统计学课件第10章方差分析
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方差分析
为每个总体的方差相同，即Xi～N(μi, σ2), i = 1, 2,
3．
§10.2 单因素方差分析
结束放映
10.2.1 单因素方差分析的问题
【例10-1】 产量
甲化肥 50
46
49
52
48
48
乙化肥 49
50
47
47
46
49
丙化肥 51
50
49
46
50
50
根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异
丙化肥 51
50
49
46
50
50
根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异
➢象这类检验若干同方差的正态母体均值是否相等的一种 统计分析方法称为方差分析．当只有两个正态总体时， 这类问题也可以用第八章讲过的两正态总体均值比较的 方法来解决．
§10.2 单因素方差分析
结束放映
10.2.2 单因素方差分析的数学模型
§10.2 单因素方差分析
结束放映
10.2.1 单因素方差分析的问题
【例10-1】某化肥生产商要检验三种新产品的效果，在 同一地区选取18块大小相同，土质相近的农田中播种同 样的种子，用等量的甲乙丙化肥各施于六块农田，试验 结果每块农田的粮食产量如下所示．
产量
甲化肥 50
46
49
3．
§10.2 单因素方差分析
结束放映
10.2.1 单因素方差分析的问题
【例10-1】 产量
甲化肥 50
46
49
52
48
48
乙化肥 49
50
47
47
46
49
丙化肥 51
50
49
46
50
50
根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异
丙化肥 51
50
49
46
50
50
根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异
➢象这类检验若干同方差的正态母体均值是否相等的一种 统计分析方法称为方差分析．当只有两个正态总体时， 这类问题也可以用第八章讲过的两正态总体均值比较的 方法来解决．
§10.2 单因素方差分析
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10.2.2 单因素方差分析的数学模型
§10.2 单因素方差分析
结束放映
10.2.1 单因素方差分析的问题
【例10-1】某化肥生产商要检验三种新产品的效果，在 同一地区选取18块大小相同，土质相近的农田中播种同 样的种子，用等量的甲乙丙化肥各施于六块农田，试验 结果每块农田的粮食产量如下所示．
产量
甲化肥 50
46
49
医学统计学：第十章 方差分析
析因设计 是将两个或两个以上处理因素的各水平进行组合， 对各种可能的组合都进行实验，又称完全交叉分组试验设计。 医学研究中常采用析因设计研究两个或多个处理因素的效应 以及各因素的交互作用
特征:是由两个或两个以上的处理因素，每个处理因素至少有 两个水平，每个处理是各因素各水平的一种组合，总处理数 是各因素各水平的全面组合数，即各因素各水平数的乘积。
11A 21B 31A 41B 51B 12B 22A 32B 42A 52A
对子 A B 1 2 3
11C 21B 12B 22A 13D 23D 14A 24C 区组 A
1 2 3 4
31A 41B 51A 32B 42A 52C 33C 43D 53B 34D 44C 54D
比较两个或多个因素以及它们之间的交互作 用
回归方程线性假设检验
应用条件
各个样本是相互独立的随机样本 各样本来自正总体 各总体方差相等，即方差齐 。
完全随机设计(completely randomized design)
是采用完全随机化的分组方法，将全部试验 对象分配到c个处理组(水平组)，各组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之 间的差别有无统计学意义，推论处理因素的 效应
方法为方差分析
方差分析的基本思想
来自不同总体的样本均数间存在的差异的原因有两个方面: 随机因素(个体差异，测量及化验误差 ) 总体均数存
统计学之方差分析
随机误差
方差分析中考虑了随机误差，即观测值与模型预 测值之间的差异。随机误差反映了实验误差和其 他未被模型考虑的因素。
