余弦定理练习题
余弦定理练习题
A 组 基础巩固1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2D ．3∶1∶23.在ABC 中，60B =，2b ac =，则ABC 一定是 （ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 4．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）A 、能组成直角三角形B 、能组成锐角三角形C 、能组成钝角三角形D 、不能组成三角形 5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 7．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752=--x x 的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 49．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、由增加的长度决定 10．在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3B 组 巩固提高11．已知锐角三角形的边长分别是2,3,x ，则x 的取值范围是 （ ）A 、15x << Bx << C、0x << D5x << 12．是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是 （ ）A. a ≥3B. a ＞－1C. －1＜a ≤3D. a ＞013．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________．16．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 . 17．△A BC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
(完整版)余弦定理练习题及答案
积累巩固1.已知a ,b ,c 是∆ABC 中角A ,B ,C 的对边,若a =21，b =5,c =4,则A ＝.3,b =3,c =30︒,则A ＝.2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a =3.在△ABC 中，三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a =3,b =4,c =6,则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为．4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．5.在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7，B ＝60°，求边C ．延伸拓展6.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形．7.已知a 、b 、c 分别是∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若∆ABC 面积S∆ABC=3,c =2,A =60︒,求a 、b 的值．28.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若a ⋅cos 2．C A 3+c ⋅cos 2=b ，求证：2229.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知b +c =a +3bc ，求：（1）A 的大小；（2）2sin B cos C -sin(B -C )的值．10.设∆ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，且A=60o ，c=3b.求：（1）222cos B cos C a的值；（2）的值.+c sin B sin C 创新应用11.在△ABC 中，a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，且2cos(A +B )=1.求：（1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积.12.已知A 、B 、C 为∆ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2cos B cos C -sin B sin C =1．2（1）求A ；（2）若a =23,b +c =4，求∆ABC 的面积．13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，试问乙船直接赶往B 处救援最少要走多少海里？参考答案b 2+c 2-a 21=，∠A =60o ．1.60解析：cos A =2bc 2o 2.解：由余弦定理可得c 2=3+9-2⨯3⨯3cos30o =3,解得c =a =3⇒A =C =30o (或)．616+36-99+36-1616+9-36613.解：由余弦定理，所求式=++=．22224.解：设顶角为C ，因为l =5c ,∴a =b =2c ，由余弦定理得πa 2+b 2-c 24c 2+4c 2-c 27cos C ===．2ab 2⨯2c ⨯2c 85.解：由余弦定理得(7)2＝1＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去)；∴c ＝3．6.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得22＝(2)2＋c 2－22c cos45°，∴c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)；∴c ＝1＋3．c 2＋a 2－b 222＋（1＋3）2－（2）23又cos B ＝＝＝，且B 为三角形内角；2ca 22×2×（1＋3）∴B ＝30°；∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°．7.解：ΘS∆ABC=1bc sin A =3，∴1b ⋅2sin 60︒=3，得b =12222由余弦定理得a =b +c -2bc cos A =1+2-2⨯1⨯2⋅cos60︒=3，∴a =2222223．8.证明：由已知得：，∴，∴，∴，即222．9.解：(1)由余弦定理得a b c2bccosA,b2c2a23bc3故cosA,所以A.2bc2bc26(2)2sinB cosC sin(B C)2sin B cos C(sinB cos C cos B sinC)sinB cos C cos B sinC1sin(B C)sin(A)sin A.210.解：（1）由余弦定理得1117a7 a2b2c22b cosA(c)2c22g cg cg c2.3329c3（2）由余弦定理及（1）的结论有72212c c(c)a c b539. cosB2ac7272g cg c3222故sin B1cos2B1253. 282772122c c ca2b2c2919,同理可得cosC2ab71272g cg c33sin C1cos2C1133. 2827从而cosB cosC5114333. sinB sin C39911.解：(1)∵2cos(A +B )=1，∴cos C =-21，∴角C 的度数为120°.2(2)∵a 、b 是方程x -23x +2=0的两根，∴由求根公式计算得a +b =23，ab =2,222由余弦定理得c =a +b -2ab cos C =(a +b )-2ab (cos C +1)＝12－2＝10.2∴c =10.(3)S =13ab sin C =.2212.解：（1）Θcos B cos C -sin B sin C =又Θ0<B +C <π，∴B +C =22211，∴cos(B +C )=；223；ΘA +B +C =π，∴A =π2π．3（2）由余弦定理得a =b +c -2bc ⋅cos A ，∴(23)=(b +c )-2bc -2bc ⋅cos 222π，3即12=16-2bc -2bc ⋅(-)，∴bc =4；12∴S∆ABC=113bc ⋅sin A =⋅4⋅=3．222o o o 13.解：在△ABC 中，∠BAC =90+30=120，∴BC =AB 2+AC 2-2AB g AC cos A =202+102-2⨯20⨯10cos120o =107．答：乙船直接赶往B 处救援最少要走107海里．。
正余弦定理练习题（含答案）
A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解． 的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝ ＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数． 解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
余弦定理练习题及答案
