2020年重庆外国语学校中考数学一诊试卷 (含答案解析)

2020年重庆外国语学校中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列四个数：−3，−√3，−π，−1，其中最小的数是()A. −πB. −3C. −1D. −√32.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 直角三角形B. 正五边形C. 正方形D. 平行四边形3.在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)，以原点O为位似中心，相似比为1，把△EFO2缩小，则点E的对应点E′的坐标是()A. (−2,1)B. (−8,4)C. (−8,4)或(8,−4)D. (−2,1)或(2,−1)4.给出下列判断：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个5.估计√3−2的值应该在()A. −1−0之间B. 0−1之间C. 1−2之间D. 2−3之间6.如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40 ∘，则∠B的度数是()A. 40 ∘B. 50 ∘C. 25 ∘D. 115 ∘7.如图所示是一个运算程序，若输入的值为−2，则输出的结果为()A. 3B. 5C. 7D. 98.甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个与乙完成200个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是()A. 240x+4=200xB. 240x=200x+4C. 240x−4=200xD. 240x=200x−49.如图，点A是反比例函数y=−6x(x<0)的图像上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为()A. 1B. 3C. 6D. 1210.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，则信号塔AB的高度约为()(参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)A. 23米B. 24米C. 24.5米D. 25米11.已知二次函数y=−x2+(a−2)x+3，当x>2时y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程a−x x−3=1−23−x的解是自然数，则符合条件的整数a的和是()A. 3B. 8C. 15D. 1612.如图，∠ACB=90º，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为()A. 65B. 85C. 43D. √52二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.计算：√8+(12)−1−|√2−2|−4cos45°=______14.2019年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，去年农村贫困人口减少1386万，1386万用科学记数法表示为______．15.有五张正面分别写有数字−4，−3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程(n+3)x2+(n+1)x+12=0有实数根，又能使以x为自变量的反比例函数y=n2−16x的图象在每个象限内y随x的增大而增大的概率为______．16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为______.(结果保留π)17.小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y(米)，小亮跑步的时间记为x(秒)，y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时，他距C地还有______米．18.小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，用了28元．则每支中性笔的价格为元，每盒笔芯的价格为元．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：(1)(a+b)2−b(2a+b)(2)(2−2xx+1+x−1)÷x2−xx+1．20.把下面的证明过程补充完整．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点G在CA延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G.求证：GE//AD．证明：在△AFG中，∠BAC=∠G+_____(__________________)又∵∠AFG=∠G(已知)，∴_____=2∠G．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠DAC(___________)．∴______=2∠DAC(__________)．∴∠G=∠DAC．∴__________().21.炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．【收集数据】男生15名学生测试成绩统计如下：68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80女生15名学生测试成绩统计如下：(满分100分)82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82按如下分数段整理、描述这两组样本数据：【分析数据】(1)两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：在表中：x=______.y=______；(2)若规定得分在80分以上(不含80分)为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有______人；(3)通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．22.已知反比例函数y1=k的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(3,8)和点B(m,−4)．x(1)求这两个函数的表达式；(2)求△ABO的面积；(3)观察图象，直接写出y1>y2时自变量x的取值范围．23.根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程。

(1)甲数的2倍比乙数的1少4；3(2)摩托车的速度是卡车速度的3倍；2(3)夏季来临，某超市试销售A、B两种型号的风扇，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，两周内的销售总收入5300元。

24.温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年.某经销商为了打开销路，对1000个四季柚进行打包优惠出售.打包方式及售价如图.假设用这两种打包方式恰装完全部柚子．(1)若销售a箱纸盒装和a袋编织袋装四季柚的收入共950元，求a的值．(2)当销售总收入为7280元时．①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋?②若该经销商留下b(b>0)箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求ｂ的值．25.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD=5，AB=8，sinD=0.8，求AF的长．26.已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．求抛物线的解析式；若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值。

