第二章晶体结构

第二章晶体结构2．1（1）证明：如图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层间的最近邻原子间距为：()212243cad +=，当a d =时构成理想的密堆六角结构，此时有： ()212243caa +=，由此解出，()633.13821==ac（2）解：（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23cc a V =， 单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞包含6个基元，一个基元所占的体积为 32122223843436/323aa a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 scV V 11=，即：33222/aa c =nma a c s 377.02/61== nma c s 615.0633.1==2.2证明: 设简单六角布拉菲格子基矢如图示 ：∧∧∧∧=+==z c a y a x a a x a a 321,232,则其倒格子的三个基矢为()()()∧∧∧∧===⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯=zcb y a a a b y x a a a b ππππππ2233222332232133211323211另知21,b b 的夹角为120度，且a34π==，2313,b b b b ⊥⊥故简单六角布拉菲格子的倒格子仍为简单六角，倒格子的晶格常数分别为ac34,2ππ，倒格子相对于正格子绕c 轴旋转30度，(如图中标出321,,b b b 更清晰)2．3 体心立方（111）面心立方：2．4：解：（111）面与（110）面的交线晶向：[]101 或 []011。

（111）面与（100）面的交线晶向：[]101 或 []110。

2..5 证明：解：（1）体心立方的基矢为： ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=zy x a a z y x a a z y x a a ˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2321()()()()()()[]z l l l y l l l xl l l a z yxa l z yxa l z yxa l a l a l a l R l ˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2ˆˆˆ2321321321321332211-+++-+++-=-+++-+++-=++=其中l 1，l 2，l 3为整数，以直角坐标系x a i ˆ2= ，y a j ˆ2= ，z ak ˆ2= 。

()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=321332123211222l l l a n l l l a n l l l a n如果n 1为偶数则，n 2=n 1+2(l 1- l 2)必n 3=n 1+2(l 1- l 3) 必为偶数。

如果n 1为奇数则n 2=n 1+2(l 1- l 2)必为n 3=n 1+2(l 1- l 3) 必为奇数。

所以n 1,n 2,n 3的奇偶性相同，全部为奇数或偶数。

（2）面心立方的基矢为： ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=yxa a z x a a z y a a ˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2321()()()()()()[]z l l y l l xl l a y x al z x al z ya l a l a l a l R l ˆˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2213132321332211+++++=+++++=++=其中l 1，l 2，l 3为整数，以直角坐标系x a i ˆ2= ，y a j ˆ2= ，z ak ˆ2= 。

()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=213312321l l n l l n l l n()3213212l l l n n n ++=++为偶数。

2.6解：每个晶胞所含有的八面体间隙数为：441121=⨯+个，与晶胞原子数相同且八面体间隙的中心位置位于体心位置和每个棱边的中点。

每个晶胞中有8个四面体间隙数，四面体间隙中心的坐标为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,41,41及其等效位置。

