数学建模常见评价与衡量模型简介
数学建模评价类模型
数学建模评价类模型
数学建模评价类模型是指针对数学建模的模型进行评估的方法，是模型评价的一种重要方式。
传统的数学建模评价类模型一般由模型准确度、模型耗费以及模型质量三方面评价。
首先，模型准确度是评价模型质量的基础，是模型评价比较重要的指标之一。
它反映了模型拟合现实情况的精确程度，是选择和调整模型的关键点。
一般需要衡量模型的真实性和拟合度。
真实性测量模型的准确性，评价模型的输出能否真实反映现实情况；拟合度测量模型的契合度，评价模型对输入变量的拟合程度有多好。
一般模型评价准确度可以用均方差、拟合指标、距离指标等指标来衡量。
其次，模型耗费是另一个重要的指标。
它考察了模型处理工作量大小，表示模型的计算消耗，可衡量模型计算效率的高低，具有重要的实际意义。
一般模型耗费可以用计算量指标衡量，也可以用算法的执行时间进行评价。
最后，模型质量是衡量模型优劣的一个重要指标，指的是模型与实际运用的效果。
模型质量可以用实际结果与模型给出结果之间的偏差来衡量，也可以用效率指标，如模型预测准确度、预测时效性、分类准确率等来评价。
数学建模评价模型方法
数学建模评价模型方法数学建模是运用数学方法对实际问题进行分析和求解的过程。
在数学建模中，评价模型方法是指对构建的数学模型进行评价，判断其优劣和可行性。
本文将介绍几种常用的数学建模评价模型方法。
一、模型的合理性评价模型的合理性评价是指对构建的数学模型是否合理、可行的评价。
主要包括以下几个方面：1.物理现象的还原性：模型能否从数学上还原出实际问题的主要特征和规律。
例如，对于物理问题，模型应能够描述物体的运动规律等。
2.参数的确定性：模型的参数是否能够通过实际观测或实验得到。
如果参数无法得到准确的数值，那么模型的可行性将受到质疑。
3.数学形式的合理性：模型的数学形式是否符合问题的特点和要求。
例如，对于动力系统问题，模型的微分方程形式是否合理。
4.结果的可解性：模型是否能够得到解，解的形式是否合理。
可解性是模型可行性的基础。
5.模型的稳定性：模型在参数或初始条件变化下的稳定性。
模型的稳定性是评价模型可行性的重要指标。
二、模型的精确性评价模型的精确性评价是指对构建的数学模型的精确程度进行评价，主要包括以下几个方面：1.近似程度：模型对实际问题的近似程度。
模型应能够在保持简洁性的前提下最大程度地还原实际问题的特点。
3.可靠性评价：模型结果的可靠性和可信度。
评价模型的可靠性可以通过对模型在不同数据集上的验证和对模型假设的检验来进行。
4.提升方法：对模型的改进方法和提高精确性的途径的研究。
模型可以通过引入更多的因素、扩大数据范围、改进算法等方法来提高精确性。
三、模型的应用评价模型的应用评价是指对构建的数学模型在实际应用中的可行性和效果进行评价，主要包括以下几个方面：1.模型的适应性：模型是否能够适应不同的实际问题和应用场景。
模型应具有一定的通用性和扩展性。
2.解决问题的有效性：模型是否能够解决实际问题，并提供可行的解决方案。
模型的应用性是评价其有效性的关键指标。
3.实际可操作性：模型的实际操作难度和成本。
模型的实际应用应该能够满足操作的简便性和成本的可控性。
数学建模中的模型评价
数学建模中的模型评价数学建模是一种以数学方法和技巧解决实际问题的过程。
在实际应用中，我们往往需要选取和评价不同的模型，以确定最适合解决问题的模型。
本文将介绍数学建模中常用的模型评价方法，并分析其优缺点。
一、模型评价方法在数学建模中，常用的模型评价方法有以下几种：1. 残差分析法残差分析法是通过对模型的预测值与实际观测值之间的偏差进行统计分析，以评估模型的拟合程度。
残差是指模型的预测值与实际观测值之间的差值，利用残差可以判断模型是否存在系统误差或者随机误差。
2. 相对误差法相对误差法是通过计算模型预测值与实际观测值之间的相对误差，来评估模型的准确性。
相对误差是指模型预测值与实际观测值之间的差值与实际观测值的比值。
相对误差越小，说明模型的预测能力越强。
3. 决定系数法决定系数是通过计算模型预测值和实际观测值之间的相关性来评估模型的拟合优度。
决定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型的拟合效果越好。
4. 参数估计法参数估计法是利用统计学方法对模型中的参数进行估计，以评估模型的可靠性。
参数估计法主要通过最小二乘法来求解最佳参数值，使得模型的拟合误差最小化。
二、模型评价的优缺点每种模型评价方法都有其独特的优缺点，我们需要根据具体问题和模型的特点来选择合适的方法。
残差分析法的优点是可以直观地观察模型预测值和实际观测值之间的差异，可以发现模型中存在的问题，便于模型的改进。
然而，残差分析法也存在一些局限性，比如无法判断模型中存在的误差类型以及无法量化模型的拟合程度。
相对误差法的优点是可以量化模型的准确性，通过计算相对误差可以对比不同模型的预测能力。
然而，相对误差法没有考虑到误差的方向，只是简单地计算模型预测值与实际观测值之间的比值，可能忽略了误差值的正负。
决定系数法是一种常用的模型评价方法，可以直接判断模型的拟合优度，其计算简单直观。
然而，决定系数只考虑了模型预测值与实际观测值之间的相关性，没有考虑到其他可能的误差来源。
数学建模评价模型
数学建模评价模型1.准确性评价：这是评估模型与实际数据的契合程度。
准确性评价可以通过计算模型预测结果与实际数据之间的差异来实现。
常见的准确性评价指标有均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）等。
均方根误差是模型预测值与真实值之间的差值的均方根，平均绝对误差是模型预测值与真实值之间的差值的平均值。
准确性评价越小，则模型准确性越高。
2.可靠性评价：可靠性评价是评估模型在不同数据集上的稳定性。
通过将模型应用于不同的数据集，观察模型预测结果的变化情况，可以评估模型的可靠性。
常见的可靠性评价方法包括交叉验证和蒙特卡洛模拟。
交叉验证将数据集分为训练集和测试集，通过多次重复实验，观察模型预测结果的稳定性。
蒙特卡洛模拟则是通过随机生成不同数据集，观察模型预测结果的分布情况。
3.灵敏度分析：灵敏度分析是评估模型对输入参数变化的敏感性。
建模时，经常需要设定各种参数值，而不同参数值可能导致不同的结果。
灵敏度分析可以帮助确定哪些参数对模型输出的影响最大。
常见的灵敏度分析方法包括单因素灵敏度分析和多因素灵敏度分析。
单因素灵敏度分析是将一个参数保持不变，观察模型结果的变化情况。
多因素灵敏度分析则是将多个参数同时变化，并观察模型结果的变化情况。
