第5章刚体力学基础
第05章刚体力学基础学习知识补充
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
大学物理第五章 刚体力学1
特点： 1. 转动惯量具有叠加性
2. 与刚体质量分布有关 （总质量相同的刚体，质 量分布离轴越远，转动惯 量越大）
3. 转轴不同，J 不同
J miri2
i
例：如图质点系
i3
J miri2 i 1 m1r12 m2r22 m3r32
m3
r1 m1
r3 m2 r2
例：课本P182习题5.5
定轴转动定律在转动问题中的地位 律时完全 相同。
相当于平动时的牛顿第二定律
§5.3 转动惯量的计算 反映刚体转动惯性的大小
分立质点 J miri2
i
若质量连 J r 2dm
续分布:
m
由刚体内各质 元相对固定轴 的分布所决定， 与刚体的运动 及所受外力无 关。
在（SI）中，J 的单位：kgm2
L
B X
JC
L
2 L
x 2dx
2
mL2 12
A
C
-L/2
B L/2 X
J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的
2、平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量
两轴平行，相距L/2。可见：
J
A＝J C＋m
L 2
2
4.一般运动——既平动又转动
o
Δ
质心的平动和绕定轴的转动结合
o
Δ
平动和转动——可以描
述所有质元（质点）的
运动。
二、刚体定轴转动的描述(运动学问题)
z 转动平面
v
P θr O
刚体
定轴
定轴转动：各质
元在自己的转动平 面内作圆周运动， 其圆心都在一条固 定不动的直线（转 轴）上。各质元的 线量一般不同（因 为半径不同）,但角 量（角位移、角速 度、角加速度）都 相同。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
大学物理第五章刚体力学
v0
3
4J
4Ml
mv
例3 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在 同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆
自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状
态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度h。
l l
m
ho
h’
a
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
c hc
h=3h0/2
b
L
mv
v o m o• L
（A） 2v 3L
（B） 4v 5L
（C） 6v 7L
8v （D） 9L
以顺时针为转动正方向
两小球与细杆组成的系统 对竖直固定轴角动量守恒
L
mv
v o m o• L
由 Lmv+Lmv=2mL2+J
及 J= mL2/3
可知正确答案为 [ C ]
6.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数
速度。
用功能定理重解该题
取起始位置为零势能参考点 O
0 mgl sin / 2 1 J2
2
Ａ mg
3g sin
l
？棒端A的速度 vA 3gl sin
例2.已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，
轴光滑，AO4l 。 求:杆下摆角后，角速度 ?
解：杆+地球系统， ∵只有重力作功，∴ E守恒。
1 (1 ml 2 ) 2 1 mgl(1 cos )
23
2
3
arccos23
例4、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的
转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一 个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。 啮合后整个系统的角速度 (1/3)0 .
第5章 刚体力学基础 动量矩
(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能 先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之 矩。
(iii) 质点系对固定点的角动量定理的物理意义： 质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力 矩的矢量和。
第五章 刚体力学基础 动量矩
2、质点系对轴的角动量定理
如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动 量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。 为简单记只讨论沿z轴的角动量定理——这时组成质点系的n 个质点位于z轴的转动平面内，于是有
※在直角坐标系中，其表示式为
( yFz zFy )i ( zFx M xi M y j M z k i j k M x y z Fx Fy Fz
xFz ) j ( xFy yFx )k
M x yFz zFy
M y zFx xFz
r sin F F rF sin rF
F r
F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内， 则只需将力分解为与轴垂直、平行 的两个分力即可。
第五章 刚体力学基础 动量矩
力对固定点的力矩为零的情况：
力F等于零， 力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即，有心 力对力心的力矩恒为零）。
mv m vx i m vy j m vz k
第五章 刚体力学基础 动量矩
L
i x m vx
j y m vy
k z m vz
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xpy ypx
L
