7、8、14题.2.第一环节基本知识的复习时间要控制，学生不牢固的部分可以通过例题、练习的形式加深巩固复习.第三章位置与坐标本章归纳总结【知识与技能】掌握平面直角坐标系的概念及组成，学会建立平面直角坐标系以及利用轴对称的坐标规律解决有关问题.【过程与方法】通过梳理本章知识点，充分利用平面直角坐标系与点的坐标之间一一对应关系，才使数与形的相互转化得以体现，加深了对知识的理解.【情感态度】通过实例用有序实数对来表示点的位置和运用有序实数对建立数学模型的过程，让学生感受到平面直角坐标系在实际生活中广泛应用的价值.激发学生的学习热情.【教学重点】平面内点的坐标的表示方法及求法，能建立适当的平面直角坐标来描述点所处的位置以及利用轴对称的坐标规律解决实际问题.【教学难点】建立适当的平面直角坐标系的优化方案和利用轴对称的坐标规律解决问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，让学生对本章所学知识有个系统地了解.教学时，可以边回顾边建立结构图.二、释疑解惑，加深理解1.平面直角坐标系与点的坐标.①一、三象限角平分线上的点横、纵坐标同号；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标异号，但他们到两坐标轴的距离都相等，注意有时要考虑到这两种情况的存在.②2.在坐标系中求几何图形的面积.在坐标系中求图形的面积一般从两个方面去把握：（一）通常向坐标轴作垂线运用“割”或“补”的方法将要求的图形转化为一些特殊的图形，去间接计算面积；（二）需要将已知点的坐标转化为线段的长度，以备求面积的需要.三、典例精析，复习新知例1若点P(m,n)在第二象限，则点Q（-m,-n）在第象限.【分析】本题考查象限内点的坐标的符号特征.由点P(m,n)在第二象限，可知m<0，n>0，则点Q(-m,-n)坐标的符号特征为-m>0,-n<0，故点Q在第四象限，填四.例2等腰梯形的各点坐标为B（-1，0）,A(0,2),C(4,0)，则点D的坐标为 .【分析】求一个点的坐标，首先求出它到x轴与y轴的距离，然后再看它所在的象限，确定其横、纵坐标的符号.解：如图，过点D作DE⊥x轴.∵ABCD为等腰梯形.∴CE=BO=1.又∵C点坐标为（4，0），∴OC=4.∴OE=4-1=3.∵AD∥BC,∴D点的纵坐标与A点纵坐标相等为2.∴D点的坐标为（3，2）.例3点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（）A.（3，4）B.（-3，-4）C.（-3，4）D.（-4，3）【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标.关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，故M′(3,4)，选A.例4在平面直角坐标系中，A（-3，4），B（-1，2），O为原点，如图所示.求三角形AOB的面积.【分析】本题考查利用坐标求图形的面积.在平面直角坐标系中求图形的面积，通常将图形面积转化成边在两轴上的图形的面积的和或差，这种可以充分利用点的坐标求出图形中线段的长度.解：过点作AE⊥y轴于E，过点B作BD⊥y轴于D.因为A（-3，4），B(-1,2),所以E(0,4),D(0,2)，所以OD=2,BD=1,AE=3,DE=OE-OD=4-2=2,所以S三角形AOB=S三角形AOE-S三角形OBD-S梯形BDEA=12AE·EO-12BD·OD-12(BD+AE)·DE=12×3×4-12×1×2-12×(1+3)×2=6-1-4=1.四、复习训练，巩固提高1.点M（3a-1,1-5a）在y轴上，则M的坐标为 .2.点A（a-1,-3)在第四象限,点B（2，b-1)在第一象限，则点P（b,-a）的第象限.3.点Q（a,b）到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则符合条件的Q的坐标有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图所示，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出△ABC关于x轴和y 轴对称的图形，并指出其对称顶点的坐标.【教学说明】这部分安排了本章几个重点知识的运用，目的是为了检验学生的掌握程度，便于及时查漏补缺.【答案】1.0，-2/3；2.四；3.D4.解：如图所示，先作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′,再作△ABC关于x轴对称的△A″B″C″.因为△ABC三个顶点的坐标为A（-2，4），B(-4,1),C(-1,1),根据关于坐标轴对称的点的坐标的特点可得A′(2,4),B′(4,1),C′(1,1);A″(-2,-4),B″(-4,-1),C″(-1,-1).五、师生互动，课堂小结本节课你能完整回顾本章所学的与平面直角坐标系有关的知识吗？你认为哪些内容是大家要掌握的？还存在哪些疑难问题？请与同学们探讨.【教学说明】通过师生共同回顾本章所学知识，大胆放手让学生自主讨论，交流形成共识，欠缺的地方教师做必要的补充.1.布置作业：从复习题中选取.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从归纳本章主要内容入手，以精选例题为范本，学生的实际运用为主线，通过学生的归纳整理让本章所学内容全面得到深化，能力进一步提高.。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案(全章)
