2009年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年安徽省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）

A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i

【考点】虚数单位i及其性质．

【专题】计算题．

【分析】两个复数相乘，类似于单项式乘以多项式的乘法法则，用i去乘以1+i的每一项，得到积，把虚数单位的乘法再算出结果．

【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i．

故选D．

【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数的乘方运算，是一个基础题，复数的这种问题通常出现在大型考试的前几个选择和填空中．

2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N|x≤5}，则A∩B是（）A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】分别求出集合A中不等式的解集和集合B中解集的自然数解得到两个集合，求出交集即可．

【解答】解：集合A中的不等式（2x+1）（x﹣3）＜0可化为或

解得﹣＜x＜3，所以集合A=（﹣，3）；

集合B中的不等式x≤5的自然数解有：0，1，2，3，4，5，所以集合B={0，1，2，3，4，5}．

所以A∩B={0，1，2}

故选B

【点评】此题考查了集合交集的运算，是一道基础题．

3．（5分）（2009•安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．

【考点】简单线性规划的应用．

【专题】计算题；数形结合．

【分析】先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，

由得交点A的坐标为（1，1）．

又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．

故S△ABC=（4﹣）×1=．

故选C．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．

4．（5分）（2009•安徽）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b

【解答】解：∵a＞b且c＞d

∴a+c＞b+d．

若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，

故选A．

【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答．

5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7

【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．

【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，

a2+a4+a6=3a4=99，

∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．

∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．

故选B

【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．

6．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）

A．B．C．D．

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题．

【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．

【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．

选项B中a=2，c=，则e=符合题意

选项C中a=2，c=，则e=不符合题意

选项D中a=2，c=则e=，不符合题意

故选B

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．

7．（5分）（2009•安徽）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0

【考点】直线的点斜式方程．

【专题】计算题．

【分析】因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（﹣1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可．

【解答】解：因为直线2x﹣3y+9=0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣，

则直线l的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化简得3x+2y﹣1=0

故选A

【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．

8．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）

A．B．C．D．

【考点】函数的图象．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故

当x＞b时，y＞0，

x＜b时，y≤0．

对照四个选项，C选项中的图符合

故选C．

【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．

9．（5分）（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则

导数f′（1）的取值范围是（）

A．[﹣2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]

【考点】导数的运算．

【专题】压轴题．

【分析】利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．

【解答】解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，

∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．

∵θ∈[0，]，

∴θ+∈[，]．

∴sin（θ+）∈[，1]．

∴2sin（θ+）∈[，2]．

故选D．

【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．

10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）

A．1 B．C．D．0

【考点】等可能事件的概率．

【专题】计算题；压轴题；数形结合．

【分析】由题意利用正方体画出三角形并判断出形状和两个三角形的关系，得出所求的事件为必然事件，故求出它的概率．

【解答】解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，

一种是等腰直角三角形，如图甲．另一种是正三角形如图乙．

若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，