假设检验
假设检验
在方差分析中，通常会提出关于自变量对因变量影响的假 设，然后通过统计检验来验证这些假设。
显著性检验
显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。如 果检验结果显著，则说明自变量对因变量的影响不可忽视。
组内方差
组内方差反映了随机误差和其他未被模型考虑的因素对数据变异的影响。组内方差越大， 说明实验误差和其他未被控制的因素对结果的影响越大。
效应大小
效应大小
效应大小用于量化自变量对因变量的 影响程度。效应大小可以帮助我们了 解自变量对因变量的实际意义和重要 性。
效应量指标
效应量指标如Cohen's d和eta squared用于衡量效应大小。这些指 标提供了有关自变量影响大小的量化 信息，有助于我们更好地理解数据和 结果的解释。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数 据的方差是否齐性，以确保各组数据具 有可比性。
VS
详细描述
方差齐性检验可以通过图形法、统计量和 非参数检验等方法进行。如果数据的方差 不齐，可以考虑采用适当的调整方法或非 参数检验等方法进行分析。
数据的独立性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据是 否独立，以确保分析结果的可靠性。
方差分析中考虑了随机误差，即观测值与模型预 测值之间的差异。随机误差反映了实验误差和其 他未被模型考虑的因素。
假设检验
假设检验
在方差分析中，通常会提出关于自变量对因变量影响的假 设，然后通过统计检验来验证这些假设。
显著性检验
显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。如 果检验结果显著，则说明自变量对因变量的影响不可忽视。
组内方差
组内方差反映了随机误差和其他未被模型考虑的因素对数据变异的影响。组内方差越大， 说明实验误差和其他未被控制的因素对结果的影响越大。
效应大小
效应大小
效应大小用于量化自变量对因变量的 影响程度。效应大小可以帮助我们了 解自变量对因变量的实际意义和重要 性。
效应量指标
效应量指标如Cohen's d和eta squared用于衡量效应大小。这些指 标提供了有关自变量影响大小的量化 信息，有助于我们更好地理解数据和 结果的解释。
数据的方差齐性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数 据的方差是否齐性，以确保各组数据具 有可比性。
VS
详细描述
方差齐性检验可以通过图形法、统计量和 非参数检验等方法进行。如果数据的方差 不齐，可以考虑采用适当的调整方法或非 参数检验等方法进行分析。
数据的独立性检验
总结词
在进行方差分析之前，需要检验各组数据是 否独立，以确保分析结果的可靠性。
应用统计学方差分析第十章
或多种因素的变化，对实验结果的
观测 数据是否有显著影响，从而选取最 优生 产方案的一种数理统计方法。
第一节
方差分析概述
在实验中，只就某一个因素进行的试验称
单因素 试验。 根据试验因素的变化所分的等级或组别， 通常被 称为变异因素的水平。 对各个水平所进行一定次数的重复试验， 通常被 当作一个样本。 单因素方差分析就是解决一种试验条件
第一节
方差分析概述
二、方差分析的一般步骤 (一)建立数学模型中因子及水平的确
定 方差分析方法是建立在一定数学模型 的 基础上，如果将考察的因素用字母 A 表 示，则 A1 ， A2 ， … ， Ar 表示实验所选 择的
第一节
方差分析概述
例如表 10.1中有三种水平： A1 、 A2、
的第j 个水平下第i次试验结果数据Xij相应的试 验误 差；j表示第j个水平下试验结果数据的 r 理论 1 n j j 均值。式（ 10.1 ）的数据结构式即数学 n j 1 模型。 j j ( j 1,2,, r ) 为便于分析，可进一步将其分解为
第一节
方差分析概述
因此，方差分析的实质是：提出一项统
计假 设，即假设所有的r×P个数值xij都是来自 同 一个正态总体，然后用F检验法来推断这 种假 设是否可信。
第一节
方差分析概述
观测 数据是否有显著影响，从而选取最 优生 产方案的一种数理统计方法。
第一节
方差分析概述