第十七章勾股定理课题：17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理2 •培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明学习过程：、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC用刻度尺量出AB的长。
（勾3,股4,弦5）以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC用刻度尺量AB的长。
你是否发现3 +4与5的关系，5 +12和13的关系，即3 +4 ___________ 5，5 +12 ____ 13，那么就有______ 2+ ____ 2= ___ 。
（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述:几何表述:二、交流展示例1、已知：在厶ABC中, Z C=90°，/ A、/ B、/ C的对边为a 、b、c。
求证：a2+ b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S"S小正=S大正即4X 1X +〔〕2= c2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在厶ABC 中，/ C=90°，/ A 、/ B 、/ C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2 + b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
人教版八年级下册 第17章 勾股定理 全章复习 学案
。
公式变形①：若知道 a ， b ，则 c
；
公式变形②：若知道 a ， c ，则 b
；
公式变形③：若知道 b ， c ，则 a
；
例 1：求图中的直角三角形中未知边的长度： b
，c
.
练一练 (1)在 Rt ABC中，若 C 90 ， a 4 ， b 3 ，则 c
10、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，顶角∠BAC=120°，E、F 分
别为 BD、CD 中点，试求 B、C 两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。（结果保
A
留根号）
B
E
D
F
C
11、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为 AB
边上一点，求证：（1） △ACE ≌△BCD ；（2） AD2 DB2 DE2 ．
课人
年级 八年级 学科 数学 授课时间
课题
17 章勾股定理全章复习
课型
复习
学习目标 复习勾股定理及其逆定理，利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形
学习 关键
重点 难点
勾股定理及其逆定理的应用 利用定理解决实际问题
学教过程
二次备课
一、知识要点 1：直角三角形中，已知两边求第三边
1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为 a ，b ，c ，C 90 ，则
面时还多 l 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗
杆的高度吗?
A
B
C
练一练
一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为 6cm，杯深 16cm. 今有一根长为 22cm 的吸管如图 2 放入杯中，露在杯口外的
新人教版初中数学第十七章勾股定理复习学案(辅导).pdf
（1）已知 c＝4，b＝3，求 a；
（2）若 a:b=3:4，c=10cm，求 a、b。
（3）已知 b= 2 3 ，∠B＝30°，求 a。（4）已知 a= 3 2 ，c=6，求∠A，∠B。
（二）直角三角形的判定
1、下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2, c=3
。
3、如图，在矩形 ABCD 中， AB = 6, 将矩形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在 C 处，若
AE：BE = 1：2 ，则折痕 EF 的长为
。
B’
C’
A B′′
D ′ C′
（五）解答题题1图
C D
A
E
B
题2图
2
1、已知：如图，在△ ABC 中， ACB = 90 ， AB = 10cm ， BC = 8cm ， CD ⊥ AB 于 D ，求 CD 的
1
（三）勾股定理的应用
1、如图，将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆形水杯中，设筷子露在外面的 长度为 hcm，则 h 的取值范围是 2、如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形 ABCD
第十七章 勾股定理复习
一、 知识结构
理勾 股 定
直角三角形的性质:勾股定理
定理：a2 + b2 = c2
应用:主要用于计算
直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足 a2 + b2 = c2 则
它是一个直角三角形.