4.适用性评价：适用性评价是评估模型在特定问题上的适用性。
不同的问题可能需要不同的数学模型，评价模型的适用性可以帮助确定模型是否适用于特定问题。
适用性评价可以通过将模型应用于类似的问题，并进行验证来实现。
在实施数学建模评价模型时，需要根据具体问题的特点和需求来选择合适的评价指标和方法。
同时，在建立数学模型之前，需要确定评价指标的合理范围，以便在评估结果时进行比较和判断。
总之，数学建模评价模型是一种用于评估数学建模结果的方法。
通过准确性评价、可靠性评价、灵敏度分析和适用性评价，可以评估模型的优劣、准确性和可靠性，为实际问题的解决提供参考。
数学建模综合评价与衡量方法(定)
所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面．从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值•例如，旅游景区质量等级有5A、4A、3A、2A 和1A之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标．从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类：(1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标；(2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标；(3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标；(4)区间型指标是指标值取在某个区间为最好的指标．例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化围一般是(-10%,+5%)x标的价，超过此围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标•投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标．在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换8.2.4评价指标的预处理方法一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理．1．指标的一致化处理所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷 等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室温度、空气湿度等居中型指标是既不期望 取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必 须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同 的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异．(1) 极小型指标化为极大型指标，将其转化为极大型指标时，只需对指标x 取倒数:jx'二丄,jxjx =M -x ,jjj其中M =max{x}，即n 个评价对象第j 项指标值x..最大者.j 1<i<n 可IJ(2) 居中型指标化为极大型指标jj就可以将x 转化为极大型指标.j(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标x ,x 是取值介于区间［a,b ］时为最好，指标值离该区间越远就越jjjj差.令M =max{x}，m =min{x}，c =max{a -m,M -b},取j1<i<n ijj1<i<n ijjjjjj对极小型指标xj或做平移变换：对居中型指标xj，令M =max{x}j1<i<n ij 2(x -m)jj —, M -m =V jj2(M -x)j—,M -m，m =min{x}，取j1<i<n ijM +mm <x <—J j ;j J2M +m —J j <x <M.2jj就可以将区间型指标x 转化为极大型指标．j类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标．2．指标的无量纲化处理所谓无量纲化，也称为指标的规化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数 值数量级影响的过程．因此，就有指标的实际值和评价值之分．—般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值．无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程．对于n个评价对象S,S,,S ，每个评价对象有m 个指标，其观测值分别为12nx(i=1,2,,n;j —1,2,,m).ij⑴标准样本变换法令••••••x —xx *—j (1<i <n ,1<j <m ).ijsj其中样本均值x -丄2x ，样本均方差s -£(x —x )2,x *称为标准观测值.jn ij j Vn ijjiji —11i —1特点：样本均值为0，方差为1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定(s —0)的情况不适用；对于要求指标评价值x *>0的评价方法(如jij 熵值法、几何加权平均法等)不适用.(2)线性比例变换法对于极大型指标，令xx *—j (max x 丰0,1<i<n ,1<j<m ). ijmax x 1<i<nij1对极小型指标，令minxx *—j(1<i <n,1<j <m). ij x或xx *=1-j —(maxx 丰0,1<i <n,1<j <m ).a -x 1——jjc j1,x —b 1——j jx <a;jja <x <b; jjjx >b.jj©maxx 1<i <n ij1<i <nij该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例．但对任一指标来说，变换后的x *=1和x *=0不一定同时出现.ijij特点：当x >0时，x *e[0,1];计算简便，并保留了相对排序关系.ijij(3)向量归一化法对于极大型指标，令优点：当x >0时，x *e[0,1]，即£(x *)2=1•该方法使0<x *<1，且变换前ijij ij ij i =1后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同.