统计学——方差分析概念和方法
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较不同样本均值之间差异的方法。它是通过对观察数据的方差进行分解来实现的。方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域，既可以用于科学研究的数据分析，也适用于质量管理、市场调查等应用场景。
一、什么是方差分析
方差分析是一种用于对不同组之间差异进行比较的统计方法。它的基本原理是通过将总体方差分解为组内方差和组间方差，来检验不同组均值之间是否存在显著差异。方差分析可以用于比较两个以上组的均值差异，且可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
方差分析的基本假设包括：
1. 总体是正态分布的；
2. 不同组的方差相等（方差齐性）；
3. 不同组之间相互独立。
二、单因素方差分析
单因素方差分析是指只考虑一个自变量对因变量的影响。它适用于比较一个因素（如不同调查方法、不同药物剂量等）对某个指标的影响是否存在显著差异。单因素方差分析的结果主要包括组间均方（MSB）、组内均方（MSW）和F值。
组间均方（MSB）是各组均值与总体均值之间的差异的平方和除以
自由度的比值；而组内均方（MSW）是各组内部个体与各组均值之间
的差异的平方和除以自由度的比值。F值则是组间均方与组内均方的比值。当F值显著时，表明不同组均值之间存在显著差异。
三、多因素方差分析
多因素方差分析是指考虑多个自变量对因变量的影响。多因素方差
分析通常会考虑两个以上的自变量，以及它们之间是否存在交互作用。通过多因素方差分析，可以更全面地了解多个因素对研究对象的影响。
统计学-思想方法与应用袁卫等第七章方差分析
对于存在交互作用的因素，需要进一步分析其具体影响方式和程度，可以通过绘制交互作用图、进行 简单效应分析等方法进行处理。同时，在实验设计和数据分析阶段应充分考虑交互作用的存在，以避 免误导性的结论。
04
协方差分析
协方差分析原理及意义
原理
意义
协方差分析是一种将难以控制的定量因素作 为协变量，在排除协变量影响的条件下，分 析控制变量（自变量）对观测变量（因变量） 影响的统计方法。
构造统计量
根据假设和实验设计类型，选择合适的统计量进行检验，如F统计量、t统计量等。
计算统计量值
根据实验数据计算统计量的值，如F值、t值等。
作出推断
将计算得到的统计量值与相应的临界值进行比较，作出假设是否成立的推断。
交互作用识别与处理
交互作用识别
通过观察实验数据或利用统计方法（如方差分析表）识别各因素之间是否存在交互作用。
聚类分析等。
03
R语言
R语言是一款开源的统计分析软件，具有强大的数据处理和分析能力。
它提供了丰富的统计函数和图形展示功能，用户可以自定义函数和算法
进行数据分析。
方差分析软件操作步骤
数据准备
在进行方差分析之前，需要对 数据进行清洗和整理，确保数
据的准确性和完整性。
选择分析方法
根据研究目的和数据特点选择合 适的方差分析方法，如单因素方 差分析、多因素方差分析等。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法
统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理
方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用
方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析
一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
统计学中的标准差与方差分析
统计学中的标准差与方差分析
一、引言
统计学作为一门学科，在社会发展过程中扮演着越来越重要的角色。随着科技的不断发展，数据量与精度的提高，统计学在各领域的应用越来越广泛。本文将重点探讨统计学中的两个重要概念——标准差与方差分析，介绍它们的定义、性质、应用场景以及相关计算方法，希望能够对广大读者更好地理解和灵活运用这两个概念。
二、标准差
1. 定义
标准差是衡量一组数据的离散程度的一个指标，它是各个数据与均值偏差平方和的平均数的平方根。标准差越小，意味着数据离散程度越小，反之亦然。
2. 性质
标准差具有如下性质：
（1）标准差为非负数；
（2）当所有数据相等时，标准差为0；
（3）标准差的值越大，表示数据的离散程度越大；
（4）标准差的值受到极值（即离群值）的较大影响。
3. 应用场景
标准差在统计分析中的应用非常广泛，特别是在概率分布、正态分布、抽样等方面。例如，在投资领域中，标准差是指价格波动的大小和稳定性，是投资风险的重要度量。
4. 计算方法
标准差的计算方法如下：
（1）计算数据的均值；
（2）将各个数据与均值的差值平方；
（3）将差值平方求和并除以数据个数n；
（4）将平均数的平方根即为标准差。
三、方差分析
1. 定义
方差分析是一种用于比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。通过计算各组样本的方差、不同组间的方差和总体内部的方差，确定不同组之间的方差是否大于总体内部的方差。
2. 性质
方差分析具有如下性质：
