第四讲 不等式与简单的线性规划
高考数学一轮复习 专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)
第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ） A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2））【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）， 根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：a∵a ＜0，∴-（4a4a故选：D ．【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥=，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（ ）【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.4 D.【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。
线性不等式与线性规划的解法
线性不等式与线性规划的解法线性不等式和线性规划是数学中常见的问题类型，它们在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性不等式与线性规划的定义、解法和一些应用示例。
一、线性不等式的定义和解法线性不等式是指一个或多个变量的线性函数与一个常数之间的不等关系。
其表达形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b其中，a₁, a₂, ..., aₙ是系数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量，b是常数。
要解决线性不等式，我们需要确定变量的取值范围，使得不等式成立。
常用的解法有以下几种：1. 图形法：将线性不等式转化为几何图形，通过观察图形与坐标轴的交点来确定解集。
2. 代入法：将线性不等式转化为等式，找到其中一个变量的解，代入到不等式中求解其他变量。
重复此过程直至得到所有解。
3. 增减法：通过增减变量值来确定解集的上下界，进而找到满足不等式的解集。
二、线性规划的定义和解法线性规划是指在一定约束条件下，通过线性函数的优化求解最大值或最小值的问题。
其表达形式为：Maximize (or Minimize) f(x₁, x₂, ..., xₙ) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙsubject to:a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b₁d₁x₁ + d₂x₂ + ... + dₙxₙ ≤ b₂e₁x₁ + e₂x₂ + ... + eₙxₙ ≥ b₃...x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)是目标函数，表示需要最大化或最小化的线性函数；约束条件由不等式给出，b₁, b₂, b₃是常数。
线性规划的解法主要有以下两种：1. 几何法：将约束条件转化为几何图形，通过观察图形与目标函数的相对位置关系，找到最优解。
2. 单纯形法：通过转化为标准形式，并利用单纯形表来进行迭代计算，逐步逼近最优解。
三、线性不等式和线性规划的应用示例线性不等式和线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。
第4讲 不等式性质、解法及简单的线性规划
第4讲不等式性质、解法及简单的线性规划不等式的性质是等价转化不等式的工具，是解不等式和证明不等式的依据，熟练掌握不等式的性质是复习不等式的基础．解不等式的过程就是不等式转化的过程，在掌握一元一次、一元二次不等式解法的基础上，熟练掌握其余各类不等式的特点及同解变形，认真归纳各类不等式的常规解法，能逐步将不等式转化为最简单的不等式(组)．简单的线性规划问题实质上是用图解法解决二元函数的最值问题，是数形结合思想的体现．由于不等式与函数、方程有着内在的关系，注意用函数的思想方法解决不等式问题．1．利用充分条件、必要条件分析不等式性质．要准确理解、记忆不等式性质，就要弄清条件与结论之间的关系，即弄清条件是结论的充分不必要条件，还是充要条件．弄清当条件发生变化时，对结论有何影响，条件与结论之间的关系发生怎样的变化．2．利用不等式性质、绝对值定义、函数性质等价转化是解不等式的关键．理解了三个“二次”之间的关系，方能熟练求解一元二次不等式．解不等式的过程就是转化的过程，将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式，利用单调性将简单的指数、对数不等式a f(x)>a g(x)、log a f(x)>log a g(x)转化为简单不等式(组)，将简单的分式不等式f（x）g（x）>0转化为整式不等式f(x)g(x)>0等，逐步将复杂的不等式等价转化为简单的不等式(组)．3．从几何角度理解线性规划的求解原理，比较斜率大小把握直线倾斜程度．(1)线性规划问题之所以用图解法，从代数角度，线性目标函数z＝ax＋by有两个变量x、y，又相互制约，很难求其最值．可行域表示了满足线性约束条件的点(x，y)构成的图形，直观揭示了变量x、y各自的取值范围，但往往不能同时取最大值或最小值，比如求线性目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值时，在可行域内x、y不能同时取最大值，这样，还需利用z＝ax＋by的几何意义：z＝ax＋by表示直线，z a 、zb 分别是直线在x 轴、y 轴上的截距，在直线与可行域有公共点的前提下，观察z a 、zb 的最大值或最小值，从而确定z 的最大值或最小值． (2)能根据“直线定界，特点定域”的方法准确画出可行域，能准确把握可行域边界所在直线与线性目标函数所在直线相对的倾斜程度．含参数的问题，要把握参数对线性目标函数、可行域的影响，必要时分类讨论． 4．代数方法不易突破时，由“数”想“形”．“数”与“形”是一个有机的整体，不要割裂二者的联系，由“数”想“形”是重要的数学思想．实数对应于数轴上的点，有序实数对(x ，y )对应于平面直角坐标系内的点，ax ＋by ＋c ＝0(a ，b 不同时为零)表示直线，ax ＋by ＋c >0(a ，b 不同时为零)表示平面区域，x 2＋y 2＝1表示单位圆等等．有些代数式也有几何意义，如yx 表示点(x ，y )与原点连线的斜率，x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点间的距离的平方，|ax ＋by ＋c |表示点(x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离的a 2＋b 2倍，甚至数字也与“形”联系在一起，如数字组3，4，5，对应于直角三角形．例1 设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式成立的是______． ①ac >bc ②1a <1b ③a 2>b 2 ④a 3>b 3 解后反思1．对于比较两数大小的题目，可以通过特值法进行验证．也可以利用不等式的性质，通过比差法(比商法)进行判断．2．不等式与函数单调性密切联系，可以利用函数思想解决不等式问题．对于①，联想函数y ＝cx ，只有当y ＝cx 是增函数时，①才正确；对于②，联想函数y ＝1x ，由于y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)不是减函数，②不正确；对于③，联想函数y ＝x 2，在(－∞，0)内递减，在(0，＋∞)内递增，③错误；对于④，联想函数y ＝x 3，在R 上是增函数，④正确．