(4) 极差变换法对于极大型指标，令x -minxx *=ij ——1<i <n ij ——(1<i <n,1<j <m). ijmaxx -minx1<i <n ij 1<i <n ij对于极小型指标，令maxx -xx *=——_ij ij ——(1<i <m,1<j <n). ijmaxx -minx1<i <n ij 1<i <n ij其优点为经过极差变换后，均有0<x *<1，且最优指标值x *=1，最劣指标值ijijx *=0•该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定(s =0)的情况ijj不适用.(5) 功效系数法令x -minxx *=c +—ij_i <i <n ij —x d (1<i <n ,1<j <m ). ijmax x -min x1<i <nij1<i <n ij其中c ，d 均为确定的常数.C 表示"平移量”，表示指标实际基础值，d 表示"旋转量”,即表示"放大”或“缩小”倍数，则x *e[c,c+d].ij通常取c =60,d =40，即xx对于极小型指标，令x *ijx-minxx*=60+—j_i<i<n j—x40(1<i<n,1<j<m).ij maxx-minx1<i<n ij1<i<n ij则x*实际基础值为60，最大值为100，即x*e[60,100].ijij特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值围确定，最小值为c,最大值为c+d•3．定性指标的定量化在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等•对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化•一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0•对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值.(1)极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则可以分别取量化值为1.030,5.0,7.0和9.0,对应关系如图8-2所示•介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值.很低低一般高很高01.03.05.07.09.010.0图8-2极大型定性指标量化方法(2)极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-3所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．很高高一般低很低IIIIII I101.03.05.07.09.010.0模糊综合评价方法在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种在结构的不确定属性，称为模糊性现象．模糊数学就是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支．而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法．．隶属度函数的确定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题．下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法．⑴模糊统计法模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程．①以年龄为论域X，在论域X中取一固定样本点x=27.②设A*为论域X上随机变动的普通集合，A是青年人在X上以A*为弹性边界的模糊集，对A*的变动具有制约作用.其中xeA，或x电A，使得x对A的隶属关系000具有不确定性•然后进行模糊统计试验，若n次试验中覆盖x的次数为m，则称m为0n nx对于A的隶属频率.由于当试验次数n不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数，o该常数就是x属于A的隶属度，即m卩(x)=lim--.A0n*n比如在论域X中取x=27，选择若干合适人选，请他们写出各自认为青年人最适0宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁)，即将模糊概念明确化.若n次试验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m，则称m为27岁对于青年人的隶属频率，表8-4是抽样调查n统计的结果.由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在0.78附近，因此可得到x=27o属于模糊集A的隶属度卩(27)=0.78.A③在论域X中适当的取若干个样本点x,x,,x，分别确定出其隶属度12n卩(x)(i=1,2,,n)，建立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集A的隶属函数曲线.Ai将论域X分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频率，连续地描出图形使得到•••青年人的隶属函数曲线，见表8-5与图8-5所示.确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法.特别是对一些隶属规律不清楚的模糊集合，也能较好地确定其隶属函数.16.5~17.5670.51928.5~29.5800.62017.5~18.51240.96129.5~30.5770.59718.5~19.5125 1.0030.5~31.5270.20919.5~20.5129 1.0031.5~32.5270.20920.5~21.5129 1.0032.5~33.5260.20221.5~22.5129 1.0033.5~34.5260.20222.5~23.5129 1.0034.5~35.5260.20223.5~24.5129 1.0035.5~36.510.00824.5~25.51280.992⑵三分法三分法也是利用概率统计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法•例如建立矮个子A1，中等个子A2，高个子A3三个模糊概念的隶属函数•设P3=｛矮个子，中等个子，高个子｝,论域X为身高的集合，取X=(0,3)(单位：m).