1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( )A ．8B ．217C ．6 2D ．219解析：选D.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°A.5719 C.338 解析：选A.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.__________． 2a ，故顶角的余弦值为ABC 的形状．2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C .又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是正三角形．一、选择题1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos AD ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．(2011年合肥检测)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513C ．0 D.23解析：选C.∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 0. 3．已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( A ．锐角三角形 B C ．直角三角形 D 解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4( )或2π3个 4个sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，则不一定成立．6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，X k b 1 . c o m∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34. 二、填空题7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×(－12)， AC 2＋5AC －24＝0.∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.8，则B 的大小是________． C .解得c ＝5或c ＝－75(舍)． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋9－252×4×3＝0， ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝90°.11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，求C 的大小．解：由题意可知，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，于是有a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 所以cos C ＝12，所以C ＝60°. 12．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入c ＝a cos B ， 得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．。
余弦定理练习题(含答案)
余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．余弦定理答案1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( A )A ．6 B ．26C ．3 6 D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( B )A. 3 B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( D )A ．60° B ．45°C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( D )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( C )A ．aB ．BC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝?2k ?2＋?4k ?2－?3k ?22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2315．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N)，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋?k －1?2－?k ＋1?2＜0k ＋k －1＞k ＋1?2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝?AC ＋BC ?2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12，所以C ＝60°. 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
余弦定理练习题及答案
∙余弦定理练习题及答案一、选择题1．(2014·昆明一模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.答案：B2．(2015·广州综合测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb 为( )A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C解析：由于C ＝2B ，故sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ，所以sin Csin B ＝2cos B ，由正弦定理可得c b ＝sin Csin B ＝2cos B ，故选B.答案：B3．(2014·东北三省二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得：c －b c －a ＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3.答案：C4．(2015·烟台期末)在△ABC 中，若lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg 1b ＋c，则A ＝( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：由题意可知lg(a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )， ∴(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，∴A ＝120°，选C. 答案：C5．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( ) A ．－19B.13C ．1D.72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 答案：D6．(2014·石家庄一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．3解析：由c sin A ＝3a cos C ，所以sin C sin A ＝3sin A cos C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B ，所以sin A ＋sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C. 答案：C 二、填空题7．(2014·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于__________．解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝ 22－(3)2＝1. 答案：18．(2014·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝__________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案：π3或2π39．(2014·北京卷)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝__________；sin A ＝__________.解析：根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158)． 答案：2158三、解答题10．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C . ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin60°＝2 3.11．(2014·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 解析：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos2A ·cos π6＋sin2A ·sin π6＝15－38. 12．(2014·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解析：(1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得： cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得： sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C . 因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知：a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。