二. 知识点回顾
1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）
人教版八年级数学下册：第17章 勾股定理 小结复习导学案
第17章勾股定理小结复习导学案一、复习导入（一）导入课题：本节课我们一起复习“勾股定理”（板书课题）.（二）复习目标：1.复习与回顾本章的重要知识点.2.总结本章的重要思想方法.（三）复习重、难点：重点：勾股定理及其逆定理.难点：综合运用.二、分层复习第一层次学习（一）复习指导1.复习内容：P22页到P39页.2.复习时间：8分钟.3.复习要求：通过课本和笔记复习和回顾本章的重要知识点.4.复习参考提纲：（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有．（2）如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是三角形.（3）如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.（4）两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题. 原命题正确，逆命题正确.（5）一个命题有逆命题，一个定理的逆命题正确，所以它有逆定理(填“一定”或“不一定”).（二）自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.（三）互助学习：1.师助生：明了学情；差异指导.2.生助生：学生自主研讨疑难之处.（四）强化：1.勾股定理及其逆定理.2.强调本章的数学思想方法.第二层次学习（一）复习指导1.复习内容：典例剖析，考点跟踪.2.复习时间：15分钟.3.复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.4.复习参考提纲：例1下列各组数中，不是勾股数的是（）A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17例2如图中，边长x等于5的三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个34x2415 12例2图1 / 22 / 2例3 一束光线从y 轴上点A （0，1）出发， 经过x 轴上点C 反射后经过点 B （3，3），则光线从A 点到B 点经过的路线长是 .例4 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a 、b ，那么(a ＋b)2的值是______．例5 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是AD 中点． 求证：CE ⊥BE ．例6 如图，一圆柱形油罐，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，请你算一算梯子最短需多少米？（已知油罐的底面周长是12米，高AB 是5米）（二）自主复习：学生完成复习参考提纲中的例题. （三）互助学习：1.师助生：明了学情；差异指导.2.生助生：学生自主研讨疑难之处. （四）强化：1.点两位学生口答例1、例2；点三位学生板演例3、例4、例5.2.点评其中的易错点. 三、评价：1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.例3图例4图例5图ACBDE F 例6图。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理(二)》导学案
1 / 4新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理（二）》导学案备课时间 主备教师参与教师审核人学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习重点：勾股定理的简单计算。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习过程： 例1分析：（1）注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
（2）图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？ （3）指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？ （4）转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
在Rt △ABC 中，根据勾股定理 AC 2= 2+ 2因为 AC=5≈2.236因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过课堂练习1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
4．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。
当堂检测1．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动2．山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
A CB RP Q30ABC CAB第4题第3题2 / 42题图 3题图 5题图3、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度5、如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？6、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？课后作业1、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．3、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m ；4、有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？“路”4m 3m8kmCAB 6km第2题 第3题 第4题3 / 45、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。
最新课标RJ人教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第十七章 勾股定理 (第17章全单元 导学案)
第十七章勾股定理一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A ，B 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1) 4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”要点归纳： 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.公式变形： a b c探究点2：利用勾股定理进行计算 例1如图，在Rt △ABC 中， ∠C =90°. （1）若a =b =5,求c ; （2）若a =1,c =2,求b .ABC C （1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．能力提升：7.如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，求△ABE 及阴影部分的面积.第十七章勾股定理2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？2.若已知圆柱体高为12 c m ，底面半径为3 c m ，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.