在实验中，只就某一个因素进行的试验称
单因素 试验。 根据试验因素的变化所分的等级或组别， 通常被 称为变异因素的水平。 对各个水平所进行一定次数的重复试验， 通常被 当作一个样本。 单因素方差分析就是解决一种试验条件
第一节
方差分析概述
二、方差分析的一般步骤 (一)建立数学模型中因子及水平的确
定 方差分析方法是建立在一定数学模型 的 基础上，如果将考察的因素用字母 A 表 示，则 A1 ， A2 ， … ， Ar 表示实验所选 择的
第一节
方差分析概述
例如表 10.1中有三种水平： A1 、 A2、
的第j 个水平下第i次试验结果数据Xij相应的试 验误 差；j表示第j个水平下试验结果数据的 r 理论 1 n j j 均值。式（ 10.1 ）的数据结构式即数学 n j 1 模型。 j j ( j 1,2,, r ) 为便于分析，可进一步将其分解为
第一节
方差分析概述
因此，方差分析的实质是：提出一项统
计假 设，即假设所有的r×P个数值xij都是来自 同 一个正态总体，然后用F检验法来推断这 种假 设是否可信。
第一节
方差分析概述
《统计学》教学课件 ch10实验设计与方差分析
自由度的概念:
在实际计算中，我们发现在同样的波动程度下，数据多的平 方和要大于数据少的平方和，因此仅用平方和来反映波动的大小还是 不够的。我们要设法消去数据个数的多少给平方带来的影响。为此引 入了自由度的概念。一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，
但应把项数加以修正，这个修正的数就叫自由度。
ST的自由度为 ( n - 1); SA的自由度为 ( a - 1); SE的自由度为 ( n - a);
• 这项研究中的一个因素是组装方法。该因素有三种方法，分别为A1、A2和 A3。实验的第二个因素是新过滤系统的组件。该因素有三种供应来源，分 别为B1、B2和B3。本次实验的因子A对应有3种方法以及因子B对应于有3 种供应来源，总计有3×3=9种组合。
• 使用B1供应商组件的六名工人中的每两位工人分别使用A1、A2或 A3组装方法。 此外，使用B2供应商组件的六名工人也分别使用三 种组装方法。在实验设计术语中，每个水平组合的样本量为两个， 表明每个水平组合重复两次。由此可见，共有18名工人参与该项实 验设计的研究中。我们假定18名工人是随机被选择出来的，得到过 滤系统的每周生产数量如下表所示。
0.引言 0.1 概述
一般来说，统计研究可以分为实验研究或者观察研究。
实验研究主要通过对实验的设计获取数据。实验从确定一个感兴趣的因变量开始，然后识别和控制一 个或多个被认为是与因变量相关的其他变量，最后通过设计实验，收集关于这些变量如何影响因变量 的数据。
第10章 方差分析
三组以上样本可否 两两使用t检验？
第三节 多个平均数之间的比较
当对两个样本的差异进行t检验时，如果自由度为25，则查 表可得：t0.05/2=2.06 ，这意味着由样本平均数实际算得的t值 （绝对值）大于2.06的可能性为0.05.
假设t＞2.06的情况发生时，即可作出两个样本平均数差异 显著的结论(作出这样的结论犯“弃真”错误的概率是5%)； 在比较3个平均数之间的差异（自由度不变）时，各个平均 数 2.0两6的两可比能较性需不进再行是3次0.（05C而32）增，大其为中0.134个。t值的最大者大于
一、方差分析的逻辑思想
方差分析的依据——方差的可加性：
(xij xt ) (xij x j ) (x j xt )
SSt
SSb
SSw
总体变异SSt=组间变异SSb+组内变异SSw
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的逻辑思想
总体变异SSt=组间变异SSb+组内变异SSw
k nj
SSt
xij xt 2
j1 i1
k nj
SSw
xij x j 2
j1 i1
k
SSb n j x j xt 2
j 1
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的逻辑思想
均方MS （组平均离差平方和的平均） ：总体方差的无偏估计
第三节 多个平均数之间的比较
当对两个样本的差异进行t检验时，如果自由度为25，则查 表可得：t0.05/2=2.06 ，这意味着由样本平均数实际算得的t值 （绝对值）大于2.06的可能性为0.05.