例2 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为________． 解后反思函数性质是转化不等式的重要依据．根据三个二次之间的关系，利用函数单调性转化是常见的转化手段．例3设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________． 解后反思解决线性规划问题的关键是确定最优解． 总结感悟1．不等式的性质是解决不等式问题的基础，一要准确理解、记忆不等式性质，二要弄清条件与结论的关系，弄清条件发生变化时，对结论的影响．2．解不等式的思路就是转化不等式，依据不等式性质、三个二次之间的关系、函数单调性、绝对值定义等转化，逐步将不等式回归到一元一次、一元二次不等式(组)．3．解决线性规划问题的关键是确定最优解．若问题含有参数，当参数影响最优解时，要进行分类讨论． 【误区警示】1．不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号．2．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 3．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别．A 级1．已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为__________．2．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是________________． 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则M 、N 的大小关系是________． 4．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________．5．(2016·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．B 级7．不等式x －12x ＋1≤0的解集为____________．8．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是____________．9．若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为________________．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.11.已知f (x )4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．12．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________．第4讲 不等式性质、解法及简单的线性规划题型分析 例1 ④解析 当a >b 时，a 3>b 3成立．①中对c ＝0不成立．②取a ＝1，b ＝－1，则1a <1b 不成立；③取a ＝1，b ＝－2，则a 2>b 2不成立． 例2 {x |x <－lg 2}解析 由题意知，f (x )的图象开口向下，函数零点为－1和12，故f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，所以f (10x )>0等价于0<10x <12， 解得x <lg 12＝－lg 2. 例3 (1，1＋2)解析 根据约束条件画出可行域如图所示，将目标函数化为斜截式为y ＝－1m x ＋zm ，结合图形可以看出当目标函数过y ＝mx 与x ＋y ＝1的交点时取到最大值．联立⎩⎨⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.将其代入目标函数得z max ＝1＋m 2m ＋1.由题意可得1＋m 2m ＋1<2，又m >1，所以1<m <1＋ 2. 线下作业1．①②③ 2.{x |a <x <1a } 3．M >N 4.25.32解析满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，过C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时取得最大值为32. 6．－1 1解析 先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解． A ＝{x |－5<x <1}， 因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}， 所以m ＝－1，n ＝1. 7.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析x －12x ＋1≤0等价于不等式组 ⎩⎨⎧x －1≤0，2x ＋1>0，①或⎩⎨⎧x －1≥0，2x ＋1<0.② 解①得－12<x ≤1，解②得x ∈∅， ∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.8．(－5，－4]解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －2）2－4·（5－m ）≥0，f （2）>0，－m －22>2，解得：⎩⎨⎧m 2≥16m >－5⇒－5<m ≤－4m <－2.9．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a <0，即a 2－a <0，解得0<a <1，所以不等式at 2＋2t －3<1转化为t 2＋2t －3>0， 解得t <－3或t >1. 10．18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值． 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 11．{x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎨⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5，5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． 12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 解析 已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方． 解方程组⎩⎨⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45， (x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.。
高中数学 第3章 不等式 4.2 简单线性规划讲义教案 北师大版必修5