每次模糊试验确定X的一次划分，每次划分确定一对数(g,n)，其中匕为矮个子与中等个子的分界点，耳为中等个子与高个子的分界点，从而将模糊试验转化为如下随机试验：即将(g,n)看作二维随机变量，进行抽样调查，求得g、n的概率分布p(x)、P(x)后，再分别导出A1、A?和A3的隶属函数卩(X)、R(X)和g_H_A1A2卩(x),相应的示意图如图8-6所示.A3图8-5年轻人的隶属函数曲线图8-6由概率分布确定模糊集隶属函数通常E 和耳分别服从正态分布N (a ,G 2)和N(a11分别为_gv⑶模糊分布法根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数(论域为实数域)，然后再通过实验确定参数．在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形•若模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊分布．下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，选择适当(即符合实际情况)模糊分布，根据测量数据求出分布中所含的参数，从而就可以确定出隶属函数了．为了选择适当的模糊分布，首先应根据实际描述的对象给出选择的大致方向．偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为「1,x <a; 卩(x)斗A [f (x),x >a.偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为f0,x <a ;卩(x )=\A [f (x ),x >a .中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和“、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属面数可以通过中间型模糊分布表示．① 矩形(或半矩形)分布2,G2),则A 1、A 2和A3的隶属函数其中Q (x)二i卩(x)=1—① A1卩(x )=①A21气—e 2dt .(、 x 一a 1丿/ 1GiC\x 一a 2(G 丿2—① 卩(x)=1一① A3x 一a 、Gi丿、x 一ac 2G丿(c)中间型0,x <a ;1,a <x <b ; 0,x >b .卩A x )=<此类分布是用于确切概念．矩形(或半矩形)分布相应的示意图如图8-7所示．图8-7矩形(或半矩形)分布示意图② 梯形(或半梯形)分布梯形(或半梯形)分布的示意图如图8-8所示．③ 抛物形分布(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型1,x<a; b —x<<, b —a 0,x>b.卩A(x )=10,x <a;x —a,a <x <b;b —a 1,x >b.0,x <a ,x >d ; ,a <x <b ;b -a 1,b <x <c ;d —x,c <x <d ;d —c(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型 图8-8梯形(或半梯形)分布示意图抛物形分布的示意图如图8-9所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型图8-9抛物形分布示意图④正态分布(a)偏小型(b)偏大型1,x<a;0,x<a;卩(x)=<(x—a]2卩(x)=<(T—a J2、e〔b,x>a. 1—e—l b丿,x>a.(c)中间型⑤柯西分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型⑥r 型分布(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型f l,x <a ; [e _k (x _a ),x >a .f 0,x <a ;卩(x)=kA[1一e _k (x _a ),x >a .卩(x)=<Ae _k (x _a ),x <a; 1,a <x <b; e _k (b _x ),x >b.1,1 x <a; 1+a (x -a)P (a >0,B >0)x >a.0, 1x <a ; Q ,x >a .1+a (x 一a )_P叮x)=1+a (x -a )B'(a >0,B 为正偶数).(a >0,B>0)。
高校数学建模竞赛模型结果预测效果评估指标
高校数学建模竞赛模型结果预测效果评估指标数学建模竞赛是大学生们展现数学建模和解决实际问题能力的舞台。
为了评估参赛队伍的模型结果预测效果，各种指标被提出并广泛应用。
本文将介绍几种常见的高校数学建模竞赛模型结果预测效果评估指标。
一、均方误差（MSE）均方误差是评估模型预测结果与实际观测值之间差异的常用指标。
它通过计算预测值与实际值之差的平方的均值来得到。
均方误差越小，表示模型的预测能力越好。
数学公式表示为：MSE = (Σ(yi - y^i)^2) / n其中，yi为观测值，y^i为模型预测结果，n为样本数量。
二、平均绝对误差（MAE）平均绝对误差是评估模型预测结果与实际观测值之间差异的另一常见指标。
它通过计算预测值与实际值之差的绝对值的均值来得到。
平均绝对误差越小，表示模型的预测能力越好。
数学公式表示为：MAE = Σ|yi - y^i| / n三、均方根误差（RMSE）均方根误差是均方误差的平方根。
它综合了均方误差和平均绝对误差的优点，能够更好地评估模型的预测效果。
均方根误差越小，表示模型的预测能力越好。
数学公式表示为：RMSE = √(Σ(yi - y^i)^2 / n)四、决定系数（R²）决定系数用于评估模型对观测值的拟合程度。
它表示模型预测结果能够解释观测值变异程度的比例。
决定系数的取值范围为0到1，值越接近1表示模型对观测值的拟合程度越好。
数学公式表示为：R² = 1 - (Σ(yi - y^i)² / Σ(yi - ȳ)²)其中，ȳ为观测值的均值。