假设t＞2.06的情况发生时，即可作出两个样本平均数差异 显著的结论(作出这样的结论犯“弃真”错误的概率是5%)； 在比较3个平均数之间的差异（自由度不变）时，各个平均 数 2.0两6的两可比能较性需不进再行是3次0.（05C而32）增，大其为中0.134个。t值的最大者大于
一、方差分析的逻辑思想
方差分析的依据——方差的可加性：
(xij xt ) (xij x j ) (x j xt )
SSt
SSb
SSw
总体变异SSt=组间变异SSb+组内变异SSw
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的逻辑思想
总体变异SSt=组间变异SSb+组内变异SSw
k nj
SSt
xij xt 2
j1 i1
k nj
SSw
xij x j 2
j1 i1
k
SSb n j x j xt 2
j 1
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的逻辑思想
均方MS （组平均离差平方和的平均） ：总体方差的无偏估计
教育统计学 第十讲 方差分析
• 组间方差MSb等于组间平方和SSb除以组间的 自由度dfb；组内方差MSw等于组内平方和 SSw除以组内的自由度dfw。则组间与组内 方差的F比值为MSb除以MSw。
不同年级的学生识记词汇的分数 一年级 2 3 3 4 二年级 10 7 9 6 三年级 9 11 10 10
• 三组不同年龄的学生识记同一组词汇，由于多 种因素的影响，学生的分数是参差不齐的，在 分析各组平均数差异原因或寻找影响差异的主 要因素时，可以将每个分数与总平均数之间的 差异分成两个部分，并且设想这两部分差异主 要是由两类不同的因素所引起。一类是由实验 者操纵的已知的实验因素（三种不同学龄）所 引起，表现在各小组平均数之间的差异；另一 类是由偶然因素（如被试的个别差异或实验误 差）所引起，表现在各组内部每个分数与小组 平均数之间的差异。
方差分析的逻辑
• 几组数据的组间差异 • 几组数据的组内差异
• 通过对所有组的组间差异与所有组的组内 差异比值的分析，来推断几个相应平均数 差异的显著性，这就是方差分析的逻辑。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
以F检验来推断几个 平均数差异的显著性
• 若组间差异用组间方差MSb表示，组内差异用 组内方差MSw表示，由于组间与组内方差互为 独立，故可用F检验来检验组间与组内方差是 否相等。如果组间与组内方差相等，即F比值 等于或接近1，表明各组平均数无显著性差异； 如果F值很大，达到超过F抽样分布上某种显著 性水平的临界值，则应拒绝组间与组内方差无 显著性差异的零假设。这是只能作出各组平均 数有显著性差异的结论。这一结论是说，分组 所依据的因素对实验结果有重要影响。或者说， 实验者所操纵的实验因素的作用较大。
十章节协方差分析
(五) 协方差分析
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1、误差项回归关系的分析
误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间 差异的影响的误差变异中找出50日龄重(y)与初 生重(x)之间是否存在线性回归关系。计算出误差 项的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验， 若显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用 线性回归关系来校正y值(50日龄重)以消去仔猪 初生重(x)不同对它的影响。然后根据校正后的y 值(校正50日龄重)来进行方差分析。如线性回归 关系不显著，则无需继续进行分析。
dT (y f)k n 14 1 2 147
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2、处理间平方和与自由度
S t( y ) S 1 ny i 2 . k y . 2 .1 1 n ( 1 2 .8 2 4 1 0 .1 2 3 1 0 .8 0 2 4 1 0 .8 4 2 3 ) 5 0 4 3 .5 2 5 8 1 0 .6 0 1
回归分析的步骤如下：
(1) 计算误差项回归系数，回归平方和， 离回归平方和与相应的自由度
从误差项的平方和与乘积和求误差项回归
系数：
byx(e)
SP e SSe(x)
6.617.1848 0.92
(10-10)
误差项回归平方和与自由度
SSR(e)
SP e2 SSe(x)
6.612 47.49 0.92
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1、误差项回归关系的分析
误差项回归关系分析的意义是要从剔除处理间 差异的影响的误差变异中找出50日龄重(y)与初 生重(x)之间是否存在线性回归关系。计算出误差 项的回归系数并对线性回归关系进行显著性检验， 若显著则说明两者间存在回归关系。这时就可应用 线性回归关系来校正y值(50日龄重)以消去仔猪 初生重(x)不同对它的影响。然后根据校正后的y 值(校正50日龄重)来进行方差分析。如线性回归 关系不显著，则无需继续进行分析。
dT (y f)k n 14 1 2 147
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2、处理间平方和与自由度
