14.3.1公式法因式分解1
14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】
14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)题型2：找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（ ）A ．5a 2b(b−a)B ．5a 2b 2(b−a)C ．5ab(b−a)D ．120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。
注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a 2-3a ； （2）分解因式：3x 2y-6xy 2．m m题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：m2（1）a2-9；（2）25−14题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（ ）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）A．a2+a+ 1B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b243．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A．2560B．490C．70D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A．-22020B．-2 2021C．22020D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）A．2B．5C．20D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A．6B．3C．4D．58．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是 （填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为 ．14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 ．三、解答题16．因式分解：（1）a 3−36a（2）14x 2+xy +y 2（3）(a 2+4)2−16a 217．把下列各式因式分解：（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a 2−3a +1=0 ，求（1）a 2+1a 2的值。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
人教版八年级数学上册第十四章《 公式法》教学课件
课堂检测
能力提升题
2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长 为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得 6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2 ＝6.82–3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2)
素养目标
3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解 因式这两种方法进行求值和证明． 2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
1. 理解完全平方公式的特点．
探究新知 知识点 1 用完全平方公式分解因式
1.因式分解
回
：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
顾
旧 2.我们已经学过哪些因式分解的方法
知
∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0， ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c， ∴这个三角形是等腰三角形.
巩固练习
连接中考
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是( B )
A．a(4–a2)
B．a(2–a)(2+a)
人教版 数学 八年级 上册
14.3 因式分解 14.3.2 公式法
第一课时 第二课时
第一课时
平方差公式
导入新知
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b
米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此
图形变换，你能得到什么公式？
a米
b米
(a–b)
a米 b米
a2– b2=(a+b)(a–b)
〔人教版〕因式分解教学PPT课件20
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
3、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用
___整__式__乘__法______运算来检验。
4、我们已经学过哪些乘法公式？
___（ ___a__ __b __） _(_a ___ __b _)__ ___a _2 __ __b __2 __； __（ ___a _ __b __） _2 __ __a _2 __ __2 _a ___ _b _b __2 ______.
②两个平方项异号(一正一负)；
回忆完全平方公式
a b 2 a22abb2
a b 2 a22abb2
1.我们共学过几种方法因式分解
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
2.分解因式时,通常先考虑_能__否__提__公__因__式__ 然后再考虑_能__否__进__一__步__分__解__因__式__.
变式2：将下列多项式分解因式
x2 4
2x23 88x
反馈矫正2：把下列各式分解因式
（1）2x2 50
（2）ab3 4ab
（ 3） -16x481y4
注意：（1）如果多项式中有公因式可提，应先
提取公因式，而且还要“提”得彻底； （2）分解因式时，每个因式都要分解彻底
14.3 因式分解
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法 有什么区别和联系？ （3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式 法分解因式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.3第1、4（1）题．
探索平方差公式
2 2 x y 25 你能将多项式 与多项式 - 4 分解因式吗？
（2）3mx-6my；
（3）8m n+ 2mn；
（4）12 xyz -9 x y ； a y -z） -3（ b z -y）； （5）2（
2 2 2 2 （ p a + b ）（ q a + b ）. （ 6）
2 2
2
初步应用提公因式法
先分解因式，再求值． 2 4a（x+ 7）（ -3 x+ 7） ，其中 a =-5，x=3. 练习3
例2 分解因式： 4 4 3 x y ； a （ 1） （2） b-ab.
3 a 解：（2） b-ab =ab （a 2 -1）
=ab （a+1） （a-1）．
综合运用平方差公式
通过对例2的学习，你有什么收获？ （1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解 为止； （2）对具体问题选准方法加以解决．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
布置作业
教材习题14.3第3、5（1）（3）题．
八年级
上册
14.3 因式分解
了解因式分解的概念
上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几 个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的 变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的 形式． 请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案
学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。
（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。
（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
14.3因式分解(第5课时)十字相乘法配方法
2）7a2–19a–6
3）2(x2+y2)+5xy
二、拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
因为它还 怎么结果 与刚才不 可以继续 一样呢？ 因式分解 = (x+1)(x4+2x2+1–x2)
知识结构
提公因式法 公式法
十字相乘法
因式分解 常用方法
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
……
一、十字相乘法
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
因式分解 x4 + 4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4
都是平方项 猜测使用完全平方公式 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+2x+2)(x2–2x+2) 拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
完全平方公式
平方差公式
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项 法，将多项式配成完全平方式，再 用平方差公式进行分解。
2、 7x2 －13x＋6
4、 x4+x2y2+y4
八年级数学上册14-3因式分解14-3-2公式法新版新人教版
必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公
式进行因式分解.
