城市供水量预测

城市供水量预测摘要本文根据对某城市2000-2006年供水量数据，进行了对该城市2007年的供水量预测分析，并建立了相应的数学模型，对各问题进行了求解。

针对第一、二问提出的城市计划供水量和每个水厂的计划供水量预测问题，在忽略温度影响的前提下建立回归分析与灰色系统GM(1,1)组合预测模型，利用Matlab软件采用最小二乘法进行曲线拟合和参数求解，计算结果表明回归分析模型能够较精确地进行大多数时间城市计划供水量的预测；在回归模型预测误差较大的情况下，建立灰色系统GM(1,1)预测模型，再利用Matlab软件编程求解出其余时间的预测值，并与回归分析模型的预测数据结合起来，得到最终的预测结果：2007年1月的城市计划供水量为4582.18万吨，一、二号水厂计划供水量分别为2840.37万吨和1766.92万吨。

此外,考虑到数据具有季节性，采用时间序列分析的方法求解1月份各指标的预测值。

在模型的检验中对预测结果进行了残差检验，验证了预测结果精度优良。

对于问题三提出的水价调整问题，用需求价格弹性指数E刻画居民对水的需求，进而建立水价与用水需求之间的函数关系，利用非线性回归求得水价调整预测方程，并依据此方程分别求出在五、六、七、八月调价的四种调价方案对应的综合水价求出在2007年8月份的供水量不超过5045万吨时，应将水价调至5.4533元。

本模型在结尾部分还对城市供水量的不同预测模型和结果进行了精度分析和残差检验，在样本足够大的前提下，本文建立的模型具有很强的普适性，且在对预处理后的数据做分析时，具有误差小、精度高等优点并指出了需要进一步研究的问题。

关键词：Matlab拟合；回归分析；灰色预测；时间序列；水价调整；一．问题重述城市在不同时刻由于经济生产和居民生活情况不断变动，用水量会有一定的波动。

从较长的时间来看它又具有年增长的趋势，这种增长趋势的变化受到城市发展，经济因素等条件的制约城市供水量预测就是根据城市历史用水量数据的变化规律，并考虑社会，经济等主观因素影响，利用科学的，系统的或经验的方法，对城市未来短时间内需水量进行预测。

现在有某城市7年的历史记录，记录中给出了日期，每日用水量（吨/日）；当日的最高温度和最低温度；一号水厂和二号水厂日供水量。

请充分地利用这些数据建立数学模型给出1．预测2007年1月份城市的计划供水量。

2．预测2007年1月份城市中每个水厂的计划供水量。

3．由于水资源的匮乏，必须要节约水资源。

除制定法规和加强宣传外，提高水价格也是节水的主要措施。

采用每年调一次水价的措施，希望2007年8月份的供水量不超过5045万吨，请确定合理的水价调整方案。

一、模型假设1、时刻t的人口函数是连续可微的2、用水的增加率可近似看为是常数3、用水量的变化是封闭的，即用水量的多少只取决于当天的温度和价格4、假设水价调整在一个周期内对每个月水需求量的影响相同三、符号说明t——时间；K——季节指数；E——需求价格弹性指数；P——原水价；1P——调整后的水价；2Q——水价调整前的水需求量；1Q——水价调整后的水需求量；2四、问题分析4.1 问题背景的理解城市用水主要包括生活用水、生产用水、绿化用水以及其他不可预测水量等几部分，其用水量总在不停地发生着变化。

众多的统计研究表明：年用水量变化受气候温度因素影响比较大，具有明显的趋势性和随机性；季度用水量明显受春暖、夏热、秋凉和冬冷等季节气候因素影响，具有显著的季节性；月用水量的影响因素较多，例如平均气温、节假日量等，具有平稳性、交变性和季节性；日用水量的影响因素最多、最复杂，日最高温度、日最低气温、平均温度、节假日与否等都会对日用水量的变化产生影响。

日用水量预测在各类城市用水预测中具有异常特殊的地位，它不仅能直接指导水厂的生产，更能为水厂间的优化调度提供可靠的技术支持，故比较准确地进行城市日、月用水量预测是非常重要的。

4.2 问题一的分析数据给出了2000-2006年每一天的供水量，利用MA TLAB绘制出供水量随时间变化的走势图，由走势图可知，供水量随时间变化呈现周期性变化，故对2007年一月用水量的预测只能针对2000—2006年每年1月的数据进行处理。

将2000—2006年1月的每天的供水量进行加总，得到月供水总量，分析其随时间的变化走势发现，每年1月的用水量在逐年增加曲线较为平滑，但供水量不会随时间的增长无限增长下去，这样与实际不符，根据上述情况，可选择指数模型进行预测。

问题2.2 问题的分析一号水厂和二号水厂供水量之和应该等于总预测供水量，对于各个水厂供水量的预测，需要由2007年1月份的预测水量决定，故求出2000—2006年各月两个水厂供水比例，然后对供水比例进行算术平均，确定两水厂的供水比例标准，再应用预测出的2007年1月的用水总量，可得出两水厂2007年1月的供水量值。

2.3问题三的分析由于水资源的匮乏，必须要节约水资源。

提高水价格是节约用水的主要措施。

采用每年调一次水价的措施，使2007年8月份的供水量不超过5045万吨。

根据消费心理学方面的知识可知，水不仅仅是人类生存离不开的物质，他同样是一种商品。

当一种商品的价格上涨时，其销售必然会受到影响。

因此，当水价提高后，城市居民的用水量必然会受到抑制，但考虑到社会发展，经济水平的提高，人口的增长等因素，用水量不会明显减少，在数学上应表现为用水量得增长率随价格的提高而减少。