五、平均相对误差（MPE）平均相对误差用于评估模型预测结果相对于实际观测值的偏差程度。
它通过计算预测值与实际值之差的绝对值与实际值的比值的均值来得到。
平均相对误差越小，表示模型的预测能力越好。
数学公式表示为：MPE = (Σ|yi - y^i| / Σ|yi|) / n六、完全误差（CE）完全误差综合考虑了均方误差和均方根误差。
数学建模中的实际问题的模型评价与检验
数学建模中的实际问题的模型评价与检验数学建模是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，模型的评价与检验是非常重要的环节，它可以帮助我们验证模型的有效性和可行性，从而为实际问题的解决提供可靠的依据。
一、模型评价的方法在数学建模中，我们常用的模型评价方法主要包括定性评价和定量评价两种。
定性评价是通过对模型的结构和特点进行分析和判断，从而评估模型的合理性和适用性。
我们可以从模型的假设合理性、模型的适用范围、模型的可解性等方面进行评价。
例如，在交通流量预测的模型中，我们可以评估模型是否考虑了道路拥堵、交通事故等因素，以及模型是否适用于不同的道路类型和交通情况。
定量评价是通过对模型的输出结果与实际数据进行比较，从而评估模型的准确性和可靠性。
我们可以使用误差分析、拟合度检验、预测误差等方法进行评价。
例如，在天气预报的模型中，我们可以将模型的预测结果与实际观测数据进行比较，计算出预测误差，并通过统计分析方法来评估模型的准确性。
二、模型检验的方法模型检验是指通过实际观测数据对模型进行验证和检验，以确定模型的可靠性和有效性。
常用的模型检验方法包括参数估计、残差分析、敏感性分析等。
参数估计是通过最小二乘法等统计方法，对模型中的参数进行估计和优化。
通过与实际观测数据的拟合程度，可以评估模型的准确性和可靠性。
例如，在人口增长模型中，我们可以通过拟合实际的人口增长数据，来估计模型中的人口增长率等参数。
残差分析是通过对模型的预测误差进行分析，来评估模型的准确性和可靠性。
我们可以通过计算模型的残差序列，来检验模型是否具有随机性、平稳性等特性。
例如，在金融市场预测的模型中，我们可以通过对模型的残差序列进行自相关性和正态性检验，来评估模型的有效性。
敏感性分析是通过改变模型中的输入参数，观察模型输出结果的变化，来评估模型对参数的敏感程度。
通过敏感性分析，我们可以确定模型中哪些参数对结果影响较大，从而为模型的改进和优化提供依据。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
常用的综合评价模型
z
Hale Waihona Puke jmax1inzij
,
z
j
min
1in
zij , (
j
1, 2,
, m)
当 j 项指标为极小型指标时，取
z
j
min
1in
zij
,
z
j
max
1in
zij , (
j
1, 2,
, m)
（4） 计算各评价对象到正理想解和负理想解
的距离，计算公式分别如下：
m
m
di
(zij zij )2 ，di
的情况，给出综合评价数学模型
y ( y1, y2 , , yn ) f (w, x)
7.4.1. 简单的综合评价模型
1.线性加权综合模型
线性加权综合模型是使用最为普遍的一种综合评 价模型，其实质是在指标权重确定后，对每个评价对 象求各个指标的加权和，即令
m
yi wj xij , (i 1, 2, , n) j 1
(i 1, 2, n) .
（4） 秩和比排序：根据 RSRi (i 1, 2, n)
对评价对象进行排序。 秩和比法有以下优点： （1） 理论简单，计算方便，可以消除指标
异常值的干扰； （2） 能够区分指标的微小差异，分辨力强； （3） 适用范围广，不仅适用于有序资料，
也适用与无序资料。
设综合评价问题含有 n 个评价对象，m 个
评价指标，相应的指标观测值分别为
xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m)
指标权重向量为 w (w1, w2 , , wm ) .则
秩和比法的计算过程如下：
（1） 建立原始数据矩阵：即将 n 个评 价对象 m 个评价指标相应的指标观测值排成 n 行 m 列的原始数据矩阵。
常用算法模型及其评价指标
常用算法模型及其评价指标1.线性回归模型✓线性回归是一种广泛使用的预测算法，其目的是通过找到一个线性函数来尽可能地拟合给定的数据。
其评价指标主要包括均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）和R2分数等。
⏹均方误差（MSE）：是预测值与真实值之差的平均值的平方，用于衡量模型预测结果的准确性。
⏹均方根误差（RMSE）：是MSE的平方根，用于衡量模型预测结果的准确性。
⏹决定系数（R²）：是预测值与真实值之间的相关性的平方，用于衡量模型的拟合程度，取值范围为0~1。
2.逻辑回归模型✓逻辑回归是一种二元分类算法，其目的是根据已知的变量来预测结果的概率。
其评价指标主要包括准确率、精确率、召回率、F1分数等。
⏹准确率（Accuracy）：是分类正确的样本数占总样本数的比例，用于衡量模型分类结果的准确性。
下同。
⏹精确率（Precision）：是真正例（TP）占预测为正例（P）的比例，用于衡量模型对于真正例的识别能力。
下同。
⏹召回率（Recall）：是真正例（TP）占实际为正例（T）的比例，用于衡量模型对于正例的覆盖能力。
下同。
⏹F1分数：是精确率和召回率的调和平均数，用于综合衡量模型的分类性能。
下同。
3.决策树模型✓决策树是一种非常流行的分类和回归算法，其目的是基于一系列规则来预测特定的结果。
其评价指标主要包括基尼系数（Gini Index）、信息增益（Information Gain）、准确率、精确率、召回率、F1分数等。
⏹基尼系数：是一种度量样本不纯度的方法，用于衡量模型在节点处的分类效果。
⏹信息增益：是一种表示属性对于分类结果贡献的方法，用于衡量模型在选择划分属性时的效果。
⏹准确率：是分类正确的样本数占总样本数的比例，用于衡量模型分类结果的准确性。
4.随机森林模型✓随机森林是一种集成学习算法，其目的是使用多个决策树来进行分类或回归。
其评价指标主要包括准确率、精确率、召回率、F1分数等。
5.支持向量机模型✓支持向量机是一种广泛使用的分类和回归算法，其目的是通过找到一个超平面来将数据分为不同的类别。
高中数学知识点总结数学建模中的模型评价与优化之模型的评价指标与优化方法