S t( y ) S 1 ny i 2 . k y . 2 .1 1 n ( 1 2 .8 2 4 1 0 .1 2 3 1 0 .8 0 2 4 1 0 .8 4 2 3 ) 5 0 4 3 .5 2 5 8 1 0 .6 0 1
回归分析的步骤如下：
(1) 计算误差项回归系数，回归平方和， 离回归平方和与相应的自由度
从误差项的平方和与乘积和求误差项回归
系数：
byx(e)
SP e SSe(x)
6.617.1848 0.92
(10-10)
误差项回归平方和与自由度
SSR(e)
SP e2 SSe(x)
6.612 47.49 0.92
第十章 方差分析 《统计学原理》PPT课件
的应用
k ni
SST
(xij x )2
i1 j1
k
k ni
ni (xi x )2
(xij xi )2
i 1
i1 j1
SSA SSE
第二节 单因素方差分析
一、数据结构 二、单因素方差分析：Excel在方差分析中
的应用 三、关系强度的测量
第三节 双因素方差分析
一、双因素方差分析及其类型 二、无交互作用的双因素方差分析：Excel
• 因素的不同特征类型称为因素的不同水平。如促 销方式有五个因素水平（通常销售、广告宣传、 有奖销售、特价销售、买一送一）。
• 在每个因素水平下得到的样本值称为因变量的观 测值。
二、方差分析的基本假定
方差分析中对因变量的各总体分布有三个基本假定： 1.各总体应服从正态分布。对于因素的每一个水平，
其观测值均来自正态分布总体的简单随机样本。 2.各总体的方差应相同。对于因素各水平对应的各
第一节 方差分析的一般问题
一、方差分析及其有关术语 二、方差分析的基本假定 三、方差分析的基本思想和原理
一、方差分析及其有关术语
• 被影响的数值型变量称为观测变量，或称因变量。 • 影响因变量的分类变量称为控制因素（该因素的
各种特征水平可加以控制），或称为因素。如上 述问题中的促销方式、年收入水平、学历等。
组观测数据，是从具有相同方差的正态总体中抽 取的。 3.各总体相互独立。比如在上面的例子中，每种促 Hale Waihona Puke Baidu方式所影响的销售额与其他促销方式所影响的 销售额是独立的。
k ni
SST
(xij x )2
i1 j1
k
k ni
ni (xi x )2
(xij xi )2
i 1
i1 j1
SSA SSE
第二节 单因素方差分析
一、数据结构 二、单因素方差分析：Excel在方差分析中
的应用 三、关系强度的测量
第三节 双因素方差分析
一、双因素方差分析及其类型 二、无交互作用的双因素方差分析：Excel
• 因素的不同特征类型称为因素的不同水平。如促 销方式有五个因素水平（通常销售、广告宣传、 有奖销售、特价销售、买一送一）。
• 在每个因素水平下得到的样本值称为因变量的观 测值。
二、方差分析的基本假定
方差分析中对因变量的各总体分布有三个基本假定： 1.各总体应服从正态分布。对于因素的每一个水平，
其观测值均来自正态分布总体的简单随机样本。 2.各总体的方差应相同。对于因素各水平对应的各
第一节 方差分析的一般问题
一、方差分析及其有关术语 二、方差分析的基本假定 三、方差分析的基本思想和原理
一、方差分析及其有关术语
• 被影响的数值型变量称为观测变量，或称因变量。 • 影响因变量的分类变量称为控制因素（该因素的
各种特征水平可加以控制），或称为因素。如上 述问题中的促销方式、年收入水平、学历等。
组观测数据，是从具有相同方差的正态总体中抽 取的。 3.各总体相互独立。比如在上面的例子中，每种促 Hale Waihona Puke Baidu方式所影响的销售额与其他促销方式所影响的 销售额是独立的。
方差分析课件-PPT
LSD:用t检验完成各组之间得比较,比较适用于一对平均数 之间得比较,或多个平均数都与对照组平均数进行比较。 检验得敏感度最高,与其她方法相比,最易检验出显著性差 别。
S-N-K:即Student Newman Keuls Test法,就是运用较为广 泛得一种两两比较方法,采用Student Range分布进行所有 各组均值间得配对比较。
单击Continue按钮,返回上一个对话框。 Special Model 用于对所有方差分析模型进行精
确设定。Full factorial即分析所有分类变量得主效 应与交互作用。只分析主效应需自定义,并在Build Term[s]下选Main effects。平方与一般选Type3 默认即可。
结果说明
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
Post Hoc钮:选择S-N-K
两两比较方法采用S-N-K法
OK！
分析过程说明
单击主菜单Analyze(分析)----General Linear Model(一般 线性模型)---Univariate,弹出“多因素方差分析”对话框, 将“子宫重量”置入Dependent Variable框,将“品系”、 “剂量”变量置入Fixed Factor框。
S-N-K:即Student Newman Keuls Test法,就是运用较为广 泛得一种两两比较方法,采用Student Range分布进行所有 各组均值间得配对比较。
单击Continue按钮,返回上一个对话框。 Special Model 用于对所有方差分析模型进行精
确设定。Full factorial即分析所有分类变量得主效 应与交互作用。只分析主效应需自定义,并在Build Term[s]下选Main effects。平方与一般选Type3 默认即可。