★ 角动量的单位是：千克· 2· -1(kg· 2·-1)。 米 秒 m s
第五章 刚体力学基础
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小： (A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球L的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v <(C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
大学物理第五章刚体力学1
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用，则其动能和势能之和保持不变。这意味着，如果刚体的动
能增加，则其势能必定减少，反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相角。
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转动惯量的计算
对于细长均匀杆，转动惯量I=mr^2/2；对于质量均匀分布的圆盘， I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体， 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型， 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述，其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度，用矢 量表示，单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外，刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ，刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能
第5章 刚体力学基础
0
R 2λ d l
o
R
dm
质点作圆周运动、 质点作圆周运动、圆筒
例5-4（2）求质量为 、半径为 的均匀薄圆盘对中心轴的转 （ ）求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转 动惯量。 动惯量。 设面密度为σ 解：设面密度为 。 R r 宽为d 的薄圆环, 取半径为 r 宽为 r 的薄圆环
o
dr
5.2.2 转动惯量的计算： 转动惯量的计算：
描述刚体转动惯性大小的物理量。 描述刚体转动惯性大小的物理量。
1、定义：刚体对转轴的转动惯量： 、定义：刚体对转轴的转动惯量： 转轴的转动惯量
J = ∑ ∆m i ri
i =1
n
2
J = ∫ r2 dm
2、转动惯量的计算： 、转动惯量的计算： 若质量离散分布： 若质量离散分布：
舍去t t = 0 . 55 s ( 舍去 = 0 和 t = -0.55 ) 此时砂轮的角度： 此时砂轮的角度：
θ = ( 2 + 4 t 3 ) = 2 + 4 × 0.55 3 = 2.67 (rad)
一飞轮从静止开始加速， 补充例题 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地 内其角速度均匀地 增加到200 rad/min，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予 增加到 ，然后以这个速度匀速旋转一段时间， 以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后 飞轮停止了转动。 以制动，其角速度均匀减小。又过了 后，飞轮停止了转动。 若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？ 若飞轮总共转了 转 求共运转了多少时间？ 解：整个过程分为三个阶段 ①加速阶段 ω 1 = β 1 t1 ②匀速阶段 θ 2 = ω 1 t 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
第5章 刚体
5.3.1 力矩对时间的积累效应 角动量守恒定理
1. 刚体的角动量
L
对于定点转动而言：
Lrp
r mv
描述物体转动状态的量
r
O
r sin
p mv
m
对于绕固定轴Oz的转
动的质元
m而i 言:
Li ri mivi
miri2k
对于绕固定轴Oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi
mi
O ri
L N miri2 J
m1
Mr r
F’T1 FT1
a m1
a
m2 G1
m2
F’T2 FT2
a
G2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程:
FT1 G1 m1a G2 FT2 m2a
FT2r FT1r M r J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
现在将这些方法用于刚体的研究。
第5章 刚体
5.1 刚体运动学 5.2 刚体定轴转动定律 转动惯量 5.3 力矩对时间和空间的累积效应
5.1 刚体运动学
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体 ----物体内任意两点的距离不变。
刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的 质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量 元dm。每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的 运动是这些质量元运动的总和。
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象，
作为突破口； (3)根据受力情况，正确画出受力图； (4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原