（1）方差分析要求研究的总体是正态分布的；
（2）方差分析所得的F统计量应该与其自由度一起考虑；
（3）方差分析的显著性检验要根据选择的显著性水平进行处理。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析
方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变
量之间的关系和差异。本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）
1.基本概念：
方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异
是否非随机的统计方法。它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显
著差异。
2.原理：
方差分析的原理基于对总体变异的分解。总体变异可以分解为组间变
异和组内变异。组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个
体之间的差异。方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断
组间差异是否显著。
3.适用场景：
方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。常见的应
用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生
成绩的影响等。
4.步骤：
方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）
1.基本概念：
协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。2.原理：
协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：
协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
统计学中的方差分析算法简介
统计学中的方差分析算法简介
统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，方差分析是其中一种常用的统计方法。方差分析算法是通过比较不同组之间的差异来判断它们是否具有统计显著性。本文将简要介绍方差分析算法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理
方差分析的基本原理是通过计算和比较组内变异和组间变异的大小来判断不同组之间的差异是否显著。组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。方差分析算法基于假设，即组内变异是随机的，而组间变异是由于不同组之间的差异所导致的。
二、单因素方差分析算法
单因素方差分析算法是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。该算法基于以下假设：各组之间的观测值服从正态分布，且具有相同的方差。算法的步骤如下：
1. 计算各组的平均值和总体平均值；
2. 计算各组的平方和；
3. 计算组内平方和；
4. 计算组间平方和；
5. 计算均方（平方和除以自由度）；
6. 计算F值（组间均方除以组内均方）；
7. 根据F分布表确定显著性水平。
三、多因素方差分析算法
多因素方差分析算法适用于有多个自变量（因素）的情况。该算法可以分为两
种类型：二因素方差分析和多因素方差分析。在二因素方差分析中，我们可以研究两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们可以同时研究多个自变量对因变量的影响。
多因素方差分析算法的步骤和单因素方差分析类似，但需要进行更多的计算和
比较。首先，需要计算各组的平均值和总体平均值，然后计算各组的平方和、组内平方和和组间平方和。接下来，需要计算均方和F值，并根据F分布表确定显著
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法
方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种假设检验方法，用于比较两个或更多个样本均值是否存在差异。
它通过分析不同组之间的方差来评估组内和组间的变异情况，进而得
出结论。
一、方差分析的基本思想
方差分析基于以下两个基本假设：
1. 原假设（H0）：各总体均值相等，即样本所来自的总体没有差异；
2. 备择假设（H1）：各总体均值不相等，即至少存在一个样本来自于与其他样本不同的总体。
二、一元方差分析（One-way ANOVA）
一元方差分析适用于只有一个自变量的情况，它将样本根据自变量
分为两个或多个组，然后比较这些组之间的均值差异。下面以一个简
单的案例来说明一元方差分析。
假设我们要研究三种不同肥料对植物生长的影响，我们将随机选取
三个试验区，分别施用A、B和C三种不同的肥料，每个试验区都观
察到了相应植物的生长情况（例如植物的高度）。我们的目标是通过
方差分析来判断这些不同肥料是否对植物的生长有显著的影响。