余弦定理练习题及答案
余弦定理练习题及答案1.已知三角形ABC的边长a=21，b=5，c=4，求角A的大小。
解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入数值计算可得cosA=-61/40，因为-1≤cosA≤1，所以三角形ABC不存在角A，即无解。
2.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求XXX的值。
解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入所求式计算可得答案为-11/2.3.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求边C的长度。
解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入数值计算可得cosC=-1/2，因为0°≤C≤180°，所以C的大小为120°。
再根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，代入已知数据可得c=2√3.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为多少？解析：设等腰三角形的底边长为x，则周长为5x，由等腰三角形的性质可知，其两个等角为(180°-顶角)/2，所以顶角的大小为2(180°-顶角)/2=180°-顶角。
根据余弦定理，cos顶角=[(5x/2)^2+x^2-(5x/2)^2]/(2x^2)=3/4.5.已知三角形ABC的边长a=1，b=7，角B=60°，求边C 的长度。
解析：根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，又因为A+B+C=180°，所以角A=180°-60°-arcs in(1/7)≈86.6°。
代入已知数据计算可得c≈7.5.6.已知三角形ABC的边长a=2，b=2，角A=45°，解此三角形。
解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=0，即角B为直角。
余弦定理练习含答案
课时作业2 余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝61.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23 【答案】B【解析】由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.3．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a ＝3、b ＝4、c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝________.【答案】612【解析】bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·c 2＋a 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝12(b 2＋c 2－a 2)＋12(c 2＋a 2－b 2)＋12(a 2＋b 2－c 2)＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.4．在△ABC 中：(1)a ＝1，b ＝1，∠C ＝120°，求c ； (2)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角； (3)a :b :c ＝1: 3 :2，求∠A 、∠B 、∠C . 【分析】 (1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大边对大角； (3)可设三边为x ，3x,2x .【解析】(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c ＝ 3.(2)显然∠C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°.(3)由于a :b :c ＝1: 3 :2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x (x >0)．由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22·3x ·2x＝32，∴∠A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0.∴∠B ＝60°，∠C ＝90°.【规律方法】1．本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．2．对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A ，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求∠B ，但要注意讨论解的情况．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若∠A :∠B :∠C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3， 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴∠A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴∠A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∴∠C 为锐角，但∠A 或∠B 不一定为锐角，错误； ④∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，a :b :c ＝1: 3 :2，错误．故选A.2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴∠C ＝π3.3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A ＝π3，a ＝7，b ＝1，则c 等于( )A ．22B ．3C.3＋1 D ．2 3 【答案】B【解析】由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以(7)2＝1＋c 2－2×1×c ×cos π3，即c 2－c －6＝0，解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值X 围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)【答案】C【解析】因为a 为最大边，所以∠A 为最大角，即∠A >∠B ，∠A >∠C ，故2∠A >∠B ＋∠C .又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A ，所以2∠A >π－∠A ，即∠A >π3.因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，所以0<∠A <π2.综上，π3<∠A <π2.5．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则sin A 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719 【答案】A【解析】由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76，∴c ＝76.