凌波微步-数学建模融入基础课程教学-资料.ppt

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数学人教B必修第一册：数学建模活动 PPT模板

对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式。
这表示投资每增加1个单位，收入将增加个单位. 例如，当C0=10，a= 时，有Y=5I+50，因此：如果投资I=10，那么Y=5×10+50=100；如果投资l=15，那么Y=5×15+50=125. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位。
此时，C0
国民收入、消费与投资的关系
4.验证结果、改进模型
怎样才能确定上述f（x），g（t），h（t）呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。
我们可以假设f（x）和g（t）都是一次函数，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；并假设h（t）是一个二次函数，且h（t）=at2+bt+c.
则有
z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2 ）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.
国民收入、消费与投资的关系
2.分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系. 为了简单起见，可以做出以下假设：（1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；（2）收入只用于投资和消费；（3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用C0表示），另一部分与收入成正比，比例系数为a. 值得注意的是，以上假设都是合理的。例如一个家庭的收入，一般面言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）。由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为

《数学模型电子教案》课件

《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。

数学建模宣导ppt课件

数学建模的软件工具
❖ 3.lingo的概况
LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO 6.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦再10^4量级以上。虽然LINDO和 LINGO不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。
❖ Lingo的特色：模型建立语言和求解引擎的整合 A. Lingo是建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求解最佳化模型。 B. Lingo可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。 C. LINGO建立的模型可以直接从数据库或工作表获取资料。同样地， LINGO可以将求解结果直接输出到数据库或工作表。 D. LINGO内建的求解引擎有线性、非线性(convex and nonconvex)、二次、二次限制和整数最佳化。 E.LINGO提供完全互动的环境供您建立、求解和分析模型。LINGO也提供DLL和OLE界面可供使用者由撰写的程序中呼叫。 F.LINGO提供的所有工具和文件可使你迅速入门和上手。LINGO使用者手册有详细的功能定义。
Mathematica 在线性代数方面的数值运算，例如特征向量、反矩阵等，皆比
Matlab R13做得更快更好，提供业界最精确的数值运算结果。Mathematica不但
可以做数值计算，还提供最优秀的可设计的符号运算。
数学建模的软件工具
❖ B.丰富的数学函数库，可以快速的解答微积分、线性代数、微分方程、复变函数、数值分析、机率统计等等问题。 C.Mathematica可以绘制各专业领域专业函数图形，提供丰富的图形表示方法，结果呈现可视化。 4.Mathematica可编排专业的科学论文期刊，让运算与排版在同一环境下完成，提供高品质可编辑的排版公式与表格，屏幕与打印的自动最佳化排版，组织由初始概念到最后报告的计划，并且对 txt、html、pdf 等格式的输出提供了最好的兼容性。 D.可与 C、C++ 、Fortran、Perl、Visual Basic、以及 Java 结合，提供强大高级语言接口功能，使得程序开发更方便。 Mathematica本身就是一个方便学习的程序语言。 Mathematica提供互动且丰富的帮助功能，让使用者现学现卖。强大的功能，简单的操作，非常容易学习特点，可以最有效的缩短研发时间。

《数学建模》课件

第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。

特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。

对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。

而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。

为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。

这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。

随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。

这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。

一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。

即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。

建模培训教学课件ppt

建模培训教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 建模基础知识 • 建模基本技法 • 建模高级技法 • 建模的实际应用 • 建模作品欣赏与学习 • 建模创作及作品展示
01
建模基础知识
建模简介
建模的定义
建模是将现实世界中的问题或需求转化为计算机可处理的形式的过程。
建模的目的是
通过建立模型来模拟现实世界中的问题或需求，以便进行预测、优化和决策。
解并掌握核心概念。 • 总结词：原理应用 • 详细描述：需要讲解原理的来源、原理的具体表示以及如何应用原理解决实际问题，帮助学员更好地掌握
建模的基本原理。 • 总结词：模型优化 • 详细描述：在建模过程中，需要对模型进行不断的优化和改进。需要讲解优化模型的思路和方法，帮助学
员提高建模水平。
建模高级技法-2
THANKS
谢谢您的观看
几何体建模
使用基本几何体进行拼接、拉伸、缩放等操作，创建基础模型
建模流程
创建中轴线→确定基本形 →制作细节→修整轮廓→ 完善模型
建模基本技法-2
布料材质制作
了解布料材质属性、调整布料材质参数、应用布料贴图
毛发制作
掌握毛发生成器、调整毛发参数、应用毛发贴图
场景制作
使用建模工具创建背景、道具等元素，完善场景布局
经典建模方法
包括统计分析、优化理论和仿真等方法。
现代建模方法
包括机器学习、数据挖掘和人工智能等方法。
02
建模基本技法
建模软件介绍
软件名称
3ds Max、Maya、Blender等
软件功能
创学易懂、高效实用
建模基本技法-1
01
02
03