学习资料4．2 简单线性规划学习目标核心素养1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．（重点）2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点）1．通过学习与线性规划有关的概念，培养数学抽象素养．2．通过研究最优解的方法,提升数学运算能力．简单线性规划阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题（1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x,y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式（组）目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题①目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!，当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b＞0，截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值;当b＜0，截距最大时,z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．②解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答"四步,即（ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（ⅱ)移:运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(ⅲ)求:解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(ⅳ)答：写出答案．思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？［提示］可能唯一，也可能不唯一．(2）若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义？［提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4 B．0C．错误!D．4D［作出可行域，如图所示．联立{x＋y－4＝0，，x－3y＋4＝0，解得错误!当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]2．若实数x，y满足错误!则s＝x＋y的最小值为．2[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时,s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．］3．如图，点(x，y）在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为．1［法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大,即z的值最小,为2×1－1＝1．法二：将点A，B，C,D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小,得在A点处取得最小值为1．］4．已知点P（x，y）的坐标满足条件错误!点O为坐标原点，那么｜PO｜的最小值等于，最大值等于．2错误!［画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示,因为｜PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使｜PO|取得最小值的最优解为点A(1,1）;使｜PO｜取得最大值的最优解为点B(1，3），所以|PO｜min＝2，|PO｜max＝错误!．］线性目标函数的最值问题【例1】的最大值为．错误!［由题意画出可行域(如图所示),其中A（－2，－1)，B错误!,C（0，1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B错误!时，z取最大值错误!．]用图解法解决线性规划问题的关键和注意点，图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解,再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.错误!1．若x ,y 满足约束条件错误!则z ＝x －2y 的最小值为 ．－5 ［画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点（3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5．]线性规划问题中的参数问题【例2】 已知变量x ,y 满足的约束条件为错误!若目标函数z ＝ax ＋y （其中a ＞0)仅在点（3,0)处取得最大值,求a 的取值范围．［解］ 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－错误!， 目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0）对应直线的斜率k 2＝－a , 若符合题意，则需k 1＞k 2．即－12＞－a ，得a ＞错误!．含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的，应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
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迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
2013届高考北师大版数学总复习课件：7.4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知识梳理 1．二元一次不等式(组 )表示平面区域 作二元一次不等式 ax＋ by＋ c＞ 0(或 ax＋ by＋ c＜ 0)表示的 平面区域的方法步骤： (1)在平面直角坐标系中作出直线 a的一侧任取一点 P(x0，y0)，特别地，当 c≠0 时，常把原点作为此特殊点． (3)若 ax0＋ by 0＋ c＞ 0，则包含点 P 的半平面为不等式
ax＋by＋c>0 所表示的平面区域， 不包含点 P 的半平面为不
等式 ax＋by＋c<0所表示的平面区域．
2．线性规划的有关概念 (1)线性约束条件 ——由条件列出一次不等式 (或方程 )组． (2)线性目标函数 ——由条件列出一次函数表达式． (3)线性规划问题： 求线性目标函数在约束条件下的最大值 或最小值问题．
直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏上方 直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏下方
直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏下方 直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 偏上方
主要看不等号与 B 的符号是否同向， 若同向则在直线上方， 若异向则在直线下方， 简记为“同上异下”， 这叫 B 值判断法． 一般地说，直线不过原点时用原点判断法或 B 值判断法， 直线过原点时用 B 值判断法或用(1,0)点判断．
)
[答案] D
[解析 ] 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题 首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数 的最值，求出交点坐标代入目标函数即可． x≥ 1， 由x＋ y－ 4≤ 0， x－ 3y＋ 4≤ 0，
作出可行域如下图：
当直线 z＝3x－ y 过点 A(2,2)点时 z 有最大值． z 最大值＝3×2－ 2＝4.