由正弦定理得a sin A ＝csin C ，即4sin A ＝76sin120°，∴sin A ＝4sin120°76＝5719.6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c ，又由于∠B ＝30°， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝32，解得ac ＝6，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos30°＝4b 2－12－63， 即b 2＝4＋23，由b >0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则这个三角形一定是()A ．锐角三角形或钝角三角形B ．以a 或b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．等边三角形 【答案】B【解析】由余弦定理a cos A ＋b cos B ＝c cos C 可变为a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2) a 2b 2＋a 2c 2－a 4＋b 2a 2＋b 2c 2－b 4＝c 2a 2＋c 2b 2－c 42a 2b 2－a 4－b 4＋c 4＝0， (c 2－a 2＋b 2)(c 2＋a 2－b 2)＝0， ∴c 2＋b 2＝a 2或a 2＋c 2＝b 2， ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20，面积是103，∠A ＝60°，则BC 边的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc ×sin60°，即bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cos B ＝1935，∴AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－|AB→|·|BC →|·cos B ＝－19. 10．已知等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长为________．【答案】62a【解析】如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，BD 为腰AC 的中线，过A作AE ⊥BC 于E ，在△AEC 中，cos C ＝EC AC ＝14，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos C ，即BD 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×14＝32a 2，∴BD ＝62a .三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．【分析】 解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．【解析】方法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，R 为△ABC外接圆的半径，将原式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . ∵sin B sin C ≠0，sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0，∴∠B ＋∠C ＝90°，∠A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．方法二：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理可得：b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2(a 2＋c 2－b22ac)2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac.即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b2]24a 2也即b 2＋c 2＝a 2，故△ABC 为直角三角形．【规律方法】 在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a ，b ，c 及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ，理)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【解析】(1)由已知得，∠PBC ＝60°，∴∠PBA ＝30°，在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，∴PA＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得，PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α，化简得，3cos α＝4sin α，∴tan α＝34，∴tan ∠PBA ＝34.。
高中余弦正弦定理练习题及讲解
高中余弦正弦定理练习题及讲解### 练习题一：余弦定理的应用在三角形ABC中，已知AB=7cm，AC=9cm，BC=10cm。
求角A的大小。
解答：首先，我们可以使用余弦定理来解决这个问题。
余弦定理公式为：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边，C 是夹角。
在本题中，我们有：- a = AB = 7cm- b = AC = 9cm- c = BC = 10cm- C = A（我们要求的角）将已知值代入公式，我们得到：\[ 10^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(A) \]\[ 100 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos(A) \]\[ \cos(A) = \frac{49 + 81 - 100}{126} \]\[ \cos(A) = \frac{30}{126} \]\[ \cos(A) = \frac{5}{21} \]然后，我们可以通过反余弦函数求得角A的大小：\[ A = \arccos\left(\frac{5}{21}\right) \]### 练习题二：正弦定理的应用在三角形DEF中，已知DE=8cm，DF=6cm，角E=45°。
求角D的大小。
解答：正弦定理公式为：\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边，A、B、C 分别是对应角。
在本题中，我们有：- a = DE = 8cm- b = DF = 6cm- B = E = 45°- 我们需要求角D，即角C。
根据正弦定理，我们可以得到：\[ \frac{8}{\sin(45°)} = \frac{6}{\sin(D)} \]\[ \sin(D) = \frac{6 \cdot \sin(45°)}{8} \]\[ \sin(D) = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8} \]\[ \sin(D) = \frac{3\sqrt{2}}{8} \]然后，我们可以通过正弦函数的反函数求得角D的大小：\[ D = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right) \]### 练习题三：余弦定理与正弦定理的结合在三角形GHI中，已知GH=5cm，HI=6cm，角G=60°。
完整版)正弦定理与余弦定理练习题
完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。
解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。
2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。
解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。
3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。
解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。
由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。
代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。
由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。
由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。
正余弦定理专题练习(含答案)