高中数学知识点总结数学建模中的模型评价与优化之模型的评价指标与优化方法高中数学知识点总结：数学建模中的模型评价与优化之模型的评价指标与优化方法在数学建模中，模型的评价和优化是非常重要的环节。
一个好的评价指标和优化方法可以有效地提高模型的可靠性和实用性。
本文将重点介绍模型的评价指标和优化方法，帮助读者更好地理解和应用数学建模的知识。
一、模型的评价指标1. 准确性：模型的准确性是指模型对实际问题的描述程度。
一个准确的模型能够很好地捕捉到问题的本质特征，提供可靠的结果。
准确性可以通过与实际数据的比对和误差分析来评价。
2. 稳定性：模型的稳定性是指模型在不同的数据集和参数下的表现一致性。
一个稳定的模型可以在不同条件下保持相对稳定的输出，不会因为数据的微小变动或参数的调整导致结果的剧烈波动。
3. 可解释性：模型的可解释性是指模型能否从直观和易懂的方式解释和展示问题的关键因素和内在规律。
一个具有较高可解释性的模型可以帮助决策者更好地理解问题，并做出合理的决策。
4. 适用性：模型的适用性是指模型在解决实际问题时的实用性和有效性。
一个适用性强的模型可以很好地适应现实情况，并提供可行的解决方案。
二、模型的优化方法1. 参数调整：模型的参数是影响模型结果的关键因素。
通过调整模型的参数，可以使得模型更符合实际问题。
参数调整可以基于试错法进行，不断调整参数直到模型达到最佳效果。
2. 数据处理：在建模过程中，原始数据可能存在噪声或缺失值等问题。
通过数据处理的方法，可以提高模型的质量。
常见的数据处理方法包括数据平滑、异常值处理和缺失值填补等。
3. 约束条件：模型的优化过程中，可能涉及到一些约束条件，如资源限制、能力限制等。
通过引入约束条件，可以保证优化结果的合理性和可行性。
4. 优化算法：优化算法是指通过数学方法和计算机算法求解最优值的过程。
常用的优化算法包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。
选择合适的优化算法对于模型的优化至关重要。
数学建模模型评价
数学建模模型评价
数学建模模型评价指对数学建模问题的建模过程和结果进行不同维度的评价。
其目的是验证模型的可行性、准确性和可用性，以推动数学建模的进一步发展。
评价标准主要包括以下几个方面：
1.模型准确性：即模型预测结果与实际情况的差距。
评价准确性的方法有误差分析、模拟实验等。
2.模型可行性：即模型输入数据是否可得、计算成本是否合理、计算难度是否合理等。
一般使用敏感度分析、论证分析等方法评价模型可行性。
3.模型稳定性：即模型在不同环境下是否具有稳定性，包括输入变化、参数变化、数据质量变化等。
评价模型稳定性主要使用鲁棒性分析、扰动分析等方法。
4.模型可解析性：即模型是否可以通过数学方法精确求解。
对于难以精确求解的模型，可以采用近似解法进行求解，评价模型可解析性的方法主要有数值分析、模拟实验等。
5.模型可用性：即模型是否符合实际使用需要，包括使用界面是否友好、使用方法是否便捷、可扩展性等。
评价模型可用性的方法主要有用户测试、专家评估等。
综合考虑上述评价标准，可以对数学建模模型进行全面的评价，并确定模型优化的方向和重点。
数学建模综合评价方法
别
称
方法 次序法来排序与 策者、多指标、 因素的对
评价
动态的对象
象
4.运筹 数据包 以相对效率为基 可以评价多输 只表明评 评价经济学中生产
学方法 络分析 础,按多指标投 入多输出的大 价单元的 函数的技术、规模有
(狭义) 模型 入和多指标产 系统，并可用 相对发展 效性,产业的效益评
出,对同类型单 “窗口”技术 指标,无法 价、教育部门的有效
好
on 法 告诉决策者来评
价结果。如果认
为已经满意则迭
代停止；否则再
根据决策者意见
进行修改和再计
算,直到满意为
止
9． 智能 基于 BP 模拟人脑智能化 网络具有自适 精度不高, 应用领域不断扩大, 化评价 人工神 处理过程的人工 应能力、可容 需要大量 涉及银行贷款项目、
方法 经网络 神经网络技术, 错性,能够处 的训练样 股票价格的评估、城
的评价 通过 BP 算法, 理非线形、非 本等
市发展综合水平的
学习或训练获取 局域性与非凸
评价等
方法类 方法名 方法描述
优点
别
称
知识,并存储在 性的大型复杂
神经元的权值
系统
中,通过联想把
相关信息复现。
能够“揣摩”“提
炼”评价对象本
身的客观规律,
进行对相同属性
评价对象的评价
缺点
适用对象
如表所示，各种方法都有自身的优缺点以及适用的范围。
等指标
的对象
经济分 通过可行性分
析法 析、可靠性评价
等
3.多属 多属性 通过化多为少、 对评价对象描 刚性的评 优化系统的评价与
性决策 和多目 分层序列、直接 述比较精确, 价,无法涉 决策 ,应用领域广
数学建模常见评价模型简介
数学建模常见评价模型简介Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O ，准则层C ，方案层P ；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标i 与指标j 比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j 与指标i 的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A显然，A 是正互反阵。
数学建模常见评价模型简介完整版
数学建模常见评价模型简介HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标与指标比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标与指标的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A 显然，A 是正互反阵。
数学建模系列-常用模型
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
同理得，, B3 对总目标的权值分别为：0.246 B2 ,
决策层对总目标的权向量为： 又
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响 两两比较结果如下：
Z A1 A1 1 A2 2 A3 1/4 A4 1/3 A5 1/3 A2 A3 A4 A5
1/2
1 1/7 1/5 1/5
A1 , A2 , A3 , A4 , A5
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 A 加以调整。 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值 过程，