例3 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？杆底部B 的距离是（ ） A .24m B .12m C m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm ，其横截面周长为36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？第十七章勾股定理...你能在数以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.为线段,形成如图所示的数学海螺.例1如图，数轴上点A所表示的数为a ，求a 的值.1.如图，点A 表示的实数是 （ ）2.A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.再用面积法求高.的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.求四边形ABCD的面积．1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_ ______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．分△AFC的面积.图①图②______=_______,∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14CB，试判断AF 与EF的位置关系，并说明理由.1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a 2+b 2=c 2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.；标注有用信息,明确已反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？1.A、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 在B 地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC＝8m ，AD＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用例3 如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积.分析：连接AC ，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD 是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 变式题1 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD=3cm ，AB=4cm ，CD=12cm ，BC=13cm ，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC ＝12 cm ，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，求△ABC 的面积.东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O 出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4. 如图，在△ABC 中，AB=17，BC=16，BC 边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A 、B ．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O 出发，以12海里/时的速度向着目标B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A 、B ．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6. 如图，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向 点以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点C 沿CB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ 的长．。
第17章勾股定理全章导学案共6份
赣州一中2019—2019学年度第二学期初二数学导学案17.1勾股定理（1）【学习目标】1.经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的简单应用；2.经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程，体会形数结合、化归的思想．【学习重点】探索和证明勾股定理，勾股定理的简单应用．【学习难点】勾股定理的探索和证明．【学习过程】一．课前导学：学生自学课本22-24页内容，并完成下列问题：1.【探究一】：观察图1，（1）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（2）图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？2.【探究二】：如图2，每个小方格的边长均为1，（1）计算图中正方形A、B、C面积．【讨论】如何求正方形C的面积？（2）图中正方形A、B、C面积之间有何关系？（3）图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么特殊关系？【猜想】：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．二、合作、交流、展示：1．【探究三】：如图3，如何证明上述猜想？【温馨提示】：用两种方法表示出大正方形的面积．4．【探究四】：如图4，如何证明上述猜想？5.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．文字叙述：．6．【探究五】：已知在Rt△ABC中，∠C=90，（1）若5,12,a b则c===；（2）若10,8,c b a则===；（3）若25,24,c a b===则．（4）若35a:=:c,2b=a=则，c=．【勾股定理结论变形】：．7．【探究六】：若一个直角三角形的三边长为8，15，x，则x= ．三、巩固与应用1.如图5，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路（假设2步为1m），却踩伤了花草.图图图图2.如图6，分别以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，且15S =，212S =，则3S = .3.根据图7及提示证明勾股定理.：【提示】:三个三角形的面积和 = 一个梯形的面积.四、小结：（1）勾股定理及其简单应用；（2）面积法证题与数形结合思想．五、作业：必做：P28习题T1、2、3；选做：《全效》第20-21页.赣州一中2019—2019学年度第二学期初二数学导学案17.1勾股定理（2）【学习目标】能熟练运用勾股定理计算，会用勾股定理解决简单的实际问题.【学习重点】运用勾股定理计算与推理．【学习难点】将实际问题转化为数学问题解决． 【学习过程】一．课前导学：学生自学课本25页内容，并完成下列问题：1. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么：2c = （或 c = ）变形：2a = （或 a = ）2b = （或b = ）2．填空题：在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= ； ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ；⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ； （4）如果b=8，a ：c=3：5，则c= .3．