正余弦定理专题2020.3一、选择题1、在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为( )A.4B.60C.5D.6【解析】选C.因为由三角形的面积公式得：S=acsin B=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cos B=，根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.所以△ABC的外接圆的直径为==5.2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C等于 ( )A.120°B.105°C.90°D.75°【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=，即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0°<C<180°，所以C=120°.3、在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为( )A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=，所以sin C==，4、若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )A.(1，)B.(，5)C.(，)D.(1，)∪(，5)【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得<x<5.(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x+2>3，解得1<x<.故x的取值范围是(1，)∪(，5).所以S=absin C=×4×=.二、填空题5、在△ABC中，已知A=60°，tan B=，a=2，则c=________. 【解析】因为tan B=，所以sin B=，cos B=.又因为A=60°，所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin B=+.由正弦定理，得=，即c===.答案：6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为________.【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°.答案：60°或120°7、△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则△ABC的形状为________.【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径)，代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A，所以2sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，所以cos A=0，又A∈(0，π)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.答案：直角三角形8、在△ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状为________.【解析】由正弦定理知b=2R·sin B，a=2R·sin A，则3b=2a·sin B可化为：3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°，所以sin B≠0，所以sin A=，所以A=60°或120°，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形.答案：等边三角形9、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=.再由正弦定理，得sin B==.由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，从而cos B==.由上述结果知sin C=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=.答案：10、在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，即所以30°<B<45°.由正弦定理知：===2cos B∈(，)，故的取值范围是(，).答案：(，)三、解答题11、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由条件b=6，a=2，b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时，C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时，C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，所以A=C，则有a=c=2.所以ac=2×2=12.12、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求sin C.【解析】(1)因为m∥n，所以asin B-bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，从而tan A=.由于0<A<π，所以A=.(2)由正弦定理，得=，从而sin B=，又由a>b，知A>B，所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.13、在△ABC中，求证：(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，于是==1-·2cos A=1-·2cos A===.(2)方法一：==·==.方法二：====.14、在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定△ABC的形状.【解析】由正弦定理得=，由2cos Asin B=sin C，有cos A==.又由余弦定理得cos A=，所以=，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.15、所以△ABC为等边三角形.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c.【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin CcosA. 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，且sin C≠0，所以，cos A=.又0<A<π，所以，A=.(2)因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.①由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2=8，②联立①②解得，b=c=2.16、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小.(2)求△ABC的周长.【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，得a2-b2-c2=-bc所以cos A==.又0<A<π，所以A=.由sin Asin B=cos2，得sin B=，即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角.所以B为锐角，且B+C=，则sin=1+cos C，化简得cos=-1，解得C=，所以B=.(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2.在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C=22+22-2×2×2×cos =12，所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.。
余弦定理练习题初中
余弦定理练习题初中余弦定理作为三角函数中的重要定理，具有广泛的应用，尤其在几何学和物理学中有着重要的地位。
它是以三角形的三条边及其夹角之间的关系为基础，通过余弦函数的相互关系来描述三角形的形状和大小。
为了熟练掌握余弦定理的使用，我们来通过一些练习题来巩固一下。
题目一：已知一个三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=6cm，夹角C=30°，求边c的长度。
解析：根据余弦定理可得：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC代入已知值，得：c^2 = 5^2 + 6^2 - 2*5*6*cos30°化简得：c^2 = 25 + 36 - 60*0.866c^2 = 61 - 51.96c^2 ≈ 9.04c ≈ √9.04c ≈ 3.01所以，边c的长度约为3.01cm。