在执行一元方差分析之前，我们首先需要验证方差齐性的假设。如果各组样本的方差相等，我们就可以继续使用方差分析进行比较。常用的方差齐性检验方法有Bartlett检验和Levene检验。
在通过方差齐性检验后，我们可以进行一元方差分析。分析结果将提供两个重要的统计量：F值和P值。F值表示组间均方与组内均方的比值，P值则表示了接受原假设的概率。如果P值较小，则说明组间的差异是显著的，我们可以拒绝原假设，接受备择假设，即不同肥料对植物生长有显著影响。
方差分析与协方差分析
方差分析与协方差分析
方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 和协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA) 是统计学中常用的两种数据分析方法。它们在
比较多个组或处理之间的差异时非常有用，并且可以探究因素对观察
结果的影响。本文将详细介绍方差分析和协方差分析的概念、原理和
应用。
一、方差分析的概念和原理
方差分析是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。它基于
对总体方差的分解，将观察结果的变异分解成不同的来源，如组内变
异和组间变异。方差分析的目标是确定组间变异是否显著大于组内变异，进而判断不同组均值之间的差异是否具有统计学意义。
方差分析通常基于以下假设：
1. 观察结果服从正态分布；
2. 不同组之间的观察结果具有同方差性；
3. 观察结果是相互独立的。
方差分析的原理是通过计算不同组之间的均方差（Mean Square, MS）和F统计量来进行推断。F统计量是组间均方差与组内均方差的比值，如果F值显著大于1，则说明不同组之间存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分析则适用于有多个自变量的情况。
二、方差分析的应用
方差分析在科学研究和实际应用中广泛应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 实验比较：方差分析可用于比较不同处理、不同实验条件下的实验结果。例如，在农业领域，可以利用方差分析比较不同肥料、不同温度等对作物产量的影响。
2. 组间比较：方差分析可用于比较不同组别、不同样本间的差异。例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物对疾病治疗效果的差异。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析
在统计学中，方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用的数据分析方法，用于比较两个或更多个样本均值之间的差异。它可以帮助研究人员确定这些差异是否是由于随机变异导致的，或者
是否存在其他因素对样本均值产生显著影响。
方差分析的基本理念是将总体方差分解为不同来源的方差，以评估
各个因素对总体方差的影响程度。一般情况下，将总体方差分解为组
内方差和组间方差两部分。组内方差反映了同一组内个体之间的差异
程度，而组间方差则反映了不同组之间的差异程度。
方差分析的数学模型可以通过以下公式表示：
$$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$$
其中，$Y_{ij}$表示第i组中第j个个体的观测值，$\mu$为总体均值，$\alpha_i$为第i组的固定效应，$\epsilon_{ij}$为误差项。通过方
差分析可以检验组间因素（$\alpha_i$）对于总体均值是否具有显著影响。
在进行方差分析之前，需要满足以下几个前提条件：
1. 独立性：样本观测值彼此之间应独立，即每个观测值的产生不会
受到其他观测值的影响。
2. 正态性：每个组内的观测值应呈正态分布，这样才能保证方差分
析的结果准确性。
3. 方差齐性：每个组内的观测值应具有相同的方差，即不同组之间
的方差应该相等。
方差分析有两种常见的类型：单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（或因素）的情况下，用于
比较不同水平（或处理）之间的均值差异。例如，一个研究人员想要
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用
方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。它通过分析样本
之间的方差来判断不同因素对总体均值的影响程度，从而进行推断和
决策。方差分析广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，
是一种重要的统计工具。
一、方差分析的概念
方差分析是一种比较多个样本均值差异的统计方法。它基于总体均值
的差异，通过分析样本之间的方差来判断差异是否显著。方差分析的
基本思想是将总体方差分解为不同来源的方差，然后通过比较这些方
差的大小来判断差异是否显著。
方差分析的基本假设是各总体的方差相等，即方差齐性。如果方
差不齐，可以进行方差齐性检验，然后选择适当的方差分析方法。方
差分析的核心是计算F值，通过比较F值与临界值来判断差异是否显著。
二、方差分析的应用