高中数学人教B版(2019)必修第二册数学建模活动(3)-精品课件(共44张)

模型检验
提出问题
你能分析造成这个结果的原因吗？
指数函数的增长速度会越来越快，与植株高度增长速度先慢后快，再慢的规律并不一致.
建立模型参数求解
模型检验
我们可以计算植株高度在每个阶段的增长率，如下表：
可以看出，前8个阶段的增长率大致都在1上下波动，但从第9阶段开始迅速减小. 所以前期类似于指数增长，可以用指数模型去刻画，但后期已不符合前期指数增长的特征.
g(x) a x b
来描述.
提出问题
建立模型
高中数学人教B版（2019）必修第二册第四章 4.7数学建模活动(3) -课件（共44 张PPT）
高中数学人教B版（2019）必修第二册第四章 4.7数学建模活动(3) -课件（共44 张PPT）
玉米植株高度的增长速度刚开始较慢，后来逐渐加快，可以联系我们学习过的指数函数 y ax (a 1) ，尝试用函数
高中数学人教B版（2019）必修第二册第四章 4.7数学建模活动(3) -课件（共44 张PPT）高中数学人教B版（2019）必修第二册第四章 4.7数学建模活动(3) -课件（共44 张PPT）
高中数学人教B版（2019）必修第二册第四章 4.7数学建模活动(3) -课件（共44 张PPT）
年龄/岁 3.5 4
4.5
5
5.5
6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 模型检验
g(x) 99.7 103.1 106.3 109.4 112.3 115.1 117.8
提出问题建立模型参数求解模型检验
可以看到，误差都在2cm以内，所以可以认为

6.4+数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系课件-高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第三册

合作探究
图1 师：图1是动物体重与脉搏率的散点图，从图中我们可以发现什么？生：从图中可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高．师：如果想要用体重预测脉搏率，可以如何操作？学生活动：讨论得出可以建立体重和脉搏率的函数模型．师：图2是用 MATLAB 软件拟合的函数模型 f = 1831.5W−0.302 ，记为模型1．
合作探究
师生活动：验证模型．师：图2与给定数据拟合得很好，对我们的研究具有一定的指导意义，一定程度上体现了体重与脉搏率的数量的关系，但缺少了对问题本质的研究，这是我们第一阶段的实验研究，接下来我们如果要继续深入，需要研究文献，了解相应的生物背景知识．
合作探究
2.文献研究学生活动：阅读学习相关生物背景知识．问题的提出：生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比.根据生物学常识知道，体温主要通过身体表面散失，动物的体重与体积成正比．
合作探究
四、模型应用
根据模型，结合体重对脉搏率的影响，给出形成健康的生活方式的建议.这一过程体现了数学生活化．
合作探究
五、总结提升
合作探究
模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜集有关信息，掌握对象特征．模型假设：针对问题特点和建模目的，做出合理的、简化的设计，在合理与简化之间折中．模型建立：用数学的语言、符号描述问题，尽量采用简单的数学工具．模型求解：各种数学方法、软件和计算机技术．模型分析：如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析．模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性．模型应用：模型适用情况．
合作探究
3.机理研究学生活动讨论：问题中有哪些量？它们有什么关系？如何得到每分心输出量 Q 与体重 W 的关系？设计亮点：长方体的引入不仅帮助学生清晰地理顺量与量之间的关系，而且对表面积与体积的量化关系也提供了一个类比思路，可谓“一体双用”．

数学建模培训课件 32页PPT文档

问题分析多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数
xk, yk=0,1,2,3;
sk=(xk , yk)~过程的状 S ~ 允许k=状1态,2集,
数学建模比赛
中国矿业大学科技文化节数学建模竞赛/每年十一月份
电工杯全国大学生数学建模竞赛/每年十二月份美国国际大学生数学建模竞赛/每年一月份苏北数学建模联赛/每年五月份高教杯全国大学生数学建模竞赛/每年九月份
全国大学生电工数学建模竞赛
全国大学生电工数学建模竞赛（以下简称竞赛）是中国电机工程学会电工数学专委会主办的面向全国大学生的科技活动，目的是提高学生的综合素质、增强创新意识、培养学生应用数学知识解决实际工程问题的能力，激发学生学习数学的积极性，同时也将推动高校的教学改革与教育创新的进程。
D‘ D
模型构成
由假设1，f和g都是连续函数
由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设 g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证明如下的数学命题：
已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)=0,且 g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0
苏北数学建模联赛
苏北数学建模联赛是由江苏省工业与应用数学学会、徐州市工业与应用数学学会、中国矿业大学联合主办，中国矿业大学理学院团委协办及数学建模协会筹办的面向苏北及全国其他地区的跨校、跨地区性数学建模竞赛，目的在于更好地促进数学建模事业的发展，扩大中国矿业大学在数学建模方面的影响力；同时，给全国广大数学建模爱好者提供锻炼的平台和更多的参赛机会，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识。