大学物理第5章刚体
B C
分析受力和力矩情况
第一篇 力 学
解：由ABC和绳子组成系统为研究对象，分析受力和力矩情况。
系统受到的合力矩： M m2 gr m3gr
对整个系统列出角动量定理积分形式
t
Mdt Lt L0
t0
分别计算，有 Mdt (m2gr m1gr)t
L0 0
0
L
LA
若质量连续分布 J r2dm
一维
二维
三维
dm
dl
线密度 dm dl
J r2dl
面密度 dm dS
J r2dS
体密度 dm dV
J r2dV
第一篇 力 学
例1．求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
J A
L x2dx mL2 / 3
0
L
JC
2 L
x2dx
mL2
/12
2
A L
A
C
L/2
B X
B L/2 X
例2．求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂
直并通过圆心。
解：
J R2dm R2 dm mR2
O
R
dm
第一篇 力 学
例3．求长求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂 直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr 的薄圆环
dm 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
dr rR
J dJ R 2r3dr 1 R4
0
2
m
R 2
第五章 刚体力学参考答案(修改稿)
一、 选择题【 B 】1、［基础训练1］ 一刚体以60r/min 绕z 轴做匀速转动(ω沿z 轴正方向)．设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r 5 4 3++=，其单位为“10-2 m ”，若以“10-2 m ·s -1”为速度单位，则该时刻P 点的速度为：(A) k j i157.0 125.6 94.2++=v (B) j i 8.18 1.25+-=v(C) j i8.18 1.25--=v (D) k 4.31=v [ ]【提示】：k nπω2= 由 86V r i j ωππ=⨯=-+【 B 】2、[基础训练5 ]如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为231ML ．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 21，则此时棒的角速度应为 (A)ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) MLm 35v ． (D) ML m 47v． [ ]【提示】：把质点与子弹看作一个系统，该系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒有：21123L mv L m v ML ω⋅=⋅+⋅ 由此可得出答案。
图5-9【 C 】3、[基础训练7]一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度(A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． [ ]【提示】：把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。
设L 为每一子弹相对与O 点的角动量大小，ω0为子弹射入前圆盘的角速度，ω为子弹射入后的瞬间与圆盘共同的角速度，J 为圆盘的转动惯量，J 子弹为子弹转动惯量，据角动量守恒定律有：00()J L L J J J J J ωωωωω+-=+=<+子弹子弹【 D 】4、[自测提高2]图5-21(a)为一绳长为l 、质量为m 的单摆．图5-21(b)为一长度为l 、质量为m 能绕水平固定轴O 自由转动的匀质细棒．现将单摆和细棒同时从与竖直线成θ 角度的位置由静止释放，若运动到竖直位置时，单摆、细棒角速度分别以ω 1、ω 2表示．则： (A) 2121ωω=． (B) ω 1 = ω 2．m图5-11 v21v俯视图(C) 2132ωω=． (D) 213/2ωω=．【提示】： 单摆和细棒同时从与竖直线成θ 角度的位置由静止 释放运动到竖直位置时，系统只有保守内力(重力)做功， 故满足机械能守恒条件，则对单摆和细棒分别有：图5-21 221221(cos )21(cos )222mg l l m l l l mg J θωθω⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩（1）（2）(1) 式以单摆运动到竖直位置时为重力势能的零势点，(2)式以匀质细棒质心运动到竖直位置时为零势点。
《理论力学》课件 第5章
因而 dBA/dt 0 ，于是得
vA vB
将上式再求一次导数，则得
aA aB
例5-1
如图5-4所示的曲柄滑道机构，当曲柄 OA 在平面上绕定轴 O 转动 时，通过滑槽连杆中的滑块 A 的带动，可使连杆在水平槽中沿直
线往复滑动。若曲柄 OA 的长为 r ，曲柄与 x 轴的夹角为 t，
其中 是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
根据上述结论，可作出截面上各点的加速度的分布图，在通过轴心的 直线上，各点的加速度按线性分布，将加速度矢的端点连成直线，此 直线通过轴心，如图5-10（b）所示。
（a）
图5-10
（b）
例5-3
如图5-11所示，一半径 R 0.2 m 的圆轮绕定轴O 的转动方程
为 t2 4t ， 单位为rad， t单位为s。求 t 1 s 时，轮
*
t
当 t 趋近于零时，刚体转动的瞬时角加速度为
lim * lim d
t 0
t0 t dt
刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，
或等于转角对于时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是 rad/s2