结果说明
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
Post Hoc钮:选择S-N-K
两两比较方法采用S-N-K法
OK！
分析过程说明
单击主菜单Analyze(分析)----General Linear Model(一般 线性模型)---Univariate,弹出“多因素方差分析”对话框, 将“子宫重量”置入Dependent Variable框,将“品系”、 “剂量”变量置入Fixed Factor框。
《统计学第十章》课件
概率的定义
描述随机事件发生的可能性程度 。
概率的取值范围
0到1之间，其中0表示事件不可能 发生，1表示事件一定发生。
概率的测量方法
通过长期实验或观察来测量概率。
概率分布
01
02
03
离散概率分布
描述离散随机变量的概率 分布情况，如二项分布、 泊松分布等。
连续概率分布
描述连续随机变量的概率 分布情况，如正态分布、 指数分布等。
概率密度函数
描述连续随机变量在各个 取值上的概率大小。
随机变量的数字特征
数学期望
描述随机变量的平均值或中心趋势，计算公式为E(X)=∑xp(x)。
方差
描述随机变量取值分散程度，计算公式为 D(X)=E[(X−E(X))^2]=∑x^2p(x)−[E(X)]^2。
协方差与相关系数
描述两个随机变量之间的线性相关程度，协方差计算公式为 Cov(X,Y)=∑xyp(x,y)−E(X)E(Y)，相关系数计算公式为 ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)。
众数
出现次数最多的数值。
数据的图表展示
折线图
用于展示数据随时间或其他变 量的变化趋势。
散点图
用于展示两个连续变量之间的 关系。
柱状图
用于展示分类数据和连续数据 的对比关系。
饼图
用于展示分类数据的比例关系 。
描述随机事件发生的可能性程度 。
概率的取值范围
0到1之间，其中0表示事件不可能 发生，1表示事件一定发生。
概率的测量方法
通过长期实验或观察来测量概率。
概率分布
01
02
03
离散概率分布
描述离散随机变量的概率 分布情况，如二项分布、 泊松分布等。
连续概率分布
描述连续随机变量的概率 分布情况，如正态分布、 指数分布等。
概率密度函数
描述连续随机变量在各个 取值上的概率大小。
随机变量的数字特征
数学期望
描述随机变量的平均值或中心趋势，计算公式为E(X)=∑xp(x)。
方差
描述随机变量取值分散程度，计算公式为 D(X)=E[(X−E(X))^2]=∑x^2p(x)−[E(X)]^2。
协方差与相关系数
描述两个随机变量之间的线性相关程度，协方差计算公式为 Cov(X,Y)=∑xyp(x,y)−E(X)E(Y)，相关系数计算公式为 ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)。
众数
出现次数最多的数值。
数据的图表展示
折线图
用于展示数据随时间或其他变 量的变化趋势。
散点图
用于展示两个连续变量之间的 关系。
柱状图
用于展示分类数据和连续数据 的对比关系。
饼图
用于展示分类数据的比例关系 。
统计学贾俊平第10章 方差分析
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
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基本思想
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300 B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260 C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
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随机化区组设计
随机化区组设计(randomized block design)
先按一定规则将实验单元划分为若干同质组，称 为“区组(Block)” 再将各种处理随机地指派给各个区组 分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一 个区组的设计就是随机化区组设计
31
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基本原理
1 x 11 x 21 x 31 ﹕ x n1 , 1 2 x 12 x 22 x 32 ﹕ ﹕ x n2 , 2 … k x 1k x 2k x 3k ﹕ ﹕ ﹕ x nk,k
总样本的均值 x
j1 i 1 K nj
4
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实验中的术语
实验因素(experimental factor)
实验中所研究的影响实验指标的因素叫试验因素 当实验中考察的因素只有一个时，称为单因 素实验 若同时研究两个或两个以上的因素对实验指 标的影响时，则称为两因素或多因素实验 实验因素常用大写字母A、B、C、„等表示
相关主题
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什么是方差分析?