方差分析广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域。下面以
实验设计为例，介绍方差分析的应用。
1. 单因素方差分析
单因素方差分析是最简单的方差分析方法，用于比较一个因素对总体
均值的影响。假设有k个水平的因素A，每个水平下有n个观测值，总
共有nk个观测值。首先计算总体均值、组内均值和组间均值，然后计算组间方差和组内方差，最后计算F值并进行显著性检验。
2. 二因素方差分析
二因素方差分析用于比较两个因素对总体均值的影响，并分析两个因素之间的交互作用。假设有两个因素A和B，每个因素有k个水平，共有k1k2个组合。计算总体均值、组内均值和组间均值，然后计算组间方差、组内方差和交互作用方差，最后计算F值并进行显著性检验。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析
统计学是研究人类活动中涉及到随机事件和不确定性因素的科学。方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计学方法，可用于比较两个或多个组之间的差异。本文将介绍方差分析的基
本概念和原理。
一、方差分析的基本概念
方差分析是指基于数据的方差计算和分析，以确定比较两组或
更多组数据差异的方法。在方差分析中，被比较的组称为因素，
因素又可分为单因素和多因素。单因素方差分析包括一组数据，
而多因素方差分析包括两个及以上的组数据。
方差分析的目的是确定不同组的平均值（即均数）的变异程度。当平均数之间的差异大于各组内部个体数据的方差时，方差分析
可以用来检测这种变异，而不是寻找单一的差异。方差分析通过
比较组之间的方差和误差方差来确定组之间的显著性差异性。
二、方差分析的原理
方差分析的原理是基于样本和总体的假设。以单因素方差分析为例，假设总体是由不同平均数的正态分布组成，且方差相等（即方差齐性）。然后，从每组中随机地取样本，计算每组的均数和样本方差。接下来，计算每组的平均数之间的方差（即组间方差）和每组内部样本方差之间的平均数（即组内方差）。
根据方差分析的原理，如果组间方差显著大于组内方差，则说明组间的差异显著，即这些组之间存在显著差异。否则，如果组间方差与组内方差相等或组内方差超过组间方差，则说明差异不显著。
三、方差分析的步骤
通常包括以下步骤：
1、获取数据：数据必须充分、均匀，且符合正态分布。
2、检验方差齐性：检验各组数据的方差是否相等。
3、建立假设：建立总体假设和样本假设。
统计学中的方差分析与协方差分析
统计学中的方差分析与协方差分析统计学中的方差分析和协方差分析是两个重要的统计学方法，被广
泛运用于数据分析和研究中。本文将介绍方差分析和协方差分析的定义、应用场景以及计算方法，以便读者更好地了解和运用这两种统计
学工具。
一、方差分析
方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值差异是否显著的统计
方法。其主要目的是检验不同组之间的均值是否存在显著性差异，从
而确定各组之间是否存在显著差异。
在进行方差分析时，需要满足以下几个前提条件：独立性、正态性、方差齐性和组间误差的独立性。满足这些前提条件的数据可以采用方
差分析方法进行分析。
方差分析可以分为单因素方差分析和双因素方差分析。单因素方差
分析是一种比较多个独立样本均值差异的统计方法，而双因素方差分
析是一种比较两个或更多个自变量对因变量均值差异影响的统计方法。
方差分析的计算方法主要包括计算组内平方和、组间平方和以及均
方和。利用这些统计指标可以进一步计算F值，并与临界值比较，从
而判断差异的显著性。
二、协方差分析
协方差分析是一种用于比较两个或多个随机变量之间的差异性的统
计方法。其主要目的是评估变量之间的相关性以及其对因变量的影响
程度。
协方差分析通常用于分析两个或多个自变量对一个因变量的影响，
从而确定自变量的变化对因变量的差异是否具有显著性影响。
在进行协方差分析时，同样需要满足一定的前提条件，如独立性、
线性关系和正态性等。只有当数据满足这些条件时，才能使用协方差
分析进行统计分析。
协方差分析的计算方法主要包括计算协方差矩阵、相关系数以及模
型拟合度。通过对这些统计指标的计算和分析，可以判断变量之间的
统计学——方差分析概念和方法
统计学——方差分析概念和方法
方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计分析方法。它主要用于分析一个因变量和一个或多个自变量之间的关系，并判断
这些自变量对因变量的影响是否存在显著差异。
方差分析主要包括以下几个概念和方法：
1.因变量和自变量：方差分析中，我们首先需要明确研究的因变量和
自变量。因变量是我们感兴趣的变量，我们想要比较的两个或多个样本均值；而自变量是我们认为对因变量有影响的变量，可以是类别变量（如性别、教育程度等）或连续变量（如年龄、收入等）。
2.假设检验：在进行方差分析之前，我们需要假设样本均值之间没有
显著差异，即为零假设（H0）。然后，我们通过方差分析来检验零假设是
否成立。
3.方差分析的类型：根据自变量的个数和类型的不同，方差分析可以
分为单因素方差分析、多因素方差分析和混合方差分析。单因素方差分析
适用于只有一个自变量的情况，多因素方差分析适用于含有多个自变量的