)
[答案] B
[解析] 画出可行域 (如下图 )，由图可知，当直线 l 经过点 A(1，－ 1)时， z 最大，且最大值为 zmax＝ 1－ 2× (－1)＝ 3.
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式教案 理-人教版高三
第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题4
无“=”画虚线
2.同侧同号，异侧异号
y 如：画出不等式 2x+y-6<0 表示的平面区域。
6
解：先画直线2x+y-6=0
取原点（0,0),代入
2x+y-6<0
2x+y-6=0，
因为
o
3
x
2×0+0-6=-6 ＜0，
2x+y-6=0
所以，原点在2x+y-6＜0表示的 平面区域内，不等式 2x+y-6＜0 表示的区域如图所示。
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝 酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐 66吨.如果在此基础上进行生产，设x，y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数，请列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域.
在平面直角坐标系中表示直线： Ax + By + C =0
某一侧所有点组成的平面区域.
判断方法：“直线定界、特殊点定域”
（2）画不等式 Ax + By + C > 0表示的平面区域时,把直 线Ax + By + C = 0画成虚线以表示区域不包括边界直线. 画不等式 Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域时，此区域包 括边界直线，则把边界直线Ax + By + C = 0画成实线．
y 6
有
3 O
注意：把直线画
如图所示 .
3
x
成虚线以表示区域 不包括边界
例2 画出不等式组
y
x y 0
【全程复习方略】2013版高中数学 6.4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 新人教B版
简单的线性规划问题
【方法点睛】
1.利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线， 并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值. 2.目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得， 特别地对最优整数解可视情况而定. (2)目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距 离等.
x≥1 【解析】不等式组 y≤2 x-y≤0
所表示的平面区域如图所示,
作出直线x+y=0，可观察知当直线过A点时z最小. 由
x 1 得A(1,1),此时zmin=1+1=2；当直线过B点时z最大. x y 0
y2 由
x y 0
得B(2,2),此时zmax=2+2=4.
第四节 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题
三年19考
高考指数:★★★★
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)； 2.了解二元一次不等式(组)的几何意义，能用平面区域表示二
元一次不等式(组)；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能
加以解决.
1.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何 意义(如斜率、距离、面积等)； 2.多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常 与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解.
域，然后根据区域的形状求面积.
【提醒】在画平面区域时，当不等式中有等号时画实线，无等 号时画虚线.
x y 5 0 【例1】已知不等式组 x y 0 x 3
(1)画出该不等式组所表示的平面区域； (2)设该平面区域为S,则求当a从-3到6连续变化时，x-y=a扫过S 中的那部分区域的面积.