【探究一】：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过?为什么? 思考：①薄木板怎样好通过？ ；②在长方形ABCD 中， 是斜着能通过的最大长度；③薄模板能否通过，关键是比较 与 的大小.解：在Rt△ABC 中，根据勾股定理AC 2＝（ ）2＋（ ）2＝ 2＋ 2＝ ．因此AC ＝ ≈ ．因为AC （填“＞”、“＜”、或“＝”）木板的宽2.2m ， 所以木板 从门框内通过．（填：“能：或“不能：） 4．【探究二】：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO的距离为2.5 m ，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗?点拨：①梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，那么的长度就是梯子外移的距离．②BD＝－，求BD，关键是要求出和的长．③梯子在下滑的过程中，梯子的长度变了吗？④在Rt△AOB中，已知和，如何求OB？在Rt△COD中，已知和，如何求OD？你能将解答过程板书出来吗?二、合作、交流、展示：1．运用勾股定理解决实际问题的思路：实际问题数学问题2.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？3．小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米？三、巩固与应用1. 若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长为 .2．已知：如图，等边△ABC的边长是6cm.⑴求等边△ABC的高. ⑵求S△ABC..3．如图，分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，其面积分别为1S、2S、3S，且15S=，212S=，则3S= .4．如图，直线同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和12，则b的面积为 .5．如图，能否将一根70㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的长方体盒子中？四、小结：（1）勾股定理的应用；（2）分类、转化、方程思想．五、作业：必做：P29习题T8、9、10；选做：《全效》第24-25页.赣州一中2019—2019学年度第二学期初二数学导学案17.1勾股定理（3）【学习目标】1．会利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点．2．灵活运用勾股定理计算与推理.【学习重点】运用勾股定理在数轴上找点，灵活运用勾股定理解题．【学习难点】灵活运用勾股定理解题．【学习过程】DCABCA BCA一．课前导学：学生自学课本26-27页内容，并完成下列问题：1. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么：2c = （或 c = ）变形：2a = （或 a = ）2b = （或b = ）2.【探究一】：运用勾股定理证明全等判定方法：斜边直角边（HL ）已知：如图，在ABC Rt ∆中和C B A Rt '''∆中，090='∠=∠C C ，.,C A AC B A AB ''=''=求证：ABC Rt ∆≌C B A Rt '''∆.3．【探究二】13点拨：①：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为 ，所以只需画出长为 的线段即可．13呢?设c 13a ，b ，根据勾股定理a 2＋b 2＝c 2即a 2＋b 2＝13．若a ，b 为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和，即13＝ 2＋ 2．所以长为13的线段是直角边为 、的直角三角形的斜边．请在数轴上完成作图. 二、合作、交流、展示：1．例1：已知：如图，△ABC 中，AB=4，∠C=45°，∠B=60°，根据题设可求出什么？【点拨】如何添加辅助线将一般三角形的问题转化为直角三角形的计算问题呢？2．例2：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.【点拨】如何将四边形的问题转化为三角形问题求解，如何添加辅助线？3．问题：根据勾股定理，你能做出哪些长为无理数的线段呢?欣赏下图，你会得到什么启示?三、巩固与应用 1. P29习题T14.2．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1+S 2的值为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当ODP △是等腰三角形时，点P的坐标为 .A B P ODCxy四、小结：（1）勾股定理的应用；（2）分类、转化、方程思想．五、作业：必做：P29习题T11、12、13；选做：《全效》第26-27页.赣州一中2019—2019学年度第二学期初二数学导学案17.2勾股定理的逆定理（1）【学习目标】1.掌握勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形；2.能写出一个简单命题的逆命题，并能判断真假；3.了解勾股数的意义，掌握常见的勾股数。
最新第17章_勾股定理小结与复习导学案
11五里堆中学“三一五”模式导学案2第17章勾股定理小结与复习3【学习目标】41、进一步提高运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。
52、培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。
6【学习过程】7（一）学习准备81、直角三角形的性质9已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠10 A、∠B、∠C的对边．11（1）直角三角形的周长。
12（2）直角三角形的面积。
13（3）直角三角形的角的关系。
14（4）直角三角形的边的关系。
152、直角三角形的判定16已知如图，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C17 的对边．18（1）从角来判断：。
19（2）从边去判断：。
203、勾股数：。
214、勾股定理的应用：22（1）适用范围：勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，只适用于直角三角形，23对于没有直角三角形条件时不能运用勾股定理。
24（2）已知直角三角形的两边可以运用勾股定理求第三边。
25（3）已知直角三角形的一边可以运用勾股定理求另两边的关系。
26（4）利用勾股定理可以解决一些实际问题。
27（二）教材拓展285、主要数学思想29（1）、方程思想30例1 如图，已知长方形ABCD中AB=12 cm,BC=20 cm,在边CD上取一点E，将△31ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.32333435363738例2 已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．394041234243 实践练习： 44 ① 如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在45 C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。