称为层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设： 层m个因素A1, A2 ,, Am , A
， n
时， 为一致阵。 n A
A n 由于 连续的依赖于 aij ，则 比 大的越多， 的不一致
性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上 层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大， 引起的判断误差越大。因而可以用
n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两
种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。
数学建模的评价模型方法模型的评价
数学建模的评价模型方法模型的评价如果把业务上的二分类问题（例如信用评分中的“好”与“坏”、“拒绝”与“接受”）从统计角度理解，都在于寻找一个分类器（classifier），这个分类器可能是logistic模型，也可以是多元判别模型（Edward Altman1968年发展的基于财务指标建立的企业破产识别z得分模型），还可以使其它复杂形式的模型。
一、ROC曲线ROC，英文全称Receiver Operating Curve，翻译成中文，简称受试者工作特征曲线。
其在统计实务中应用甚广，尤其应用于处理医学研究中的“正常组”和“异常组”区分建模问题，用于评价分类模型的表现能力。
（一）ROC曲线原理。
要说清楚ROC曲线的原理，我们从一个简单的分类实例问题说起。
假如我们有了基于商业银行企业贷款数据建立违约-非违约的业务分类模型，比如说我们是预测的所有样本的违约概率或者信用评级得分，比如信用评级得分，我们获得了关于两类样本的分布图形：图3.1 两类样本的违约率经验分布1.基本假设上面的图例可以看成一个基于银行债务人违约率分类的分类器。
左边的分布表示历史样本数据中违约者预测得到的违约率的分布；右边的分布相应表示非违约者的分布，其中C点表示决策者做出决断的切分点（cutoff），对于该点有这样的经济意义：一旦我们确定了C 点，不考虑其他业务处理，的样本被预测为违约者，反之被预测为非谓语这。
对于一个固定的Cutoff点，我们可得到一些有实际意义的量化指标：HR（C）=，表示在C点左边，对Defaulters的信用得分分布中，基于C点做决策时候，被正确命中的比率，这里H（C）表示被正确预测的违约者的样本个数，ND表示违约样本的总数。
HR（C）=，表示在C点左边，对non-Defaulters的信用得分分布中，基于C点做决策时候，被错误预测的比率，这里F（C）表示被错误预测的违约者的样本个数，NND表示非违约样本的总数。
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常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标i 与指标j 比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j 与指标i 的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A1135131112513131211714155712334211A 显然，A 是正互反阵。
步骤3计算被比较元素对于该准则的相对权重(1)一致阵的定义与性质 一致阵的定义要由A 确定n C C C ,,,21 对目标O 的权向量，我们首先考察一致矩阵的性质。
称满足n k j i a a a ik jk ij ,,2,1,,, 的正互反阵为一致阵。
例如n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A212221212111一致矩阵的性质矩阵A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n 。
矩阵A 的任一列向量是对应于n 的特征向量。
矩阵A 的归一化特征向量可作为权向量。
然而，我们构造的成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A 中，由212112C C a ，43113 C C a 可以得到83223 C Ca ，而事实上723 a 。
因此矩阵A 并不是一致阵，事实上在大多情况下我们构造的成对比较矩阵都不是一致阵。
对于这样的矩阵我们如何来确定权向量呢？我们通常的作法是：对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A ，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量。
(2)一致性检验（确定成对比较阵不一致的允许范围），计算权向量。
已知n 阶一致阵的唯一非零特征根为n ，可证：n 阶正互反阵最大特征根n , 且n 时为一致阵。
一致性指标：1 n nCI ，CI 越大，不一致性越严重。
随机一致性指标：随机产生多个矩阵，将每个矩阵的一致性指标相加然后取平均值得到RI 。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0.580.901.121.241.321.411.451.491.51表2 Saaty 的随机一致性指标注：标2中的n 表示成对比较阵的维数。
一致性比率 如果1.0 RICICR ，构造的成对比较矩阵A 通过一致性检验。
步骤4计算组合权向量记第2层(准则层)对第1层(目标层)的权向量为Tnw w w )2()2(1)2(,, 同样求第3层(方案层)对第2层每一元素(准则层)的权向量n k w w w Tkmk k ,,2,1,,,)3()3(1)3( 构造矩阵)3()3(1)3(,,n w w W则第3层(方案层)对第1层(目标层)的组合权向量)2()3()3(w W w以此类推，第s 层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(w W W W w s s s其中 p W 是由第p 层对第p -1层权向量按列组成的矩阵。
层次分析法的应用1、应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