情况，而混合方差分析适用于自变量同时包含类别变量和连续变量的情况。
4.方差分析表：方差分析表是用来总结方差分析结果的常用工具。在
方差分析表中，我们可以看到组间方差（组间均方）、组内方差（组内均方）、总体方差（总体均方）以及统计量F值。通过比较F值与给定的显
著性水平，我们可以判断不同样本均值之间是否存在显著差异。
5.假设检验的步骤：进行方差分析时，需要按照以下几个步骤进行假
设检验：
a.建立假设：H0（样本均值没有显著差异）和H1（至少有一组样本
的均值存在显著差异）；
b.计算各个组的均值；
c.计算组间方差和组内方差；
统计学中的方差分析和协方差分析的比较
统计学中的方差分析和协方差分析的比较在统计学中，方差分析和协方差分析是两种常用的数据分析方法。它们都用于研究变量之间的关系和差异，但在方法和应用上存在一些不同之处。本文将对方差分析和协方差分析进行比较，以帮助读者更好地理解它们的作用和适用范围。
一、方差分析
方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。它通过分解总方差为组内方差和组间方差来判断组间差异是否显著。方差分析常用于实验设计和观察研究中，可以帮助研究者确定不同因素对变量的影响以及各组之间的差异。
方差分析的基本假设是各组样本来自于正态分布的总体，并且具有方差齐性。方差分析用F统计量来检验组间差异的显著性，即比较组间方差与组内方差之间的比值。如果F值显著大于某个临界值，就可以得出组间存在显著差异的结论。
方差分析有几个重要的方面需要注意：
1. 方差分析可以应用于多个组别之间的比较，例如比较不同药物对疾病治疗效果的差异。
2. 方差分析可以通过引入可控变量作为协变量，来消除因变量与协变量之间的关联性对分析结果的潜在影响。
3. 方差分析可以通过进行多重比较来对不同组别进行两两比较，以
确定具体差异出现在哪些组别之间。
4. 方差分析的结果可以用于确定是否拒绝原假设，即不同组别间不
存在显著差异。
二、协方差分析
协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种结合
了方差分析和线性回归的统计方法。它用于比较两个或多个组别的均
值差异，并控制一个或多个连续型变量（协变量）的影响。与方差分
方差分析的基本概念与应用
方差分析的基本概念与应用
方差分析是统计学中一种重要的方法，它用于检验两个或以上
组的平均数是否有统计显著差异。在科学研究和工业生产中，方
差分析被广泛应用于实验设计、质量控制等领域，并取得了显著
的成果。
一、方差分析的基本概念
方差分析是一种用于比较不同组之间平均差异的统计分析方法。它是以方差的分析为基础，将总变异分解为不同来源的变异，用
以比较不同数据之间的差异。方差分析的基本概念包括如下几个
方面：
（一）总平方和
在方差分析中，总平方和（SS_total）是指所有数据与总平均
值之间的方差总和。总平方和可以用下式表示：
SS_total=∑(x-μ)^2
其中，x表示每个数据点的值，μ表示总均值。
（二）组间平方和
组间平方和（SS_between）指的是各组均值与总均值之间的方差之和。组间平方和可以用下式表示：
SS_between=∑ni(x i-μ)^2
其中，ni表示组i中的数据点个数，x i表示组i的平均值，μ表示总均值。
（三）组内平方和
组内平方和（SS_within）是指每个组内数据点与各自组的平均值之间的方差之和。组内平方和可以用下式表示：
SS_within=∑(x-x)^2
其中，x表示每个数据点的值，x表示所在组的平均值。
（四）均方
均方（mean square）是指平方和除以自由度得到的平均值，用于量化各种来源的变异程度。均方可以表示为：
MS=SS/df
其中，SS表示平方和，df表示自由度。
（五）F比值
F比值是指组间平方和与组内平方和的比值，用于检验不同组是否存在显著差异。F比值可以表示为：
统计学——方差分析概念和方法
1 2 3 4 5 6 7
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差 异，也就是要判断“行业”对“投诉次数” 是否有显著影响 2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 3. 如果它们的均值相等，就意味着“行业”对 投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务 质量没有显著差异；如果均值不全相等，则 意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它 们之间的服务质量有显著差异
– 一个或多个分类尺度的自变量
• 2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
– 一个间隔或比率尺度的因变量
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
– 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 – 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
什么是方差分析?
(例题分析)