2.7解：设最近邻的二蜂房点的距离为a ，则原胞的基矢为：∧∧∧+==y a x a a x a a 2323,321求原胞的倒格矢：设 ∧∧∧∧+=+=y b x b b y b x b b y x y x 222111由 020*********=⋅=⋅=⋅=⋅a b a b a b a b ππ可得∧∧∧∧∧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=y a h a h x h a G yab yax a b h 32343234323212121ππππππ 原胞基元含有两个同种原子，位置分别为：∧∧+==y a x a d d 21230213232122h h d G h ππ+=⋅从而 ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=2132e x p 1h h i f ShG π2.8 解：设晶面族的面间距为d ，离原点最近的晶面在晶胞基矢上的截距为la k a h a 321,, 有d la d ka d ha ===γβαc o s ,c o s ,c o s 321da l da k da h γβαcos ,cos ,cos 321===所以晶面的密勒指数()l k h ,,可以写成 ⎪⎭⎫⎝⎛d a da da γβαcos ,cos ,cos 3212.9 解：对于晶体，晶体中的电位移和电场的关系为：()1E D ε=其中介电常数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211εεεεεεεεεε 坐标旋转后，各物理量在新旧坐标系中的关系矢E A E D A D E D =='=',',''ε若旋转后在新坐标系中的晶格分布与未旋转前的一样，是对称操作，则有''E D ε=将上式中后两式代入此式，得到 E A A E A A D tεε==-1将上式与(1)式比较，得到 ()2AA t εε=对六角晶系绕x(即a)轴旋转︒180和绕z(即c)轴旋转︒120都是对称操作，坐标变换矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10021*********010001z x A A 则由x t x A A εε=得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211333231232221131211εεεεεεεεεεεεεεεεεε可见：即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=====33322322113121131200000εεεεεεεεεε将上式代入z tz A A εε=得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++--+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332322322112211232211221133322322112323214341434323434343410000εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2211322300εεεε于是得到六角晶系的介电常数⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=331111000000εεεε2.10对一个三主轴方向周期分别为a ，b 和c 的正交简单晶格，当入射X 射线方向与[100]方向（其重复周期为a ）一致时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X 射线波长才能观察到极大？ 解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===z c b y b b x ab zc a y b a xa a ˆ2ˆ2ˆ2ˆˆˆ321321πππ倒格矢⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=z c h y b h x a hb h b h b h G h ˆˆˆ2321332211πxk k ˆ=(100方向) hh G G k 221=∙ （参考-书2.5.9式劳厄条件）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=23222112322212122c h b h a h h a k c h b h a h k ah πππz c h y b h x a h c h b h h a z c h y b h x a hc h b h a h h az c h y b h x a h xk G k k h ˆ2ˆ2ˆˆ2ˆ2ˆ2ˆˆˆ2ˆ321232213212322211321πππππππππ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-=' （劳厄条件）综上，方向沿z c h y b h x a hc h b h h a ˆ2ˆ2ˆ32123221ππππ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛会出现衍射极大值。

X 射线的波长⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=23222112c h b h a h ah λ才能观察到极大值。

解法2:2.10 解：取简单正交格子的三个晶轴方向为坐标轴，则该晶体的倒格矢可写成：()1222321∧∧∧++=zch y bh x ah G h πππ这里321,,h h h 为互质的整数入射的x 射线的波矢0k 可表示成： ()220∧=x k λπ据劳厄方程有： ()30h G n k k =-把衍射x 射线的波矢k写成下面形式：()42⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∧∧∧z k y k x k k z y x λπ因为x 射线在衍射前后,波长保持不变，所以要求 1222=++z y x k k k()()()421一起代入()3：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎪⎭⎫⎝⎛++-∧∧∧∧∧∧z c nh y b nh x a nh z k y k x k z y x 321212πλπ ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=⇒7651321nh c k nh b k nh ak xy xλλλ把()()()765代入()4有：11232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+nh c nh b nh a λλλ 即：()822322211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c nh b nh a nh a nh λ故对应于各种不同321,,nh nh nh 值的衍射极大方向，其入射光的波长λ必须满足()8，如不满足则其对应的衍射极仍不能观察到。

2.11 解：(1)如图示：设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为θ，当入射x 光垂直于原子链时，A 原子或B 原子散射波的光程差为θcos a ，当λθn a =c o s 时，各A ()B 原子的散射波的相位差为0，散射波相互加强形成很强的衍射光(2)一个原胞的基元包含B A ,两个原子,位置分别为∧==x a d d 2021，另知一维等距离格子的倒格矢,2∧=x a h G h πh 为整数 ()()πih f f d G i f f S B A h B A G h -+=⋅-+=exp exp 2若 ()2c o s h πB A G G f f S S I h h +=⋅∝*故h 为奇数时，衍射束的强度正比于2B A f f -故h 为偶数时，衍射束的强度正比于2B A f f +(3)若f f f B A ==，当h 为奇数时衍射光的强度为零，这时A 原子与B 原子的散射波的相位差为π，相位相反，互相抵消，即对应消光现象。