不等式简单的线性规划
05
特殊情况的线性规划问题
无限制条件的线性规划问题
总结词
无限制条件的线性规划问题是一类经典的线性规划问题，其约束条件仅为等式约 束。
详细描述
在无限制条件的线性规划问题中，决策变量没有任何约束条件，决策变量的取值 范围是整个实数集。求解这类问题的关键是通过有限的资源安排，实现目标函数 的最大化或最小化。
设置求解器参数：根据问题的具体情况设置相 应的参数，例如容差、迭代次数等。
运行求解器：点击“求解”按钮，LP求解器将 输出最优解和
线性规划的应用还包括组合优化问题，例如 旅行商问题和车辆路径问题。
02
不等式的简单线性规划问题
不等式的简单线性规划问题的定义
1
不等式的简单线性规划问题是指在满足一系列 不等式约束条件下，求解线性规划问题。
2
不等式约束可以包括不等式约束和等式约束， 描述了对于决策变量的限制条件。
3
不等式约束条件下，目标函数是最小化或最大 化的线性规划问题，目标是求解最优解。
分支定界法
总结词
精确、高效、复杂
详细描述
分支定界法是一种较为复杂的线性规划求解方法，它是将可行域逐步缩小，并通过对可行域的划分和 边界的确定来寻找最优解。该方法通常适用于较为复杂的问题，如含有整数变量或多个目标函数的线 性规划问题。由于该方法的计算量和复杂度较高，需要借助计算机程序来实现。
04
不等式约束条件下的线性规 划问题
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种常用的线性规划求解方法，它是通过绘制图形来直观地求解问题。在平面直角坐标系上，将目标 函数和约束条件用图线表示出来，然后通过观察图形的交点或边界来确定最优解。该方法适用于小规模问题， 但对于大规模问题，由于计算量较大，不太适用。
不等式组的解法与线性规划
不等式组的解法与线性规划不等式组是数学中常常出现的问题，在各个领域都有广泛应用。
解决不等式组的关键是找到满足所有不等式的解集。
本文将介绍不等式组的解法以及与之相关的线性规划问题。
一、不等式组的解法不等式组由多个不等式组成，解不等式组的目标是找到满足所有不等式的解集。
以下介绍几种常见的解法。
1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过将不等式表示的区域绘制在坐标系中，观察交集部分即可得到解集。
以二元不等式组为例，将每个不等式表示的区域绘制在平面直角坐标系中，然后观察交集部分即为解集。
2. 代入法代入法是一种常见的解不等式组的方法。
通过将某个或几个不等式中的变量表示为其他变量的函数形式，然后代入到其他不等式中，可以简化不等式组，使得解集更容易得到。
3. 消元法消元法是应用代数运算，通过不等式的运算性质来简化不等式组，从而得到解集。
常见的消元法包括加法消元法和乘法消元法。
加法消元法通过将不等式相加来得到新的不等式，进而简化不等式组。
乘法消元法则通过将不等式相乘来得到新的不等式，从而简化不等式组。
二、线性规划与不等式组线性规划是一种常见的优化问题，其数学模型中常包含不等式组。
线性规划的目标是在一系列线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
线性规划中的约束条件通常由不等式组表示，这些不等式描述了变量的取值范围。
通过将目标函数与约束条件构建成一个线性规划模型，可以使用各种数学方法求解最优解。
例如，一个简单的线性规划问题可以表示为：```Maximize C = 3x + 2ySubject to2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 0```其中，C为目标函数，x和y为变量，不等式组为约束条件。
通过解这个线性规划问题，可以得到使目标函数C取得最大值的x和y的取值。
三、实例分析为了更好地理解不等式组的解法与线性规划的关系，我们来看一个简单的实例。
假设某公司生产两种产品，A和B。
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
返回
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
不等式简单的线性规划
一元二次不等式的解法通常需要先求出二次方程的根，然后根据不等式的符号和根的性质确定不等式的解集。
不等式的解法
线性规划介绍
02
01
线性规划是数学优化技术中的一种，它是在一组线性不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。简单来说，线性规划就是求解一组线性方程，找到使目标函数达到最优解的解。