若 与 的符号相同，则角速度的绝对值随时间而增加，这 时称为加速转动；反之，若 与 的符号相反，则角速度
例
设有平动的刚体，在刚体上任取两点 A 和 B ，并连成一直线如
图5-3所示。运动开始时 AB 线在 A0B0 的位置；经过极短时间间 隔 t 之后，移至 A1B1 ；依次再继续移至 A2B2 ， ，AnBn 等。
首先证明这两个任意点的轨迹形状是完全 相同的，根据刚体的定义得知 A，B 两点间 的距离保持不变。 因此 AB A0B0 A1B1 A2B2 AnBn
第五章 刚体力学基础 动量矩参考答案
第五章 刚体力学基础 动量矩班级______________学号____________姓名________________一、选择题1、力kNj i F )53(+=，其作用点的矢径为m j i r )34(-=，则该力对坐标原点的力矩大小为 （ B ）(A)m kN ⋅-3； （B ）m kN ⋅29； (C)m kN ⋅19； (D)m kN ⋅3。
2、圆柱体以80rad /s 的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为24m kg ⋅。
由于恒力矩的作用，在10s 内它的角速度降为40rad /s 。
圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为( D ) (A)80J ，80m N ⋅；(B)800J ，40m N ⋅；(C)4000J ，32m N ⋅；(D)9600J ，16m N ⋅。
3、 一匀质圆盘状飞轮质量为20kg ，半径为30cm ，当它以每分钟60转的速率旋转时，其动能为 ( D )(A)22.16π J ； (B)21.8πJ ；（C ）1.8J ； （D ）28.1πJ 。
4、如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘状定滑轮。
绳的两端分别系着质量分别为m 和2m 的重物，不计滑轮转轴的摩擦。
将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力。
（ D ）(A)mg ； (B)3mg /2； (C)2mg ； (D)11mg /8。
5、一根质量为m 、长度为L 的匀质细直棒，平放在水平桌面上。
若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t =0时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为0ω，则棒停止转动所需时间为 (A )(A)μωg L 3/20； (B) μωg L 3/0； (C) μωg L 3/40； (D) μωg L 6/0。
6、关于力矩有以下几种说法，其中正确的是 ( B )（A ）内力矩会改变刚体对某个定轴的角动量（动量矩）； （B ）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；（C ）角速度的方向一定与外力矩的方向相同；（D ）质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.2.2 刚体绕定轴转动微分方程
第 k个质元 Fk f k mk ak
切线方向
rk
fk
Fk
Fk f k mk ak
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
k
Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk
k k k
Fr f r
刚体的总动能
z
O
rk
vk
P
• Δmk
1 1 1 2 E Ek Δmk rk 2 Δmk rk 2 2 J 2 2 2 2 结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半
Xi’an Jaotong University
第5章 刚体力学基础
本章内容：
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 动能定理
动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 5.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
Xi’an Jaotong University
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
_____
刚体转动
z
f (t )
d f ' (t ) dt
力学 第五章刚体的转动
J 2 mR2 511
* 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚
体对于后一轴的转动惯量为：J
例：
L
c
m
Jc
Jc 1
12
md mL2
2
L
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
t1
2．刚体定轴转动的角动量
L J （Pv mvv）
3．刚体系定轴转动的角动量定理
vv 微分形式 Mdt dL
v M
v dL dt
积分形式
t2 t1
v M 外 dt
n 1
v Li 2
n 1
v Li1
Jv2 Jv1
40
4．刚体系角动量守恒定律
mr，2 则挖去小圆盘后剩余
部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
答案：
R
o
r
J 1 (4M 3m)r2 2
13
四、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
M J d J
dt
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
M
J
(t
)
(t )
xdm m
N
yimi
ydm
yc i1 m
m
N
zimi zdm
zc i1 m
m
质心是相对于质点系本身的一个特定位置, 其相对位置不随坐标系选择而变化。
26