题目二：在一个等边三角形ABC中，边长为5cm，求角A的度数。
解析：由于等边三角形的三个内角均相等，设大小为x，于是可得：x + x + x = 180°3x = 180°x = 180° ÷ 3x = 60°所以，角A的度数为60°。
题目三：在一个直角三角形ABC中，已知两条直角边分别为3cm 和4cm，求斜边c的长度。
解析：由于直角三角形的两条直角边与斜边之间满足勾股定理的关系，可得：c^2 = a^2 + b^2代入已知值，得：c^2 = 3^2 + 4^2化简得：c^2 = 9 + 16c^2 = 25c = √25c = 5所以，斜边c的长度为5cm。
通过以上练习题，我们加深了对余弦定理的理解和应用。
余弦定理在解决实际问题中起到了重要的作用，特别是在几何学中，可以通过余弦定理计算出各种形状的三角形的边长、夹角等。
只要我们掌握了余弦定理的使用方法，并且熟练应用于解决具体问题，就能更好地理解和应用三角函数的知识。
综上所述，通过余弦定理练习题的解析，我们可以更加熟练地运用余弦定理，提高解决实际问题的能力，同时也为深入理解几何学和物理学中的知识奠定了一个坚实的基础。
高中数学必修二 专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练
专题6.7 正弦、余弦定理知识储备一．余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有【思考】在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？ 【答案】a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理. 二．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcB b A a sin sin sin == 三．正弦定理的变形公式1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===(其中R 是△ABC 外接圆的半径). 【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？【答案】等于2R (R 为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =（ ）ABCD．【答案】A【解析】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=， 则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===，故选：A. 2．（2021·云南高三期末）在ABC 中，若4AC =，6AB =，BC =A ∠=（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由余弦定理可得：2221636281cos 22462b c a A bc +-+-===⨯⨯又()0,A π∈所以3A π=故选：C3．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（ ）A ．32B ．34C D 【答案】D【解析】在ABC 中，由1a =，c =6B π=，则111sin 12224ABCSac B ==⨯=． 故选：D ．4．（2021·河南新乡市·高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin sin b B c C a A +=，则ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】因为2222b c a +=，所以2222cos 022b c a c A bc bc+--==<，所以90A >︒，所以ABC 的形状为钝角三角形.故选C5．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22226c ab a b +=++，若ABC 的面积为2，则tan C 的值为（ ）A B C ．1 D 1【答案】B【解析】由题意22222262cos c a b ab a b ab C =+-+=+-即()1cos 3ab C -=①，1sin 2S ab C ==①联立①①得1cossin C C -=sin 2sin 3C C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又0C π<<4333C πππ∴<+< 2,333C C πππ∴+==tan C ∴=B ． 6．（2021·江苏镇江市·高一期末）如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米.塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层.塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写.塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建.所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔.下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45︒，若23BC AC =，则该八角观音塔的高AB 约为（ ） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米【答案】D【解析】设AC x =，由23BC AC =得，32BC x =因为45CEB ∠=︒，所以32BE BC x ==，在Rt ABD △中，32tan 3033512x xAB BD x +︒===+，解得18x =≈所以5452AB x =≈故选D7．（2021·全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长,,a b c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =，若ABC 满足2sin c A 2sin C =，3cos 5B =，且a<b<c ，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．35B ．45 C ．1 D ．54【答案】B【解析】因为2sin c A 2sin C =，所以22,2ac c ac =∴=.因为3cos 5B =，所以22222236,2525a cb ac b ac +-+-=∴=，所以45S ==.故选：B 8．（2021·江西新余市·高二期末（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B B A A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A B ．44+ C ．3 D ．42+ 【答案】A【解析】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=，sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =，∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||22OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=-+2sin 34πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为2=故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
余弦定理练习题（含答案）
