综合评价方法参考数学建模介绍

综合指标作用较大 （3）计算简单,可操作性强. • 适用条件 – 各评价指标之间相互独立 – 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间信息的
重复，使评价结果不能客观地反映实际。
＊
2、非线性加权综合加权法主要特点及适用条件
主要特点:
（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、 负数，
（2） 乘除法容易拉开评价档次，对较小数 值的变动更敏感。
1、评价指标类型的一致化
＊
• 1.1 将极小型化为极大型
• 倒数法：
x j'
1 xj
• 平移变换法
xj' Mj xj
• 其中
M jm 1inx aijx
＊
• 1.2 将居中型化为极大型
• 对于居中型指标 x j
xj取中间M值j 2mj 为最好，要将其大化型为指极标，
x'j
22(M M (Mxjjjjmm mxjjjj)),,mMj j2xmj jMxjj
2、评价指标类型的无量纲处理 ＊
• 指标的无量纲化就是把不同计量单位的 指标数值，改造成可以直接加总的同量 纲数值，。即通过数学变换，消除计量 单位对原数据的影响。
• 指标的无量纲化是综合评价的前提 • 多数场合下，同向化处理过程与无量纲
化过程是同时进行的。
＊
数据指标的无量纲化处理方法
(1)标准差法：
何使指标一致化的问题； • （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间
不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加 总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理——计算单 项评价值。无量纲化处理过程也就是计算单项指标评价值的 过程。（见第二章，二）
• 4．确定各个评价指标的权重 （见第二章，三） • 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。
(xi1 , xi2 ,, xim ) ，则定义二者之间的加权距离:
m
yi
wj
f
( xij
x
* j
),
i
1,2,,
n
，
j 1
其中
w
j
为权系数，f
(xij
,
x*j
)
为
x ij
与
x
* j
之间的某种意义
下距离。
＊
通常可取 f (xij , x*j ) (xij x*j )2 ，则综合评价函数为
m
不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排 序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度 原则去评定对象的等级。
＊
• 客观赋权法——从指标的统计性质来考 虑，它是由客观数据决定。
– 变异信息构权 – 相关信息构权 – 熵信息构权。
＊
1. 变异信息构权（离散/方差信息构权）
• 指标的区分度越高，对排序的影响就越大。基于这种观点，
事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。
二、综合评价的一般步骤 ＊
• 1．确定综合评价的目的 （分类？排序？实现程度？见上页） • 2．建立评价指标体系（见第二章，一） • 3. 对指标数据做预处理
在综合评价时，必须做到两点： • （1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如
＊
1.4 定性指标的量化处理方法
在实际中，很多问题都涉及到定性，或模 糊指标的定量处理问题。
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人 员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、 观念、能力等因素有关的政治、社会、人文 等领域的问题。
如何对有关问题给出定量分析呢？
＊
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。
mj 2
Mj
其中 Mj＝maxx(ij),mj minx(ij)
＊
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
x
11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
b c
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
讨论与思考
＊
• 问题：
• （１）对于相对数是否需要经过无量纲化处理？
– 无量纲化处理这不仅适合于绝对数、平均数，也适 合于相对数，因为相对数不能直接加总，各自对比 标准不同，数据的变化范围不同，也需要无量纲化。
• （２）考试成绩有必要进行无量纲化吗？
– 成绩是一种分数，本身没有单位，而且都是百分制。 但由于不同科目试题的难易程度、分量都不一定相 同，其分数的“含金量”并不相同，因而不能相加。 无量纲化后，各科分数都以60分为中心而分布，具 有了可比性，因而可相加。
以区分度(方差)信息量为权重。
– 均方差法
wj
sj
m
, j 1,2,m
sk
k1
– 极差法：
wj
dj
m
, j 1,2,m
dk
k1
其中 dj＝1m i,kanx| xij xkj| , j 1,2,m
(ik)
＊
２. 熵信息构权
• 根据综合评价的数值所提供信息量的大小来确定权重的方法，对 于i个被评价对象的第j项指标的指标值
适用条件： --各指标间有较强关联性
＊
Байду номын сангаас
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
设定系统指标的一个理想点
( x1*
,
x
* 2
,,
xm*
)
，将
每一个被评价对象与理想点进行比较。
如果某一个被评价对象指标 (xi1, xi2 ,, xim ) 在某种意
义下与
(
x1*
,
x
* 2
,,
xm*
)
最接近，则被评价对象
(xi1 , xi2 ,, xim ) 为最好的。
（见第二章，四）
第二章 综合评价的一般方法
一、评价指标体系的建立及筛选方法 二、综合评价指标的预处理方法 三、指标权数的确定方法 四、综合评价数学模型的建立方法
一、评价指标体系的建立及筛 ＊ 选方法
• 选取指标的原则：尽量少地选取主要的评价指标
• 1、专家调研法
• 2、最小均方差法
–
–
求第j项指标的均方差 求最小的均方差
xij
xij x j sj
(2)极值差法：
xij
xij mj Mj mj
xj
1 n
n i1
xij
sj
[1 n
n i1
(xij
xj )2]12
(3)功效系数法：xij
c xij mj Mj mj
d
M j m1iaxn {xij} mj m 1iinn{xij}
xij [0,1] ( i 1 ,2 ,,n ;j 1 ,2 ,,m )
yi
w j (xij
x
* j
)
2
,
i
1,2,, n
。
j 1
按照 yi (i 1,2,, n) 值的大小对各被评价方案进行排
序选优，其值越小方案就越好。
特别地，当某个 yi 0 时，则对应的方案就是最优的。
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综合评价方法的应用案例
＊
（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题； （2）CUMCM2001-B:公交车调度问题； （3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； （4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题； （5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题 ； （6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题； （7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题 ； （8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题 ； （9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；
第一章 综合评价概述
一、综合评价的目的 二、综合评价的一般步骤
一、综合评价的目的
＊
综合评价一般表现为以下几类问题： ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，
但不同于复合分组（重叠分组）； ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或
在分类基础上对各小类按优劣排序）； ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如 何合理量化？
根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。
＊
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，
D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为 {很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意} 将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。
三、评价体系中权重系数的 ＊ 确定方法
• 主观赋权法
– 德尔菲法（专家法）——实际上各个专家可以根据 自己的理解选择不同的方法
– 相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价指标排 序，再将相邻指标的重要性进行比较
– 层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较构权法。 – 模糊综合评价——模糊评价法奠基于模糊数学。它
二、综合评价指标的预处理方法 ＊
• 由于来自实际中的指标数据可能是各种各样的，特别是对 于不同类型，不同单位，不同数量组的数据，存在不可公 度性，在应用之前需要对这样的数据做一定的预处理，以 便于在综合评价中做相应的运算，比较，和分析等。
• -极大型（效益型）指标：取值越大越好 • -极小型（成本型）指标：取值越小越好 • -居中型指标：居于中间最好 • -区间型指标：取值越接近某个固定区间[a，b]越好 • -定性指标
当“很不满意”时，则隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01．