4647484950 ② 已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAD=∠51 CAD ， CD=1.5,BD=2.5,求AC 的长.5253545556 （2）、分类讨论思想57 例3、 在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 58 例4、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ．59 实践练习：60 ① 在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 61② 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为_____，底边上的高是______，面62 积是_______。
勾股定理复习导学案
勾股定理复习导学案一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和 ；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 。
２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，无重叠、空隙，面积不改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列等式，推导出定理 常见方法如下：方法一：4E F G H S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可得： 。
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和=大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+大正方形面积为S= ，所以222a b c +=。
方法三：S梯形= ，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证。
３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是 三角形。
４.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，主要求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-5、利用勾股定理作长为的线段 例如：作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示6.勾股定理的逆定理①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 7.勾股数:①记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ②用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n为正整数） ，2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）题型一：直接考查勾股定理例１.在A B C ∆中，90C ∠=︒．⑴ 已知6AC =，8B C =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15A C =，求BC 的长 解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在A B C ∆中，90AC B ∠=︒，5A B =cm ，3B C =cm ，C D AB ⊥于D ，C D ＝⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 例３.如图A B C ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5C D =， 2.5BD =，求A C 的长例4.如图R t A B C ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BACcba HG F EDCB Abacba ccabcab a bcc baE D CBA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8A B =m ，2C D =m ，8B C =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6A E =m ，8D E =m 在R t A D E ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE=+=题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定A B C ∆是否为R t ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知A B C ∆中，13AB =cm ，10B C =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：A B A C = 证明：填空：1．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．2．如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60c m ，CA ＝80c m ，一只蜗牛从C 点出发，以每分钟20c m 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要 分钟的时间．3．已知x 、y 为正数，且｜x 2-4｜+(y 2-16)2＝0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 ．4．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处．5．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为 和 ．（注：两直角边长均为整数） 6、如果正方形ABCD 的面积为29，则对角线AC 的长度为（ ） 选择：1．下列各组数为勾股数的是（ ） A ．6，12，13B ．3，4，7C ．4，7.5，8.5D ．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5，顶端离地面12，则梯子的长度为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 3．直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ） A ．10cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍5．下列说法中， 不正确的是（ ）A ．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B ．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C ．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D ．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a +b )2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．13解答：四边形ABCD 中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4， ∠BAD=900，求这个四边形的面积．D CBA勾股定理练习 姓名一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
第十七章_勾股定理及全章复习导学案.