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
第05章__刚体力学基础补充
第05章__刚体⼒学基础补充第五章刚体⼒学基础⼀、选择题1 甲⼄两⼈造卫星质量相同，分别沿着各⾃的圆形轨道绕地球运⾏，甲的轨道半径较⼩，则与⼄相⽐，甲的：(A)动能较⼤，势能较⼩，总能量较⼤； (B)动能较⼩，势能较⼤，总能量较⼤； (C)动能较⼤，势能较⼩，总能量较⼩；(D)动能较⼩，势能较⼩，总能量较⼩；［ C ］难度：易2 ⼀滑冰者，以某⼀⾓速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)⾓速度增⼤，动能减⼩； (B)⾓速度增⼤，动能增⼤；(C)⾓速度增⼤，但动能不变；(D)⾓速度减⼩，动能减⼩。
［ B ］难度：易3 两⼈各持⼀均匀直棒的⼀端，棒重W ，⼀⼈突然放⼿，在此瞬间，另⼀个⼈感到⼿上承受的⼒变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w ； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为⽔平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，⼀质量为m 的⼦弹以⽔平速度0v 击中杆的A端并嵌⼊其内。
那么碰撞后A 端的速度⼤⼩： (A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) M m mv +0； (D) Mm mv +330。
［ B ］难度：中5 ⼀根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其⼀端且与棒垂直的⽔平光滑固定轴转动．抬起另⼀端使棒竖直地⽴起，如让它掉下来，则棒将以⾓速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的⼀段，初始条件不变，则它撞击地板时的⾓速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的⼩球，A 球⽤⼀根不能伸长的绳⼦拴着，B 球⽤橡⽪拴着，把它们拉到⽔平位置，放⼿后两⼩球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球L的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v <(C) B A v v > (D)⽆法判断。
［ C ］难度：中7 ⽔平圆转台上距转轴R 处有⼀质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
刚体力学 (5)
若刚体转动过程中只有重力矩作功， 机械能守恒。 若刚体转动过程中只有重力矩作功，则 机械能守恒。 例2. 一质量为 m 长为 L 的均匀细棒 A OA 可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖 直平面内转动， 直平面内转动，今使棒从水平位置开 始自由下摆， 始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时 （1）质心 C 和端点 A 的线速度 ） （2）质心 C 的线加速度 ） 解法一（ ）研究对象： 解法一（1）研究对象：细棒 r r 受力分析： 不考虑） 受力分析： mg （ N 不考虑）
L
L
m
⋅c
m
*垂直轴定理 垂直轴定理
1 J c = mL2 12 1 L 2 2 J = ( mL ) + m ( ) 12 2
z
1 2 = mL 3
Jz = J x + J y
x
y
8
4. 刚体定轴转动定律 r 对转轴的力矩） （1）力矩（力 F 对转轴的力矩） ）力矩（
r τ = rF sin θ
1 2 ' ' a = Rβ , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
12
T2 m2 g
联立求得： 联立求得：
问：如何求角加速度？ 如何求角加速度？
a=
(m2 − m1 )g −
τr
R
根据 a τ = β R 可求得 注意： 注意：当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时： 及摩擦阻力时：
1 m1 + m2 + m 2
1 τr m1[(2m2 + m)g − ] R 2 T = 1 1 m1 + m2 + m 2
m = 0,
τr = 0
( m 2 − m1 ) a= g m1 + m 2
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mi xi2 yi2
i
o
yi
rimixi
y
x
Jy Jx
例： 圆盘：m,R， 求以直径为轴的转动惯量
J 1 m R2 4
例： 挂钟摆锤的转动惯量
o ml
1
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
mR 2
l 2
12
将轴移到棒的一端
J
l m x2dx
1
o
ml2
0l
3
x
例 ： 均质圆盘：m ,R 计算它对通过盘心与 盘面垂直的转轴的转动惯量。
解：
dm
m
R2
2rdr
J r 2dm
Rm
0 R2
2r 3dr
dr r oR m
1 m R2 2
二 、平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量J等于对
通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚 体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方
相对于定轴的合外力矩
oo
ri mi
i Ri
Fi
y
M z M iz ri Fi sin i
x
o
i
i
即作用在各质元的力矩的z分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的
力矩只有 Mz，因此转动动力学方程
Li
Mz
dLz dt
Ri mivi
dL
M
oo
ri dtmi
vi
T2