【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵−1>−√3>−3>−π，∴最小的数为−π，故选：A．将四个数从大到小排列，即可判断．本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.答案：C解析：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，属于基础题．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3.答案：D解析：本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k进行计算即可．解：∵点E(−4,2)，以O为位似中心，相似比为12，∴点E的对应点E′的坐标为：(−4×12,2×12)或(−4×(−12),2×(−12))，即(−2,1)或(2,−1)，故选D．4.答案：B解析：本题主要考查了平行四边形、菱形和矩形的判定．根据平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法错误，故此选项符合题意；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此说法错误，故此选项符合题意；③有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，此说法是正确的，不符合要求；故选B．5.答案：A解析：本题考查了估算无理数的大小，求得√3的取值范围是解答此题的关键．首先求得√3的取值范围，可得结果．解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴1−2<√3−2<2−2，即−1<√3−2<0，故选：A．6.答案：C解析：本题考查了切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键;连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠DOA=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．解：连接OA，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，∴∠B=∠AOC=25°．故选C．7.答案：B解析：此题考查了代数式求值有关知识，把x的值代入运算程序中计算即可．解：把x=−2代入得：1−2×(−2)=1+4=5．故选B．8.答案：D解析：解：设甲每天完成x个零件，则乙每天完成(x−4)个，由题意得，240x =200x−4，故选：D．设甲每天完成x个零件，根据甲完成240个与乙完成200个所用的时间相同列出分式方程即可．本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.答案：C解析：本题考查了反比例函数y=kx (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD//OB，则S平行四边形ABCD=S矩形AHOD，再根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到S矩形AHOD=6，所以有S平行四边形ABCD=6．解：作AH⊥OB于H，如图，∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，∴AD//OB，∴S平行四边形ABCD =S矩形AHOD，∵点A是反比例函数y=−6x(x<0)的图象上的一点，∴S矩形AHOD=|−6|=6，∴S平行四边形ABCD=6．故选C．10.答案：D解析：解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，DE=CD=78米，∴设EF=x，则DF=2.4x．在Rt△DEF中，∵EF2+DF2=DE2，即x2+(2.4x)2=782，解得x=30，∴EF=30米，DF=72米，∴CF=DF+DC=72+78=150米．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM=CF=150米，CM=EF=30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM=43°，∴AM=EM⋅tan43°≈150×0.93=139.5米，∴AC=AM+CM=139.5+30=169.5米．∴AB=AC−BC=169.5−144.5=25米．故选：D．过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4可设EF=x，则DF=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM=FC，CM=EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11.答案：A解析：本题主要考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．解：∵y=−x2+(a−2)x+3，∴抛物线对称轴为x=a−22，开口向下，∵当x>2时y随着x的增大而减小，∴a−22≤2，解得a≤6，解关于x的分式方程a−xx−3=1−23−x可得x=a+12，且x≠3，则a≠5，∵分式方程的解是自然数，∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，∴符合条件的整数a为：−1、1、3，∴符合条件的整数a的和为：−1+1+3=3，故选：A．12.答案：B解析：本题考查了折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质求∠ECF=45°是本题的关键，由题意可得AB=10，根据S△ABC=12AB×EC=12AC×BC，可得CE=4.8，根据勾股定理可求BE=6.4，由折叠可求∠ECF=45°，可得EC=CF=4.8，即可求B′F的长．解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴BA=10，∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，∴∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE，∵∠AED=180°，∴∠CED=90°，即CE⊥AB，∵S△ABC=12AB×EC=12AC×BC，∴EC=4.8，在Rt△BCE中，BE=2−CE2=6.4，∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，∴BF=B′F，∠BCF=∠B′CF，∵∠BCF+∠B′CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°∴∠ECF=45°，又CE⊥AB，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴CE=EF=4.8，∵BF=BE−EF=6.4−4.8=1.6，∴B′F=1.6=85．故选B．13.