方程与方程组的迭代解法

由条件2）(x) 是 [a,b] 上的连续函数 所以 g(x) 是[a,b]上的连续函数。 故由零点定理 g(x) 0 在 [a,b] 上至少有一根
xk1 xk3 1 k 1, 2,L L
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显然结果越来越大，{xk } 是发散序列
迭代法的收敛性
迭代收敛定理：设迭代函数 ( x)满足条件： 1)当x [a,b]时，(x) [a,b]；
2)存在正数L 1，使对任意x [a,b]，有
(2) if f (a) f (b) 0 then 返回第1步,重新 输入a, b值else转第3步;
(3)while | a b | 时做
1)令x 1 (a b),计算f (x); 2
2)if f (a) f (x) 0 then [a,b] [a, x];
else [a,b] [x,b].
x≈1.32480 f=3.6990*10^(-4)
6.1.2 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式
如： x3 x 1 0 x 3 x 1 x x3 1
x cosx 0 x cosx
迭代法及收敛性
考察方程 x (x)。这种方程是隐式方
程，因而不能直接求出它的根，但如果
试探法
任取正整数n, 令h
b-a n
, xi
a
ih(i
0
n), 顺次
计算f (x0 ), f (x1),L ，f (xn ).
1.若发现f (xk ) 0，则取xk为；
2.若发现f
( xk
1 )
f
(
xk
)
0，则取
1 2
(
xk
1
xk
)为。
所得的近似值误差不超过h。
二分法（区间平分法）
先确定有根区间 [a,b]
给出根的某个猜测值
x
，
0
代入x
(x)
中
的右端得到 x1 (x0 ) ，再以 x1为一个猜
测值，代入 x (x) 的右端得 x2 (x1)
反复迭代得 xk1 (xk ) k 0,1,L L
迭代法及收敛性
若
{xk } 收敛，
即
lim
k
xk
Q
lim
n
xn1
Hale Waihona Puke Baidu
lim
n
(
xn
)
(lim n
xn )
有根区间：
[1.300000000, 1.400000000] [1.300000000, 1.350000000] [1.300000000, 1.325000000] [1.312500000, 1.325000000] [1.318750000, 1.325000000] [1.321875000, 1.325000000] [1.323437500, 1.325000000] [1.324218750, 1.325000000] [1.324609375, 1.325000000]
引言
本章重点介绍求解非线性方程f (x) 0 的几种常见和有效的数值方法，同时也对 线性方程组Ax b及非线性方程组 fi (x1, x2,L , xn ) 0 (i 1, 2,L , n) 的求解介绍一些最基本的解法。 这些方法是对经典的解析方法的突破性开拓和补充， 数值方法可借助计算机完成。
6.1 方程求根法
本节讨论求解方程 f (x) 0的近似解法。 试探法与二分法 迭代法及其收敛条件 迭代法收敛速度 加速收敛技术 牛顿迭代法 弦割法
6.1.1 试探法和二分法
理论依据：
零点定理：如果函数y f (x)在区间[a,b]
连续且f (a) f (b) 0,则在区间(a,b)内必定存在， 使f ( ) 0。称为函数（f x）的零点或f (x) 0的根。
()
故 是 x (x) 的一个根
xk1 (xk ) k 0,1,L L
迭代法的几何意义
x
(x)
y
y
x
(x)
交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
简单迭代法
将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取 的某一近似值 x0 [a,b] ，则按递推 关系 xk1 (xk ) k 0,1,L L 产生迭代序列 {xk } 。这种方法称为简单迭代法。
'(x) L 1,
则对任意初值x0 [a,b]，由迭代xk1 (xk )产生 的数列收敛于方程x (x)在[a,b]的唯一根。
迭代收敛定理
证明：不失一般性，不妨设
(a) a,(b) b
否则 a或b为方程的根。 首先证明根的存在性
令 g(x) (x) x
迭代收敛定理
则 g(a) (a) a 0，g(b) 0 即 g(a) g(b) 0
end while; (4)输出x 1 (a b).
2
例题
例 设方程 f (x) x3 x 1,[a,b] [1,2]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
方程的有根区间为[1.3,1.4].
又 Q f '(x) 3x2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f (x) 0在 [1.3,1.4]有唯一根。
例题 试用迭代法求方程f (x) x3 x 1 0 在区间(1,3)内的实根。
解：由x 3 x 1建立迭代公式 xk 1 3 xk 1, k 0,1, 2,L L
计算结果如下：
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
例题
但如果由 x x3 1建立迭代公式
设所求的根为x*，则 x [an,bn ], n 1，2，L 即 an x bn，n 1，2，L
可取
x
cn
1 2
(an
bn )
lnim(bn
an )
lim
n
1 2 n 1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
求方程 f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间[a,b]的a,b值及精度控制量 ;
令a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1)
1. 若f (c1) 0,则根 c1
2. 若f (a1) f (c1) 0,则 [a1,c1]为有根区间，
否则 [c1,b1]为有根区间.
记新的有根区间为
[a2,b2 ],且b2 a2
1 2
(b1
a1).
3. 对于[a2,b2 ]重复上述过程.
于是 [a1,b1] [a2,b2 ] L [an,bn ] L bn an (b a ) 2n1