2009年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】虚数单位i及其性质．【专题】计算题．【分析】两个复数相乘，类似于单项式乘以多项式的乘法法则，用i去乘以1+i的每一项，得到积，把虚数单位的乘法再算出结果．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i．故选D．【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数的乘方运算，是一个基础题，复数的这种问题通常出现在大型考试的前几个选择和填空中．2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N|x≤5}，则A∩B是（）A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】分别求出集合A中不等式的解集和集合B中解集的自然数解得到两个集合，求出交集即可．【解答】解：集合A中的不等式（2x+1）（x﹣3）＜0可化为或解得﹣＜x＜3，所以集合A=（﹣，3）；集合B中的不等式x≤5的自然数解有：0，1，2，3，4，5，所以集合B={0，1，2，3，4，5}．所以A∩B={0，1，2}故选B【点评】此题考查了集合交集的运算，是一道基础题．3．（5分）（2009•安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故选C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．4．（5分）（2009•安徽）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b【解答】解：∵a＞b且c＞d∴a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，故选A．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．6．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．7．（5分）（2009•安徽）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（﹣1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可．【解答】解：因为直线2x﹣3y+9=0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣，则直线l的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化简得3x+2y﹣1=0故选A【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．8．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．9．（5分）（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]【考点】导数的运算．【专题】压轴题．【分析】利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．【解答】解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故选D．【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A．1 B．C．D．0【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】由题意利用正方体画出三角形并判断出形状和两个三角形的关系，得出所求的事件为必然事件，故求出它的概率．【解答】解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，一种是等腰直角三角形，如图甲．另一种是正三角形如图乙．若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也一定构成正三角形．这是一个必然事件，因此概率为1，故选A．【点评】本题考查了利用正方体定义事件并求出概率，关键画出图形判断出两个三角形的形状和关系．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】计算题；方程思想．【分析】根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．12．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前1/第一圈 3 是第二圈7 是第三圈15 是第四圈31 是第五圈63 是第六圈127 否故最后输出的a值为：127故答案为：127【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（5分）（2009•安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．14．（5分）（2009•安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．【考点】向量的共线定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】设=，=，表示出和，由=（+），及=λ+μ，解出λ和μ的值．【解答】解析：设=，=，那么=+，=+，又∵=+，∴=（+），即λ=μ=，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的共线定理的应用，用=和=作为基底，表示出，也表示出λ+μ，利用=λ+μ，解出λ和μ的值．15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的是①④⑤．（写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．【考点】异面直线的判定；命题的真假判断与应用；三垂线定理；棱锥的结构特征．【专题】综合题；压轴题．【分析】结合图形，容易得到①④⑤是正确的，对②③分析判断即可．【解答】解：①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；满足异面直线的定义，正确；②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；所以不正确；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积，显然正确；⑤对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点，是正确的．故答案为：①④⑤【点评】本题考查异面直线，三垂线定理，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，C﹣A=，sinB=．（1）求sinA的值；（2）设AC=，求△ABC的面积．【考点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知C﹣A=和三角形的内角和定理得到A与B的关系式及A的范围，然后两边取余弦并把sinB的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值；（2）要求三角形的面积，根据面积公式S△ABC=AC•BC•sinC中，AC已知，BC和sinC未知，所以要求出BC和sinC，由AC及sinA和sinB的值根据正弦定理求出BC，先根据同角三角函数间的关系由sinA求出cosA，然后由C与A的关系式表示出C，两边取正弦得到sinC与cosA相等，即可求出sinC，根据面积公式求出即可．【解答】解：（1）由C﹣A=和A+B+C=π，得2A=﹣B，0＜A＜．故cos2A=sinB，即1﹣2sin2A=，sinA=．（2）由（1）得cosA=．又由正弦定理，得，•AC=×=3．∵C﹣A=，∴C=+A，sinC=sin（+A）=cosA，∴S△ABC=AC•BC•sinC=AC•BC•cosA=××3×=3．