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在 四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费 者对总共23家企业投诉的次数如下表
布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布
方差分析中的基本假定
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§7.1 方差分析引论
一. 二. 三. 四. 方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本假定 问题的一般提法
方差分析及其有关术语
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1. 检验多个总体均值是否相等 通过分析察数据的误差判断各总体均值是否相等 2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
的证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越 充分
方差分析中基本假定
• 如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4
– 四个行业被投诉次数的均值都相等 – 意味着每个样本都来自均值为m、差为2的同一正 态总体
f(X)
m1 m2 m3 m4
X
方差分析中基本假定
3. 观察值
方差分析中的有关术语
1. 试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的
试验
2. 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可
以看作是四个总体
3. 样本数据
被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样
本数据
方差分析的基本思想和原理
• 若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全 相等
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
m3 m1 m2 m4
X
问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m 1、 m 2 、 、mk 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如 下假设： H0: m1 m2 … mk H1: m1 , m2 , ，mk 不全相等 3. 设m1为零售业被投诉次数的均值，m2为旅游业被投诉 次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均值，m4为 家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为 H0: m1 m2 m3 m4 H1: m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
第 7 章 方差分析与试验设计
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 方差分析的引论 单因素方差分析 方差分析中的多重比较 双因素方差分析
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6. 解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义 掌握双因素方差分析的方法及应用 掌握试验设计的基本原理和方法
消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
1 2 3 4 5 6 7
57 66 49 40 34 53 44
68 39 29 45 56 51
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差 异，也就是要判断“行业”对“投诉次数” 是否有显著影响 2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 3. 如果它们的均值相等，就意味着“行业”对 投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务 质量没有显著差异；如果均值不全相等，则 意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它 们之间的服务质量有显著差异
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295
构造检验的统计量
(计算水平项平方和 SSA)
1. 各组平均值 xi (i 1,2,, k ) 与总平均值 x 的离
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
– 家电制造也被投诉的次数较高，航空公司被投
诉的次数较低
2.