数学建模培训PPT课件

第15页/共62页
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。
第16页/共62页
数学建模的一般步骤
实体信息
假设
建模
求
解
应用验证分析
第17页/共62页
数学模型的分类
分类标准
具体类别
对某个实际问题了解的深入程度
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的特连续模型、离散模型；确定性模型、随
第28页/共62页
建模：
x k • ：第次渡河前此岸的商人数 k
yk：第 k次渡河前此岸的随从数
xk , yk 0,1, 2,3; k 1, 2, sk (xk , yk ) ：过程的状态
S ：允许状态的集合
S {(x, y) | x 0, y 0,1,2,3; x 3, y 0,1,2,3; x y 1,2}
x=(x1, …, xn)T: 决策变量 f (x): 目标函数, hi(x), gp(x): 约束函数
第38页/共62页
数学规划的一般模型
• min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)≥0, p=1, …, t
(MP)
若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 均为线性函数，则问题(MP)就被称为线
相遇时他已步行了多少分钟？
请思考：本题解答中隐含了哪些假设条件？
5:30
5分钟 5:35
会合点
相遇点
家
第35页/共62页
预备技能
• 数学知识
分析、代数、几何、概率、统计、优化、方程…
软件使用
Matlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo…

人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件第七章三角函数 7.4 数学建模活动周期现象的描述

统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学
框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题
是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为
我们提供了自主学习的空间,把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学
在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f(t)=10-2sin(12 t+ 3 ),t∈[0,24).则实验室这一天的最大温差为
4 ℃.( √ )
2.(1)电流 I(单位:A)随时间 t(单位:s)变化的关系式是
0.5
21
0.99
24
1.5
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其周期、振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度不小于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结
论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动.
2
求该函数的解析式.
解由题图可知,A=300,T=2
代入点
1
- ,0
300
,得 100π×
1
1
+
150
300
1
300
1
2π
= ,ω= =100π,I=300sin(100πt+φ).
50

+φ=0,得
π
φ=3,故
I=300sin

人教B版(2019)数学必修(第三册)：7.4 数学建模活动：周期现象的描述课件(共21张PPT)

2．5sin53π1x＋5＝5．5，sin53π1x＝0.2．由计算器可得
0.201 357 920 8≈0.201 4．
如图 2，在区间[0，12]内，函数 y＝2．5sin53π1x＋5 的图象与直线 y＝5.5 有两个交点 A，B，因此
53π1x≈0.201 4，或 π－53π1x≈0.201 4。
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题。
（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器。
[基础自测]
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数 F(t)＝50＋4sin2t (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）
s1＝5sin2t＋6π，s2＝5cos2t－3π。则在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是（） A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定
解析：当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，所以 s1＝s2。答案：C
3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至（）
可用函数 y＝2．5sin53π1x＋5 近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表）：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深 /m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014 3.023 2.529 2.656 3.372

苏教版高中数学必修第一册应用与建模体重与脉搏课件1

要点五结题 “结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果，进行答辩的过程．一般来讲，结题会是结题的基本形式．
题型一分蛋糕问题例 1 问题提出
妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你．如图 1 所示．
S2 就连续地依赖于角α的变化．即 S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数．
令 f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数 f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且 f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)>0.
f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)<0. 根据零点定理，存在一点 c∈(α0，α0＋π)，使得 f(c)＝S1(c)－S2(c) ＝0. 即存在一点 c∈(α0，α0＋π) 使得 S1(c)＝S2(c)．
应用与建模体重与脉搏
[知识要点] 要点一课题研究的过程
课题研究的过程包括： _选__题_____ 、 __开__题____ 、 __做__题____ 、 __结__题____四个环节．
要点二选题 1．“选题”就是选定研究的问题． 2．课题的来源来源之一：阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题．来源之二：研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题．来源之三：用数学的眼光观察世界，发现研究新的问题．
要点三开题 “开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案．开题主要做的工作是： (1)明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果； (2)选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案； (3)完成开题报告．