答案：√2=√2，解析：解：原式=2√2+2−2+√2−4×√22故答案为：√2原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：1.386×107解析：解：将1386万用科学记数法表示为：1.386×107．故答案是：1.386×107．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15.答案：25=0有实数根，解析：解：∵关于x的方程(n+3)x2+(n+1)x+12=0有实数根，∴当n=−3时，关于x的方程(n+3)x2+(n+1)x+12=n2−5≥0，当n≠−3时，(n+1)2−4(n+3)×12∴n2≥5，∵反比例函数y=n2−16的图象在每个象限内y随x的增大而增大，x∴n2−16<0，∴n2<16，∴5≤n2≤16，∴n=0，2，∴概率为2，5．故答案为：25先求出方程的解，再找出使分式方程有整数解的数，最后根据概率公式进行计算即可．此题考查了概率公式；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到使分式方程有整数解的情况数是解决本题的关键．16.答案：4−π解析：解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠DCB=90°，由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=2√2，∴OA=OC=√2，∴图中的阴影部分的面积=22−90π×(√2)2×2=4−π，360故答案为：4−π．根据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．17.答案：180解析：解：由图象可知，x=0时，y=100，即开始时小亮在C地小明在A地，两人相距100米，∴AC=100，当x=25时，y最小，即小明到达C地，∴小明开始速度为：100÷25=4(米/秒)，返回速度为4×1.5=6(米/秒)，当x=100时，小明到达B地，∴AB=4×100=400(米)，∴BC=AB−AC=300(米)，当y=480最大时，小明休息完20秒，即x=120，此时，小亮离C地距离为480−300=180(米)，(米/秒)，∴小亮速度为：180÷120=32=200(秒)，∴两人走完全程所用时间为：300÷23∴小明返回C地所用时间为：200−120=80(秒)，设小明返回时在a秒时速度下降到3米/秒，列方程得：6a +3(80−a)=300，解得：a =20．此时离C 地距离为：3×(80−20)=180(米)．故答案为：180由题意可知，小明速度比小亮速度快，把图象看作由线段DE 、EF 、FG 、GH 、HI 组成，线段DE 和EF 代表小亮从C 地、小明从A 地同时出发往B 地走的过程，其中点E 处表示小明到达C 地，故两人离C 地距离和最小，随后又增大；线段FG 表示小明在休息，小亮继续走，所以y =480时对应的x =100+20=120；线段GH 表示小明加快速度返回；线段HI 表示小明速度下降后返回． 本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x 和y 表示的数量关系．18.答案：2；8解析：本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系列出正确的方程组是解题的关键，属于基础题．先设每支中性笔的价格为x 元，每盒笔芯的价格为y 元，由题意列出{20x +2y =562x +3y =28，解方程组即可． 解：设每支中性笔的价格为x 元，每盒笔芯的价格为y 元，由题意，得{20x +2y =562x +3y =28，解得{x =2y =8． 则每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．故答案为2；8．19.答案：解：(1)(a +b)2−b(2a +b)=a 2+2ab +b 2−2ab −b 2=a 2；(2)(2−2x x+1+x −1)÷x 2−x x+1 =2−2x+x 2−1x+1×x+1x 2−x =(x−1)2x+1×x+1x(x−1) =x−1x ．解析：(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可；(2)根据分式的混合运算法则进行计算．本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．20.答案：证明：在△AFG中，∠BAC=∠G+∠AFG(三角形外角性质)又∵∠AFG=∠G(已知)，∴∠BAC=2∠G.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠DAC(角平分线的定义).∴2∠G=2∠DAC(等量代换).∴∠G=∠DAC.∴GE//AD(同位角相等，两直线平行).故答案为∠AFG；三角形外角性质；∠BAC；角平分线的定义；2∠G；等量代换；GE//AD；同位角相等，两直线平行．解析：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线的判定定理．根据三角形外角与内角的关系可得∠G+∠GFA=∠BAC，根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠DAC，又∠AFG=∠G.进而得到∠BAC=2∠G，从而得到∠DAC=∠G，即可判定出GE//AD．21.答案：解：(1)85；81；(2)1200；(3)女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，∵平均数相等，男生的方差>女生的方差，∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好．解析：本题考查了频数分布直方表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据众数和中位数的定义求解可得；(2)用总人数乘样本中合格人数所占比例可得；(3)根据平均数与方差的意义说明即可．解：(1)68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x=85，67，73，76，78，80，80，80，81，82，82，82，82，83，86，88，中位数是y=81；故答案为85；81；(2)2400×1530=1200(人)．即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人；故答案为1200；(3)见答案．22.答案：解：(1)反比例函数图象过点A(3,8)，代入解析式y1=kx中，则8=k3，k=24，反比例函数解析式为y1=24x；把B(m,−4)代入y1=24x中，得到m=−6，分别把点A(3,8)和点B(−6,−4)代入一次函数解析式中：{8=3a+b−4=−6a+b，解得{a=43b=4，故一次函数解析式为：y2=43x+4．(2)直线AB与y轴交于点C(0,4)，∴S△ABO=S△BOC+S△AOC=12×4×6+12×4×3 =18． (3)由图象可知得y 1>y 2时自变量x 的取值范围为x <−6 或0 <x <3．解析：本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．(1)根据待定系数法即可解决问题；(2)直线AB 与y 轴交点C ，根据S △ABO =S △BOC +S △AOC 即可解决问题；(3)根据y 1>y 2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出自变量取值范围即可．23.答案：解;(1)设甲数为x ，乙数为y ，则2x =13y −4，(2)设摩托车的速度为x ，卡车的速度为y ，则x =32y ，(3)设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台。