统计学第十章

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当
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均值差的分布
（情况二：正态总体方差相等、未知）
12
2 2 时,记 2
(n1 1) S (n2 1) S S n1 n2 2
2 1
2 2
则：
X 1 X 2 ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 Sp n1 n2
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总变差
SST ( xij x ) 2
j 1 i 1 k nj
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总变差（离差平方和）的分解
组间离差平方和
SSR n j ( x j x )
j 1 k 2
组内离差平方和
SSE ( xij xi ) 2
j 1 i 1 k nj
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例一
• 一培训机构拟在会计学和管理学之间选择一门专业进行培训。 为了生源，在确定培训专业之前在当地进行了一项薪水调查。 分别从两个专业大学毕业的学生中抽取10个人调查他们的年 薪，结果得到数据如下（单位：万元）：(已知会计专业年薪 标准差为1.5万元，管理专业年薪标准差为2.1万元) • 会计：3.2 4.6 3.8 4.2 5.0 5.5 4.8 8.0 6.2 6.7 • 管理：2.4 4.5 6.9 4.0 9.0 3.6 6.3 5.0 7.9 3.5 • 在0.05的显著性水平下检验两个专业的年薪有无显著差异。
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两正态总体、方差已知， 或大样本的情况
• 检验统计量（大样本时可用样本方差估计总体 方差）：
Z
( x1 x2 ) ( 1 2 )

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
• 决策规则：与单个总体z检验的决策规则相同， 可以使用Z值、p值或置信区间进行双侧、左 侧或右侧检验。
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• 检验统计量：
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（2）两正态总体，方差 未知但相等
( x1 x2 ) ( 1 2 ) t ~ t (n1 n2 2) 1 2 1 sp ( ) n1 n2
2 (n1 1) s12 (n2 1) s2 s2 p (n1 n2 2)
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方差分析的步骤
• 1.检验数据是否符合方差分析的假设条件。 • 2.提出零假设和备择假设：
– 零假设：各总体的均值之间没有显著差异，即
H0 : 1 2 k
– 备择假设：至少有两个均值不相等，即
H1 : 1 , 2 ,, k不全相等
• 3.构造统计量
1 n d di n i 1
如果两种方法所需费用都服从正态分布，则可构造 检验统计量如下：
d ( 1 2 ) t Sd / n
决策规则同一个总体的t检验。
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例四
• 完成一件任务有两种方法，哪种方法费用更小，两个阵营 各持己见，于是决定进行抽样检验 。随机抽取8人作为样 本，每人先用一种方法，然后用另一种方法；每人先使用
据为（单位：公斤）：172、158、186、214、224、228、196、 190、202、170。另选8块试验田施肥，结果最后的每亩产量数 据为：252、204、234、246、222、210、244、212。试检验施 肥和不施肥的平均亩产量有无显著差异。（=0.05） 经验认
为正态分布、方差相等。
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第十章 均值的比较
两个均值的比较（区间估计和检验）
多个均值的比较（方差分析）
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均值差的分布
（情况一：大样本或总体方差已知）
设X1~N(μ1,σ12),X2~ N(μ2,σ22),从中分别抽取容量为n1,n2 的样本且两组样本独立， 或者n1>30,n2>30,样本均值和 2 2 样本方差分别记为 X 1 , S1 ; X 2 , S 2 . 2 2 1 2 E ( X 1 X 2 ) 1 2 , D( X 1 X 2 ) DX 1 DX 2 n1 n2 2 2 1 2 X 1 X 2 ~ N ( 1 2 , ) n1 n2 ( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) ~ N (0,1) 2 2 1 2 n1 n2
– SST 的自由度为nT-1，nT为全部观察值的个数
– SSR的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数
– SSE 的自由度为nT-k
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组间方差和组内方差 统 计 学
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组间离差平方和
SSA n j ( x j x )
j 1 k 2
组内离差平方和
SSE ( xij x j ) 2
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总体1，μ1 （奖金=1）
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要研究的问题
总体2，μ2 （奖金=2） 总体3，μ3 （奖金=3） 总体4，μ4 （奖金=4）
样本1
2 x1, s1
样本2
2 x2 , s2
样本3
2 x3 , s3
样本4
2 x4 , s4
1 2 3 4 ??
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•Hale Waihona Puke 理 学 院两个总体均值差异的检验 （独立样本）
与一个总体的情况类似，两个总体均值假设检 验中的备择假设有以下三种情况：
H1 : 1 2 D
H1 : 1 2 D
H1 : 1 2 D
•
其中D是一个给定的值，最常用的值是0。这时 以上三个备择假设就是：
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方差分析中的几个基本概念
例题
• 因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，例如失业持 续时间。
• 自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组以进行比较
的变量例如奖金水平。 • 在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 • 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称为因素的水 平。
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自变量的关系
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基本概念
• 方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个或多个定性
• 只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分析。
• 研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为多因素方差 分析，其中最简单的情况是双因素方差分析。
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单因素方差分析的数据结构
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解
施肥土地 x1 = 228 公斤，未施肥土地 x2 = 194 公斤，
2 方差分别为 s12 341公斤，s2 551公斤，s 2 459公斤， p
假设检验问题为： 0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0 H 计算得检验统计量的观测值为t=3.346
因素A导致的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSR＋SSE
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组间方差和组内方差
• 各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察 值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是 均方，也称为方差。
• 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度
• 三个平方和的自由度分别是
个体 广告后 广告前 1 6 5 2 6 4 3 7 7 4 4 3 5 3 5 6 9 8 7 7 5 8 6 6 9 5 4 10 6 6
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用 记
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匹配样本
S (d i d ) 2 /( n 1)
2 d i 1 n
di
表示第i个匹配个体观测结果的差，i=1,,n
– 方差相等时采用等方差的t检验；
– 方差不相等时采用不等方差的t检验。
• 3、非正态分布、大样本时采用z检验。
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•
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两个总体均值差异的检验 （匹配样本）
如果两个样本是非独立的匹配样本（pairedsample)，即两个样本中的数据是一一对应的，这 时对两个总体的均值的比较，就是对两个样本对应 数据之差的检验。 例三、某市场研究公司公司调查了10个人在广 告播出前后的购买潜力等级分值，分数越高说明购 买潜力越高。试检验广告是否有明显效果？ 显著性 水平=0.05。
各个总体的均值相等吗？ 统 计 学
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f(X)
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
X
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研究方法： 两样本的t检验？
• 用t检验比较两个均值： – 每次只能比较两个均值，要解决上述问题需要进行6次 t检验……
– 在整体检验中犯第一类错误的概率显著增加：
因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak
例题
观察值 ( j )
1
2
x11
x21
x12
x22
…
…
x1k
x2k
:
: n
:
:
:
:
:
:
:
:
xn1
xn2
…
xnk
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方差分析中的基本假设
• （1）在各个总体中因变量都服从正态分布； • （2）在各个总体中因变量的方差都相等； • （3）各个观测值之间是相互独立的。