2m1r 2 J m2 g
m1 m2 r 2 J
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1m2则T1T2
[例5-2] “打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某 时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解：可通过转动定理求细杆的转动，再求 质心加速度。利用质心运动定理求支反力。
dt
刚体定轴转动定理
z o
Li
ri
vi
mi
Ri
x o
y
F ma
推广到 J 可变情形
Mdt dJ
t
J
Mdt
t0
d J
J00
J J00
t
Mdt t0
称为在t0到t时间内作用在刚体 上的角冲量
[例5-1] 定滑轮: m r J 物体: m1 m2
轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。
线量与角量之关系：
v r
at
dv dt
r
d
dt
r
an
v2 r
r 2
按SI, 的单位分别是
rad, rad/s,rad/s2
v
r
对于匀角加度速转动，则有：
0 t
0
0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
式中 0 0
是 t=0 时刻的角速度和角位置
角速度矢量
大小为 d 方向由右螺旋法则确定
i
1 刚体为分裂的不连续结构 J
mi ri2
i
2 刚体为连续体 J r 2dm
J与质量，质量分布有关，与转轴有关
单位： SI kg m2
例： 均质棒:m, l 求它对通过中心与棒垂直 的转轴的转动惯量。
解: dm m dx l
J x2dm
dm
o dx
x
l 2
m x2dx
1
ml2
l
z
假定
Fi 垂直于转轴
Mi Ri
Ri
oo
Fi
ri
Mi
oo
ri
Fi
o ri mi
oo
i Ri
o
Fi
y
x
oo
Fi
ri
Fi
z轴 // z轴
M iz
ri Fi
ri Fi sin i
z
Fi 对参考点 o 的力矩在z轴上的分量
就等于力 Fi 对z 轴的垂足o（转心）
o
的力矩（简称力 Fi 对转轴的力矩）
自由度 i 3 (xc yc zc )
2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。
（1）定轴转动：转轴固定于参考系 如：门 窗
i 1 ()
p
o
x
（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系
如：玩具陀螺
i3
（转轴方向2，绕轴转角1）
3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面
dt
规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为 角速度矢量的方向
： d
dt
第二节 定轴转动定理
刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力
学方程
M
dL
z
dt
取惯性坐标系 oxyz
o
y
z轴 为固 定转轴
x
则L、M对o而言
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
设第 i个质元受外力 Fi
z o
Li
ri
vi
mi
由于
oo
vi
垂直于z轴
Ri
o
y
Liz ri mivi mi ri2 x
Lz Liz rimivi
i
i
( miri2 ) J
i
式中 J miri2
i
称为刚体对转轴 z 的转动惯量
代入
Mz
dLz dt
得到 M dJ
dt
J为常量 M = J dω J
求滑轮转动的角加速度和绳的张力。
解：m1 g T1 m1a T2 m2 g m2a
T1r T2r J a r
T2
r
T1
T2
a T1
m2 g
a
m1 g
解得:
a
m1 m2 r 2 g m1 m2 r 2 J
m1 m1
m2 rg m2 r 2
J
T1
2m2r 2 J m1g m1 m2 r 2 J
J Jc md 2
J miri 2 miri ri
i
mi ri d ri d
c
d
ri
ori
'
mi
i
miri2 md2 2d
mi ri
Jc
md2
i
i
例： 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的
转动惯量分别为Jx，Jy。计算板对z轴的
转动惯量Jz。
z
解：
J z miri2
第5章 刚体力学基础
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时 完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部 任意两点之间的距离始终保持不变。
第一节 刚体运动的描述 一、 刚体运动基本形式和自由度
自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变
.O
l0 C .
.A
如图示，除力F外，系统还受重力、 轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩＝0。 只有F对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为：
细杆遵从如下动力学方程：
质心运动定律分量式：
.O l0 C .
.A
.O l0 C .
.A
讨论
打击中心
第 三 节 刚体的转动惯量
一、刚体的转动惯量及其计算
定义：J miri2
可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕 质心垂直于运动平面的定轴转动（1）
i3
如：车轮滚动 i 11
4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动
i 33
二 、定轴转动的描述 角量
p点：角位置 角位移
转动平面 p
d
dt
d 2
dt 2
o
Qx
Q点：角位置 角位移
o
d
dt
d 2
dt 2