17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
学习过程：一. 预习新知（阅读教材第22至24页，并完成预习内容。
） 1、正方形A 、B 、C 的面积有什么数量关系？2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？3、归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
(1那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？(2组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。
(3通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？(4对于更一般的情形将如何验证呢？二. 课堂展示方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S 正方形＝_______________＝____________________方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得。
方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD≌ Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º. ∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c 2. 又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________归纳：勾股定理的具体内容是。
八年级数学下册17勾股定理复习导学案新人教版
第17章勾股定理一、知识梳理1。
勾股定理：直角三角形中的平方和等于的平方．即：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么．2。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．3。
如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设正好相反，那么把这样的两个命题叫做 ,如果把其中叫做原命题,另一个叫做它的_________.4。
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个__________,我们称这两个定理为 .5、应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题,在应用定理时,应注意：（1）没有图的要按题意画好图并标上字母；(2)不要用错定理（3）求有关线段长问题,通常要引入未知数,根据有关的定理建立方程，从而解决问题;(4）空间问题要通过它的展开图转化为平面图形来解决二、题型、技巧归纳考点一勾股定理及逆定理例1、下列说法正确的是（）A。
若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C。
若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2＋b2＝c2D。
若 a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90° ，则a2＋b2＝c2例2、(1）已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿度；(2)△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为＿＿＿＿.考点二互逆命题【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a｜＝|b｜ B．全等三角形的周长相等C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形考点三勾股定理的应用【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:AB2－AP2=PB·PC。
三、随堂检测1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252．下列各组数中，以a,b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1。
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第十七章：《勾股定理》复习学案
一、勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。
直角三角形 b c a2+b2=c2 (数)
（形） a
a
变形为：a= ；b= 。
1、设直角三角形的斜边为c，两直角边为a和b，求：
（1）已知a=6，b=8，则c= ;
(2) 已知a=3，c=8，则b= ;
(3)已知b=4，c=8，则a= ;
二、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是．2（1）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（）
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、无法确定
（2）下列各组数不是股数的是（）
A、5、12、13
B、3、4、5
C、8、6、17
D、15、20、25
三、勾股定理与正方形面积
3、已知图中所有四边形都是正方形，且A与C、B与D所成的角都是直角，其最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和为
4、是一株美丽勾股树，其四边形正方形，．若正方形A，B，C，D边长分别
是3，5，2，3，则最大正方形E 面积是
5、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如上图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______． 四、木板能否通过门框
6，如图，长4m ，宽3m 薄木板 （能或不能）从门内通过．
7、门高2米，宽1米，现有为3米，宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？ 五、梯子移动问题
8、一个5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时OB=3米，如果底端B 沿直线OB 向右滑动1米到点D ，同时顶端A 沿直线向下滑动到点C （如图所示）．求AC ．
9、如图，一个2.5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 距离墙角O 的高度为2米． ①求底端B 距墙角O 多少米？
②如果顶端A 沿角下滑0.5米至C ，底端也滑动0.5米吗？
l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
六、折断问题
10、如图，一棵大树在离地面3m处折断，树顶
端离树底部4m，则这棵树折断之前的
高度是．
11、如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落
在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂
处离地面多少米？
七、飞鸟问题
12、如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行
m
13、有两棵树，如图，一颗高13米，另一颗高
8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树
梢飞到另一颗树的树梢，至少飞了米。
八、牧童放牛饮水回家问题
14、牧童在河边A处放牛，家在河边B处，
时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，
然后在天黑前赶回家，已知A点到河边C的
距离为500米，点B到河边的距离为700米，
且CD=500米．
（1）请在原图上画出牧童回家的最短路线；
（2）求出最短路线的长度．
15、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在
何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保
留作图痕迹），并说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
九、勾股定理与无理数
16、如图，点B在数轴上表示的数是-3，过B作AB垂直数轴，AB=2，以原点O为圆心，以AO长为半径在数轴的负半轴上截得OC=OA，那么C点在数轴上所表示的数是
17、如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对
角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
十、最短路径
18、如图，长方体的长、宽、高分别是6cm，3cm，3cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为。
19、如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是
20、如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为
15cm，点B离点C 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长
方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要
爬行的最短距离是多少？
十一、三角形中利用面积相等求高或者直角边
21、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．
22、已知直角三角形一直角边长为8，斜边长为10，,求另一直角边长和斜边上的高．
十二、设未知数计算
23、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末
端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m
处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为
24、升旗时小丽发现旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩1米，当他将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．你能帮他求旗杆
的高度吗？
25、如图，长方形纸片ABCD，折叠长方形的一边AD，
点D落在BC边的F处，已知AB=CD=8cm，
BC=AD=10cm，求EC的长．
十三、分类讨论
26、已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是。
27、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状。
十四、原命题与逆命题
28、下列命题的逆命题不正确的是（）
A．两直线平行，同位角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．平行四边形的对角线互相平分
D．菱形的对角线互相垂直．
29、下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，内错角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等。