余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 D ．46662．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B. C. D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为( )AB → AC → 3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－48．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．2 C.或2 D ．233339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．18．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin 2216C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π420．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．余弦定理答案1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac 321tan B 32cos Bsin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc 2c 22c 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为()AB → AC → 3AB →AC → A ．2 B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A312AB →AC →＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB →AC → 128．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．3310解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，3310∴a ∶b ∶c ＝(－1)∶(＋1)∶.3310设a ＝(－1)k ，b ＝(＋1)k ，c ＝k (k ＞0)，3310∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k 1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝，1935∴·＝||·||·cos(π－B )AB → BC → AB → BC → ＝7×5×(－)1935＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 24解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22ab ab 2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则Error!⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.32＋42－222×3×478答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1018．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .22(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin C ，求角C 的度数．16解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝＋1，BC ＋AC ＝AB ，22两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积BC ·AC ·sin C ＝sin C ，得BC ·AC ＝，121613由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝＝，AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC 12所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π421020．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b 又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
利用余弦定理解决问题练习题
利用余弦定理解决问题练习题余弦定理是三角学中常用的定理之一，用于计算三角形的边长和角度。
通过应用余弦定理，我们可以解决一系列与三角形相关的问题。
本文将介绍一些关于余弦定理的问题练习，并通过具体例子来解答。
问题一：已知一个三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=6cm，夹角C=60°，求边c的长度。
解答：根据余弦定理可得到如下公式：c² = a² + b² - 2abcosC将已知数据代入公式计算，得到：c² = 5² + 6² - 2 * 5 * 6 * cos60°= 25 + 36 - 60= 61因此，边c的长度约为√61 cm。
问题二：一个三角形的边长分别为a=7cm，b=9cm，c=10cm，判断该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
解答：根据余弦定理可得到如下公式：cosC = (a² + b² - c²) / 2ab将已知数据代入公式计算，得到：cosC = (7² + 9² - 10²) / (2 * 7 * 9)= (49 + 81 - 100) / 126= 30 / 126≈ 0.23810根据余弦值的大小可以判断三角形的类型，余弦值大于0时为锐角三角形，等于0时为直角三角形，小于0时为钝角三角形。
在本题中，cosC的值为0.23810，大于0，因此该三角形为锐角三角形。
问题三：已知一个三角形ABC，边长分别为a=4cm，b=7cm，c=9cm，求角A的大小。
解答：根据余弦定理可得到如下公式：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc将已知数据代入公式计算，得到：cosA = (7² + 9² - 4²) / (2 * 7 * 9)= (49 + 81 - 16) / 126= 114 / 126≈ 0.90476角A的大小可以通过反余弦函数来计算，即A = arccos(0.90476) ≈ 25.84°。
【新人教版】初中数学余弦定理专项练习题含答案
人教版初中数学余弦定理专项练习题双基达标201．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150150°，则°，则c 等于()．A.39 B ．8 3C ．10 2D ．7 3解析c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝92＋(23)2－2×9×23cos 1503cos 150°＝°＝°＝147147147＝＝(73)2，∴c ＝7 3. 答案 D2．在△ABC中，若a ＝7，b ＝43，c ＝1313，则△，则△ABC的最小角为( )．A.π3B.π6C.π4 D.π12解析∵c <b <a ，∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4949＋＋4848－－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B.答案B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0>0，则△，则△ABC()．A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析∵c 2－a 2－b 22ab>0>0，∴，∴c 2－a 2－b 2>0.∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．故选C. 答案C4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120120°，则°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120cos 120°＝°＝a 2＋c 2＋ac .∴原式为0. 答案答案 05．在△ABC 中，若中，若((a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________. 解析解析 ∵(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，∴a 2－c 2＝b 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝－12. ∵0°<A <180<180°，∴°，∴A ＝120120°°. 答案答案 120120°°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c＝6，且b <c ，求b ，c 的值．的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴1616＝＝(b ＋c )2－2bc －12bc∴bc ＝8，又∵b ＋c ＝6，b <c ，解方程组îíìb ＋c ＝6，bc ＝8，得b ＝2，c ＝4或b ＝4，c ＝2(2(舍舍)． ∴b ＝2，c ＝4.综合提高综合提高25 7．在△ABC 中，B ＝6060°，°，b 2＝ac ，则三角形一定是，则三角形一定是( )．A ．直角三角形．直角三角形B B B．等边三角形．等边三角形．等边三角形C ．等腰直角三角形．等腰直角三角形D D D．钝角三角形．钝角三角形．钝角三角形解析解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴，∴((a －c )2＝0，∴a ＝c . ∵B ＝6060°，∴°，∴A ＝C ＝6060°°. 故△ABC 为等边三角形．为等边三角形． 答案答案 B8．