五、模型建立与求解5.1问题一5.1.1指数增长模型从实际情况出发可知，供水总量不会随时间的增长无限增长下去，而供水总量的增长是增长率不断减小的过程，指数函数的特点是它有一条渐近线，经过适当的变形后，可使供水量的增长率随时间增长不断减小，故可利用此性质构造模型。

设用水量随时间变化的指数模型为：()()dea t Q c tb +⨯=+-*（1）5.1.2指数增长模型的求解利用已知数据进行曲线拟合，通过MATLAB 编程（程序见附录1）运算可求出c b a ,,的值：7-=a 3.0=b 7.4=c 3.4642=d模型可表示为： ()()3.464277.43.0+⨯-=+t e t Q （2）根据以上模型对2007年1月份城市的计划供水量进行预测，结果如下表1，结合回归分析的求解结果，得出两水厂的计划供水量预测值，整理成表2、3。

表1：2007年1月份城市的计划供水量预测值通过累加求和的方法可以计算出2007年1月份计划总供水量为4582.18万吨。

5.1.3指数增长模型的检验由MATLAB 程序绘制拟合曲线与实际曲线的对比图形：图1 拟合曲线与实际曲线的对比由MATLAB 软件求得的拟合值如下表：表二 拟合值与实际值的比较5.2问题二5.2.1对1月两水厂供水量的预测根据数据可知，一号水厂和二号水厂供水量之和应该等于总预测供水量，因此各水厂的供水量由一月供水量的预测值决定。

由MATLAB 软件得到2000年1月两水厂供水量随天数变化得走势图（如图2）：从图中可以发现，两个水厂的供水量均呈现周期性变化。

设：j i A ,为一号水厂第i 年第j 个月的供水总量()12,,2,1;7,,2,1 ==j i ji B ,为二号水厂第i 年第j 个月的供水总量()12,,2,1;7,,2,1 ==j i ；j i m ,为第i 年第j 个月的供水总量()12,,2,1;7,,2,1 ==j i 。

且ij ij ij B A m +=。

图2 2000年1月两水厂供水量走势图则：一号水厂第i 年第j 个月的供水比例：A q =ij ij m A ()12,,2,1;7,,2,1 ==j i ; 一号水厂第i 年第j 个月的供水比例：B q =ijij m B ()12,,2,1;7,,2,1 ==j i .且 B q =1-A q .具体由MATLAB 求出一号水厂2000—2006年间84个月的供水量比例并制图3。

1020304050607080900.6090.610.6110.6120.6130.6140.6150.6160.6170.6180.619一号水厂个月总供水量比例走势图图3 一号水厂供水总量比例走势图从上图中可以看出，一号水厂各月的供水量占月供水总量的比例只在很小的区间：0.606-0.617内波动，由此知二号水厂各月的供水量占月供水总量的比例在：0.393-0.404内波动，变化量不大。

故可将84个月的供水比例取算术平均值作为两水厂的供水比例的预测值。

计算两个水厂2000-2006年中84个月每月供水量所占月供水总量的比例的算术平均值：一号水厂平均供水量的比例：6145.084171121=⨯=∑∑==i j ijijA mA q ；二号水厂平均供水量的比例：∑∑===⨯=711213855.0841i j ijijB mB q 。

以此作为2007年1月两水厂的供水比例，结合预测得到的2007年总供水量计算出2007年1月各水厂的供水总量。

一号水厂供水总量：2801.920071=⨯=A q Q S 万吨 二号水厂供水总量：1757.820072=⨯=B q Q S 万吨5.3问题三5.3.2 水价调整方案的确定 5.3.2.1线性回归分析对水价的预测求出水价与每年8月份总用水量的函数关系方程：341194259.773558210.138302.66y x x=++ （5.37）当50450000y =时，得调价后的综合水价 5.4533x =元。

5.3.2.2非线性回归分析对水价的预测上述方法得到的函数关系方程，只是数据上的拟合，并没有反映出水资源供需的本质关系，水资源的供需是一种商品交换行为，水价调整前后用水量的比值与水价上调前后水价比值存在某种指数关系,我们称这个指数为水需求价格弹性指数E 。

在一段稳定的时间周期内，我们可认为需求价格弹性指数E 是一个稳定值，它与水价调整前的水需求量1Q ，水价调整后的水需求量2Q ，原水价1P 和调整后的水价2P 存在如下关系：1212()EP Q Q P = （5.38）上式中21Q Q ,均表示调价一个周期内水需求量的月平均值。

A ）利用滑动平均预测1Q将2Q 作2-期滑动平均得到1Q ，将2112,,,Q Q P P 进行非线性回归分析得：0.2617981212()P Q Q P = （5.39）也可作2Q 的3-期、4-期滑动平均，但由于样本数据较少，期数越多，滑动后得到的数据越少，将会大大影响预测精度。

由相关性分析可得：在第五、六、七、八月，用水量与温度相关性比较显著，所以在五、六、七、八月份调价效果较好。

假设在一个周期内调价对每个月用水量影响程度相同。

于是可依据题目要求的2007年8月份的供水量不超过5045万吨，推出一个周期内其他月份的供水量，即得到预测期的2Q ，利用上式，得到分别在五、六、七、八月调价的四种调价方案：① 五月初调价综合水价：2 5.5238P =元； ② 六月初调价综合水价：2 5.5232P =元；③ 七月初调价综合水价：2 5.5225P =元； ④ 八月初调价综合水价：2 5.5198P =元。