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题．做题时应注意角度的变换．17．（12分）（2009•安徽）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A．将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）画出茎叶图；（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，由于两组数据比较多，注意不要漏掉数字．（2）样本不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．（3）通过观察茎叶图可以看出：品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，得到品种A的亩产稳定性较差．【解答】解：（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，（2）由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．（3）通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；②品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．【点评】本题考查画出茎叶图，考查茎叶图的优点，考查从茎叶图上观察两组数据的平均数和稳定程度，是一个统计的综合题，注意写数据时做到不重不漏．18．（12分）（2009•安徽）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．（1）求a与b；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1与点P．求PF1线段垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）由题意以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．圆心到直线的距离等于半径，以及离心率解得a与b．（2）求出焦点坐标，设出P求出N，再设M、（x，y），利用垂直关系可求得轨迹方程．【解答】解：（1）e=，∴=，又b==，∴a=，b=．（2）由（1）知F1，F2分别为（﹣1，0），（1，0），由题意可设P（1，t），（t≠0）那么线段PF1中点为N（0，），设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（﹣x，﹣y），=（﹣2，﹣t）则，消t得y2=﹣4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，轨迹方程，椭圆的性质等知识，是综合性较强的题目．19．（12分）（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意知a1=S1=4，a n=S n﹣S n﹣1化简可得，a n=4n，n∈N*，再由b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n﹣1），可得2b n=b n﹣1知数列b n是等比数列，其首项为1，公比为的等比数列，由此可知数列{a n}与{b n}的通项公式．（2）由题意知，=．由得，解得n≥3．由此能够导出当且仅当n≥3时c n+1＜c n．【解答】解：（1）由于a1=S1=4当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+2n）﹣[2（n﹣1）2+2（n﹣1）]=4n，∴a n=4n，n∈N*，又当x≥n时，Tn=2﹣b n，∴b n=2﹣T n，b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n﹣1），∴2b n=b n﹣1∴数列b n是等比数列，其首项为1，公比为，∴．（2）由（1）知，=．由得＜1，解得n≥3．又n≥3时，c n＞0恒成立．因此，当且仅当n≥3时c n+1＜c n．【点评】由可求出b n和a n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b n和a n后，进而得到c n，接下来用作商法来比较大小，这也是一常用方法．20．（13分）（2009•安徽）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD内的两点，E′E和F′F 都与平面ABCD垂直，（1）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD：（2）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；组合几何体的面积、体积问题．【专题】计算题；证明题；压轴题；分割补形法．【分析】（1）根据EA=ED且EE'⊥平面ABCD证出E'D=E'C，则点E'在线段AD的垂直平分线上，同理证出F'在线段BC的垂直平分线上，再由ABCD是正方形证出结论；（2）根据图形连接EB、EC，由题意证出BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E ﹣ABCD和正四面体E﹣BCF，根据条件求出这两个几何体的体积，求V E﹣BCF需要换低求出．【解答】解：（1）∵EA=ED且EE'⊥平面ABCD，∴E'D=E'A，∴点E'在线段AD的垂直平分线上，同理点F'在线段BC的垂直平分线上．又∵ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点E′F′都居线段AD的垂直平分线上，∴直线E′F′垂直平分线段AD．（2）连接EB、EC，设AD中点为M，由题意知，AB=2，∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，∴ME=，BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E﹣ABCD和正四面体E﹣BCF两部分，在Rt△MEE′中，由于ME'=1，ME=，∴EE'=，∴V E﹣ABCD=S正方形ABCD•EE'=×4×=，∵V E﹣BCF=V C﹣BEF=V C﹣BEA=V E﹣ABC=S△ABC•EE'==，∴多面体ABCDEF的体积为V E﹣BCF+V E﹣ABCD=2．【点评】本题是关于线面垂直与组合体体积的求法综合题，利用线面垂直和线段相等证明垂直平分；用分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想，求三棱锥的体积时常用换低来求解，考查了推理论证和逻辑思维能力．21．（14分）（2009•安徽）已知函数，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．（II）由（I）所涉及的单调性来求在区间[1，e2]上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．【解答】解：（I）∵函数，a＞0∴f′（x）=1+﹣，x＞0令t=＞0y=2t2﹣at+1（t≠0）①△=a2﹣8≤0，即：0＜a≤2，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数②△=a2﹣8＞0，即：a＞2，y=0有两个不等根由2t2﹣at+1＞0，得或t＞，又x＞0∴或x＜0或x＞由2t2﹣at+1＜0，得∴综上：①0＜a≤2，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数②a＞2函数f（x）上是增函数，在上是减函数，（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数又f（1）=0，f（2）=2﹣3ln2，f（e2）=e2﹣∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2﹣3ln2，e2﹣]【点评】本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．。