03
单纯形法是一种基于迭代的思想求解线性规划问题的方法。它通过不断迭代寻找更优的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法需要一定的计算能力，但适用于多元线性规划问题。
简单线性规划问题
03
简单线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最优解。通常，它包括两个要素：决策变量和目标函数。
案例三：某高校课程安排问题
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谢谢您的观看
决策变量是我们可以选择的未知数，通常用x表示。
目标函数是我们要优化的函数，通常表示为f(x)，其中f(x) = ax1 + bx2 + ... + nxn。
简单线性规划问题的定义
简单线性规划问题的求解步骤
第二步
将约束条件转化为标准形式，即把不等式约束转化为等式约束。
第一步
确定决策变量和目标函数，以及约束条件。
第三步
根据线性规划问题的性质，选择一个合适的基可行解作为初始解。
第五步
根据终止条件判断是否得到最优解，若满足终止条件则停止迭代，否则返回第四步继续迭代。
第四步
使用迭代方法，如高斯-约旦消元法或单纯形法，逐步迭代求解。
简单线性规划问题的解的几何意义
在最优解点处，目标函数的值达到最大或最小。
对于三维线性规划问题，最优解通常在约束条件的曲面交点处取得。
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
不等式简单线性规划课件
不等式简单线性规划课件理pptxx年xx月xx日•不等式的概念及分类•线性规划的概述•不等式与线性规划的联系•不等式简单线性规划问题的求解目•不等式简单线性规划的应用案例•不等式简单线性规划的发展趋势和展望录01不等式的概念及分类不等式是表示两个数或两个量之间关系的式子，用“<”(小于)、“>”(大于)、“≤”(小于等于)、“≥”(大于等于)、“≠”(不等于)等符号连接两个数或量不等式的定义根据不等式的具体内容和形式，不等式可以分为简单不等式和复杂不等式两大类。
简单不等式又可以分为线性不等式和非线性不等式不等式的分类不等式的定义简单不等式指只含有一个未知数的不等式，通常是一次不等式或二次不等式。
例如：$2x+3>5$，$x^{2}+1\leq7$复杂不等式指含有两个或更多未知数的不等式，未知数的次数可以是一次、二次或更高。
例如：$3x+2y\leq10$，$x^{2}+y^{2}\geq2$不等式的分类在数学中，不等式具有非常重要的地位。
它是数学分析、代数、几何等领域中不可或缺的一部分。
通过研究不等式，我们可以更好地理解数学概念、解决实际问题以及探索数学中的奥秘不等式在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在经济学、工程学、物理学等领域中，经常需要使用不等式来描述现实生活中的某些关系、规律和现象不等式的重要性02线性规划的概述线性规划是数学优化领域的一种方法，它通过建立线性不等式约束和目标函数，求解在满足约束条件下目标函数的最优解。
线性规划的应用范围广泛，包括生产计划、货物运输、资源分配、时间表制定等问题。
线性规划的定义线性规划的模型线性规划的模型通常由决策变量、目标函数和约束条件三部分组成。
目标函数是希望最大化的函数，例如利润、成本等。
决策变量是问题中需要决策的变量，例如生产计划中的产品数量、运输问题中的运输量等。
约束条件是限制决策变量的条件，例如资源限制、时间限制等。
线性规划被广泛应用于工业、商业、交通运输、金融等领域。
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第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲求z的取值范围需得(x，y)所在区域 和z的几何意义 ⇨ (推理)画出不等式组表示的区域，确立目标 函数z的几何意义 ⇨ (结论)数形结合寻找其最大值和最小值． (2)(分析)欲得求解目标需要变量满足的条件和目标解析式 ⇨ (推理)设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y，列出x，y满足 的不等式组，用x，y表示种植总利润z ⇨ (结论)按照一般线性 规划的解法求解其最大值．
第4讲│ 要点热点探究
(2)函数g(x)＝2x，g(a)g(b)＝2a·b＝2a b＝16，所以a＋b＝ 2 4.