行业与被投诉次数之间有一定的关系
– 如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点 图上所呈现的模式也就应该很接近
方差分析的基本思想和原理
1. 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异
布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 四个正态总体的均值是否相等 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor) 所要检验的对象 要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验
的因素或因子
2. 水平或处理(treatment)
的水平
因子的不同表现 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子 在每个因素水平下得到的样本值 每个行业被投诉的次数就是观察值
(图形分析)
80 60
» ¶ ß Î ý ±Í Ë ´ Ê
40 20 0 0
零售业 1
旅游业 2
航空公司 3源自文库
家电制造 5 4
Ð Ò µ
» ¬ ² Í Ð Ò ±Í Ë ´ Ê µ É µ Í µ » ¶ ß Î ý Ä ¢ ã ¼
方差分析的基本思想和原理
(图形分析)
1. 从散点图上可以看出 – 不同行业被投诉的次数是有明显差异的 – 即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明 显不同
SSA xi x ni xi x
k 2 k i 1 j 1 i 1 ni 2
前例的计算结果：SSA = 1456.608696
构造检验的统计量
(计算误差项平方和 SSE)
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差
2.
平方和 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平 方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值)
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数 2. 计算公式为
x
x
i 1 j 1
k
ni
ij
n n 式中：n n1 n2 nk
方差分析的基本思想和原理
• •
•
1.比较两类误差，以检验均值是否相等 2.比较的基础是方差比
3.如果系统(处理)误差显著地不同于随机误 差，则均值就是不相等的；反之，均值就 是相等的
•
4.误差是由各部分的误差占总误差的比例 来测度的
方差分析的基本思想和原理
(两类误差)
1. 随机误差
因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
2. 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四个行业被投诉次数的方差都相等 3. 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次
数独立
H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
构造检验的统计量
• 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS)
构造检验的统计量
(计算水平的均值)
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
2 k 2 k ni i 1 i 1 j 1
2
前例的计算结果：
SST = SSA + SSE
4164.608696=1456.608696+2708
构造检验的统计量
(三个平方和的作用)
1. SST反映全部数据总的误差程度；SSE反映随机
2.
误差的大小；SSA反映随机误差和系统误差的大 小 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平 方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE 和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组 间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体) 之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上 就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小
1. 若不同不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中
方差分析的基本思想和原理 (方差的比较)
2.
3.
只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与 组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比 值就会接近1 若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包 含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差 平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们 之间的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间 存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也 就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因 所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明 不同行业对投诉次数有显著影响
– 这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析
– 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差
– 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分 析时，需要考察数据误差的来源。
n x
i 1
k
i i
构造检验的统计量
(例题分析)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x ij 与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1 2
前例的计算结果：
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
分析步骤 • 提出假设
• 构造检验统计量 • 统计决策
提出假设
1. 一般提法
• 自变量对因变量有显著影响 2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
•
H0: m1 = m2 =…= mk
自变量对因变量没有显著影响
– 一个或多个分类尺度的自变量
• 2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
– 一个间隔或比率尺度的因变量
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
– 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 – 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
什么是方差分析?
(例题分析)
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在 四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费 者对总共23家企业投诉的次数如下表
§7.2
单因素方差分析
一. 数据结构 二. 分析步骤 三. 关系强度的测量
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值 ( j ) 因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak
1 2 : : n
x11 x12 : : x1n
x21 x22 : : x2n
2. 系统误差
因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能
是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系 统性因素造成的，称为系统误差
方差分析的基本思想和原理
(两类方差)
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为 方差 2. 组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，零售业被投诉次数的方差 组内方差只包含随机误差 3. 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，四个行业被投诉次数之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
3. 4.
SSE x
k ni i 1 j 1
ij
x
i
2
前例的计算结果：SSE = 2708
构造检验的统计量
(三个平方和的关系)
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和
(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的 关系
x
k ni i 1 j 1
ij
x ni xi x xij x