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A1, A2, A3 线性相关. • 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘 2020/12/30且满足运算律,证明仍成立抽象向量空间
行列式的定义
二元一次方程组的几何意义
方程组可写成向量形式
即
2020/12/30
(1.1)
1. 有唯一解的条件
不共线
即
2. 消元: 方程(1.1)两边与
作内积消去y, 得
利用基本性质计算 n 阶行列式
(3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时，这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为:
2020/12/30
几何模型
问题：秩的唯一性
• 方程组(A1, A2 , A3) 与(B1, B2) 互为线性组合
• A1 = a11B1 + a12B2 A2 = a21B1 + a22B2 A3 = a31B1 + a32 B2
• x1 A1+x2 A2+ x3 A3=0 :
• 未知数个数>方程个数有非零解
(x1,x2,x3)
其中
2020/12/30
因此, 就是
于是
同理得
3. 二阶行列式 — 平行四边形面积
2020/12/30
图2
是平行四边形 OAPB 的有向面积,
是两个向量
的函数,
称为二阶行列式, 记作
或
或
计算公式:
2020/12/30
图2
4. 代数算法
2020/12/30
三阶行列式与体积
1. 三元一次方程组的几何意义
• 微积分基本思想 : 非线性线性
• 复合函数的导数:
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• 隐函数存在定理 • F(x,y) 在某点P0可微 • 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?
• 一般F不好解决凌波微步
• 线性化: aDx+bDy 0,
• y=f(x) 在 x0 可微,导数为
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看它是否有非零解线性相关与线性无关 • “打假”到底:极大无关组,秩
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极大线性无关组，秩
• 方程组线性相关 • 有多余的方程（是其余方程的线性组
合） • 删去多余的方程 ---- 打假 • 将打假进行到底 • 极大线性无关组 • 剩下的方程的个数---- 秩rank
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线性变换前后的图形
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向量方向的变化
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选取特征向量为基
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数模赛案例. 足球队排名
根据足球比赛成绩给出各队实力名次
X1 … Xj … Xn
X1
… a1j … a1n
… …………
Xi ai1 … aij … ain … … … ……
Xn an1 … anj … ain
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根据对手实力对得分加权
先验实力比： x1 ,… ,xj … ,xn 后验实力比：y1 ,… ,yj … ,yn y1 = a11x1 + … + a1j xj + … + a1nxn
…………
yi = ai1x1 + … + aij xj + … + ainxn
…………
yn = an1x1 + … + anj xj + … + annxn Y = AX = lX , X 是特征向量
• 隐函数存在定理严格证明 • F(x,y)=0. 将F(x,y)线性化得:
• aDx+bDy +d(Dx,Dy)=0
• 解得Dy =f(Dx,Dy)= Dx+d(Dx,Dy) • 迭代: Dy0=0, Dyn= Dx+d(Dx,Dyn-
1). • 则 Dyn -Dyn-1= dy’ (Dyn-1-Dyn-2 ) • 选 Dx,Dy 的范围充分小,可使|dy’| <0.5 且充分小, Dyn 收敛到所需范围.
凌波微步 = 数学建模
• 数学建模主要思想
• 实际问题 -建模数学模型 i求解
实际解检验- 数学解 • 难以解决 -转化容易解决
• 凌波微步:打不赢就跑-转化
跑到打得赢的地方再打
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润物细无声：应用案例
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将数学建模思想引入基础课程教学（一）
利用基础课知识建立模型解决问题: (1)来自现实生活的实际问题 (2)数学自身发展提出的问题
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将数学建模思想引入基础课程教学（二）
从问题出发建立数学模型解决 “发明”出基础课程的知识-2020人/12/30 类的旧知识,学生的新知识
可写成其中
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方程两边同时与
当
作内积消去 y, z , 得到时得
类似地可以得到 y, z 的表达式。
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2. 三阶行列式 — 平行六面体体积从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使
则
就是以OA,OB,OC为棱的平行六面
体的有向体积。称为三阶行列式，记作
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线性代数
空间为体, 矩阵为用
• 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) 矩阵语言描述
矩阵运算解决向量(解答) • 与微积分的关系:
非线性 --微积分线性 --线性代数
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多元微积分：线性代数模型
凌波微步--数学建模融入基础课程教学
李尚志
北京航空航天大学
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数学建模主要思想
• 利用数学知识解决问题
• 实际问题 -建模数学模型 i求解
实际解检验- 数学解
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咏数学建模
数学精微何处寻,纷纭世界有模型. 描摹万象得神韵,识破玄机算古今. 岂是空文无实效,能生妙策济苍生. 经天纬地展身手,七十二行任纵横.
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随风潜入夜:概念的引入
方程个数的真与假
方程组
有几个方程？
3个? 2个?
某个方程是其余方程的线性组合线性相关 2020/12/30
问题：怎样判断a, b, g线性无关？
• 分别解三个方程？ • xa+y b= g, x a+y g = b, x b+y g =a • 只须解一个方程 xa+ yb+ zg = 0