4 1 4 1 1 1 4b a 1 方法1： a ＋ b ＝ (a＋b) a＋b ＝ 5＋ a ＋b ≥ 4 4 4 4b a 8 4b a 9 ＝ ，等号当且仅当 a ＝ b ，即a＝2b，即a＝ ， 5＋2 3 a · 4 b 4 b＝ 时取得． 3
第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲判断各个选项是否成立需考虑不 等式能够成立的条件 ⇨ (推理)如果条件是充分的则不等式成 立，否则不成立 ⇨ (结论)根据各选项作出判断． 4 1 (2)(分析)欲求 a ＋ b 的最小值需要a，b的关系 ⇨ (推理)根 据g(a)g(b)＝16确定a，b关系，进行常数代换 ⇨ (结论)应用 基本不等式得最值．
专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用 第4讲 不等式与简单的线性 规划 第5讲 导数在研究函数性质 中的应用
第4讲
不等式与简单的线 性规划
第4讲 │ 云览高考
[云览高考]
考点统计 考点1 一元 二次不等式 的解法 考点2 基本 不等式的应 用
* n n
n
a>
n
b (可幂性，开方
第4讲 │ 主干知识整合
2．基本不等式 a＋b 基本不等式 ab≤ (a>0，b>0)． 2 常见的其他不等式有：a＋b≥2
a＋b ab(a，b>0)；ab≤ 2
2 2
a＋b a ＋b 2ab 2 (a，b∈R)； ≤ ab≤ ≤ (a，b>0)． 2 2 a＋b 3．几种不等式的解法 解一元二次不等式可利用一元二次方程、一元二次不等 式和二次函数间的关系．简单分式不等式变形为一元二次不 等式的形式解决．简单指数不等式与对数不等式可利用单调 性变形为一元二次不等式解决．
第4讲│ 要点热点探究
a 2 a2 方法2：配方得f(x)＝ x＋2 ＋b－ ，由于函数f(x)的值域 4 a 2 a2 为[0，＋∞)，所以b－ ＝0，此时f(x)＝ x＋2 ，不等式 4 a 2 a a x＋ <c，解得－ c<x＋ < c，即－ c－ f(x)<c，即不等式 2 2 2
第4讲│ 要点热点探究
[点评] 本例第一题要求对不等式成立的条件有精确的掌 握，基本不等式有其成立的限制条件，缺少了使其成立的条 件，则使用基本不等式就会出现错误的结论；第二题中方法1 使用的是常数代换法，这个方法是解决这类问题最简单有效 的方法．
第4讲│ 要点热点探究
变式题 已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋ a b y) x＋ y >M对任意正实数x，y恒成立，则M的取值范围 是( ) A．[4，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，4] D．(－∞，4)
第4讲│ 要点热点探究
[答案]
(1)C
(2)B
[解析] (1)本题考查不等式的性质以及基本不等式的应 用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条 1 1 2 件．对于A选项，当x＝ 时，lg x ＋4 ＝lgx；所以A不一定正 2 确；B选项，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不 正确；C选项显然正确；D选项不正确，∵x2＋1≥1，∴ 1 0< 2 ≤1，所以正确的是C. x ＋1
第4讲│ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 一元二次不等式的解法 例1 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0， ＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．
第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (分析)欲求c的值需得c的方程 ⇨ (推理)解集为 (m，m＋6)说明这个不等式解区间的长度为6，函数f(x)的值域 为[0，＋∞)说明y＝f(x)图象与x轴相切，得出a，b关系后解不 等式f(x)<c ⇨ (结论)根据解区间的长度得出关于c的方程解 之．
第4讲│ 要点热点探究
[答案] (1)[－3,3]
x－y≥－1， x＋y≤3， [解析] (1)作出不等式组 x≥0， y≥0
(2)B
表示的平面区域
(如下图阴影部分所示，含边界)，平移直线z＝x－2y，可知当直线z ＝x－2y经过点M(1,2)时，z＝x－2y取得最小值－3，经过点N(3,0) 时，z＝x－2y取得最大值3，所以z∈[－3,3]．
(
第4讲│ 要点热点探究
[答案] (1)A (2)C
[解析] (1)原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0， 1 1 即－ <x<1或x＝1，所以原不等式的解集为－2，1，选A. 2 1 (2)不等式即(2x＋1)(x－3)≥0，解得x≤－ 或x≥3，选项 2 中是该解的真子集的即为所求，只有选项C满足．
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[答案]