3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先
提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
知2－练
例 2 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是
___±__2_4____.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
a，b可以是单项式，也可以是多项式
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且 符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是 这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
知1－讲
一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－讲
1. 完全平方式：形如a2±2ab＋b2这样的式子叫做完全平 方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：首平 方，尾平方，积的2倍在中央
知2－讲
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首 末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这 两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以是 “－”.
－811＋x4 ＝x4－811＝
x2＋
1 9
x2－
1 9
＝
x2＋
1 9
x＋
1 3
x－
1 3
；
要分解到不能再分解为止
(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.
知1－练
解：16(a－b)2－25(a＋b)2 分别看成一个整体 ＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]
14.3 因式分解(提公式法)
举一反三
(1)a(a2+b2)-c(a2+b2) (2) 4m(n-3)+2(n-3) (3)2a(x-y)-3b(y-x) (4)4q(1-p)3+2(p-1)2
课堂小结
1．分解因式？
2．确定公因式的方法？
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
做 提公因式法 .
思考：如何找公因式？
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
ab
相同字母
a b2
最低指数
观察 方向 一看系数
二看字母
三看指数
知识要 点3
确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同 的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一 个，即最低次幂．
14.3 因式分解
——提公因式法
新课导入
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1.
根据上面的运算，你能把下列 多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=____x_(_x_+_1_)__; (2)x2 – 1=__(_x_+_1_)_(x_-_1_) .
知识要 点1
公共的因式 m 多项式ma+mb+mc，它的各项都含有一个公共 的因式m，我们把因式m叫这个多项式各项的 公因式。
知识要 点2
ma+mb+mc =m(a+b+c) 这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的 形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一 个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所得的 商,像这种分解因式的方法叫
人教版数学八年级上册第14章第12课14.3因式分解(教案)
今天我们在课堂上学习了因式分解这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。首先，我在导入新课环节通过提问方式引导学生思考日常生活中的问题，发现他们对此还是挺感兴趣的，这为接下来的教学奠定了良好的基础。
然而，在新课讲授过程中，我发现有些学生对提公因式法和公式法的掌握程度并不理想。在讲解过程中，我尽量通过具体例子和详细步骤来解释这两个方法，但可能由于时间关系，学生练习的机会相对较少，导致他们对这些方法的运用还不够熟练。在今后的教学中，我需要更加注意讲解与练习的平衡，让学生有更多机会动手操作，提高他们对知识点的掌握。
-提公因式法的步骤与技巧；
-公式法（平方差公式、完全平方公式）的应用；
-解决实际问题时的因式分解方法。
举例解释：
-重点讲解因式分解的意义，通过具体例题使学生理解将多项式分解成几个整式乘积的过程；
-强调提公因式法的关键步骤，如确定公因式、分解多项式；
-详细解释平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²）的构成和应用；
-通过实际问题的解决，让学生掌握如何将现实问题转化为数学问题，进而运用因式分解解决。
2.教学难点
-确定多项式的公因式；
-熟练运用平方差公式和完全平方公式；
-将因式分解应用于复杂问题的解决；
-在实际问题中识别需要因式分解的数学模型。
举例解释：
-难点在于帮助学生理解如何从多项式中提取公因式，特别是当多项式中含有多个项时，如何识别和选择合适的公因式；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生”（如分配零食、分组工作等）。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。
人教版八年级数学上册1因式分解---十字相乘法课件
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
1. (x+2)(x+1) =x2+3x+2 2. (x+2)(x-1) =x2+x-2
3. (x-2)(x+1) =x2-x-2
4. (x-2)(x-1)
5. (x+2)(x+3) 6. (x+2)(x-3) 7. (x-2)(x+3) 8. (x-2)(x-3)
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
1
52
3
25
25 + 165==117
初中数学人教版八年级上册14.3.1提取公因式法
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1。
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1。
诊断 小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)
注
意
提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式．
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －(b+2c) = (b+2c)(2ac-1)
x
⑥2x 4y 6z 2(x 2y 3z)
这个多项式有什么特点？
ma mb mc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式。
12a4b3+16a2b3c2 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
a2
相同字母
b3
最低指数
观察 方向 一定系数
二定字母
三定指数
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
小结
1、什么叫因式分解？
八年级数学上第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解第3课时公式法__平方差公式新新人教1
答案显示
1．a2－b2＝__(a_＋__b_)_(_a_－__b_)__，即两个数的平方差，等于这 两个数的__和______与这两个数的___差_____的积．
2．(2020·金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式 的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式； 解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律； 解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性． 证明：设m，n为整数(m＞n)，两个奇数可分别表示为2m＋ 1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)． ①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数， ∴4(m－n)一定是8的倍数； ②当m，n是一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数， ∴4(m＋n＋1)一定是8的倍数． 综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)． 原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－ m)(a＋2)(a－2)．
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-( 2a –1)(2a –1) -(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
（2）4( a + b)²- 25(a - c)²
（3）4a³- 4a
（4）(x＋y + z)² (x－y－z )² －
（5）9(m+n)2－(m-n)2 （6）5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2
解：（1）( x + z )² ( y + z )² -
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
有公因式时，先提 公因式，再考虑用 公式.