2、处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
3、建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
4、构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
层次分析法的若干问题2. 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？ 不完全层次结构上层每一元素与下层所有元素相关联，这种层次结构称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构，不完全层次结构又分为两种，一种为不完全层次出现在准则层与子准则层之间，这种不完全结构容易处理，我们将不支配的那些因素的权向量分别简单的置0，就可以用完全层次结构的办法处理，但如果不完全结构出现在准则层与方案层之间，则处理起来就有些麻烦，我们看下面的例子。
例 评价教师贡献的层次结构(图3)，该图中21,C C 支配元素的数目不等，此层次结构称为不完全层次结构。
设第2层对第1层权向量Tw w w 22212, 已定，第3层对第2层权向量 Tw w w w 0,,,31331231131 ，T w w w 32432332,,0,0 已得，讨论由 323132,,w w W w 计算第3层对第1层权向量 3w 的方法。
图3评价教师贡献的层次结构我们首先考察一个特例：若21,C C 重要性相同, 则Tw21,212，4321,,,P P P P 能力相同,TTw w21,21,0,0,0,31,31,313231，则公正的评价应为：1:2:1:1:::4321P P P P 。
若不考虑支配元素数目不等的影响，仍用)2()3()3(w W w 计算，则Tw41,125,61,613 意味着支配元素越多权重越大，显然是不合理的。
用支配元素数21,n n 对 2w 加权修正，修正为2w ，再计算 3w 。
令)2(22)2(11)2(22)2(11)2((,~w n w n w n w n wT，再用)2()3()3(~wW w 计算。
本例中Twn n 52,53~,2,3)2(21，计算得 Tw51,52,51,513，表明支配元素越多权贡献O教学C 1 科研C 2P 2 P 1 P 3 P 4重越小与公正的评价相吻合。
成对比较阵残缺时的处理专家或有关人士由于某种原因会无法或不愿对某两个因素给出相互对比的结果ij a ，于是成对比较阵出现残缺。
如何对此作修正，以便继续进行权向量的计算呢？例 设一成对比较阵为121212121 A ， 为残缺元素，试对此残缺阵进行处理。
解 构造辅助矩阵1212121211331w w w w C ，因此由 w Cw w Aw (1)但是，C 中包含未知量31,w w ，(1)式无法求解，进而将A 修正为22102121022A ，不难验证w w A ，进而求得T w 1429.0,2857.0,5714.0,3 。
注：一般地，由残缺阵 ij a A 构造修正阵ij a A 的方法是令模糊综合评价模模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学。
这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性。
比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等。
从一个等级到另一个等级间没有一个明 确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡。
由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性。
模糊综合评价是以模糊数学为基础。
应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清，不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法。
一、单因素模糊综合评价的步骤（1）根据评价目的确定评价指标（Evaluation Indicator ）集合m u u u U ,,,21例如：评价某项科研成果，评价指标集合为={学术水平，社会效益，经济效益}。
（2）给出评价等级（Evaluation Grade ）集合n v v v V ,,,21例如：评价某项科研成果，评价等级集合为={很好，好，一般，差}。
（3）确定各评价指标的权重（Weight ）m w ,,,21权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且1i例如：假设评价科研成果，评价指标集合={学术水平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为4.0,3.0,3.0 w（4）确定评价矩阵R请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价(One-Way Evaluation )，例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为0,2.0,3.0,5.01 R同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为1.0,2.0,4.0,3.02 R 2.0,3.0,2.0,2.03 R那么该项成果的评价矩阵为2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R（5）进行综合评价通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S 。
设m j W 1)( ，n m ji r R )(那么n mn m m n n m s s s r r r r r r r r r R w S ,,,,,,2121222211121121其中“ ”为模糊合成算子。
进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四种 (1)),( M 算子n k r r s jkj mj jk j m j k ,,2,1,,min max )(11＝，符号“ ”为取小，“ ”为取大。