D
a b ＋ x y
ay bx [解析] 因为(x＋y) ＝a＋b＋ x ＋ y ≥a＋b＋ ay bx 2≥2 ab＋2＝4，等号成立当且仅当a＝b， x ＝ y ，即a＝ b，x＝y，故只要M<4即可．正确选项D.(注：如果在两个 括号内分别使用基本不等式，则造成等号可能不同时成立 的情况)
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4．二元一次不等式组和简单的线性规划 (1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0的解集是平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区 域．二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的 平面区域的公共部分． (2)线性规划问题的主要概念：约束条件、目标函数、可 行解、可行域、最优解． (3)线性规划问题一般利用图象法求解．
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(2)设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条
x＋y≤50， 件 1.2x＋0.9y≤54， x≥0，y≥0
题型(频率) 选择(1)
考例(难度) 2008宁夏、海南 卷6(A) 2008宁夏、海南 卷12(C) 卷6(B)，2011
选择(1)
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题 2009宁夏、海南
考点3 简单
第4讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度：由于课程标准卷中有选考内容《不等式选 讲》，而不等式的解法可以放在导数试题中考查，因此在该部 分的命题主要从两个方面入手．第一个方面是从简单不等式的 应用入手，考查基本不等式在求简单的二元函数最值中的应 用，如2008年宁夏、海南卷第12题就是综合空间几何体的三视 图和基本不等式的应用命制的一道试题；第二个方面是从线性 规划入手，考查二元一次不等式表示的平面区域，以及简单的 线性规划问题的解法．
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第4讲 │ 主干知识整合
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1.不等式的基本性质 (1)a>b，b>c⇒a>c(传递性)； (2)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc(伸缩性)； (3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d(叠加性)； (5)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd(叠积性)； (6)a>b>0，n∈N ，n>1⇒a >b ； 性)．
＋
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4 1 4 1 方法2：由a＋b＝4，得b＝4－a，所以 a ＋ b ＝ a ＋ ， 4－a 4 1 4 1 令f(a)＝ a ＋ (0<a<4)，则f′(a)＝－ 2 ＋ 2 ＝ a 4－a 4－a a2－44－a2 8 2 2 ，令f′(a)＝0，解得在区间(0,4)的a＝ ，此即为 3 a 4－a 函数f(a)的极小值点，也是最小值点，代入可得f(a)的最小值 9 为 . 4
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方法3：设a＝4cos α，b＝4sin
2
2
π α，α∈0， 2 ，
cos2α＋sin2α cos2α＋sin2α 4 1 1 1 则a＋b＝ 2 ＋ ＝ ＋ cos α 4sin2α cos2α 4sin2α 1 sin2α cos2α 1 9 ＝1＋ ＋ ＋ ≥1＋ ＋1＝ ，等号当且仅当 4 cos2α 4sin2α 4 4 sin2α cos2α 8 2 2 ＝ ，即cos α＝2sin α时成立，解得此时a＝ ，b＝ cos2α 4sin2α 3 4 . 3
a <x< c－ ，下同方法1. 2
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[点评] 本例是解一个含有字母参数的一元二次不等式，基 本方法是求根法(直接分解因式求根、求根公式求根)和配方法．
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x－1 变式题 (1)不等式 ≤0 的解集为( ) 2x＋1 1 1 A.－2，1 B.－2，1 1 1 C.－∞，－2∪[1，＋∞) D.－∞，－2∪[1，＋∞) 2 (2)使不等式 2x －5x－3≥0 成立的一个充分不必要条件是 ) A．x≥0 B．x<0 或 x>2 1 1 C．x<－ D．x≤－ 或 x≥3 2 2