(例题分析)
1.问题：
2. 4个行业之间的服务质量是否有显著差异，
3. 即“行业X”对“投诉次数Y”是否有显著影响
4.2、检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等
5.3、结论：
6.（1）若均值相等，说明“行业”对“投诉次数”没 有影响，即4个行业之间的服务质量没有显著差异；
7.（2）若均值不全相等，说明“行业”对“投诉次数 ”有影响，即它们之间的服务质量有显著差异。
10 - 15
统计学
STATISTICS
方差分析的基本思想和原理
(第五版)
1. 散点图观察不能提供充分的证据证明不同 行业被投诉的次数之间有显著差异
这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否 显著，也就是进行方差分析
10 - 16
统计学
STATISTICS
▪ 因素的同一水平下数据误差的平方和
比如，零售业被投诉次数的误差平方和
▪ 只包含随机误差
(两类误差)
1.随机误差： 2. 抽样的随机性所造成的
3.2、系统误差： 4. 不同总体间的系统性因素造成的
10 - 18
统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第五版)
(误差来源及分解)
1、组内误差： 来自水平内部的数据误差。 仅为随机误差。
2、组间误差： 来自不同水平之间的数据误差。 随机误差与系统误差的总和。
行业
统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第五版)
(图形分析)
1. 从散点图上可以看出
不同行业被投诉的次数有明显差异
同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较 低
2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被 投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的 模式也就应该很接近
统计学
STATISTICS (第五版)
第10章 方差分析
10 - 1
统计学
STATISTICS (第五版)
第10章 方差分析
10.1 方差分析引论 10.2 单因素方差分析
10 - 2
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 解释方差分析的概念 2. 解释方差分析的基本思想和原理 3. 掌握单因素方差分析的方法及应用 4. 理解多重比较的意义
53
51
7
44
样本
10 - 12
数据
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
10 - 13
统计学
STATISTICS (第五版)
80
方差分析的基本思想和原理
(图形分析—散点图)
60
被投诉次数
40
20
0 0
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零售1 业
旅游2 业 航空3公司 家电4制造
5
不同行业被投诉次数的散点图
10 - 9
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
1.因素或因子(factor)
▪ 所要检验的对象
分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子
2.水平或处理(treatment)
▪ 因子的不同表现
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
3.观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本数据
▪ 因素的同一水平下数据误差的平方和
4.组间平方和(between groups)
▪ 因素的不同水平之间数据误差的平方和
10 - 20
统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第五版)
(误差平方和—SS)
1.数据的误差用平方和(sum of squares)表示
2.组内平方和(within groups)
如果不同水平 的均值间（ ）A有差异
10 - 19
B无差异
则不同水平间就
A会 （ ）有系统误差
B不会
统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第五版)
(误差平方和—SS)
1.数据的误差用平方和(sum of squares)表示
2.SST 3.组内平方和(within groups)
每个行业被投诉的次数
10 - 10
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
1.试验
▪ 这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的
试验
2.总体
▪ 因素的每一个水平可以看作是一个总体
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体
3.样本数据
▪ 被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样
10 - 7
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析?
(例题分析)
消费者对四个行业的投诉次数
行业
观测值 零售业
旅游业
航空公司
家电制 造业
1
57
68
31
44
2
66
39
49
51
3
49
29
21
65
4
40
45
34
77
5Hale Waihona Puke Baidu
34
56
40
58
6
53
51
7
44
10 - 8
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析的基本思想和原理
(第五版)
1、因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差， 所以叫“方差分析”这个名字
2、进行方差分析时，需要考察数据误差的来源 它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。
10 - 17
统计学 方差分析的基本思想和原理
STATISTICS (第五版)
本数据
10 - 11
统计学
STATISTICS (第五版)
方差分析中的有关术语
(例题分析)
消费者对四个行业的投诉次数
单因素四水平
行业
因素或因子
观测值 零售业
旅游业
航空公司
家电制
造业 水平或处理
1
57
68
31
44
2
66
39
49
51
观测值
3
49
29
21
65
4
40
45
34
77
5
34
56
40
58
4个总体
6
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统计学
STATISTICS (第五版)
10 - 4
统计学
STATISTICS (第五版)
10 - 5
统计学 什么是方差分析(ANOVA)?
STATISTICS (第五版)
(analysis of variance)
1.表面上看，是检验多个总体均值是否相等 2. 本质上，是研究变量之间的关系
3.2、分类型自变量 对 数值型因变量 的影响
4.3、方差分析就是通过检验多个总体均值是否 相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否 有显著影响
10 - 6
统计学
STATISTICS (第五版)
什么是方差分析?
(例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量 进行评价，消费者协会在4个行业分 别抽取了不同的企业作为样本。最 近一年中消费者对总共23家企业投 诉的次数如下表