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·A C →等于等于( )． A.152 B B．－．－152 C.1532D D．．15 解析解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos cos∠∠BAC ＝5×3×èçæø÷ö－12＝－＝－15152，故选B.答案答案 B9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是的取值范围是________________________．．解析解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C . 又∵又∵0<0<C <π2，∴，∴cos cos C ∈(0,1)(0,1)．．∴c 2∈(1,5)(1,5)．∴．∴c ∈(1(1，，5)5)．． 答案答案 (1(1，，5)1010．已知等腰△．已知等腰△ABC 的底边BC ＝2，腰AB ＝4，则腰上的中线长为，则腰上的中线长为________________________．． 解析解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝42＋42－222×4×4＝78. 设其中一腰中线长为x ，则x 满足：满足：x 2＝42＋22－2×4×2cos A ＝2020－－1616××78＝6.6.∴∴x ＝ 6. 答案答案 61111．已知．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)(1)求角求角B 的大小；的大小；(2)(2)若若c ＝3a ，求tan A 的值．的值．解 (1)(1)由余弦定理，得由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)(2)法一法一法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴，∴sin sin A ＝1－cos 2A ＝2114. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.法二法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由正弦定理，得sin B ＝7sin A . ∵B ＝π3，∴，∴sin sin A ＝2114. 又∵b ＝7a >a ，则B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.1212．．(创新拓展创新拓展))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)(1)求求A 的大小；的大小；(2)(2)若若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．的形状． 解 (1)(1)由已知，根据正弦定理得由已知，根据正弦定理得由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12.又A ∈(0(0，，π)，∴A ＝2π3. (2)(2)由由(1)(1)中中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得及正弦定理，可得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即èçæø÷ö322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝12，又0<B，C<π3，∴B＝C，∴△ABC为等腰的钝角三角形．为等腰的钝角三角形．。
余弦定理基础练习题
余弦定理基础练习题1.在三角形△ABC中，已知a=3，b=7，c=2，求角B的度数。
解：根据余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，代入已知数据得$7^2=3^2+2^2-2\times3\times2\cos B$。
化简得$\cos B=-\frac{11}{12}$，因为$0^\circ\leq B\leq 180^\circ$，所以$B=120^\circ$，选项C正确。
2.在三角形△ABC中，已知$\sin A:\sin B:\sin C=1:3:2$，求角A、B、C的度数。
解：由于$\sin A:\sin B:\sin C=1:3:2$，所以令$\sin A=k$，则$\sin B=3k$，$\sin C=2k$。
根据正弦定理，$\frac{a}{k}=\frac{b}{3k}=\frac{c}{2k}$，即$a: b: c=1: 3: 2$。
又因为三角形三个角度之和为$180^\circ$，所以$A+B+C=180^\circ$。
代入正弦定理得$\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=1$，化简得$a+b+c=2R$。
因此，$A=\sin^{-1}k$，$B=\sin^{-1}(3k)$，$C=\sin^{-1}(2k)$。
选项B正确。
3.在三角形△ABC中，已知$B=60^\circ$，$b=ac$，求三角形的类型。
解：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$。
因为$B=60^\circ$，所以$\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
又因为$b=ac$，所以$\frac{b}{c}=a$，代入正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{ac}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，化简得$\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$A=60^\circ$。
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余弦定理练习
题 A 组 基础巩固
1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）
A ． 30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( )
A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶1
3.）
A 、钝角三角形4 A 、能组成直角三角形
B 、能组成锐角三角形
C 、能组成钝角三角形
D 、不能组成三角形5．在△ABC 中，若，则其面积等于（A 6A 7A 8 9（
） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定
10．在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：
①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a
③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A
其中成立的个数是 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3
B 组 巩固提高
11．已知锐角三角形的边长分别是2,3,x ，则x 的取值范围是 （ ）
A 、15x << B
、x << C
、0x << D
5x <<
12．是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=
+，则实数a 的取值范围是 （ ） A. a ≥3 B. a ＞－1 C. －1＜a ≤3 D. a ＞0
13．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝10
9，则BC ＝________． 14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是
15
c
a b +＝161718
7∶4∶101920)1=B 。
22
21cos ()(1)2C a b C ++-≤,∴22()161cos 12212c a b C +≤==+--,当且仅当a=b 时,a+b 取到最大值4.
18．解：设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3x 、7x 、4x 、10x ，根据四边形的内角和有3x+7x+4x+10x=360°。
解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150°
连结BD ，得两个三角形△BCD 和△ABD
在△BCD中，由余弦定理得
∴BD= 3 a.
这时222
DC BD BC
=+，可得△BCD是以DC为斜边的直角三角形。
30,120.
CDB ADB
∴∠=∠=
于是在△ABD中，由正弦定理有
AB=
sin
sin
BD ADB
A
⋅∠
∴19
20。