例3
计算下列各式的值： （2） 5.42-4.62
（1） 652-642
解：652-642 =(65+64)(65-64) =129×1 =129
解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =10×0.8 =8
例4.把下列各式因式分解： （1）( x + z )² ( y + z )² -
的平方差公式.
利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b) 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： （1）一个二项式. （2）每项都可以化成整式的平方.
（3）整体来看是两个整式的平方差.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什 么？ x 2 +y 2； （1） 2 2 （2） x -y ； （3） - x 2 +y 2； （4） - x 2 -y 2．
=x2－y2＋（2x－2y）
=（x +y）（ x －y ）＋2（x－y） =（ x －y ）（ x ＋y ＋2） =5×9=45
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 4.计算中应用因式分解,可使计算简便.
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1) =100+99+98+97+ 96+95 +… +4+3+2+1 =5 050.
把下列各式分解因式：
5 1、a-a
2、2(x-y)-
1 2 2 a (x-y)
已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y22y+2x的值． 解： x2－y2－2y+2x
（4）(x＋y + z)² (x－y－z )² － =[(x+y+z)+(x-y-z)]×[(x+y+z)- (x-y-z)] =2x (2y + 2z) =4x (y + z )
（5） 5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2 =5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)]
14.3.2 公式法
第1课时
1.运用平方差公式分解因式，能说出 平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与公式法分解因式． 3.培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法, 并能说出提公因式法在这类因式分解中的作用.
1 11 1 11＋ 7 77 （1） 259 259 259 259 ＋ 259 259 259 259 259 3 33 5 55 15 15 15 1 1 17 7 1 解：原式＝ 259 ＋ ） （ × 解：原式＝ 259 （ ＋ ） 3 3 5 15 5 15
=(x+y+2z)(x-y) （2）4( a + b)²- 25(a - c)² =4( a + b)²- 25(a - c)²
=[2(a＋b) ＋5(a-c)][2(a＋b)-5(a-c)]
=(7a＋2b－5c)(－3a＋2b＋5c)
（3）4a³- 4a =4a(a² -1)
=4a(a+1)(a-1)
如果一个多项式的 各项，不具备相同的 因式，是否就不能分 解因式了呢？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
.判断下列各式是因式分解的是 （2） . (1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4=(x+2)(x-2) (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
例5. 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2 是8的倍数．
证明： (2n+1)2-(2n-1)2
=（2n＋1＋2n-1）（2n＋1-2n＋1） =4n×2 =8n 因为n是整数，所以原式是8的倍数．
3.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
答案:a(x+y)(x－y)
4.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.
分解因式，必须进行到 每一个多项式都不能再 分解为止.
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
1.（杭州·中考）分解因式 m3 – 4m = 【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)
.
2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式= 2(a 2 4) 2(a 2)(a 2) 答案：2(a 2)(a 2) 3.(珠海·中考)因式分解: ax 2 ay 2 =______. 【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式； 即ax2-ay2=a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
【解析】（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－(m－n)2 =[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =（3 m +3n+ m－n)(3 m +3n－m +n） =（4 m +2n)(2 m +4n） =4（2 m +n)(m +2n）. （2）2x3－8x =2x（x2－4） =2x（x+2)(x－2）.
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C.
-4 X² -y³
（ D ）
D. - X² y² +
2) -4a²+1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
×
√ √ ×
【例题】
【例1】把下列各式分解因式： （1）25－16x2. 【解析】（1）25－16x2 =52－（4x）2 =（5+4x)(5－4x）. （2）9a2－b2.
（2）9a2－b2
=（3a）2－（b）2 =（3a+b)(3a－b）.
【例2】把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2. （2）2x3－8x.
1. 计算：（1）(x+1)(x-1)
(2) (y+4)(y-4)
x 1
2
y 16
2
2. 根据1题的结果分解因式：
（1）x 2
1
（2） y 2 16 =(y+4)(y-4)
=(x+1)(x-1)
3.由以上1、2两题你发现了什么？
符合因式分解的定义，因此是因式分解,是利用平 方差公式进行的因式分解.第1题等式可以看作是整式乘 法中的平方差公式，第2题等式可以看作是因式分解中
=259 （2） 992＋99
+ 解：原式＝99× 991 99 99 （99 ）
= 99 ×(99ư）101+（-2）100 2、已知, 2 x y 4 xy 3 , 求代数式 2 x 2 y xy 2 的值。
1.如何理解因式分解？ 把一个多项式分解成几个 整式的积的形式. 2.什么是提公因式法分解因式?